Hilberto Programa

Turinys:

Hilberto Programa
Hilberto Programa

Video: Hilberto Programa

Video: Hilberto Programa
Video: Gilberto Viadana (ITA) - 1992 Albertville, Men's Original Program (Secondary Broadcast Feed) 2024, Kovo
Anonim

Įėjimas Navigacija

  • Įstojimo turinys
  • Bibliografija
  • Akademinės priemonės
  • Draugai PDF peržiūra
  • Informacija apie autorius ir citata
  • Atgal į viršų

Hilberto programa

Pirmą kartą paskelbta 2003 m. Liepos 31 d.; esminė peržiūra 2019 m. gegužės 24 d

1920 m. Pradžioje vokiečių matematikas Davidas Hilbertas (1862–1943) pateikė naują klasikinės matematikos pagrindų pasiūlymą, kuris tapo žinomu kaip Hilberto programa. Reikalaujama įforminti visą matematikos aksiomatinę formą kartu su įrodymu, kad ši matematikos aksiomatizacija yra nuosekli. Pats nuoseklumo įrodymas turėjo būti atliekamas naudojant tik tai, ką Hilbertas pavadino „finiškais“metodais. Ypatingas epistemologinis baigtinių samprotavimų pobūdis suteikia reikiamą klasikinės matematikos pagrindimą. Nors Hilbertas tokios formos programą pasiūlė tik 1921 m., Įvairūs jos aspektai grindžiami pagrindiniu jo darbo, vykstančio maždaug iki 1900 m., Darbu, kai jis pirmą kartą atkreipė dėmesį į būtinybę pateikti tiesioginį nuoseklumą įrodantį analizę. Dirbant su šia programa, 1920 m. Buvo padaryta didelė pažanga. Tai padėjo logistai, tokie kaip Paulius Bernaysas, Wilhelmas Ackermannas, Johnas von Neumannas ir Jacquesas Herbrandas. Tai taip pat padarė didelę įtaką Kurtui Gödeliui, kurio darbas dėl neišsamumo teoremų buvo motyvuotas Hilberto programa. Gödelio darbas paprastai parodo, kad Hilberto programa negali būti vykdoma. Nepaisant to, ji ir toliau išliko įtakinga matematikos filosofijos pozicija, ir, pradedant Gerhardo Gentzeno darbu praėjusio amžiaus trečiajame dešimtmetyje, darbas vadinamosiose atnaujintose Hilberto programose buvo pagrindinis įrodymo teorijos vystymo pagrindas.kurių darbas dėl neišsamumo teoremų buvo motyvuotas Hilberto programa. Gödelio darbas paprastai parodo, kad Hilberto programa negali būti vykdoma. Nepaisant to, ji ir toliau išliko įtakinga matematikos filosofijos pozicija, ir, pradedant Gerhardo Gentzeno darbu praėjusio amžiaus trečiajame dešimtmetyje, darbas vadinamosiose atnaujintose Hilberto programose buvo pagrindinis įrodymo teorijos vystymo pagrindas.kurių darbas dėl neišsamumo teoremų buvo motyvuotas Hilberto programa. Gödelio darbas paprastai parodo, kad Hilberto programa negali būti vykdoma. Nepaisant to, ji ir toliau išliko įtakinga matematikos filosofijos pozicija, ir, pradedant Gerhardo Gentzeno darbu praėjusio amžiaus trečiajame dešimtmetyje, darbas vadinamosiose atnaujintose Hilberto programose buvo pagrindinis įrodymo teorijos vystymo pagrindas.

  • 1. Istorinė Hilberto programos raida

    • 1.1 Ankstyvas darbas prie pamatų
    • 1.2 Principia Mathematica įtaka
    • 1.3 Finitizmas ir nuoseklumo įrodymų siekimas
    • 1.4 Gödelio neišsamumo teoremų poveikis
  • 2. Finikinis požiūris

    • 2.1 Finišalai ir finitistinė epistemologija
    • 2.2 Finiški prasmingi teiginiai ir baigtinis samprotavimas
    • 2.3. Karinės operacijos ir jų įrodymas
  • 3. Formalizmas, redukcionizmas ir instrumentalizmas
  • 4. Hilberto programa ir Gödelio neišsamumo teoremos
  • 5. Peržiūrėtos Hilberto programos
  • Bibliografija
  • Akademinės priemonės
  • Kiti interneto šaltiniai
  • Susiję įrašai

