Formalizmas Matematikos Filosofijoje

Turinys:

Formalizmas Matematikos Filosofijoje
Formalizmas Matematikos Filosofijoje

Video: Formalizmas Matematikos Filosofijoje

Video: Formalizmas Matematikos Filosofijoje
Video: R. Norvaiša. Matematikos mokymas, ugdymo filosofija ir matematikos mokymo filosofija 2024, Kovo
Anonim

Įėjimas Navigacija

  • Įstojimo turinys
  • Bibliografija
  • Akademinės priemonės
  • Draugai PDF peržiūra
  • Informacija apie autorius ir citata
  • Atgal į viršų

Formalizmas matematikos filosofijoje

Pirmą kartą paskelbta 2011 m. Sausio 12 d., Trečiadienis; esminė peržiūra 2019 m. rugpjūčio 23 d

Remiantis vienu įprastu matematikos filosofijos formalizmo supratimu, teigiama, kad matematika nėra teiginių visuma, vaizduojanti abstrakčią tikrovės sritį, o yra daug panašesnė į žaidimą, todėl nebereikia įsipareigoti objektų ar savybių ontologijai. nei ludo ar šachmatai. Ši idėja turi tam tikrą intuityvų pagrįstumą: apsvarstykite, ar tiro darbai nėra dauginimo lentelėse, ar studentas, naudodamas standartinį algoritmą funkcijai diferencijuoti ar integruoti. Tai taip pat atitinka kai kuriuos pažengusių matematikų praktikos tam tikrais laikotarpiais aspektus - pavyzdžiui, įsivaizduojamų skaičių traktavimą tam tikrą laiką po to, kai Bombelli juos įvedė, ir galbūt kai kurių šiuolaikinių matematikų požiūris į aukštesnius rinkinio teorijos skrydžius. Pagaliau,dažnai tai yra pozicija, į kurią geis filosofiškai naivūs respondentai, kai mane vargina matematikos pobūdžio klausimai. Nenuostabu, kad daugelis matematikos filosofų „žaidimo formalizmą“laiko beviltiškai neįtikėtinu. Šis straipsnis yra susijęs su žaidimo formalizmu, jo artimais giminaičiais ir vėlesniais įvykiais, iš kurių daugelis bandė įveikti žiauresnių veislių apribojimus.

  • 1. Įvadas
  • 2. Žaidimo ir termino formalizmas
  • 3. Traktato formalizmas
  • 4. Formalizmas ir pozityvistai
  • 5. Nominalistų formalizmas
  • 6. Terminas Formalizmas: karis
  • 7. Curry-Howardo korespondencija
  • 8. Šiuolaikinis formalizmas
  • Bibliografija
  • Akademinės priemonės
  • Kiti interneto šaltiniai
  • Susiję įrašai

1. Įvadas

Žaidimo formalizmo lokusas klasicizmas yra ne įsitikinęs gynėjo pozicijos gynimas, o didžiojo filosofo Gottlobo Frege'o griovimo darbas. Ne tai, kad jis užsipuolė šiaudinę žmogaus poziciją: labai įtakingas Frege'io įrašas, pateiktas jo Grundgesetze Der Arithmetik (Frege, 1903) II tome, yra dviejų realių matematikų HE Heine'o ir Johanneso Thomae'o darbas. Be to, matematikos filosofai įpratę tvirtinti, kad šią poziciją vis dar plačiai laikosi matematikai. Tačiau reikia pabrėžti, kad „formalizmas“šia prasme - Heine'io / Thomae pozicija, kaip aiškina Frege'as, ir jos palikuonys - turi būti atskirtas nuo sudėtingesnės pozicijos (teigiama), būtent Hilbertio formalizmo. Norėdami gauti daugiau informacijos apie pastarąją, skaitykite „Detlefsen“,1993 m. Arba ieškokite įrašų apie Hilberto programą ir Frege-Hilbert diskusijas.) Detlefsen (2005) taip pat pateikia išsamų istorinių formalistų temų traktavimą mąstytojuose nuo senovės graikų iki Frege ir Hilbert laikotarpio ir po jų, į kuriuos čia atkreipiamas dėmesys..

Nors šiame įraše bus nagrinėjamas ne Hilbertio požiūris, trumpai aptarsime Hilbertian požiūrį. Hilbertiano pozicija skiriasi tuo, kad ji priklauso nuo matematinės kalbos skirtumo tarp baigtinio sektoriaus, kurio sakiniai išreiškia turinio teiginius, ir idealaus ar beinitarinio sektoriaus. Kur tiksliai Hilbertas skyrė skirtumą ar kur jis turėtų būti padarytas, yra diskusijų klausimas. Vis dėlto svarbiausia, kad Hilbertas laikėsi instrumentalizmo požiūrio į idealų sektorių. Šios kalbos formulės yra aiškinamos arba traktuojamos taip, lyg būtų nesuprantamos, turinčios sintaksinę sakinių formą, kuriai galime pritaikyti formalias transformacijos ir išvados taisykles, bet neturinčią semantikos. Nepaisant to, jie yra arba gali būti naudingi, jei idealus sektorius konservatyviai išplečia baigtinę,tai yra, jei nė vienas įrodymas nuo finiško pobūdžio prielaidų iki baigtinės išvados, kuria siekiama apeiti per infinitarinę kalbą, neduoda išvados, kurios mes negalėtume padaryti, nors galbūt (čia slypi naudingumas) iš ilgesnio, sunkesnio įrodymo. Hilbert programos tikslas buvo pateikti šio konservatyvaus pratęsimo rezultato baigtinį įrodymą; dauguma, nors ir ne visi, mano, kad šis tikslas buvo neįmanomas pagal antrąją Gödelio nepilnumo teoremą.manau, kad šis tikslas buvo neįmanomas pagal antrąją Gödelio nepilnumo teoremą.manau, kad šis tikslas buvo neįmanomas pagal antrąją Gödelio nepilnumo teoremą.

Grįžtant prie mūsų ne Hilbertio žvilgsnio, ankstesnis formalumas, kurį užpuolė Frege'as, neskirsto matematikos į minėtas dvigubas finišo / turinio kategorijas ir į begalybę / iš esmės beprasmę, bet, priešingai, visą matematiką traktuoja vientisai ir vienalytė mada. Nuo šiol aš vartosiu „formalizmą“, kad nurodyčiau ne Hilbertio pozicijas, ir pradėsiu nuo Frege'o Heine'o ir Thomae distiliuotų formalistinių pažiūrų ir jo kritikos. Manoma, kad dabar ši kritika apima neabejotiną Heine / Thomae požiūrio paneigimą. Tačiau yra nemažai post Fregean pažiūrų, kurioms didelę įtaką daro formalizmas arba jos yra stipriai analogiškos. Aš pereisiu juos iš eilės:

  • Wittgensteino požiūris į matematiką, pirmiausia jo Tractatus Logico-Philosophicus samprata;
  • formalizmas, kaip randama loginiuose pozityvizmuose, ypač Carnap;
  • Goodmano ir Quine'o nominalistinis formalizmas;
  • Haskello Curry formalizmo versija ir
  • formalios Curry-Howardo susirašinėjimo interpretacijos.

Baigsiu apžvelgdamas naujesnius formalistų filosofus ir įvertinęs formalizmo perspektyvas šiuolaikinėje matematikos filosofijoje.

2. Žaidimo ir termino formalizmas

Frege neištraukia vieningos ir nuoseklios pozicijos iš Heine'io ir Thomae'o darbo, o didelė jo kritikos dalis skirta parodyti, kad jie nenuosekliai slysta į mąstymo būdus, kurie yra tinkami tik „turiningam aritmetiniui, kuris Frege'as laiko tiesos kūnas, išreikštas posakiais, kuriame skaitinė išraiška žymi abstrakčias referencijas, nepriklausančias nuo proto (ar bent jau nuo konkretaus asmens proto). Heine'as ir Thomae'as kalba apie matematines sritis ir struktūras, apie draudimus pasakyti, kas gali būti pasakyta (pvz., Prieš rašant „(3 / div0“) “, kuris tam tikra prasme laikomas beprasmiu), kai skaičiai yra didesni ar mažesni nei viena kita (o ne fiziniai ženklai yra didesni ar mažesni,tamsesni ar šviesesni) - visi dalykai, kurie neturi prasmės, jei aritmetika yra ženklų ir jų fizinių savybių teorija arba yra tik simbolių, be nuorodų, transformacijų rinkinys. (Tačiau Heine'as kartu su Kronecker'iu pasilieka ypatingą vietą aritmetikai, elgiasi su ja neformaliai; taigi ši pozicija gali būti nuoseklesnė nei Thomae'o. Žr. Simons, 2009, ypač 293–6.)

Nepaisant to, Frege'io darbai išdėsto dvi skirtingas pozicijas, doktrinas, kurias Resnik (1980: 54) ir Shapiro (2000: 41–48) apibūdina kaip termino formalizmą ir žaidimo formalizmą. Terminas formalistas reiškia matematikos, aritmetikos išraiškas. pavyzdžiui, kaip prasmingi, vienaskaitos terminai nurodo, bet nurodo kaip tokius simbolius, kaip patys, o ne skaičiai, suprantami kaip atskiri nuo simbolių subjektai, taigi Heine rašo:

Aš apibrėžiu grynojo formalisto požiūrį ir šaukiu tam tikrus materialius ženklus. (Frege, 1903/80 §87: 183).

Žaidimo formalistas laikosi nuomonės, kad matematiniai posakiai neturi prasmės; ar šiaip ar taip, ten vartojamos sąvokos neišrenka objektų ir savybių, o pasakymai negali būti naudojami faktams konstatuoti. Greičiau matematika yra skaičiavimas, kuriame „tuščios“simbolių eilutės transformuojamos pagal nustatytas taisykles. Thomae sako:

Formalistui aritmetika yra žaidimas su ženklais, kurie vadinami tuščiais. Tai reiškia, kad jie neturi kito turinio (skaičiuojančiame žaidime), išskyrus tuos, kuriuos jiems priskiria elgesys, atsižvelgiant į tam tikras kombinacijos taisykles (žaidimo taisykles) (Frege, 1903/80, §95: 190).

Thomae taip pat pažymi, kad „oficialus požiūris atleidžia mus nuo visų metafizinių sunkumų“(ten: 184). Panašu, kad viena pagrindinė motyvacija yra blokuoti, išvengti arba tam tikru būdu apeiti bet kokį ontologinį įsipareigojimą problemiškai spręsti abstrakčius objektus. Standartinei matematikai reikalinga gausybė teoremų, patvirtinančių begalines esybių-skaičių, funkcijų, aibių ir tt egzistavimo sritis, kurios neatrodo konkrečios. Apskritai formalistai nori atsisakyti bet kokio įsipareigojimo šioms sritims, kurios iš tikrųjų atrodo sunkiai pritaikomos prie natūralistinės tikrovės sampratos.

Frege'as didžiąją dalį savo ugnies sutelkia į terminų formalistinius savo tikslų skelbimus; tačiau žaidimų formalizmas yra vienintelis žaidimas mieste, kuriame antiplatonistai nerimauja dėl ontologinio įsipareigojimo abstrakčių objektų karalystei. Terminas formalizmas matematiką traktuoja kaip turinį, kaip tam tikrą sintaksės teoriją; ir standartinė sintaksinė teorija reiškia begalybę subjektų - išraiškos tipų - kurie atrodo tiek abstraktūs, kiek ir skaičiai. Iš tiesų, kaip parodė Gödelio sintaksės aritmetizacija, standartinės formaliosios sintaksės elementai ir tarpusavio santykiai gali būti modeliuojami kaip begalinis postruktūrinis standartinio aritmetikos modelio vidus.

Frege negailestingai atskleidžia Heine'o ir Thomae pozicijos neatitikimus - jų painiavą, kai jie pereina nuo termino prie žaidimo formalizmo; jų ženklų ir žymimųjų sankaupa; faktas, kad jie nenustato nuotoliniu būdu tinkamos sintaksės ir įrodinėjimo teorijos kaip matematikos, su kuria jie susiduria, aprašymo; beviltiški bandymai išplėsti savo poziciją nuo aritmetikos iki analizės ir realiųjų skaičių traktavimo, šiame matematikos istorijos etape, kurį Weierstrass, Cantor ir kiti suprato ne geometriškai, o kaip begalinę seką. Taigi Frege'as rašo:

Norėdami jį pagaminti [begalinę seriją], mums reikės be galo ilgos lentos, begalinės atsargos kreidos ir begalinės trukmės. Mes galime būti apkaltinti kaip pernelyg žiaurūs bandydami sutriuškinti tokį aukštą dvasios pabėgimą dėl tokio gražaus prieštaravimo; bet tai nėra atsakymas. (219)

Dabar pats Frege'as, ironizuodamas, padarė revoliuciją matematikoje, įvesdamas iki šiol neregėtus griežtumo matematikos teorijų įforminimo standartus. Jis pripažino (§90: 185–6), kad Heine ir Thomae galima žymiai patobulinti, matematikos teorijas, jų kalbą, aksiomas ir taisykles traktuojant kaip formalius, matematinius objektus. Būtent tai ir sėkmingai nustatė Hilberto programa, sukurdama naują metamatematikos mokinį.