1. Istorinė Hilberto programos raida

1.1 Ankstyvas darbas prie pamatų

Hilbert'o darbas, susijęs su matematikos pagrindais, grindžiamas 1890-ųjų geometrijos darbu, kurio kulminacija yra jo įtakingas vadovėlis „Geometrijos pagrindai“(1899) (žr. 19 amžiaus geometriją). Hilbertas manė, kad norint tinkamai išplėtoti bet kurį mokslinį dalyką, reikia aksiomatinio požiūrio. Teikiant aksiomatinę terapiją, teorija būtų plėtojama neatsižvelgiant į intuicijos poreikį ir tai palengvintų loginių ryšių tarp pagrindinių sąvokų ir aksiomų analizę. Taigi, labai svarbus aksiomatiniam gydymui yra Hilbertas, nepriklausomybės ir, svarbiausia, aksiomų nuoseklumo tyrimas. Geometrijos aksiomų nuoseklumas gali būti įrodytas pateikiant sistemos aiškumą tikroje plokštumoje, taigigeometrijos nuoseklumas sumažinamas iki analizės nuoseklumo. Žinoma, pats analizės pagrindas reikalauja aksiomatizacijos ir nuoseklumo. Hilbertas pateikė tokią aksiomatizaciją (1900b), tačiau labai greitai tapo aišku, kad analizės nuoseklumas susiduria su dideliais sunkumais, visų pirma todėl, kad palankiausias būdas pateikti analizės pagrindą Dedekind darbe rėmėsi abejotinomis prielaidomis, panašiomis į tas, kurios veda. prie rinkinio teorijos paradoksų ir Russello paradokso Frege'o aritmetikos pagrindais.ypač todėl, kad palankiausias būdas pateikti analizės pagrindą Dedekind'o darbe rėmėsi abejotinomis prielaidomis, panašiomis į tas, kurios veda prie rinkinio teorijos paradoksų ir Russello paradokso Frege'o aritmetinėje.ypač todėl, kad palankiausias būdas pateikti analizės pagrindą Dedekind'o darbe rėmėsi abejotinomis prielaidomis, panašiomis į tas, kurios veda prie rinkinio teorijos paradoksų ir Russello paradokso Frege'o aritmetinėje.

Taigi Hilbertas suprato, kad reikalingas tiesioginis analizės nuoseklumo įrodymas, ty tas, kuris nėra pagrįstas redukcija į kitą teoriją. 1900 m. (1900a) kreipimesi į Tarptautinį matematikų kongresą (1900a) jis pasiūlė rasti tokį įrodymą, kaip antrąjį iš 23 savo matematinių problemų, ir pateikė tokio įrodymo eskizą savo Heidelbergo pokalbyje (1905). Keletas veiksnių atidėliojo tolesnę Hilbert'o pagrindinės programos plėtrą. Galbūt tai buvo Poincaré (1906) kritika prieš tai, ką jis įžvelgė kaip žiauriai apskritą indukcijos naudojimą Hilberto pateiktame eskizo konsistencijos įrodyme (žr. Steiner 1975, Priedas). Hilbertas taip pat suprato, kad aksiomatiniams tyrimams reikia gerai parengto loginio formalizmo. Tuo metu jis rėmėsi logikos samprata, paremta algebrine tradicija, ypač Schröderio darbais,kuris nebuvo ypač tinkamas kaip matematikos aksiomatizmo formalizmas. (Žr. „Peckhaus 1990“apie ankstyvą Hilberto programos kūrimą.)