Tačiau Frege iškelia labai rimtus iššūkius net griežto žaidimo formalistui, visiškai aprūpintam metamatematikos metodais ir rezultatais. Toks teoretikas suteikia mums kalbos apibūdinimą, pavyzdžiui, nurodydamas, kokie yra pagrindiniai elementai - primityvūs simboliai ir jų stygos, ir tada pateikia rekursyvinę specifikaciją, kurios stygos laikomos gerai suformuotomis. Panašiai mums bus suteikta griežta specifikacija, kurie gerai suformuotų formulių išdėstymai tam tikroje sistemoje laikomi įrodymais ir kokią teoremą jie įrodo kiekvienu atveju. Jei stygos, tokios kaip '(3 + 1 = 0)' arba '(3 / gt 2)' pasirodo kaip patikrinamos sistemoje (tarkime, aritmetinis 4 modulis, tarkime), to pakanka, kad jas būtų galima laikyti teisingais posakiais. sistemos. Daugiau tiesos klausimo nebereikia kelti; taip pat nereikia manyti, kad tam tikram simbolių rinkiniui yra tik viena sistema. Be to, nereikia manyti, kad kiekviena tokia sistema yra išsami (nors Frege ėmėsi Thomae atlikti užduotį dėl savo aritmetinio skaičiavimo neišsamumo, nors ir lengvai ištaisomo). Nereikia manyti, kad šių eilučių skaitmenys nurodo ką nors, kas nepriklauso sistemai, ir iš tikrųjų nereikia manyti, kad jie visai ką nors reiškia. (Taigi, šis žaidimo formalistas neturi prieštaravimo, kad „3 (gt 2)“turėtų būti klaidingas, kai teisėtai skaitomi formalumai „(gt)“; nereikia galvoti apie skaitmenys, nurodantys konkrečius ženklus, ir '(gt)' reiškia, kad fiziškai yra didesni.)Nereikia manyti, kad šių eilučių skaitmenys nurodo ką nors, kas nepriklauso sistemai, ir iš tikrųjų nereikia manyti, kad jie visai ką nors reiškia. (Taigi, šis žaidimo formalistas neturi prieštaravimo, kad „3 (gt 2)“turėtų būti klaidingas, kai teisėtai skaitomi formalumai „(gt)“; nereikia galvoti apie skaitmenys, nurodantys konkrečius ženklus, ir '(gt)' reiškia, kad fiziškai yra didesni.)Nereikia manyti, kad šių eilučių skaitmenys nurodo ką nors, kas nepriklauso sistemai, ir iš tikrųjų nereikia manyti, kad jie visai ką nors reiškia. (Taigi, šis žaidimo formalistas neturi prieštaravimo, kad „3 (gt 2)“turėtų būti klaidingas, kai teisėtai skaitomi formalumai „(gt)“; nereikia galvoti apie skaitmenys, nurodantys konkrečius ženklus, ir '(gt)' reiškia, kad fiziškai yra didesni.)

Toks žaidimo formalistas yra labiau vertas platonistinio Frege'o varžovo, tačiau jis iškelia du pagrindinius prieštaravimus, kurie vis dar galioja šiai sudėtingesnei pozicijai. Pirmasis yra pritaikomumo klausimas: jei matematika yra tik skaičiavimas, kuriame mes suplakame neišaiškintus simbolius (arba simbolius, kurių aiškinimas neturi jokios reikšmės), kodėl tada jis buvo pritaikytas taip sėkmingai ir daugybe būdų daugybė skirtingų dalykų - paprasti fiziniai objektai, subatominiai objektai, laukai, savybės ir iš tikrųjų iš vienos matematikos dalies į kitą (matmenis galime suskaičiuoti grynoje geometrinėje erdvėje)? Frege rašo:

Vien pritaikomumas pakelia aritmetiką nuo žaidimo iki mokslo laipsnio. (Frege 1903/1980: 187, §91)

Antra, Frege visiškai teisingai ir atkakliai išskiria „žaidimo“aritmetiką, rinkinio teoriją, topologiją ar bet ką, kas traktuojama kaip savaime matematinis objektas, formali sistema ir, kita vertus, teorija. žaidimas. „Prisiminkime, kad žaidimo teoriją reikia atskirti nuo paties žaidimo“(107 punktas, 203 p.). Taigi trigonometrijos „žaidime“galime išvesti

(sin ^ 2 / theta + / cos ^ 2 / theta = 1)

iš Pitagoro teoremos. Metatorijoje galime įrodyti:

(vdash / langle / sin ^ 2 / theta + / cos ^ 2 / theta = 1 / rangle,)

teiginys, kad formulė su tokiu ir tokiu kodu matematiniame sintaksės vaizdavime (kodas, kurį meta meta-teorijoje vaizduojamas žodžiu '(langle / sin ^ 2 / theta + / cos ^ 2 / theta = 1 / rangle) ') yra įrodoma. Taip pat meta teorijoje galime įrodyti daugybę kitų dalykų apie įrodymą ir paneigimą, pavyzdžiui, galime parodyti, kad daugybė sakinių nėra nei įrodomi, nei paneigiami.

Problema, kurią kelia formalistams, yra tokia: pati metateorija yra nemažas matematikos kūrinys, tariamai atsidavęs begalinei sričiai objektų, kurie, atrodo, nėra konkretūs. Objektų kalbos žaidimo skaičiavimo žetonai gali būti baigtinio rašalo ženklai ir panašiai; tačiau kadangi yra be galo daug išraiškų, teoremų ir įrodymų, jie patys turi būti laikomi abstrakčiais tipais. Geriausiu atveju formalistas gali pasiekti ne daugiau nei įsipareigojimų sumažėjimą nuo kai kurių matematinių teorijų, tokių kaip aibės teorijos, neribotos sferos, į palyginamai begalinę, bet vis dar turbūt abstrakčią aritmetikos sritį, kurioje sintaksė ir įrodymo teorija yra standartinė. skaičiuojamas kalbas, tokias kaip standartinės teorijos kalbos, galima modeliuoti, kaip parodė Gedelis.

Ar galima formalizmą išplėtoti taip, kad būtų įveikti šie du esminiai prieštaravimai: pritaikomumo ir metateorijos, kaip aš tai pavadinsiu, problema? (Ne tai, kad tai vieninteliai formalizmo prieštaravimai, bet jie yra du esminiai.) Kadangi Frege'o kritika neatmetė visų formalistinių impulsų vėlesniems matematikos filosofams, dabar žiūrėsime į būsimus pokyčius norėdami pamatyti, kaip jie elgiasi.

3. Traktato formalizmas

Wittgensteinas buvo didelis Frege'io darbo studentas, pats Frege'as nukreipęs toliau tęsti studijas vadovaujant Bertrand'ui Russell'iui vizito, kurį jis aplankė Frege Jenoje, metu. Taigi galima pamanyti, kad jis paskiepytas prieš formalizmą. Tačiau Wittgensteino „Traktate“yra apibrėžtų formalistinių elementų.

Tiesa, „Traktatas“yra sunkiai interpretuojamas darbas. Net klausimas, ar pagrindinė knygos dalis, iš esmės visa jos dalis, išskyrus pratarmės ir pabaigos „rėmus“, turi būti vertinamas kaip rimtas bandymas pateikti metafiziką, yra prieštaringas. Jei mes atmesime tą hermeneutinį ginčą ir pažiūrėsime į mums siūlomą metafiziką, tai formalistiniai aspektai yra dvejopi. Pirma, sakoma, kad matematiniai sakiniai išreiškia „pseudo-teiginius“, todėl jie neturi tiesos vertės (tik neapibrėžtieji teiginiai turi tiesos vertę). Antra, matematika apibūdinama kaip „skaičiavimas“, kuris neturi būti naudojamas vaizduoti pasaulį, koks jis yra pats, bet kurio vertė yra tik priemonė. Būti tikram,aiškiausias to teiginys yra ne „Tractatus“, bet komentaruose Wittgenstein parašė Ramsey kopijoje:

Pagrindinė matematikos idėja. yra skaičiavimo idėja, kuriai atstovauja operacijos idėja. Logikos pradžia suponuoja skaičiavimą ir skaičių. Skaičius yra pagrindinė skaičiavimo idėja ir turi būti pristatoma kaip tokia (Lewy, 1967: 421–2).

Tinkamame „Tractatus“mes suvokiame, kad matematiniai teiginiai yra tik instrumentai (visa matematika, o ne tik „idealus“fragmentas, kaip Hilbertas):

Iš tikrųjų realiame gyvenime matematinis teiginys niekada nėra toks, kokio mes norime. Greičiau mes naudojame matematinius teiginius tik darydami išvadas iš teiginių, kurie nepriklauso matematikai, kitiems, kurie taip pat nepriklauso matematikai. (Filosofijoje klausimas „kam mes iš tikrųjų vartojame šį žodį ar šį teiginį?“Pakartotinai lemia vertingas įžvalgas.) Tractatus ¶6.211.)

Ši mintis grindžiama teiginiais:

Matematika yra loginis metodas. Matematikos teiginiai yra lygtys, taigi ir pseudo-teiginiai. (ten pat, ¶6,2)

Matematikos teiginys neišreiškia minties. (ten pat, ¶ 6,21)

Tačiau reikia būti atsargiems. Wittgensteinas išskiria sinnlos posakius, kurie neturi prasmės (įskaitant logines tautologijas ir prieštaravimus čia) iš tų, kurie nėra prasmingi, nesąmoningi; neaišku, į kurias klases patenka matematiniai posakiai. Galima gerai pagalvoti, kad žaidimo formalistas turėtų vertinti matematinius posakius, besiremiančius vien beprasmiais ženklų ženklais, o ne tik sinnėlėmis. Tačiau vienas aiškus skirtumas nuo žaidimo formalizmo yra šis: Vitgenšteino matematika neturėtų būti suprantama kaip skaičiavimo priemonė, atskirta nuo kitų kalbos vartojimo būdų. Jis labiau bando parodyti, kad bent jau aritmetikos dalys gali būti vertinamos kaip pagrįstos ne matematikos kalbos vartojimu. Frege, priešingai,Teigdamas, kad tinkamas aritmetikos (ir analizės) aprašymas turėtų parodyti, kaip jos apibendrinimas leidžia pateikti vienodą įvairių įvairiausių programų apskaitą (plg. Dummett, 1991, 20 skyrius), taip pat tvirtai palaikė požiūrį, kad matematiniai posakiai turi reikšmę, nepriklausomą. konceptualiai iki jų naudojimo programose.

Wittgensteinas nemėgina jokios matematikos teorijos Traktate, išskyrus aritmetinę, gana siaurą aritmetikos fragmentą. Teorija aiškiai sutinka su žaidimo formalisto antiplatonizmu. Skaičių nėra, aritmetika turi būti suprantama kaip skaičiavimas, kuriame manipuliuojama operatorių eksponentais ar rodikliais. Kas yra operatorius? Wittgensteinas skiria operatorių terminus nuo funkcijų terminų, tačiau komentatoriai stengėsi paaiškinti, koks skirtumas yra. Aišku, kad Wittgensteinas nusprendė, kad du funkcijų termino (f) atvejai, pritaikyti skirtingoms stygoms (t) ir (u), turi skirtingas reikšmes, kur „reiškia“Wittgensteinas reiškia referentą, panašiai kaip Frege's Bedeutung.. Taigi '(f)', esantis „(f (t))“, netaikomas tam pačiam subjektui kaip ir atokiausias (f) „(f (f (t))“;Manoma, kad tai yra Raselio paradokso (¶3.333) sprendimo pagrindas. Visų pirma, „tėvas“„Jono tėvelyje“reiškia ką nors kitokio, palyginti su tolimiausiu reiškiniu „Jono tėvo tėve“. Kitaip tariant, negali būti tikro pakartotinio funkcijų taikymo, tai gali išgydyti Russello paradoksą, kuris daugeliui bus toks pat blogas kaip liga.

Vis dėlto bent jau tuo aspektu operatoriai turi būti atskirti nuo funkcijų: tikras operatorių pakartojimas - puikus pavyzdys yra sensaciniai teiginio logikos operatoriai - yra neįmanomas, nesant minties ar nuorodos pasikeitimo iš vieno ženklo į kitą. Kokia tada jų reikšmė ar referentas? Wittgensteinas neigia, kad turi kokių nors nuorodų, tai yra jo teiginio, kad loginės konstantos nėra atstovai, apibendrinimas. Peteris Hyltonas (1997: 96–98) tvirtina, kad Wittgensteinas „Traktate“turi rusiško pasiūlymo funkcijas, kai kalba apie „funkcijas“ir stengiasi atskirti operatorius nuo šių „esminių“subjektų. Russello teigiamos funkcijos nėra tas pats, kas įprastos matematinės funkcijos, Frege'o funkcijos sampratos modelis. Jie greičiau yra struktūrizuoti subjektai,struktūriškai susijęs su teiginiais, kurie yra jų vertybės - nesąžiningos reikalų būsenos gali būti vienas iš būdų galvoti apie juos. Operatoriai, priešingai, nestokoja už tokio subjekto, jie nėra nei dalys, nei kokie nors teiginių ingredientai, jie „nepalieka pėdsakų“.

Sentencialūs operatoriai suprantami kaip ženklų, ne užrašų, priskyrimas kitiems ženklams ir aprašymams, o veikiau teiginių (Wittgensteino gana kursine šio termino prasme) siūlymai. Remiantis Vitgenšteino teiginiu, pakartotinis tokios operacijos kaip neigimas (ld taškų p, { sim} p, { sim} { sim} p / ldots) taikymas gali sugrįžti į ankstesnį tašką. Nepaisant to, Wittgensteinas bando paaiškinti aritmetiką, kalbant apie matematikos kalboms taikomus sentencialinius operatorius. (Čia galima įžvelgti bauginimų dėl to, kad Bažnyčia vėliau griežtai įgyvendino panašią idėją, traktuodama skaičius lambda skaičiavimuose kaip funkcijas, kurios pakartotinai taiko įvesties funkcijas.) Šūkio forma skaičiai yra operacijų eksponentai (ten pat, ¶6.021).. Taigi, kur (Omega) yra schema operatoriui ir (Omega p) (arba (Omega (p))), kai ji taikoma pasiūlymui, tada galime peržiūrėti eiles

[p, / Omega p, / Omega / Omega p, / Omega / Omega / Omega p, / Omega / Omega / Omega / Omega p, / ldots)

kaip atskaitos taškas skaičiaus „apibrėžimui“, kuris turi būti perrašius jį kaip

(Omega ^ 0 p, / Omega ^ {0 + 1} p, / Omega ^ {0 + 1 + 1} p, / Omega ^ {0 + 1 + 1 + 1} p, / Omega ^ {0+ 1 + 1 + 1 + 1} p, / taškai.)

Tuomet turime be galo daug schemų perrašymo taisyklių. Indeksus, tokius kaip '(^ {0 + 1 + 1 + 1 + 1})', galima akivaizdžiai sutrumpinti skaičiais, naudojant '(^ {0 + 1 + 1 + 1 + 1})' sutrumpintai „4“ir pan.

Wittgensteino pavyzdžiai rodo (nors jis to aiškiai nenurodė), kad pridedami du skaičiai / eksponentai (Omega ^ {n} p + / Omega ^ {m} p) (taip pat (Omega ^ {n + m}) p)) duota pagal taisyklę:

(Omega ^ {n} p + / Omega ^ mp / Dešinysis rodyklė / Omega ^ {n} (Omega ^ mp))

pasakydami, kad formulėje kairėje pateiktą frazę galime pakeisti dešine.

Būtent toks yra tapatybių, tokių kaip (n + m = r), „teisingumas“, išskyrus tai, kad Wittgensteinui tokia tapatybė neišreiškia tiesos. Jo teigimu, tapatybės ženklas dingsta atlikus išsamią kalbos analizę, kai vienodumą ir išskirtinumą parodo vardų aiškumas ir išskirtinumas, nė vienas iš jų visiškai analizuota kalba nenurodo to paties objekto (šis požiūris suteikia pagrindą interpretuoti. matematiniai posakiai „Traktate“kaip nesusiję). Pačiam Wittgensteinui nebuvo sunku parodyti, kad asmens tapatybės ženklo atsisakymas nepakenks išraiškingai kalbos galiai, tačiau kiti, pavyzdžiui, Hintikka (1956) ir Wehmeier (2004), tai padarė. Tai, kas palikta pagrindinėje kalboje, išskyrus tapatybę, yra pakeitimo taisyklės (Tractatus ¶ 6.23).

Jie turi būti aiškinami bendrai ir schematiškai. Taigi, kai pridedame ({ sim}), skirtą (Omega), pastebime, kad (Wittgensteinas neturėjo intuicionistų skrupulų) dviguba aplikacija ({ sim} { sim} p) paima mus atgal į (turi tą pačią prasmę kaip ir) (p). Tačiau tai nepagrindžia (2 = 0) tiesos, nes daugeliui kitų operacijų (Omega / Omega p) nėra lygiavertė (p). Iš kitos pusės

(Omega / Omega (Omega / Omega / Omega p) tekstas {visada turi tą pačią prasmę kaip} Omega / Omega / Omega (Omega / Omega p))

Vitgenšteinas netiesiogiai priima tinkamas skliaustų sąveikos su operatoriais taisykles, visų pirma, apibendrintą asociatyvumą. (Tiesą sakant, jis naudoja skliaustelius ir žymėjimą (Omega 'p), kad išreikštų (Omega (p)).)

Kadangi lygtis (Omega ^ {n} p = / Omega ^ {m} p) logine forma nėra universali apibendrinimas (forall n, m (Omega ^ {n} p = / Omega ^ {m} p)), bet visiškai schematiškai apibendrinus, nėra formos (egzistuoja n, m (Omega ^ {n} p / ne / Omega ^ {m} p)), su kuria mes gali išreikšti nelygybę, net jei galime suprasti „(ne)“prasmę. Taip pat negalime schematiškai išreikšti nelygybės (n / ne m) kaip (Omega ^ np) iš (Omega ^ mp) nelygiavertiškumo kiekvienam (Omega) pasirinkimui. Priešingu atveju (2 / ne 0) nepavyks, nes ({ sim} { sim} p) yra lygiavertė (p). Traktato teorija negali valdyti nelygybės.

Tiek daug, kad būtų pridėta ir apribota jos operacija. O padauginimas? Vitgenšteinas ją apibūdina ¶6.241 momentu:

(Omega ^ {n / kartų m} p / Dešinė rodyklė (Omega ^ n) ^ mp)

tačiau norėdami suvokti tai kaip bendrą principą, turime žinoti, kaip interpretuoti žymėjimą ((Omega ^ n) ^ m). Įprastesnėje matematikoje galima tiesiog apibrėžti ((x ^ n) ^ m) kaip (x ^ {n / kartų m}), tačiau aiškiai tai (arba veikiau operatorių eksponentų sąveikos atitikmuo) įvesk aplinkraštį į Wittgensteino sąskaitą. Taip pat galima remtis rekursyvine eksponentų teorija - (a ^ {m / kartų 0} = a, a ^ {m / kartų (n + 1)} = a ^ m + a ^ {m / kartų n}). Kadangi indukcijos principas, būtinas norint parodyti, kad pasikartojimas yra nuoseklūs bruožai Vitgenšteino sistemoje, šios taisyklės, ko gero, turėtų būti laikomos primityviomis.

Apskritai, Wittgensteinas „Traktate“nesuteikia mums jokios matematikos žinios, išskyrus aritmetinio, iš esmės teigiamo tapatumo, apimančio tik sudėjimą, fragmentą. Ir ten jis neigia, kad sakiniai išreiškia teiginius su tiesos vertybėmis. Žinoma, knyga buvo parašyta nepaprastai sunkiomis aplinkybėmis. Nepaisant aukščiau paminėtų sunkumų, jo mintis galėjo būti plėtojama toliau ir labiau tikėtina, tačiau dėl šiokio tokio skepticizmo žr. Landini, 2007. Be abejo, Wittgensteinas nemėgino to padaryti, tuo metu bendradarbiaudamas su FP Ramsey ir Vienos ratu. 1920-ieji. Jei Wittgensteino požiūris negalėjo būti daug toliau plėtojamas, mes galime pasirinkti atsisakyti visos matematikos, išskyrus daugiausia pridėjimo aritmetinės dalies fragmentą;arba dar kitaip - atmesti „Tractarian“sąskaitą. Nereikia vergiškai nekritikuoti šiuolaikinės matematikos, kad pamatytumėte, koks čia pagrįstas pasirinkimas. Tiesa, atmesti „Tractatus“sąskaitą taip pat atrodo, kad knygos pabaigoje pasirinko ir pats Wittgensteinas; Tada mes pradedame svarstyti, kokia prasmė mus peržvelgti per tokią keistą ir neįtikinamą teoriją, kad galų gale ją išmesčiau. (Norėdami gauti daugiau teigiamo požiūrio į Wittgensteino traktarinę padėtį, skaitykite Floyd'e (2002). Tada mes pradedame svarstyti, kokia prasmė mus peržvelgti per tokią keistą ir neįtikinamą teoriją, kad galų gale ją išmesčiau. (Norėdami gauti daugiau teigiamo požiūrio į Wittgensteino traktarinę padėtį, skaitykite Floyd'e (2002). Tada mes pradedame svarstyti, kokia prasmė mus peržvelgti per tokią keistą ir neįtikinamą teoriją, kad galų gale ją išmesčiau. (Norėdami gauti daugiau teigiamo požiūrio į Wittgensteino traktarinę poziciją, skaitykite Floyd (2002).

Vėlyvesni Wittgensteino darbai matematikos filosofijos srityje, tokie kaip „Pastabos apie matematikos pagrindus“(1956/1978), ilgą laiką sulaukė net mažiau pritarimo nei „Tractarian“sąskaita, nors pastaruoju metu ją gina tokie filosofai kaip Džuljeta Floydas ir Hilary Putnam. kaip įdomi ir informuota matematikos ataskaita (Floyd / Putnam, 2000). Jo temos apima tikrojo begalybės atmetimą (tiesa, jo raštuose tendencija yra stipriai finitiška); neigimas, kad neišaiškinami sakiniai yra prasmingi; Cantor įrodymų dėl galios atmetimas; mintis, kad įrodymas atradimais keičia pačią vartojamų terminų prasmę; ir kitos labai radikalios idėjos. Tarp jų pastebime nuolatinį formalistinių motyvų laikymąsi:

Matematikoje viskas yra algoritmas ir niekas neturi prasmės; (Filosofinė gramatika: 468).

Kita išliekanti Wittgensteino minties tema yra ta, kad matematikos prasmė iš esmės slypi jos naudingume ne matematikos taikymuose. Tačiau nėra sistemingos teorijos, kaip atsiranda šis pritaikomumas, nėra konservatyvios pratęsimo teoremos įrodymų, pavyzdžiui, parodytų, kaip matematinių skaičiavimų taikymas empirinėms prielaidoms niekada nepadės mums padaryti empirinės išvados, kuri neišplaukia iš tų prielaidų. Ir nėra neišspręstos metateorijos problemos. Kita vertus, turėtume pastebėti, kad šias Vitgenšteino pastabas apie matematikos filosofiją paskelbė ne jis, o kiti po jo mirties. Norėdami pamatyti bendrą Wittgensteino matematikos filosofiją, skaitykite Wittgensteino matematikos filosofiją.

4. Formalizmas ir pozityvistai

Wittgensteinas padarė didelę įtaką Vienos ratui. „Oficiali“pozityvistinė matematikos teorija, kaip buvo, nėra formalistinė. Matematinės teoremos išreiškia tiesą, nors ir ypatingu būdu: tiesa vien dėl prasmės. Įtakingiausiu pozityvizmu tapo Carnapas, jei neklasifikuojame Quine'o kaip pozityvistų (tačiau Quine'o pažiūra, 1930 m., Bet kokiu atveju, buvo labai artima Carnap's'ui, iš tikrųjų, be abejo, Quine'as išliko tikras Carnap'o radikalaus empirizmo atžvilgiu nei Carnap'as). Be abejo, galima pastebėti stiprius formalizmo elementus kai kuriuose Carnapo raštuose, pavyzdžiui, „Logische Syntax der Sprache“(1934 [1937]) ir „Empirizmas, semantika ir ontologija“(1950 [1956]).

Ankstesnė knyga buvo išversta į anglų kalbą kaip „Loginė kalbos sintaksė 1937 m.“. Jame Carnap teigė, kad teisingas filosofijos metodas yra konceptualioji analizė, suplanuota kaip „loginė sintaksė“, grubiai tariant, tinkama sintaksė ir įrodymo teorija. Siekiant išspręsti filosofinius skirtumus, siūloma pulti ginčijamas pozicijas oficialiomis kalbomis arba „sistemomis“, apimančiomis aksiomų sistemą ir įrodinėjimo taisykles; atsižvelgiant į tai, kai kurie sakiniai yra „apibrėžti“, yra įrodomi ar paneigiami. Tai yra analitiniai ir prieštaringi sakiniai, palyginti su ta sistema. Kaip mes pasirenkame, kurią sistemą pasirinkti? Carnapo tolerancijos principas (1934 [1937], p. 52) leidžia mums pritaikyti bet kurią norimą sistemą:

Logiškai tariant, nėra moralės. Kiekvienas žmogus gali susikurti savo logiką, ty savo kalbos formą, kaip jis nori. [Originalus kursyvas]

Carnaps išplečia šį neribotą leistinumą matematikai:

Čia siūlomas tolerantiškas požiūris, susijęs su specialiaisiais matematiniais skaičiavimais, yra tas, kurį tyliai dalijasi dauguma matematikų.

Bet kuris toks skaičiavimas gali būti laikomas matematikos kūriniu, net nenuoseklus. Žemindami ar visiškai atmesdami semantines sąvokas, mes paprasčiausiai apeiname tradicinius ontologinius ginčus dėl tų dalykų, kurių matematika yra „apie“pobūdį. Vienintelis klausimas yra bet kurio matematinio skaičiavimo praktinis naudingumas.

Čia kyla nemažai susirūpinimo. Kaip Carnapas gali atskirti empirines, mokslines ir matematines teorijas? Antra, jei pragmatinis naudingumas visų pirma yra empirinis pritaikymas, kaip Carnapian formalistas žino, kad duotas skaičiavimas konservatyviai pratęs empirinę teoriją, kaip tai galima žinoti be apeliacijos į reikšmingus matematinius rezultatus? Carnap rašo:

Formalistinis požiūris teisus, kai teigiama, kad sistemos kūrimas gali būti vykdomas tik formaliai, ty neminint simbolių prasmės; … Bet užduotis, kurios taip nubraižyta, tikrai nėra įvykdyta vien tik logiškai-matematiniu skaičiavimu. Nes šiame skaičiavime nėra … tų sakinių, kurie yra susiję su matematikos taikymu … Pavyzdžiui, sakinio „Šiame kambaryje dabar yra du žmonės“negalima išvesti iš sakinio „Charlesas ir Peteris yra šiame kambaryje ir niekas kitas “pasitelkiant vien tik logika-matematinius skaičiavimus, kaip paprastai suformuluoja formalistai; tačiau tai galima išvesti pasitelkus logistinę sistemą, būtent remiantis Frege'o „2“apibrėžimu. (Carnap, 1934, 1937, p. 326)

pridedant (kursyvas yra Carnapo) „Tokio pobūdžio struktūra kartu patenkina ir formalizmo, ir logizmo reikalavimus“.

Bet kas mums trukdo laisvai pagal tolerancijos principą nustatyti „tilto principus“operatoriams, kurie teoriškai elgiasi kaip skaitiniai operatoriai - „((phi))“skaičius per jų apibrėžimą formuluojant aritmetines aksiomas ir kur tilto principai apima:

(pradėti {lygiuoti} tekstą {skaičiaus} phi / text {'s} & = 0 / leftrightarrow / egzistuoja x (phi x / amp { sim} egzistuoja y (phi y / amp y / ne x)) / \ text {skaičius} phi / text {'s} & = 1 / leftrightarrow { sim} egzistuoja x / phi x \,? / pabaiga {lygiuoti})

Tai yra, mes susiejame nulio skaičių su sakiniu, kuriame nurodoma, kad yra tiksliai vienas tinkamo tipo subjektas, o vienas - su sakiniu, kuriame sakoma, kad tokių subjektų nėra. Jei mes tai padarysime, pridėkite standartinės dešimtainės aritmetinės taisykles ir pabandykite pritaikyti šį skaičiavimą, įvyks nelaimė; bet ar mums nereikia turinio konservatyvaus pratęsimo rezultato, kuris parodytų, kad dėl mūsų naudojamų skaičiavimų negali įvykti nelaimių?

Gödelio neišsamumo teoremos kelia labai sunkias problemas Carnapui šiuo ir kitais klausimais. Pirmoji neišsamumo teorema mums sako, kad bet kurioje ((omega) -) nuoseklioje formaliojoje teorijoje, kurios teoremos yra rekursyviai išvardijamos ir kuri apima tam tikrą (gana ribotą) aritmetinės kiekį, bus aritmetinis sakinys, kad nei jis, nei jos neigimas yra įrodytas. Remiantis Carnapo terminija, atrodo, kad tai duoda neapibrėžtus sakinius, o tai jam kelia problemų, jei esame įsitikinę, kad vis dėlto kai kurie iš šių sakinių yra teisingi; ir iš tikrųjų pagrindiniai sakinių tipai, naudojami įrodyti neišsamumą, - „Gedelio sakiniai“- iš tikrųjų yra teisingi standartiniame aritmetikos modelyje, jei šie sakiniai yra sukonstruoti tinkamu būdu (yra įvairių būdų tai padaryti) nei teorija. pati tiesa tame modelyje.