1.2 Principia Mathematica įtaka

Russello ir Whiteheado leidinio „Principia Mathematica“publikavimas pateikė reikiamą loginį pagrindą atnaujintam išpuoliui dėl pamatinių klausimų. Nuo 1914 m. Hilberto studentas Heinrichas Behmannas ir kiti tyrinėjo Principijos sistemą (žr. Mancosu 1999 m. Apie Behmann vaidmenį Hilbert mokykloje). Pats Hilbertas grįžo prie pagrindinių reikalų 1917 m. 1917 m. Rugsėjį jis pateikė pranešimą Šveicarijos matematikų draugijai „Aksiomatinė mintis“(1918a). Tai yra jo pirmasis paskelbtas įnašas į matematinius pagrindus nuo 1905 m. Jame jis dar kartą pabrėžia aksiomatinių sistemų nuoseklumo įrodymų reikalavimą: „Pagrindinis aksiomų teorijos reikalavimas turi būti platesnis [nei vien tik vengti žinomų paradoksų], būtent:parodyti, kad absoliučiai neįmanomi kiekvienoje žinių srityje prieštaravimai, pagrįsti pagrindine aksiomų sistema “. Jis pateikia aritmetikos (ir aibės teorijos) nuoseklumo įrodymą kaip pagrindinę atvirą problemą. Abiem atvejais atrodo, kad nėra nieko svarbesnio, kurio nuoseklumą būtų galima sumažinti, išskyrus pačią logiką. Tada Hilbertas manė, kad šią problemą iš esmės išsprendė Russello darbas Principijoje. Nepaisant to, kitos pagrindinės aksiomatikos problemos liko neišspręstos, įskaitant „kiekvieno matematinio klausimo sprendimo“problemą, kuri taip pat sietina su Hilberto 1900 m. Adresu.atrodo, kad nėra nieko fundamentalesnio, kurio nuoseklumą būtų galima sumažinti, išskyrus pačią logiką. Tada Hilbertas manė, kad šią problemą iš esmės išsprendė Russello darbas Principijoje. Nepaisant to, kitos pagrindinės aksiomatikos problemos liko neišspręstos, įskaitant „kiekvieno matematinio klausimo sprendimo“problemą, kuri taip pat sietina su Hilberto 1900 m. Adresu.atrodo, kad nėra nieko fundamentalesnio, kurio nuoseklumą būtų galima sumažinti, išskyrus pačią logiką. Tada Hilbertas manė, kad šią problemą iš esmės išsprendė Russello darbas Principijoje. Nepaisant to, kitos pagrindinės aksiomatikos problemos liko neišspręstos, įskaitant „kiekvieno matematinio klausimo sprendimo“problemą, kuri taip pat sietina su Hilberto 1900 m. Adresu.

Šios neišspręstos aksiomatikos problemos paskatino Hilbertą dėti daug pastangų logikos darbui kitais metais. 1917 m. Prie jo padėjėju Getingene prisijungė Paulius Bernays. 1917–1921 m. Kursų serijoje Hilbertas, padedamas Bernays ir Behmann, padarė reikšmingą naują indėlį į formaliąją logiką. Kursuose nuo 1917 m. (Hilbert, 1918b), visų pirma, pateikiamas sudėtingas pirmosios eilės logikos vystymas ir tai yra Hilberto ir Ackermanno vadovėlio teorinės logikos principai (1928) pagrindas (žr. Ewald ir Sieg, 2013, Sieg, 1999, ir Zach, 1999, 2003).

1.3 Finitizmas ir nuoseklumo įrodymų siekimas

Tačiau per ateinančius kelerius metus Hilbertas atmetė Russello logistinį aritmetikos nuoseklumo problemos sprendimą. Tuo pat metu intuityvi Brouwerio matematika įgijo valiutą. Visų pirma, Hilberto buvęs studentas Hermannas Weylas perėjo į intuiciją. Weyl'io knygai „Nauja pamatinė matematikos krizė“(1921) Hilbertas atsakė per tris pokalbius Hamburge 1921 m. Vasarą (1922b). Čia Hilbertas pateikė savo pasiūlymą, kaip išspręsti matematikos pagrindų problemą. Į šį pasiūlymą buvo įtrauktos Hilberto idėjos nuo 1904 m., Susijusios su tiesioginiais nuoseklumo įrodymais, jo aksiomatinių sistemų samprata, taip pat su matematikos aksiomatizacijos technine raida Russello darbe, taip pat su jo ir jo bendradarbių vykdoma tolimesne plėtra. Nauja buvo tai, kaip Hilbertas norėjo savo nuoseklumo projektą įamžinti su filosofine reikšme, reikalinga atsakyti į Brouwerio ir Weyl'o kritiką: baigtiniu požiūriu.

Anot Hilberto, yra privilegijuota matematikos dalis, turinio elementarioji skaičių teorija, kuri remiasi tik „grynai intuityviais konkrečių ženklų pagrindais“. Nors operacija su abstrakčiomis koncepcijomis buvo laikoma „nepakankama ir neapibrėžta“, egzistuoja sfera

ypač logiški atskiri objektai, intuityviai egzistuojantys kaip tiesioginė patirtis prieš visa mintį. Jei loginės išvados yra tikros, šiuos objektus turi būti galima visiškai apžiūrėti visose jų dalyse, o jų pateikimas, skirtumas, jų eiliškumas (kaip ir patys objektai) turi egzistuoti mums iškart, intuityviai, kaip tai, kas negali būti redukuotam į ką nors kitą. (Hilbert 1922b, 202; ištrauka beveik pažodžiui pakartota Hilbert 1926, 376, Hilbert 1928, 464 ir Hilbert 1931b, 267)

Šie objektai Hilbertui buvo ženklai. Turinio skaičiaus teorijos sritis susideda iš baigtinių skaičių, ty brūkšnių sekų. Jie neturi jokios reikšmės, ty jie nereiškia abstrakčių objektų, tačiau juos galima valdyti (pvz., Sujungti) ir palyginti. Jų savybių ir ryšių pažinimas yra intuityvus ir nepagrįstas loginių išvadų. Remiantis Hilbert'u, tokiu būdu išplėtota turinio skaičiaus teorija yra saugi: prieštaravimų negali atsirasti vien todėl, kad turinio skaičiaus teorijos teiginiuose nėra loginės struktūros.

Intuityvios-teigiamos operacijos su ženklais sudaro Hilberto metamatematikos pagrindą. Kaip ir turinio skaičiaus teorija veikia su brūkšnių sekomis, taip ir metamatematika veikia su simbolių sekomis (formulėmis, įrodymais). Formulėmis ir įrodymais galima sintatiškai manipuliuoti, o formulių ir įrodymų savybės ir santykiai panašiai pagrįsti intuityvia logine galimybe, kuri garantuoja žinių apie formules ir įrodymus, gautus atliekant tokias sintaksines operacijas, tikrumą. Tačiau pati matematika veikia abstrakčiomis sąvokomis, pvz., Kiekybiniais rodikliais, rinkiniais, funkcijomis ir naudoja logines išvadas, pagrįstas tokiais principais kaip matematinė indukcija arba pašalintos vidurio principas. Brouweris ir kiti kritikavo šias „sąvokų formacijas“ir samprotavimo būdus remdamiesi tuo, kad jie daro prielaidą kaip begalinį pateiktą visumą arba kad jie apima netaktiškus apibrėžimus (kuriuos kritikai laikė žiauriai apvaliais). Hilberto tikslas buvo pateisinti jų naudojimą. Šiuo tikslu jis atkreipė dėmesį į tai, kad jas galima įforminti aksiomatinėmis sistemomis (tokiomis, kaip Principija arba tas, kurias sukūrė pats Hilbertas), o matematiniai teiginiai ir įrodymai tokiu būdu virsta formulėmis ir dariniais iš aksiomų pagal griežtai apibrėžtas išvedimo taisykles. Matematika, taigi Hilbertas, „tampa įrodomų formulių aprašymu“. Tokiu būdu matematikos įrodymai yra tiriami metamatematiškai, turiniu. Tada Hilberto programos tikslas yra pateikti turinį,metamatematinis įrodymas, kad negali būti prieštaravimo išvestinių, ty nėra formulės (A) ir jos neigimo (neg A) formalių darinių.

Šį programos tikslų eskizą sukonkretino Hilbertas ir jo bendradarbiai per ateinančius 10 metų. Konceptualiu atžvilgiu baigtinį požiūrį ir nuoseklumo įrodymo strategiją sukūrė Hilbertas (1928); Hilbertas (1923); Hilbertas (1926) ir Bernays (1928b); Bernai (1922); Bernays (1930), iš kurių Hilberto straipsnis „Apie begalybę“(1926) pateikia išsamiausią finišo pobūdį. Be Hilberto ir Bernayso, techninis programos kūrimas buvo susijęs ir su kitais žmonėmis. Göttingene (Hilbert ir Bernays, 1923; Hilbert, 1922a) skaitomose paskaitose Hilbert ir Bernays sukūrė (varepsilon) skaičiavimą kaip galutinį aritmetikos ir analizės aksiomų sistemų formalizmą. Hilbertas taip pat pristatė savo požiūrį į nuoseklumo įrodymų pateikimą, naudodamas vadinamąjį (varepsilon) - pakeitimo metodą. Ackermannas (1924) bandė išplėsti Hilbert'o idėją iki analizės sistemos. Tačiau įrodymas buvo klaidingas (žr. Zach 2003). Johnas von Neumannas, tada lankęsis Getingene, pateikė pataisytą (varepsilon) - formalizmo sistemos (tačiau neįtraukiančios indukcijos aksiomos) nuoseklumą 1925 m. (Paskelbta 1927 m.). Remdamasis von Neumanno darbu, Ackermannas sugalvojo naują pakeitimo (varepsilon) pakeitimo procedūrą, apie kurią pranešė Bernams (žr. Bernays 1928b). Savo pranešime „Matematikos pagrindimo problemos“Tarptautiniam matematikų kongrese Bolonijoje 1928 m. (1929)Hilbertas optimistiškai teigė, kad Ackermanno ir von Neumanno darbai patvirtino skaičių teorijos nuoseklumą ir kad Ackermann jau atliko analizės įrodymus „tiek, kiek vienintelė likusi užduotis yra elementarios baigtinumo teoremos įrodymas, kad yra grynai aritmetinis “.