Pats Gödelis parašė, bet nepaskelbė ieškomosios Carnapo pozicijos kritikos (Gödel, 1953–9). Gödelis sutelkia dėmesį ne į savo pirmąją neišsamumo teoremą, bet į išvada, kurią jis atkreipė į antrąją teoremą: kad, esant tam tikram natūraliam nuoseklumo savybės apibūdinimui, apibūdinimas, kuris gali būti pateikiamas matematiškai per jo sintaksės aritmetavimą, nėra formali teorija. Apsvarstytas tipas Gödel galėtų įrodyti savo nuoseklumą. Jis teigė, kad Carnapas, norėdamas pateisinti savo pozityvistinę tezę, kad matematinės teoremos neturi turinio, turi pateikti matematinių skaičiavimų nuoseklumo įrodymą, kad galėtų parodyti, kad jie neturi empirinio turinio, o jo gausa, iš tikrųjų, yra įtraukiant visus empirinius sakinius. Tačiau Warreno Goldfarbo užrašai (1995:328) kad šis punktas neįvertina 1937 m. Carnapo pozicijos gilaus holizmo, kai skirtumas tarp analitinės ir sintetinės yra susijęs su nagrinėjama sistema, „kalbine sistema“. (Šis gilus holizmas, be abejo, turi priešingą intuityvumą, nes nėra matematikos ir empirinių mokslų skirtumų tarp rėmų).

Carnapas iš tikrųjų suprato Gödelio teoremų importą (Tennant, 2008); apie rezultatus jis žinojo tiesiai iš Gödelio, kuris iš tikrųjų skaitė loginės sintaksės projektus. Nepaisant to, jis parodė, kas atrodo nepaprastai nepastebimai, atsižvelgiant į jo įtaką jo pozicijai. Jis pripažino, kad, demonstruodamas nuoseklumą, turi pereiti prie stipresnės kalbos (§60c) ir laisvai padėjo sau matematinius metodus, kurie jokiu būdu negalėjo būti klasifikuojami kaip baigtiniai (14 paragrafe jis naudojo, pavyzdžiui, taisykles su be galo daug prielaidos, ypač tos, kurios vėliau buvo vadinamos (omega) taisykle). Tokiu būdu jis gali paneigti bent jau aritmetikos sakinius, kad yra kokių nors neapibrėžtų sakinių, nes kiekvienas tikras aritmetinis sakinys yra įrodytas naudojant (omega) taisyklę (palyginti su gana silpna finiško logika,žymiai silpnesnė už klasikinę logiką).

Carnapo ramus požiūris kyla iš jo atsisakymo ieškoti epistemologinių pagrindų. Jei tikimasi užsitikrinti mūsų matematikos žinias kreipiantis į formalistinį aiškinimą, prasminga ieškoti Hilbert'o tipo nuoseklumo įrodymo ir bus ieškoma matematikos, kaip visumos, pagrindimo iš riboto fragmento, kurio atžvilgiu atrodo, kad mūsų žinias sunku nuginčyti. Bet Carnapas, galbūt dėl gilių Gödelio teoremų, atrodo, kad atsisakė šio tikslo ir manė, kad Tolerancijos principas atleido jį nuo bet kokio tokio poreikio. Galima nusakyti, kas patinka, įskaitant stipresnes aksiomų sistemas, iš kurių galima įrodyti silpnesnės teorijos nuoseklumą. Tai nesuteikia tvirtesnio pagrindo tikėti ar sutikti su silpnesne teorija, tačiau tokiems pagrindams vis tiek nereikia.

Tik nedaugelis šiais laikais ieško Dekarto atitikties matematikoje, todėl Carnapo padėtis čia gali atrodyti pagrįsta. Vis dėlto nėra taip aišku, ar jis atsakė į taikymo problemą. Net jei konservatyvus pratęsimo rezultatas gali būti pateiktas tik galingesnėje sistemoje, mums reikia, kad rezultatas būtų turininga tiesa, o ne tik simbolių eilutė, kurią galime gauti iš tam tikros sistemos, jei norime patikinti, kad tam tikrą skaičiavimą mes kurie bus naudojami projektuojant tiltus ar kompiuterius, bus praktiškai naudingi. Ir jei Carnapianas pripažįsta, kad rezultatas yra turinio tiesa, galime paklausti, kas, remiantis šia formalistine pozicija, sudaro tą tiesą. Carnapą, be abejo, motyvavo siaubas įsijausti į metafizinius ginčus. Bet jei jo požiūris pašalinamas ne tik iš epistemologinių užmojų, bet ir yra toks defliacinis, kad sako šiek tiek daugiau, nei tai, kad metamatematiniai metodai gali būti taikomi formuojant matematines ir mokslines teorijas, tada jis taip pat ištuštėja iš visų filosofinių interesų ir nustoja daryti intervenciją į matematikos filosofijos debatai.

Ne tai, kad Carnapas tikrai atsisako metafizikos: šis ankstesnis metafizikos priešininkas iš tikrųjų yra brolis metafizikas, turintis savo konkurentų teoriją, kaip galėjo pasakyti FH Bradley. Taigi pagrindinis vėlesnių „empirizmo, semantikos ir ontologijos“bruožas yra ontologinių rūpesčių, kaip pseudo-problemų, atmetimas dėl „vidinių“klausimų (labai ginčytino) atskyrimo, kuris turi būti išspręstas pagal sistemos taisykles. matematikos, įprastų „dalykinių“pokalbių ar bet kokių „išorinių“klausimų, tokių kaip „kurią sistemą priimti?“. Šie išoriniai klausimai, Carnap teigė, neatitinka jokių tiesos vertybių; pavyzdžiui, į tokį klausimą nėra teisingo tokios formos atsakymo: „Taip, egzistuoja be galo daug abstrakčių skaičių“. Į juos turi būti atsakyta priimant sprendimus,sprendimai priimti ar nepriimti remiantis praktiniais kriterijais, susijusiais su sistemos veiksmingumu, rezultatyvumu ir naudingumu atsižvelgiant į aptariamo diskurso tikslus. Bet kokie tikslai tai galėtų būti? Prognozuoti „juslių duomenų“srautą, kuris laikomas savaime suprantamu dalyku kaip galutinis pasaulio baldas? Jei taip, matome, kad paslėptas ontologinis neutralumas yra apgaulingas dalykas, ir mes turime radikalią empiristinės antirealistinės metafizikos formą.

Formalizmo palikimas slypi tame: Carnapas mano, kad „teisingumas“turi būti nustatomas sistemas valdančiomis taisyklėmis, o ne susideda, pavyzdžiui, iš korespondencijos su faktų sritimi, nepriklausančia nuo taisyklių sistemos. Ir jis mano, kad toks požiūris pašalina ontologinius rūpesčius ir išlaisvina mus nuo bet kokio įpareigojimo paaiškinti, kaip baigtiniai, kūniški ir kraujo pavidalo tvariniai, tokie kaip mes, galėtų išmanyti išsamią informaciją apie šią nepriklausomą faktų sritį, šią abstrakčių, ne laikinų konfigūracijų sritį., ne priežastiniai objektai ir savybės, sfera, kurią Carnapas eksponuoja kaip metafizinę iliuziją. Viena stipri formalizmo disanalogija yra tai, kad Carnapas laikosi šios minties su visomis diskurso sritimis, ne tik matematika.

5. Nominalistų formalizmas

WV Quine'as garsiai atmetė pozityvistų tiesos doktriną dėl prasmės ir kvazi-logistinę matematikos, kaip analitinių tiesų visumos, sampratą (ir iš dalies dėl to taip pat atmetė jo globėjo Carnapo vidinį / išorinį skirtumą). Quine kartu su Nelsonu Goodmanu sukūrė formalistinį manifestą. Panašu, kad jo formalistinis etapas truko neilgai: vėliau jis pasirinko matematinio platonizmo formą, smerkdamas, jei ne iš esmės, ignoravo santykinai jaunatvišką flirtą su „nominalizmu“. Tačiau, kol tai truko, jis su Goodmanu smarkiai išplėtė diskusiją apie formalizmą, atsakydami į klausimus, kuriuos vengė ar nepaisė kiti formalistai.

Goodmano ir Quine'o „Žingsniai link konstruktyvaus nominalizmo“(1947) išdėstytas bekompromisis žaidimo formalizmas:

Privalumai, kurie, atrodo, atsirado gamtos mokslams naudojant matematines formules, dar nereiškia, kad šios formulės yra tikros teiginiai. Niekas, net ir sunkiausias pragmatikas, greičiausiai nelaiko abako karoliukų tiesa; ir mes laikomės nuomonės, kad platonistinės matematikos formulės, kaip ir abėcėlės karoliukai, yra patogios skaičiavimo priemonės, kurioms nereikia tiesos klausimo. (122 psl.).

Jie mano

matematikos sakiniai tik kaip ženklų stygos be prasmės

kad taip

toks supratimas, kokį turi matematika, išplaukia iš sintaksinių ar metamatematinių taisyklių, reglamentuojančių tuos ženklus. (111 psl.)

Patartina, kad Goodmanas ir Quine'as nevengia metateorijos problemos, sunkumai, kuriuos pati sintaksė ir metamatematika atrodo ontologiškai turtingi ir atsidavę abstrakčiams objektams kaip aritmetiką. Priešingai, jie susiduria su tuo tiesiai ir bando visiškai susitaikyti su konkrečių objektų ontologija, iš tikrųjų be galo daug tokių objektų. (Vis dėlto jie laikosi gana galingų mereologinių principų, iš esmės universalios kompozicijos: jie mano, kad bet koks objektų susiliejimas, kad ir koks būtų išsklaidytas ar pasklidęs, taip pat yra geros būklės objektas.)

Su dideliu išradingumu jie bando sukurti sintaksę, kuri „matematines išraiškas traktuos kaip konkrečius objektus“(ten pat) kaip faktines fizinių ženklų eilutes ir suteiks konkrečius pakaitalus tokioms sąvokoms kaip „formulė“, „aksioma“ir „įrodymas“. kaip platoniškai apibrėžta. Tačiau jie nenagrinėja matematikos taikymo klausimo, suprantamo tokiu konkrečiu, formalistiniu būdu.

Be pritaikomumo problemos, yra dar dvi pagrindinės formalizmo problemos, kurias sukūrė Goodmanas ir Quine'as. Pirma, neaišku, ar jie turi teisę į bendruosius teiginius apie sintaksę, suprantamus kaip teorija apie tam tikrus konkrečius ženklus ir ženklų sujungimus. Taigi, teigdami, kad formulės apibrėžimas „kvazi-formule“suteikia mums norimų rezultatų, jie sako:

Reikalaujant, kad ir kiti (x) sudėtingesni alternatyvūs neigimai būtų alternatyvūs kvazi-formulių paneigimai, apibrėžimas garantuoja, kad tai taip pat bus formulės intuityviai suplanuota prasme; ir tt, pačiam (x). (116 psl.)

(„Alternatyvus neigimas“yra „Sheffer“smūgio operacija (P | Q), kuri yra tiesa, jei ir tik tuo atveju, jei vienas komponentas yra klaidingas.) Problema yra „ir pan.“. Goodmanas ir Quine'as bando tobulinti savo kelią pasirinkdami formulę, parodydami, kad jų apibrėžimas užtikrins, kad kiekvienas didesnis komponentas yra formulė. Neaišku, kaip mes galime tai garantuoti savavališkai (x), neturėdami nieko panašaus į formulės sudėtingumo įvedimą; tačiau to nėra, nes formulės nėra generuojamos įprastu indukciniu rinkiniu-teoriniu būdu. Panašios pastabos galioja ir įrodymui, kad įrodymai, kaip nominaliziškai apibrėžti p. 120, turėkite vidinę pirmenybės tvarką tarp tiesioginių prielaidų ir išvadų, kurių mes intuityviai tikimės. Demonstracija tęsiama apibendrinant visus skaičius (k), kurie sunumeruoja aksiomas konkrečiame įrodyme ir po to atlieka atrankų seką. Panašu, kad tai daro prielaidą apie visų skaičių apibendrinimus ir iš tikrųjų nesuskaičiuojamą pasirinkimą - ištekliai, neprieinami griežtam nominalistui.

Antra, ką Goodmanas ir Quine'as gali pasakyti apie tokį sakinį kaip

[2 ^ {2 ^ {2 ^ {2 ^ {2 ^ 2}}}} + 1 / tekstas {yra svarbiausias},?)

(Tai reiškia, kad '2 ^ (n)' reiškia '2 galiai (n)' - '[2 ^ (2 ^ (2 ^ (2 ^ (2 ^ 2)))))] (+1) yra svarbiausias ' plg. Tennant, 1997, p. 152.) Jie negali paneigti, kad sakinys egzistuoja, nes priešais mūsų akis yra ženklas. Tačiau yra rimtas pagrindas manyti, kad nebus jokių konkrečių įrodymų ar kliūčių, nes vieninteliai galimi metodai gali sunaudoti daugiau laiko, erdvės ir medžiagų, nei bet koks žmogus galėjo turėti, galbūt, nei yra iš tikrųjų. Yra daugybė sakinių su šia savybe: konkrečių žetonų iš jų nėra, tačiau jokio konkretaus įrodymo ar paneigimo iš tikrųjų nėra, nė vieno, kuriuo žmogus bet kokiu atveju galėtų manipuliuoti kaip prasmingą posakį. (Plg. Boolos, 1987.) Goodmano ir Quine'o įtikinėjimo formalistai atrodo priversti daryti išvadą, kad tokie sakiniai, kaip aukščiau, sakiniai, kurie yra nuspėjami įprasta formalia prasme, nėra nei teisingi, nei melagingi,nes nei (konkrečiai) neįrodoma, nei paneigiama. Tačiau pritarti šiam požiūriui būtų mėsininko matematika, kaip šiuo metu praktikuojama; į tokias pasekmes verčiau reikėtų žiūrėti kaip į jų padėties reductio ad absurdum.