1.4 Gödelio neišsamumo teoremų poveikis

Gödelio neišsamumo teoremos parodė, kad Hilberto optimizmas buvo netinkamas. 1930 m. Rugsėjo mėn. Kurt Gödel konferencijoje Karaliaučiuje paskelbė savo pirmąją neišsamumo teoremą. Žiūrovas Von Neumannas iškart pripažino Gödelio rezultato reikšmę Hilberto programai. Netrukus po konferencijos jis parašė Gedeliui, sakydamas, kad rado išvadą apie Gedelio rezultatą. Gödelis tą patį rezultatą rado jau savarankiškai: antroji neišsamumo teorema, tvirtindama, kad Principia sistema neįrodo teiginio, kad Principia sistema yra nuosekli (jei ji yra), įteisinimo. Vis dėlto iki šiol buvo manoma, kad visi finiško samprotavimo metodai, naudojami nuoseklumo įrodymuose, gali būti įteisinami Principijoje. Vadinasi,jei Principijos nuoseklumą būtų galima įrodyti Ackermanno įrodymuose naudojamais metodais, turėtų būti įmanoma šį įrodymą įforminti Principijoje; bet štai kas yra antroji neišsamumo teoremos būsena. Be to, Bernays suprato Gödelio rezultatų svarbą iškart po to, kai 1931 m. Sausio mėn. Išstudijavo Gödelio dokumentą, rašydamas Gödel'iui, kad (darant prielaidą, kad principiniai principai gali būti formalizuoti Principijoje), neišsamumo teorema parodo, kad Principijos baigtinis nuoseklumas nėra įrodytas. Neilgai trukus von Neumannas parodė, kad Ackermanno konsistencijos įrodymas yra ydingas, ir pateikė pavyzdinį siūlomos (varepsilon) pakeitimo procedūros pavyzdį (žr. Zach 2003).bet štai kas yra antroji neišsamumo teoremos būsena. Be to, Bernays suprato Gödelio rezultatų svarbą iškart po to, kai 1931 m. Sausio mėn. Išstudijavo Gödelio dokumentą, rašydamas Gödel'iui, kad (darant prielaidą, kad principiniai principai gali būti formalizuoti Principijoje), neišsamumo teorema parodo, kad Principijos baigtinis nuoseklumas nėra įrodytas. Neilgai trukus von Neumannas parodė, kad Ackermanno konsistencijos įrodymas yra ydingas, ir pateikė pavyzdinį siūlomos (varepsilon) pakeitimo procedūros pavyzdį (žr. Zach 2003).bet štai kas yra antroji neišsamumo teoremos būsena. Be to, Bernays suprato Gödelio rezultatų svarbą iškart po to, kai 1931 m. Sausio mėn. Išstudijavo Gödelio dokumentą, rašydamas Gödel'iui, kad (darant prielaidą, kad principiniai principai gali būti formalizuoti Principijoje), neišsamumo teorema parodo, kad Principijos baigtinis nuoseklumas nėra įrodytas. Neilgai trukus von Neumannas parodė, kad Ackermanno konsistencijos įrodymas yra ydingas, ir pateikė pavyzdinį siūlomos (varepsilon) pakeitimo procedūros pavyzdį (žr. Zach 2003).rašydamas Gedeliui, kad (darant prielaidą, kad principinis principas gali būti formalizuotas Principijoje), neišsamumo teorema parodo, kad principinės baigties nuoseklumo įrodymas yra neįmanomas. Neilgai trukus von Neumannas parodė, kad Ackermanno konsistencijos įrodymas yra ydingas, ir pateikė pavyzdinį siūlomos (varepsilon) pakeitimo procedūros pavyzdį (žr. Zach 2003).rašydamas Gedeliui, kad (darant prielaidą, kad principinis principas gali būti formalizuotas Principijoje), neišsamumo teorema parodo, kad principinės baigties nuoseklumo įrodymas yra neįmanomas. Neilgai trukus von Neumannas parodė, kad Ackermanno konsistencijos įrodymas yra ydingas, ir pateikė pavyzdinį siūlomos (varepsilon) pakeitimo procedūros pavyzdį (žr. Zach 2003).

(1936 m.) Gentzen paskelbė pirmosios eilės „Peano Arithmetic“((PA)) nuoseklumo įrodymą. Kaip parodė Gödel, buvo būtina, Gentzen įrodyme buvo naudojami metodai, kurių nebuvo galima įforminti pačiame (PA), būtent, transfinite indukcija išilgai ordinaro (varepsilon_0). Gentzeno darbas žymi post-Gödelian įrodymo teorijos ir atnaujintos Hilbert'o programos darbo pradžią. Įrodymų teorija Gentzen tradicijoje išanalizavo aksiomatines sistemas pagal tai, kokie finišo pozicijos pratęsimai yra būtini jų nuoseklumui įrodyti. Paprastai sistemų nuoseklumo stiprumas matuojamas įrodyta teorine eilutine, ty ordinarine transfinite indukcija, kurios pakanka nuoseklumui įrodyti. Jei tai (PA), tas ordinalas yra (varepsilon_0). (Tolesnei diskusijaižiūrėti įrašą apie įrodinėjimo teorijos plėtrą.)

2. Finikinis požiūris

Hilbert'o matematikos filosofijos kertinis akmuo ir iš esmės naujas jo pagrindinės minties aspektas nuo 1922 m. Buvo tai, ką jis pavadino baigtiniu požiūriu. Šis metodinis požiūris apima matematinės minties apribojimą tais objektais, kurie „intuityviai egzistuoja kaip betarpiška patirtis prieš visą mintį“, ir tų objektų, kuriems nereikia įvesti abstrakčių sąvokų, operacijomis ir samprotavimo metodais. visų pirma, nesikreipiant į užbaigtą begalinę sumą.

Yra keletas pagrindinių ir tarpusavyje susijusių klausimų, suprantančių Hilberto baigtinį požiūrį:

  1. Kokie yra baigtinio samprotavimo objektai?
  2. Kokie yra baigtinai prasmingi teiginiai?
  3. Kokie yra baigtinai priimtini aiškinimo ir samprotavimo metodai?

2.1 Finišalai ir finitistinė epistemologija

Galutinio samprotavimo sritį Hilbertas apibūdino gerai žinomoje pastraipoje, kuri yra maždaug ta pati formuluotė visuose 1920 m. (1931b; 1922b; 1928; 1926) Hilbert'o filosofiniuose dokumentuose:

[A] Sąlyga naudoti logines išvadas ir atlikti logines operacijas, kai kas jau turi būti duota mūsų reprezentacijos fakultetui, tam tikri nelogiški konkretūs objektai, intuityviai pateikiami kaip betarpiška patirtis prieš visa mintį. Jei loginės išvados yra patikimos, turi būti įmanoma visiškai apžiūrėti šiuos objektus visose jų dalyse, ir tuoj pat turi būti išaiškinta, kad jie atsiranda, kad jie skiriasi vienas nuo kito ir kad jie seka vienas kitą ar yra sujungti. intuityviai, kartu su objektais, kaip tai, ko negalima nei redukuoti į nieką kitą, nei to nereikia. Tai pagrindinė filosofinė pozicija, kurią laikau būtina matematikai ir apskritai visam moksliniam mąstymui, supratimui ir bendravimui. (Hilbert, 1926, 376)

Hilbertui šie objektai yra ženklai. Kontekstinės skaičių teorijos srityje nagrinėjami žymenys yra tokie skaitmenys kaip