6. Terminas Formalizmas: karis

Pats reikšmingiausias ne Hilbertio formalistinės matematikos filosofijos bandymas yra Haskell Curry knyga „Formalist Philosophy of Mathematics“(Curry, 1951). Curry nėra žaidimo formalistas, jo pozicija artimesnė termino formalizmui, dviejų požiūrių, nuo kurių mes pradėjome. Vis dėlto Curry matematikos filosofija yra arba bando būti labai metafizinė, bent jau tiek, kiek, jo manymu, jis gali išlikti neutralus matematikos ontologinių įsipareigojimų klausimu.

Matematika gali būti suprantama kaip mokslas tokiu būdu, kad būtų nepriklausoma nuo visų, išskyrus pačias grubiausias filosofines hipotezes. (3 psl.)

Taigi jo nemotyvuoja antiplatonistinis abstrakčių objektų siaubas. Jo neutralumui, tiesą sakant, šiek tiek pakenkta dėl to, kad Curry su malonumu įsipareigoja, be abejonės, abstrakčių raiškos tipų ontologijai. Oficialiai jis parodo nesidomėjimą tuo, kas primityvūs asmenys, kuriuos jis klaidingai vadina jo oficialiųjų sistemų „žetonais“.

Mes galime paimti už tuos žetonus bet kuriuos objektus, kurie mums patinka, ir panašiai mes galime naudoti operatorius bet kokiais būdais derinti tuos objektus, kurie turi reikiamas formalias savybes. (28 psl.)

Bet kadangi daugelyje sistemų yra be galo daug primityvių „žetonų“, jų visų negalima tapatinti su konkrečiais ženklais, kuriuos matematikai iš tikrųjų sukūrė.

Kaip ir terminas formalistas, Curry mano, kad matematika, tinkamai rekonstruota po filosofinių svarstymų, turi iš esmės sintaksinį dalyką, būtent formaliąsias sistemas. Tačiau, skirtingai nei Frege'o priešininkai, Curry, rašydamas po metamatematikos disciplinos, sugeba pateikti kur kas griežtesnį (nors, jo atveju, šiek tiek ekscentrišką) pasakojimą apie tai, kas yra formali sistema.

Tai, kas turi būti formali sistemos aksiomos, taisyklės ir todėl teorijos, nėra ribojama. Formalios sistemos elementarių teiginių tiesa susideda iš jų pagrįstumo sistemoje. Vienoje jo formaliose sistemose (7 pavyzdys, p. 23) yra tik vienas predikatas „vieningas predikatas, kurį Gödelis išreiškė žodžiais„ ist beweisbar ““(p. 23), ty įrodomumo predikatas. Elementarios šios sistemos tiesos gali būti aiškinamos kaip teiginiai apie pagrįstumą pagrindinėje sistemoje. Bet kurią įprasto tipo oficialią sistemą galima „redukuoti“į tokią, kurioje yra tik vienas įrodomumo predikatas ir tiesa (= įrodomumas) redukuojančio pagrindinio teiginio sistemoje (vdash / langle / phi / rangle). kai (phi) galima įrodyti redukuotoje sistemoje (p. 34–35). Curry leidžia sudaryti junginius iš elementarių teiginių, naudojant įprastus loginius operatorius, norint išreikšti sudėtingus teiginius įrodymo teorijos kalba (IX skyrius).

Rezultatas yra tas, kad matematika apskritai tampa metamatematika, turininga teorija - Curry sakiniai išreiškia teiginius su tiesos vertybėmis - tiesomis išdėsto tai, kas yra įrodyta iš to, kas yra pagrindinėse formaliose sistemose, kurių interpretacija ar, greičiau, interpretacija nėra laikoma matematiškai svarbi. Tačiau šis požiūris grasina žlugti į struktūralizmą, į matematinius posakius žiūrėti kaip į schemas, kurios netiesiogiai apibendrina įvairias (apskritai) abstrakčias struktūras, kurios tenkina schemas. Kalbant apie metatorijos problemą, Curry nesiekia į tai atsakyti; nėra jokio realaus bandymo išvengti įsipareigojimo turtingai objektų ontologijai, išskyrus tai, kad, svarstant tik standartines formalias sistemas, tai galima padaryti su skaičiuojama ontologija, kuri gali atlikti kalbinės išraiškos vaidmenį. Tačiau tiksmarkiai iškraipančios matematikos praktikos kainą. Nustatyti teoretikai, topologai, analitikai ir kt. linksminti spėliones ir bandyti įrodyti dalykus apie „rinkinius“, topologines erdves, funkcijas sudėtiniuose numeriuose ir pan. Filosofiniais momentais jiems gali kilti klausimas, kas yra „apie“sąvokas, su kuriomis jie kovoja, tačiau jie paprastai nesižavi spėlionėmis ir nemėgina įrodinėti dalykų apie „išraiškos stygas“, išskyrus tuos atvejus, kai tai jiems yra instrumentinė vertė įrodant. daiktai apie aibes, tarpus, sudėtingą plokštumą ir panašiai (plg. Resnik, p. 70–71). Filosofiniais momentais jiems gali kilti klausimas, kas yra „apie“sąvokas, su kuriomis jie kovoja, tačiau jie paprastai nesižavi spėlionėmis ir nemėgina įrodinėti dalykų apie „išraiškos stygas“, išskyrus tuos atvejus, kai tai jiems yra instrumentinė vertė įrodant. daiktai apie aibes, tarpus, sudėtingą plokštumą ir panašiai (plg. Resnik, p. 70–71). Filosofiniais momentais jiems gali kilti klausimas, kas yra „apie“sąvokas, su kuriomis jie kovoja, tačiau jie paprastai nesižavi spėlionėmis ir nemėgina įrodinėti dalykų apie „išraiškos stygas“, išskyrus tuos atvejus, kai tai jiems yra instrumentinė vertė įrodant. daiktai apie aibes, tarpus, sudėtingą plokštumą ir panašiai (plg. Resnik, p. 70–71).

7. Curry-Howardo korespondencija

Haskell Curry taip pat turėjo vaidinti svarbų vaidmenį plėtojant logiką su informatika, kuri, kai kuriais argumentais, gali paremti matematikos formalizmą. Jo darbas su kombinatine logika ir WA Howardu paskatino sukurti „Curry-Howard susirašinėjimą“(nuo šiol „Curry-Howard“parašyta „CH“) arba „CH izomorfizmą“, siejantį logiką, įrodymų teoriją ir informatiką.

Curry ketino pateikti bendrąją funkcionalumo teoriją kaip logikos pagrindą, „išankstinę logiką“, kaip tai pavadino Curry. Visų pirma žiūrėkite (Curry 1934) ir kartu su Robert Feys (Curry ir Feys 1958). Maždaug tuo pačiu metu, kai buvo paskelbti pirmieji Curry leidiniai šioje srityje, Alonzo bažnyčia sukūrė savo neįrašytą (lambda) - skaičiavimo metodą, kuris taip pat buvo sukurtas logikos, iš tikrųjų matematikos, pagrindui, taip pat funkcijai, kuri yra labai paprastai taikoma, kaip pamatinis. Šiuose funkciniuose skaičiavimuose (išsamią ataskaitą žr. Barendregt (1984), taip pat įrašą apie lambda skaičiavimą) naudojamas sujungimas (fg), kad būtų pavaizduota funkcijos (f) taikymas argumentui (g) išvesties vertės gavimas, kai tiek argumentas, tiek vertė gali būti funkcijos ir kur leidžiama savarankiškai taikyti. Kai Curry sistema yra be kintamųjų, kintamasis rišimas Bažnyčioje įvyksta naudojant (lambda) terminą, o kintamasis (x), jei ir kur jis įvyksta, kai (N) yra rišamas (lambda xN). Pagrindinė operacija (lambda) - skaičiavime yra (beta) - redukcija, transformacija, kuri mus perkelia iš ((lambda xN) M) į (N [x: = M].) Čia (N [x: = M]) yra rezultatas, kai (M) pakeičiami visi laisvi (x) įvykiai (N).[1] Taigi, pavyzdžiui, ((lambda x.xx) f) (beta) - sumažinamas iki (ff). Mes galime tai rašyti taip:

[(lambda x.xx) f / rhd ff)

Taigi šie skaičiavimai pasiekia tai, ką Wittgensteinas „Traktate“(žr. Aukščiau), atrodo, gesdamas savo operacijose / funkcijose, nes Bažnyčioje ir Curry mes turime visiškai išplėtotą „operacijų“teoriją, tai yra funkcijas, kurios gali imtis funkcijų kaip argumentai. ir vertybes. Savaime suprantama, kaip ir begaliniame cikle (beta) - sumažinimas:

(pradėti {lygiuoti} (lambda x.xx) (lambda x.xx) & / rhd (lambda x.xx) (lambda x.xx) & / rhd (lambda x.xx) (lambda x.xx) & / vdots / pabaiga {lygiuoti})

kelia nerimą, kad gali atsirasti paradoksas. Bažnyčia manė, kad vengimas naudoti laisvuosius kintamuosius ir apriboti atskirtą vidurį (Bažnyčia, 1932: 346–7) blokavo paradoksą, tačiau Kleene ir Rosser (1935), naudodamiesi Ričardo paradoksu paremta strategija, parodė, kad sistema yra nereikšminga: kiekviena formulė galėjo būti išvestas naudojant taisykles. Bažnyčia tai sutvirtino, kad gautų nuoseklų neįrašytą (lambda) skaičiavimą, tačiau svarbus žingsnis CH korespondencijos atžvilgiu buvo įvestų (lambda) skaičiavimų tobulinimas.

Dabar žodis „tipas“yra labai perdėtas žodis. Tokio tipo žetonai, skirti naudoti vieną iš jo reikšmių (apytiksliai kaip abstrakčią sintaksinę objektą), kartais buvo naudojami stovėti už savybes, įskaitant aukštesnės eilės savybes, kaip ir įvairiose Russell tipo teorijose. Bažnyčia turėjo tęsti šią tradiciją savo paprasta spausdinta versija (lambda) - skaičiavimas (bažnyčia, 1940 m.). Šiuo vartojimu tipai, tokie kaip skardžio savybė ar formos forma, turi tokius atvejus kaip Fido, o antruoju atveju - žemesnės eilės savybė būti kvadratiniais. Taigi tipų pavyzdžiai šia prasme nebūtinai turi būti abstraktūs dariniai. Kitas vartojimas yra sintaksinis, nes kai pagrindinės kalbos išraiškos yra suskirstomos į skirtingas kategorijas („rūšis“) ir nustatomos formavimo taisyklės gerai formuojamoms išraiškoms generuoti, naudojant tipų skirtumus. Šiuo vartojimu „tipas“yra išraiška kai kurių objektų teorijos sintaksinėje metateorijoje. Kai kuriais atvejais sintaksinė teorija iš tikrųjų yra nagrinėjamos objekto teorijos dalis. Nepriklausomai nuo to, kai kurie sintaksinio tipo teorijų pristatymai „nustumia“sintaksinę metatoriją į nagrinėjamą objekto teoriją, nurodydami, kad gerai suformuotose objekto kalbos išraiškose yra tikrosios sintaksinės dalys, žymos, kurios yra susijusios su metateorinis išraiškos tipas ir neturi semantinio vaidmens. Pavyzdžiui, Howard (1969), gerai suformuluota teiginio logikos sąlyginio fragmento formulė yra naudojama kaip tipo simboliai, viršijantys tipo teorijos terminus. Kai kuriais atvejais sintaksinė teorija iš tikrųjų yra nagrinėjamos objekto teorijos dalis. Nepriklausomai nuo to, kai kurie sintaksinio tipo teorijų pristatymai „nustumia“sintaksinę metatoriją į nagrinėjamą objekto teoriją, nurodydami, kad gerai suformuotose objekto kalbos išraiškose yra tikrosios sintaksinės dalys, žymos, kurios yra susijusios su metateorinis išraiškos tipas ir neturi semantinio vaidmens. Pavyzdžiui, Howard (1969), gerai suformuluota teiginio logikos sąlyginio fragmento formulė yra naudojama kaip tipo simboliai, viršijantys tipo teorijos terminus. Kai kuriais atvejais sintaksinė teorija iš tikrųjų yra nagrinėjamos objekto teorijos dalis. Nepriklausomai nuo to, kai kurie sintaksinio tipo teorijų pristatymai „nustumia“sintaksinę metatoriją į nagrinėjamą objekto teoriją, nurodydami, kad gerai suformuotose objekto kalbos išraiškose yra tikrosios sintaksinės dalys, žymos, kurios yra susijusios su metateorinis išraiškos tipas ir neturi semantinio vaidmens. Pavyzdžiui, Howard (1969), gerai suformuluota teiginio logikos sąlyginio fragmento formulė yra naudojama kaip tipo simboliai, viršijantys tipo teorijos terminus.kai kurie sintaksinio tipo teorijų pristatymai „nustumia“sintaksinę metatoriją į aptariamą objekto teoriją, nurodydami, kad gerai suformuotose objektų kalbos išraiškose yra tinkamos sintaksinės dalys, žymos, kurios yra koreliuojamos su metateoriniu tipu. išraiška ir neturi semantinio vaidmens. Pavyzdžiui, Howard (1969), gerai suformuluota teiginio logikos sąlyginio fragmento formulė yra naudojama kaip tipo simboliai, viršijantys tipo teorijos terminus.kai kurie sintaksinio tipo teorijų pristatymai „nustumia“sintaksinę metatoriją į aptariamą objekto teoriją, nurodydami, kad gerai suformuotose objektų kalbos išraiškose yra tinkamos sintaksinės dalys, žymos, kurios yra koreliuojamos su metateoriniu tipu. išraiška ir neturi semantinio vaidmens. Pavyzdžiui, Howard (1969), gerai suformuluota teiginio logikos sąlyginio fragmento formulė yra naudojama kaip tipo simboliai, viršijantys tipo teorijos terminus.

Išraiška «(N: / tau)», kuri paprastai skaitoma išilgai:

(text {term} N / text {tipo} tau)

todėl gali būti skaitomi įvairiais būdais, pavyzdžiui:

I: Nesintaksinis: objektas, kurį nurodo (N), yra klasės (rinkinio) / savybės, nurodytos (tau), egzempliorius, egzempliorius, kuris nebūtinai turi būti sintaksinis ir apskritai abstraktus.

II: Meta-sintaksė: (N) nurodyta išraiška yra sintaksinės kategorijos (tau) pavyzdys. Sintaksinė teorija, kurioje priskiriamas terminas tipui, yra „meta“, palyginti su intelektualiniu foniniu kontekstu, nes ji nėra pateikta kaip (pagal numatytą aiškinimą) bendrosios, ne sintaksinės teorijos, išreikštos kalba, kuriai ji pati pateikia sintaksę.

III: Sintaksė: posakis (N) yra sintaksinės kategorijos (tau) pavyzdys, o tipo teorija (yra) - sintaksinė teorija, kalbai, kuriai ji pati priklauso.

Nors kai kurie tipo teorijos vadovėliai logikui gali atrodyti gana migloti dėl to, dėl ko kyla minėtų „tipo“aiškinimų, jei tokių yra, jei tokių yra, tai dažniausiai nėra šių teorijų pradininkų atveju. Pvz., Howardas savo klasikiniame darbe „Formulės kaip tipo samprata apie statybą“rašo:

Pavadinimas turi antrą defektą; būtent tipas turėtų būti laikomas abstrakčiu objektu, o formulė yra tipo pavadinimas. (1969: 479)

ir išskiria tipus ir tipo simbolius (480).

Yra įvairių tipų teorijų nesintaksiniai modeliai, nors jie, pavyzdžiui, buvo sukurti vėliau (Scott, 1970), ir daro gana tvirtas rinkinio teorijos kardinalumo prielaidas, pavyzdžiui, neprieinamų kardinolų egzistavimą. Formalistams daug aktualesni yra „terminų modeliai“, sintaksiniai modeliai, panašūs į kalbų aiškinimus, kuriuose domeno nariais naudojami jų pačių simboliai, aiškinimai, kuriuos galima rasti Henkino išsamumo įrodymuose; ypač „sintaksinis semantinis“požiūris, kaip kai kuriuose Per Martino-Löfo intuicionizmo tipo teorijos aiškinimuose (žr. įrašą apie intuicionistinio tipo teoriją) arba Peterio Schroederio-Heisterio „įrodymo teorinėje semantikoje“(žr. teorinė semantika), kuriame vengiama bandymų suteikti reikšmes tipams ir terminams, remiantis „išorinėmis“tiesos sąlygomis:Matematinė kalba neturi būti laikoma tam tikros nepriklausomos tikrovės vaizdavimu.

Tokiame kontekste skirtumas tarp metaantaksinių ir sintaksinių „tipo“rodmenų nėra labai svarbus. Net jei „tipas“būtų laikomas grynai metateorine sąvoka, tipo teorijos aksiomos ir išvadų taisyklės leidžia mums įrodyti tipų metateoremas. Situaciją galima palyginti su nuoseklaus skaičiavimo ir natūralaus išskaičiavimo santykiu, kai buvusio posūkio koeficientas (vdash) gali būti interpretuojamas kaip išvestinės vertės santykis tam tikroje natūralioje dedukcijos sistemoje, ir nuoseklusis skaičiavimas, pateikiantis aukštesnės eilės teoremas apie objekto kalbos išvestinumas. Taigi, neatsižvelgiant į tipus kaip į metateorines sąvokas, tipo teorijos skaičiavimai yra tokie, kad galima įrodyti teoremas, kad terminas (N) yra (tau) tipo.

Dabar Curry darbas (1934 m.) Ir išsamiau su Feysu (1958 m.) Parodė tam tikrą atitikimą tarp įrodomųjų formulių sąlyginės teorijos ir pagrindinių derinių tipų tipų teorijoje. Visų pirma, kai (rightarrow) yra sąlyginis ir (alpha / Rightarrow / beta), vaizduojantis funkcijų tipus, tai yra tipai (suplanuoti ne sintaksiškai), kurių įėjimai yra tipo (alpha) funkcijos ir išėjimai. tipo (beta) funkcijas, mes turime, (čia (vdash_ {T / rightarrow}) reiškia sąlygotumo teigiamos (neaktualistinės) teorijos įrodomumą ir (vdash_ {CL}) reiškia įrodomumas naudojant tinkamą kombinuotą logiką):

(vdash_ {T / rightarrow} mathrm {A} rightarrow / mathrm {B} text {iff for some} N, / vdash_ {CL} N: / alpha / Rightarrow / beta)

kur (N) yra iš pagrindinių derinių sudarytas terminas ir (alpha) struktūriškai yra izomorfinis į A (taip pat (beta) į B). T. y., Iš A (rightarrow) B galima sugeneruoti A (Rightarrow) B, kiekvieną (rightarrow) įvykį pakeičiant (Rightarrow), atsižvelgiant į vienodą pakaitalą (galbūt trivialų). tapatumas vienas) iš senatviškų raidžių teiginių kalbos formulėse pagal pagrindinių tipų pavadinimus.

Curry ir Feys (1958) išplėtė atitikimo idėją viena iš tipo teorijos ir Gentzeno sekos skaičiavimo. Jau cituotame leidinyje, išleistame 1969 m., Tačiau tik 1980 m. Paskelbtame „Festschrift for Curry“tome, WA Howardas (1969) gilino CH korespondenciją, parodydamas, kad intuityvios sekos formos natūralus išskaičiavimas ir tipo teorija atitinka (lambda) - skaičiuojamasis formatas, apimantis intuicionistinę aritmetiką - „Heyting aritmetika“(HA) - (taigi reikia išplėsti iš visos teiginio loginę logiką) - visa tai yra konstruktyvistinės konstrukcijos sąvokos tyrimo projekto dalis.. Howardas pagilino rezultatus aiškiai nurodydamas ne tik atitikimą tarp paskaičiuotų skaičiavimų formulių ir tipo aprašymų,bet taip pat tarp terminų tipo aprašymuose ir atitinkamų formulių įrodymų.[2] Pavyzdžiui, (aktualistų siaubui) A (dešinė rodyklė) (B (dešinė rodyklė) A) yra įrodoma T (_ { dešinė rodyklė}). Atitinkamas tipas yra (alpha / Rightarrow (beta / Rightarrow / alpha)), pagrindinio operatoriaus K, kurio veiksmas yra

[NM / rhd N)

ir kurio (lambda) vaizdavimas yra ((lambda x. (lambda yx))) (paprastai sutrumpintai (lambda xy.x)), kaip matyti iš (beta) - redukcijos grandinė: [3]

[(lambda x. (lambda yx) N) M / rhd (lambda yN) M / rhd N.)

Paprasčiausias A (dešinės rodyklės) (B (dešinės rodyklės) A) įrodymas T (_ { dešinė rodyklė}) yra:

(dfrac { dfrac { dfrac {} {A} scriptsize {1}} {B / to A}} {A / to (B / to A)} scriptsize {1})

figūra 1

kuriame antrasis žingsnis, darantis tarpinę išvadą B (dešinė rodyklė) A, yra (dešinė rodyklė) I (įvadas) pavyzdys, kai laisvai išpilamas neįtariamas priešpriešinis B (sekančioje skaičiavimo versijoje - taisyklė retinimo, pridedant papildomų prielaidų ankstesniame ankstesniame skunde). Tipo teorijos įrodymas tipo teorijoje TT [4], reiškiantis termino „gyvena“tipą (alpha / Rightarrow (beta / Rightarrow / alpha)), yra toks:

(dfrac { dfrac { dfrac {} {x: a} scriptsize {x}} { lambda yx: / beta / Rightarrow / alpha}} { lambda xy.x: / alpha / Rightarrow (beta / Dešinė rodyklė / alfa)} scenarijaus dydis {x})

2 pav

Čia (lambda) abstrakcija, įvadas (lambda) terminai atitinka (rightarrow) I, taigi (lambda) terminas (lambda xy.x), kuris yra parodyta, kad tipo (alpha / Rightarrow (beta / Rightarrow / alpha)) 'kodai' yra du (rightarrow) I tipo koreliacijos tipo žingsniai, būtent taisyklė (Rightarrow), kurią įvedu. tipai, ir mes galime atkurti aukščiau pateiktą teiginio teoremos įrodymą. Be to, atsižvelgiant į glaudų ryšį tarp tipinių teorinių skaičiavimų ir tam tikrų tipų programavimo kalbų programų, TT įrodymą taip pat galime vertinti kaip tam tikro tipo skaičiavimo objekto konstravimo žingsnių programą.

Natūraliose dedukcinėse sistemose normalizavimas yra procedūra, kurios metu pašalinamos nereikalingos įgimtos kilpos. Tam tikroje logikoje (tokioje kaip intuicionistinė logika) normalizavimo metateorema laikosi ir sako mums, kad bet koks įrodymas gali būti pašalintas iš jo pertekliaus ir sumažintas iki įprastos formos. Tolesnis susirašinėjimo lygis, kurį iškėlė Howardas, susieja normalizavimą su programų „vertinimu“, kai sudėtingi terminai redukuojami iki paprasčiausių formų (tai ne visada įmanoma išraiškingiau galingų tipų sistemose).

Panašu, kad Kreisel pristatė šūkį „formulės kaip tipai“, o Martinas-Löfas buvo atsakingas už plačiau paplitusius „pasiūlymų kaip tipus“šūkį (žr. Dar kartą, Wadler, 2015). Filosofiniame kontekste „teiginys“dažnai naudojamas norint reikšti kažką panašaus į sakinio prasmę, ty tam tikros rūšies formulę. Naudojant šią terminiją, plačiai paplitusi intuicionisto pozicija yra ta, kad formulės išreikštas teiginys yra visų formulės įrodymų rinkinys (arba rūšis, intuicionistui). Atsižvelgiant į tai, kad skirtingos įrodomosios formulės atitiks skirtingus tipus, CH korespondencija leidžia mums perfrazuoti šią „sintaksikos-semantikos“poziciją taip: teiginys, išreikštas HA formule, yra jo įrodymų rūšis, kai „tipas“nėra tiesmukas. „rinkinio“arba „rūšies“sinonimas, bet sąvoka iš (lambda) - skaičiavimasKaip minėta, šis skaičiavimas yra oficiali sistema, turinti gausų ryšį su programavimu ir informatika bei rodmenimis, kuriuose tipų egzemplioriai yra grynai sintaksiniai, pavyzdžiui, teorijos įrodymai. Taigi formulės prasmė, tokiais rodmenimis išreikštas teiginys neatspindi tikrovės, besiskiriančios nuo kalbinės sistemos, kurioje formulė yra.

Taigi ryšys su intuicionizmu yra aiškus: tačiau koks yra CH atitikimas formalizmui? Visų pirma, akivaizdus kai kurių intuicionizmo formų ir tam tikrų formalistinių pozicijų sutapimas. Ne, be abejo, tėvo Brouwerio filosofinis intuityvizmas su matematinių objektų, kaip psichinių konstrukcijų ontologija, ir epistemologija, kurioje matematinės žinios grindžiamos vidiniu idėjų sekimo apmąstymu; tai matematinė metafizika, nutolusi nuo formalizmo. Tačiau daugelis konstruktyvistų, nepritardami jo metafizikai, Brouverio tapatybės nustatymui ar glaudžiam ryšiui matematinį teisingumą (tiesą, jei kas yra pasirengęs kalbėti apie matematinę tiesą) įrodė. Toks identifikavimas yra daugiau nei įgimtas tam tikram formalizmo ženklui,Tas, kuris atmeta mintį, kad matematinės tezės atspindi nuo proto nepriklausomą tikrovę ir taip pat avis dalija iš ožkų remiantis tomis, kurios kažkurioje formalioje sistemoje yra įrodomos, palyginti su tomis, kurios yra neginčijamos.

Tačiau tarp intuicionisto ir formalisto taip pat yra esminių skirtumų. Viena vertus, ne tik Brouweris, bet ir daugelis vėlesnių konstruktyvistų atsisako tapatinti įrodomumą su provalabilumu kažkokioje formalioje sistemoje. Kita vertus, formalistai paprastai jautėsi laisvi padėti klasikinei logikai ir pabrėžė laisvą matematikos kūrybiškumą: ji turėtų laisvai generuoti bet kokias matematikos teorijas, kurių ji nori, su sąlyga, kad jas atsiims tik tuo atveju, jei paaiškės, kad jos nenuoseklios (pasirinktoje foninėje logikoje).

Pirma, formalistas, žinoma, bus formalistas! Ji susies teisingumą bent jau pagrindiniu lygmeniu su oficialiu įrodymu. Taigi, CH korespondencija arba, geriau, susirašinėjimai tikrai yra labai patrauklūs formalistams. Ryšys tarp teiginių ir skaičiavimų, algoritminis terminų, koduojančių įrodymų kodavimą, redukcija į nepataisomas normalias formas, ypač tinka toms formalizmo versijoms, kurios matematikai reiškia, kad širdyje keičiami simboliai be jokių išorinių nuorodų.

Antra, tolesnis CH atitikmenų darbas apibendrino intuicionistinės logikos rezultatus su daugybe kitų logikų, ypač klasikine logika (Griffin, 1990), taip pat kitomis loginėmis sistemomis, tokiomis kaip modalinė logika ir linijinė logika.. Tuomet „Formulas-as-Types“nenustato jokio varginančio loginio apribojimo, nereikia formalistams kovoti viena ranka, susieta už jos nugaros.

Ką iš laisvos kūrybos puoselėja formalistas? Konstruktyvistinio tipo teorija, be abejo, buvo išplėsta kur kas labiau nei Heytingo aritmetika, ypač ambicingi pratęsimai yra vienatūrių pamatų projekte, paremtame homotopijos tipo teorija (Awodey, 2014). Taigi tai yra formalizmo, grindžiamo formomis, pagal tipą, forma. Tačiau formalisto, norinčio būti ne revizionistu apie nekonstruktivistinę matematiką, perspektyvos galbūt nėra tokios aiškios. Neužtenka vien tik pridėti papildomų aksiomų ar išvadų taisyklių, kurios pateikia konkrečią teoriją, standartinėje sistemoje, pvz., Pirmosios ar aukštesnės eilės kalba. Reikia įrodyti, kad šioje sistemoje yra pratęsiama CH korespondencija.

Be to, kyla klausimas ir dėl prityrimo įrodant teorinę savybę (kurią intuicionisto logika tenkina): kai (vdash) A (vee) B tada arba (vdash) A arba (vdash) B. Klasikinės teorijos paprastai neturi šios savybės ir tai sukels problemų apibendrinant CH korespondenciją ir pateisinant atskirtą vidurį (darant prielaidą, kad formalistas nepriima visų ne trivialių skaičiavimų kaip teisėtų ir jų nereikia pateisinti).. Jei matematinio teiginio teisingumas tam tikros struktūros atžvilgiu yra tapatinamas su įrodomumu ir jei disjunkcija gali būti teisinga, kai nė vienas disjunkcija nėra įrodyta, atrodo, kad formalistui reikia šiek tiek išgalvoto pėdsakų - supervaluationalizmas čia nėra akivaizdžiai tinkamas - norint pateisinti vartojimą klasikinė logika.