1, 11, 111, 11111

Į klausimą, kaip tiksliai Hilbertas suprato skaitmenis, sunku atsakyti. Tai nėra fiziniai objektai (pavyzdžiui, tikri brūkšniai popieriuje), nes visada turi būti įmanoma prailginti skaičių pridedant kitą brūkšnį (ir, kaip Hilbertas taip pat teigia „Begaliniame“(1926), abejotina, ar fizinė visata yra begalinė). Anot Hilbert (1922b, 202), jų formą „paprastai ir tikrai galime atpažinti, nepriklausomai nuo vietos ir laiko, nuo ypatingų ženklo gamybos sąlygų ir nuo nereikšmingų galutinio gaminio skirtumų“. Jie nėra psichinės konstrukcijos, nes jų savybės yra objektyvios, tačiau jų egzistavimas priklauso nuo jų intuityvios konstrukcijos (žr. Bernays 1923, 226). Bet kokiu atveju aišku, kad jie yra logiškai primityvūs, tyjie nėra nei sąvokos (kaip yra Frege'io skaičiai), nei rinkiniai. Svarbu čia ne pirmiausia jų metafizinė padėtis (abstraktus ir konkretus dabartine šių sąvokų prasme), bet ir tai, kad jie neužmezga loginių ryšių, pvz., Jiems nieko negalima nuspėti. Brandžiausiuose „Bernays“finizmo vaizdavimuose (Hilbert ir Bernays, 1939; Bernays, 1930) finitizmo objektai apibūdinami kaip formalūs objektai, kuriuos rekursyviai sukuria pasikartojimo procesas; insultų simboliai yra konkretūs šių formalių objektų vaizdai. Brandžiausiuose Bernatų finitizmo pristatymuose (Hilbert ir Bernays, 1939; Bernays, 1930) finitizmo objektai apibūdinami kaip formalūs objektai, kuriuos rekursyviai sukuria pasikartojimo procesas; insultų simboliai yra konkretūs šių formalių objektų vaizdai. Brandžiausiuose Bernatų finitizmo pristatymuose (Hilbert ir Bernays, 1939; Bernays, 1930) finitizmo objektai apibūdinami kaip formalūs objektai, kuriuos rekursyviai sukuria pasikartojimo procesas; insultų simboliai yra konkretūs šių formalių objektų vaizdai.

Lygiai taip pat sudėtingas yra klausimas, ką Hilbertas galvojo apie finitizmo objektų epistemologinę būklę. Norint atlikti patikimą infinitistinės matematikos pagrindą, prieiga prie baigtinų objektų turi būti nedelsiant ir užtikrintai. Hilberto filosofinis pagrindas buvo plačiai kantiškas, kaip ir Bernayso, kuris buvo glaudžiai susijęs su neokantietiška filosofijos mokykla aplink Leonardą Nelsoną Getingene. Hilbertas apibūdindamas finitizmą dažnai nurodo kantišką intuiciją, o finitizmo objektus - kaip intuityviai duotus objektus. Iš tikrųjų Kanto epistemologijoje betarpiškumas yra esminė intuityvaus žinojimo savybė. Kyla klausimas, kokia yra intuicija? Mancosu (1998b) įvardija poslinkį šiuo atžvilgiu. Jis teigia, kad nors ankstyvuosiuose Hilberto darbuose esanti intuicija buvo savotiška suvokimo intuicija, vėlesniuose raštuose (pvz., Bernays 1928a) kantiška prasme ji įvardijama kaip grynos intuicijos forma. Tačiau maždaug tuo pačiu metu Hilbertas (1928, 469) vis dar įvardija žaidimo intuiciją kaip suvokimo pobūdį. (1931b, 266–267) Hilbertas mato baigtinį mąstymo būdą kaip atskirą a priori žinių šaltinį, be grynos intuicijos (pvz., Erdvės) ir proto, teigdamas, kad jis „atpažino ir apibūdino trečiąjį šaltinį. žinias, kurios pridedamos prie patirties ir logikos “. Tiek Bernays, tiek Hilbertas pateisina baigtines žinias plačiai Kantų kalbomis (tačiau nesiekia tiek pateikti transcendentalinio išskaičiavimo), apibūdindamas baigtinius samprotavimus kaip tokio pobūdžio samprotavimus, kuriais grindžiamas visas matematinis,ir iš tikrųjų mokslinis, mąstymas, be kurio tokia mintis būtų neįmanoma. (Žr. Kitcher 1976 ir Parsons 1998 apie finitizmo epistemologiją, o Patton 2014 - Hilberto ženklų teorijos istorinį ir filosofinį kontekstą.)

2.2 Finiški prasmingi teiginiai ir baigtinis samprotavimas

Svarbiausi sprendimai