Taip pat yra taikymo problema, kurią Frege'as manė neįveikiančią formalistams. Ką gali reikšti taikomosios matematinės sąvokos, tokios kaip „(phi) skaičius“, kai matematinis ir ne matematinis diskursai yra maišomi? Išskyrus atvejus, kai formalistė nori nusileisti Dummeto antirealistiniam keliui ir įrodymo sampratą apibendrinti empirinei kalbai tinkama patikros idėja, ji turės rasti būdą derinti įrodymų teoretinę semantiką be per daug ad hoc. grynai matematikai su skirtinga, galbūt realistine, tiesos sąlygine semantika, empirinei kalbai.

Galiausiai reikia pažymėti, kad CH formalizmas, jei mes galime tai vadinti tokiu, bus nepriimtinas formalistui, kuris motyvuojamas antiplatonistiniais rūpesčiais ir nori pašalinti abstrakčius objektus iš visos matematikos, įskaitant metamatematiką. Konkrečių matematinių formuluočių sakinių reikšmėms, remiantis CH formalizmu, yra įrodymų rinkiniai / rūšys / tipai, o pastarieji yra abstrakčiai objektai, kurių be galo daug, savavališkai ilgo baigtinio ilgio. Kitaip tariant, meteorijos problema nebuvo išspręsta. Antiplatonistas negali tiesiai šviesiai atšaukti sintaksikos-semantikos idėjų ir pritaikyti CH korespondenciją remdamas antiplatonizmą; reikia daug daugiau filosofinių darbų.

8. Šiuolaikinis formalizmas

Vėlesni pokyčiai pirmiausia vyko formalistinio judėjimo „Hilbertian“sparne. PJ Coheno darbas dėl apibendrintos tęstinumo hipotezės parodė kartu su santykiniu Gödelio nuoseklumo įrodymu, kad dabartinės aksiomos negali išspręsti daugybės susijusių teorinių teiginių, susijusių su aibės kardinalumo ryšiu su jos galia. Neturėdami akivaizdžių, nepritaikytų būdų, kaip išplėsti aksiomas, kad būtų galima išspręsti šiuos klausimus, kai kurie matematikai, tokie kaip pats Cohenas (Cohen, 1971) ir Abraham Robinson (Robinson, 1965; 1969), privertė į realistinio aiškinimo neviltį. aukštesnės aibės teorijos. Todėl jie matematikos sritis laiko tomis sritimis, kuriose jokia tikėtina aksioma neatrodys esminių klausimų kaip „idealias“matematikos dalis, neturinčią turinio, kurį galima rasti kitose srityse.

Kalbant apie žaidimo formalizmą, nors filosofai gali apkaltinti matematikus tendencija nugrimzti į šią, atrodytų, diskredituotą poziciją, labai nedaug filosofų iškelia požiūrį, primenantį žaidimo formalistus. Gabbay (2010) ir Azzouni (2004; 2005; 2006; 2009) plaukė po formalisto vėliava. Gabbay formalizmas (kurį jis plėtoja tik cituodamas aritmetiką) užima „sodrų vidurį tarp tradicinio formalizmo, fikcionizmo, logizmo ir realizmo“(Gabbay, 2010: 219). Be to, jis rašo „Priešingai nei tradicinis (žaidybinis) formalizmas, mano pasiūlyme nebus bandoma pateikti formalių kiekvienos aritmetinės tiesos išvestinių“(Gabbay, 2010: 221).

Azzouni apibūdina savo „formalizmo versiją“(Azzouni, 2004: 105) kaip tokią, kurioje paprasti matematiniai įrodymai „nurodo“formalius darinius. Nurodymų santykis paliekamas gana atviras: Azzouni netvirtina, kad visi nurodyti dariniai priklauso vienai oficialiai sistemai; gana paprasti įrodymai gali reikšti išvestinius iš formalių darinių „šeimos“. Tačiau nurodytų darinių, Azzouni teigimu, nereikia; be abejo, konkretūs jų žetonai nebūtinai turi egzistuoti tuo pačiu laikotarpiu kaip neoficialūs įrodymai, kurie juos nurodo. Senovės Graikijos geometrijos įrodymai rodo XXI amžiaus ar vėlesnius darinius. Tiesą sakant, jie niekada neegzistuoja - jie gali būti per ilgai užrašomi (Azzouni, 2006: 154), nors šie neegzistuojantys įrodymai turėtų paaiškinti matematikų sutarimą, kurie neoficialūs įrodymai yra teisingi!Vėlesniame darbe, atrodo, Azzouni atsitraukė nuo šio (ar bet kokio) formalizmo ženklo:

Aš vis kritinėjau (prieš savo valią) manydamas, kad matematikai turi užsiimti tokiu, kaip sudėtingas sintaksinis modelio atpažinimas, nagrinėdami neoficialius matematinius įrodymus, kad jie būtų jautrūs (to nesuvokdami) neegzistuojančių formalių darinių fone. („Azzouni“, 2009: 25)

pereiti prie „išvadų paketo“matematinių samprotavimų, kurie neatrodo formalistiški: dar kartą žr. Azzouni (2009).

Tačiau yra ir kita šiuolaikinių matematikos filosofų grupė, kurių požiūriai atrodo artimi formalizmui, būtent (kai kurie iš) grožinės literatūros atstovų. Dabar terminas „fikcionistas“gali klaidinti, nes ne visi fikcionistai matematiką prilygina grožinei literatūrai. Ir net jei tai būtų padaryta, iškiltų klausimas: „Kokią filosofinę grožinės literatūros istoriją ir diskursą apie ją priima?“Daugelis filosofų atsisako realistinės išgalvotų personažų ontologijos, kaip ir daugelis atmeta matematikos realistinę platonistinę ontologiją. Labai supaprastintas frealizmo antirealizmas tokius teiginius, kaip „Oliveris Tvistas gimė Londone“, galėtų analizuoti kaip teisingus (ar teisingus), tik tuo atveju, jei tas sakinys ar jo sinonimas pasitaiko Dikenso romane (Field, 1989: 3). Net jei tai veikė grožinė literatūra, kurios ji akivaizdžiai nedarė [5]lygiagretus požiūris į matematiką yra akivaizdžiai absurdiškas. Jei žurnale paskelbiama matematikos disertacijos teorema su įrodymais ar be jų, būk tai vis dėlto garbinga, net jei šis teiginys niekada neginčijamas ir matematikos bendruomenės priimtas teiginys jokiu būdu nereiškia, kad disertacija yra tiesa (arba teisinga, jei nemėgstama taikyti tiesos predikatų matematiniams sakiniams). Atsižvelgiant į „teoremų“, kurių tariami įrodymai vėliau buvo pripažinti neteisingais, skaičių, galime būti tikri, kad kai kurios klaidos visą laiką bus neteisingai pripažįstamos įrodytomis. Be to, matematiniai teiginiai nesibaigs, kai kurie teisingi, kai kurie melagingi, niekada nepaverčiantys to matematikos literatūra ir niekada nesvarstomi realių matematikų.

Dabar Oliverio Tvisto pavyzdys priklauso fikcionizmo mokyklos įkūrėjui Hartry Fieldui, jei galime jį pavadinti tokiu. Bet jis apibūdina savo poziciją taip:

dauguma iš mūsų tikime, kad Oliveris Twistas gyveno Londone tik ta prasme, kad mes manome, jog romanas sako tai arba dėl to Oliveris Twistas gyveno Londone (1989 m., 3 m.) [pabrėžiama mano].

Ar tai bus naudinga grožinei literatūrai (Ką daryti, jei kūrinys nenuoseklus: ar reikia naudoti atitinkamą pasekmių ryšį? Kaip jis gali tvarkyti skirtingų kūrinių palyginimus, kaip aukščiau pateiktame Tolstojaus / Dostojevskio pavyzdyje?), Tai yra įdomi matematikos pozicija su neabejotinas formalistinis pervertimas. Matematikė gali pateikti bet kurią (nuoseklią) teoriją, kuri jai patinka. Teorijos tiesos tada yra tik teorijos pasekmės, nereikia galvoti, kad teorija reprezentuoja išorinę tikrovę. Fikcionizmą šia linkme ištyrė Mary Leng (2010). Tačiau pagrindinis klausimas yra: kaip skaityti žodį „pasekmė“? Formalistui tai turi būti pasekmė kaip išvestinumas. Tačiau Lena atmeta tokį svarstymą: jos fikcionizmas yra tas, kurio loginė pasekmė aiškinama ne sintaksiškai, bet modališkai,aptariamą būtinumą laikant primityviu. Taigi šis fikcionizmo porūšis negali būti klasifikuojamas kaip formalistas.

„Weir“, atvirkščiai, aiškiai apima formalizmą (1991; 1993; 2010; 2016), be to, formalizmas žaidimo formalizmo tradicijoje. Jo pozicija, jei ji yra fikcionizmo atžvilgiu, gali būti vertinama kaip tokia, kurioje „pasekmė“formalistinėje tradicijoje skaitoma sintaksiškai, kalbant apie formalų išvestinį. Pirmiausia apytiksliai teigiama, kad matematinis sakinys yra teisingas, jei egzistuoja konkretus jo ženklo išvestis, klaidingas, jei egzistuoja konkretus jo neigimo ženklo darinys. Kadangi tiesos ir klaidingumo sąlygos nekelia patrauklumo abstrakčiams įrodymams, tokio tipo formalizmas yra tvirtai antiplatonistinis.

Šis neryškiai konkretizuotas formalizmas, atrodo, susidurs su neįveikiamomis problemomis: pavyzdžiui, „konkrečiai neapsisprendžiamo“pavidalu, tos trumpos tezės su neprilygstamai ilgais įrodymais ar atitaisymais, kurios buvo minėtos pirmiau, susijusios su Goodmano ir Quine'o nominalizmu. Weiro bandymas išspręsti tokias problemas yra gana paplitęs kalbų apie „po Fregean“ar „neo Fregean“požiūris. Frege, bent jau ankstyvoje savo karjeroje, nusprendė, kad tikrąją sakinio vertę lemia du veiksniai: nusidėjimas, sakinio prasmė, pažodinė prasmė ar informacinis turinys; ir koks yra pasaulis. Sakinių, kuriuos jis iš pradžių manė, indeksiškumą ir platesnį konteksto reliatyvumą, buvo galima sutikti su prielaida, kad kalbėtojai, kurie tokius sakinius tarė ir suprato, laikė juos elipsės formos išsamesnėms frazėms, kurių prasmė fiksuota kartu su pasauliu,unikali tiesos vertybė.

Vėlesni darbai (taip pat ir paties Frege'o) atskleidė šio paveikslo netinkamumą, atskleidė, kad, pavyzdžiui, John Perry frazėje tam tikras indeksiškumas yra „būtinas“išreikštai minčiai. Aš galiu ištarti „dabar karšta“tikrai nežinodamas, kur, kada ar net kas esu (jei esu pakankamai dezorientuotas ar iš galvos). Tie, kurie nėra visiškai skeptiški, nes radikalūs kontekstualistai yra sistemingos prasmės teorijos, pakeis Frege'o požiūrį į trišalį. Konkrečiame kontekste sakinio tikrąją vertę lemia jo informacinis turinys, kontekstinės aplinkybės, susijusios su, „pritaikytomis“kalbėtojų kalbėjimo praktikos aspektams, ir pagaliau nuo proto ir nuo kalbos nepriklausomo pasaulio. Kontekstinės aplinkybės neturi būti išdėstytos pasakymo prasme ar informaciniu turiniu;todėl jų specifikacija gali apimti datas ir vietas, nors tai nėra „dabar karšta“prasmės dalis (palyginkite Kaplano charakterio ir turinio skirtumą, ypač antrąjį „turinio“pojūtį, aptartą jo 1989 m. (fn 28, 503).)).

Šis paveikslas savo ruožtu rodo mintį, kad kontekstinės aplinkybės, kurios „išsipildo“kartu su nepriklausoma tikrove, yra pasakymas, kad ji gali tapti tikroviška. „Weir“žaidimo formalizmo versijoje pagrindinė mintis yra ta, kas daro tiesą (arba klaidingą) (tekstas {'} sin ^ 2 / theta + / cos ^ 2 / theta = 1 / text {'}) konkreti sistema yra konkretaus įrodymo ar paneigimo buvimas, nors teiginys, kad toks konkretus įrodymas egzistuoja, nėra nei ieškinio tiesioginės prasmės, nei prasmės dalis.

Šio tipo formalizmo pranašumas yra tas, kad jis ne tik patvirtina matematinių posakių prasmingumą, prasmės turėjimą; aštriai prieštaraudamas tradiciniam žaidimo formalizmui, jis mano, kad tokie posakiai turi tiesos vertybes, kai egzistuoja įrodymai ar paneigimai. Metateorijos problema išspręsta, jei po 1947 m. Goodmano ir Quine'o pavyzdžių galima pateikti nematematinę konkrečių įrodymų ataskaitą. Žinoma, kaip minėta pirmiau, rimtų problemų išlieka. Taikymo problemą reikia išspręsti pateikiant, pavyzdžiui, konservatyvius pratęsimo įrodymus. Ir, be abejo, teorijai gresia ne tik Gödelio tipo neišsamumas ir nenuginčijami, bet intuityviai vertinami tiesos sakiniai, kuriuos ji meta;dar labiau niokojantys neapibrėžtumo laipsniai yra „konkrečiai neišsprendžiami“sakiniai, tokie kaip Tennanto reikalavimas dėl 5 skirsnio primityvumo.

Viena iš šių problemų sprendimo strategijų yra derinti formalizmą su griežtu baigtinumu (vienam prekės ženklui žr. Yessinin-Volpin (1961; 1970) ir kritikai Dummett (1975)): tik praktiškai ilgus „virškinamus“formulių ir įrodymų žetonus. Formulėms, neturinčioms įmanomų įrodymų ar atskyrimų, paprasčiausiai trūksta tiesos vertės. Kadangi iš Gödelian pagreitinimo svarstymų žinome, kad daugeliui įrodomų sakinių trumpiausi jo ar jo paneigimai yra žymiai ilgesni už patį sakinį, šis finitistas / formalizmas pozicija gali sukelti sumaištį didelėse visiškai įprastos matematikos srityse.

Weir teigia (2010; 2016), kad finitizmo formalizmas yra ne tik nepaprastai radikalus, bet ir nenuoseklus. Priežastis yra visaapimantis santrumpos, kuria generuojami sudėtingi žetonai, kuriuose niekada nebus jų dalies, pavyzdys, pvz., Santrumpos, sukuriančios skaitmenis, įvardijančius (kalbančius su platonistu) savavališkai didelius skaičius. Dėl to griežtos finitistinės specifikacijos negali būti pateikiamos įprastu indukciniu būdu, nes visų indukcinių rinkinių, turinčių bazinį rinkinį, susikirtimas atliekant sudėtingumo formavimo operacijas. O tai savo ruožtu reiškia, kad mes negalime įrodyti net labai paprastų faktų apie dirbinius ir įrodymus.

Taigi idealizavimas yra būtinas metamatematikoje, įskaitant idealizuotas tiesos ir įrodymų sąvokas, randamas metamatematikoje. Jei formalistas turi teisę tvirtinti, kad yra be galo daug primimų, nors ir neigiami abstraktūs objektai egzistuoja, neatrodo, kad ji negali tvirtinti, jog egzistuoja be galo daug formulių ar be galo daug įrodymų, tuo pačiu paneigdama abstrakčių objektų egzistavimą. Todėl Weir (2016: 38–39) tvirtina, kad formalistas gali atsakyti į konkrečių nenuginčijamų dalykų problemą, jei yra konkretūs rezultatų įrodymai (arba įrodymų eskizai), patvirtinantys, kad tam tikros kalbos ar pogrupio kalba yra oficiali tiesa, sutampa su oficialiu įrodomumu, ir nėra jokios priežasties riboti idealizavimą finikietiškoms kalboms.

Apibendrinant, formalistas, kuris pasisako už standartinių matematikos teorijų prasmingumą ir tiesą, įskaitant, pavyzdžiui, įrodymų teoriją, turi daugiau išteklių tokiems teiginiams patenkinti nei klasikinis žaidimo formalizmas. Kyla klausimas, ar to užtenka išgelbėti poziciją, kurią, teisinga sakyti, dauguma matematikos filosofų vis dar mano apie beviltišką. Kita vertus, tikrai nėra visuotinio sutarimo, kad formalizmas yra miręs ir palaidotas, bei kai kurių matematikų ir kompiuterių mokslininkų stiprios užuojautos formalizmui požymių.

Bibliografija

  • Awodey, Steve, 2014 m., „Struktūralizmas, invariancija ir universalumas“, Philosophia Mathematica (III), 22: 135–159.
  • Azzouni, Jody, 2004 m., „Matematinės praktikos išvestinis rodiklis“, „Philosophia Mathematica“, (III) 12: 81–105.
  • ––– 2005 m., „Kaip įvardyti formalizmą“, Philosophia Mathematica (III), 13: 135–159.
  • ––– 2006 m., Stebėjimo priežastis: įrodymas, pasekmės ir tiesa, Oksfordas: Oxford University Press (ypač 7 skyrius).
  • ––– 2009 m., „Kodėl neoficialūs įrodymai atitinka formalias normas“, Mokslo pagrindai, 14: 9–26.
  • „Barendregt“, HP, 1984 m., „Lambda Calculus“, Amsterdamas: Šiaurės Olandija.
  • Boolos, George, 1987 m., „Smalsūs teiginiai“, žurnalas apie filosofinę logiką, 16: 1–12; perspausdintas žurnale „George Boolos“, „Logic, Logic and Logic Cambridge“, MA: Harvard University Press, 1998, 376–82.
  • Carnap, Rudolf, 1934 [1937], „Logische Syntax der Sprache“, Viena: „Springer“; išvertė A. Smeaton kaip loginę kalbos sintaksę, Londonas: Keganas, Paulius, „Trench“, „Trubner & Co.“1937 m.
  • ––– 1950 m. [1956 m.], „Empirizmas, semantika ir ontologija“, Revue Internationale de Philosophie, 4: 20–40; perspausdinta „Reikšmė ir būtinybė“, Čikaga: University of Chicago Press, 2-asis leidimas, 1956: 205–221.
  • Bažnyčia, Alonzo, 1932 m., „Postulatų rinkinys logikos pagrindui“, Matematikos metraščiai, 33 (2): 346–366.
  • ––– 1940 m., „Paprastos tipų teorijos formulavimas“, Žurnalas „Symbolic Logic“, 5 (2): 56–68.
  • Cohenas, Paulius, 1971 m., „Komentarai apie aibės teorijos pagrindus“, Dana Scotto (red.), Aksiomatinė rinkinio teorija: Grynos matematikos simpoziumų medžiaga (13 tomas), Apvaizda: Amerikos matematikos draugija: 9–15.
  • Curry, Haskell, 1951 m., Formalistinės matematikos filosofijos metmenys, Amsterdamas: Šiaurės Olandija.
  • Curry, Haskell ir Feys, Robertas, 1958 m., Kombinuotoji logika, Amsterdamas: Šiaurės Olandija.
  • Detlefsen, Michael, 1993 m., „Hilberto formalizmas“, Revue Internationale de Philosophie, 47 (186): 285–304.
  • ––– 2005 m., „Formalizmas“, Stewart Shapiro (red.), Oksfordo Matematikos ir logikos filosofijos vadovas, Oksfordas: Oxford University Press, 236–317.
  • Dummettas, Michaelas, 1975 m., „Wang's Paradox“, Synthese, 30 (3/4): 301–324, perspausdintas „Tiesa ir kiti Enigmaai“Londone: Duckworth, 248–268.
  • –––, 1991 m., Frege, Matematikos filosofija, Londonas: Duckworth.
  • Field, Hartry, 1989 m., Realizmas, matematika ir būdai, Oksfordas: Blackwellas.
  • Floydas, Džuljeta, 2002 m., „Skaičius ir skaičiaus aprašymai Vitgenšteino traktate“, „Nuo Frege iki Wittgenstein: Ankstyvosios analitinės filosofijos perspektyvos“, Erich H. Reck (red.), Oxford: Oxford University Press, 308–352.
  • Floydas, Džuljeta ir Putnamai, Hilary, 2000 m., „Pastaba apie Wittgensteino„ Notorious punktą “apie Gödel teoremą“, Journal of Philosophy, 97: 624–632.
  • Frege, Gottlob, 1903 m., Grundgesetze der Arithmetik, Begriffsschriftlich Abgeleitet (II tomas), Jena: Pohle; perspausdintas 1962 m., Hildesheimas: George'as Olmsas.
  • –––, 1903/1980 m., „Frege prieš formalistus: Frege II tomas, 1903, §§ 13–137), Black and Geach (1980): 162–213.
  • Gabbay, Michaelas, 2010 m., „Formalistinė matematikos filosofija, I dalis: Aritmetika“, „Studia Logica“, 96: 219–238.
  • Giaquinto, Marcus, 2002, tikrumo paieška, Oksfordas: Clarendonas. (Žr. Ypač 210ff).
  • Gödel, Kurt, 1953–9, „Ar matematikos kalbos sintaksė“, S. Feferman ir kt. (red.), Kurt Gödel: Surinkti darbai (III tomas), Niujorkas: Oxford University Press, 1995: 334–362,
  • Goldfarbas, Warrenas, 1995 m., „Įvadas į Gödelio„ Ar matematikos kalbos sintaksė ““, S. Feferman et al. (Red.), Kurt Gödel: Surinkti darbai (III tomas), Niujorkas: Oxford University Press, 1995: 324–34.
  • Goodmanas, Nelsonas ir Quine'as, WV, 1947 m., „Žingsniai konstruktyvaus nominizmo link“, Žurnalas „Symbolic Logic“, 12: 97–122.
  • Griffinas, Timothy, 1990 m., „A formulės - kaip tipų kontrolės sąvoka“, programavimo kalbų principai, Skaičiavimo mašinų asociacija, 47–58.
  • Hintikka, Jaakko, 1956 m., „Tapatybė, kintamieji ir netaktiški apibrėžimai“, Journal of Symbolic Logic, 21: 225–45.
  • Howardas, WA, 1969 m., „Formulės kaip tipo sąvoka“, Seldine, JP ir Hindley, JR (red. Past.) HB Curry: Esė apie kombinuotą logiką, Lambda skaičiavimas ir formalizmas, Londonas: „Academic Press“, 1980 m.: 479–490.
  • Hylton, Peter, 1997 m. „Funkcijos, operacijos ir pojūtis Vitgenšteino traktate“, WW Tait (red.), Ankstyvoji analitinė filosofija: Frege, Russell, Wittgenstein: esė Leonardo Linsky garbei, Čikaga: Atviras teismas: 91–106.
  • Kaplan, Davidas, 1989, „Demonstratives“, J. Almog, J. Perry ir H. Wettstein (red.), Temos iš Kaplan, Niujorkas: Oxford University Press, 481–563.
  • Kleene, Stephen ir Rosser, JB, 1935 m., „Tam tikros formalios logikos nenuoseklumas“, Matematikos metraštis, 36: 630–636.
  • Landini, Gregory, 2007 m., Wittgensteino pameistrystė su Russellu, Kembridžas: Cambridge University Press.
  • Leng, Mary, 2010, Matematika ir realybė, Oksfordas: Oxford University Press.
  • Lewy, Kazimiras, 1967 m., „Pastaba apie Traktato tekstą“Protas, 76: 416–423.
  • Martin-Löf, Per, 1975 m., „Intuicionistinė tipų teorija: numatomoji dalis“, loginiame kolokviume '73, HE Rose ir J. Shepherdson (red.), Amsterdamas: Šiaurės Olandija: 73–118.
  • Poteris, Michaelas, 2000 m., Protas artimiausias giminaitis, Oksfordas: Oxford University Press; ypač žr. 10–17 ir 6 skyrius.
  • Resnik, Michaelas, 1980 m., Frege ir matematikos filosofija, Ithaca: Kornelio universiteto leidykla, 1980 m.
  • Robinsonas, Abraomas, 1965 m., „Formalizmas“, Bar-Hillel et al. (red.) Logika, metodologija ir mokslo filosofija, Amsterdamas: Šiaurės Olandija.
  • ––– 1969 m., „Formalisto požiūriu“, Dialektika, 23: 45–9.
  • Scottas, Dana, 1970 m., „Konstruktyvus galiojimas“, Automatikos demonstravimo simpoziume (Versalis, 1968 m. Gruodis), M. Laudet, D. Lacombe, L. Nolin ir M. Schützenberg (red.), Matematikos paskaitų užrašai (125 tomas).), Berlynas: „Springer“, 237–275.
  • Shapiro, Stewart, 2000, Mintys apie matematiką, Oksfordas: Oxford University Press.
  • Simons, Peter, 2009, „Formalizmas“Andrew D. Irvine'e (red.), Matematikos filosofija, Amsterdamas: Šiaurės Olandija: 291–310.
  • Tennant, Neil, 1997, Tikroji apgauti, Oksfordas: Clarendon Press.
  • ––– 2008 m., „Carnap, Gödel, ir aritmetinės analizės analizė“, Philosophia Mathematica, 16: 110–12.
  • Wadler, Philipas, 2015 m., „Pasiūlymai kaip tipai“, Kompiuterių mašinų asociacijos pranešimai, 58: 75–84.
  • Wehmeier, Kai, 2004 m., „Wittgensteinian Predicate Logic“, „Notre Dame Journal of Formal Logic“, 45: 1–11.
  • Weir, Alanas, 1991 m., „Instructive Nominalism“: Kritinė H. Lauko apžvalga: realizmas, matematika ir būdai, Filosofinės knygos, 32: 17–26.
  • ––– 1993 m., „Putnam, Gödel ir matematinis realizmas“, Tarptautinis filosofinių studijų žurnalas, 1: 255–285.
  • ––– 2010 m., Tiesa per įrodymus: Formalistinis matematikos fondas, Oksfordas: Oxford University Press.
  • ––– 2016 m., „Neoficialus įrodymas, oficialus įrodymas ir formalizmas“, Simbolinės logikos apžvalga, 9: 23–43.
  • Wittgenstein, Ludwig, 1921/1960, „Tractatus Logico-Philosophicus“, D. Pears ir B. McGuinness (trans.), London: Routledge ir Kegan Paul.
  • –––, 1956/1978 m., Pastabos apie matematikos pagrindus, pataisytas leidimas, GEM Anscombe (trans.), GEM Anscombe, R. Rhees ir GH von Wright, (red.), Oxford: Blackwell.
  • –––, 1975 m., Filosofinė gramatika, A. Kenny (trans.), Rush Rees (red.), Oksfordas: Blackwellas.
  • Yessenin-Volpin, A., 1961 m., „Le Program Ultra-Intuitionniste Des Fondements Des Mathématiques“. Infinitistic Methods, Simpoziumo apie matematikos pagrindus tema, Oksfordas: Pergamon Press, 201‐223.
  • ––– 1970 m., „Ultraintuicionistinė kritika ir antitradicinė programa matematikos pagrindams“, A. Kino, J. Myhill ir R. Vesley (red.), Intuicionizmas ir įrodymo teorija, Amsterdamas: Šiaurės - Olandija, 3–45.

Akademinės priemonės

sep vyro ikona
sep vyro ikona
Kaip pacituoti šį įrašą.
sep vyro ikona
sep vyro ikona
Peržiūrėkite šio įrašo PDF versiją „Friends of the SEP“draugijoje.
info piktograma
info piktograma
Ieškokite šios įrašo temos interneto filosofijos ontologijos projekte (InPhO).
„Phil Papers“piktograma
„Phil Papers“piktograma
Patobulinta šio įrašo „PhilPapers“bibliografija su nuorodomis į jo duomenų bazę.

Kiti interneto šaltiniai

„Ar matematikai reikia filosofijos?“, Pateikė matematikas Timothy Gowersas, pristatęs labai formalistinį požiūrį į matematiką

[Kreipkitės į autorių ir pateikite daugiau pasiūlymų.]

Rekomenduojama: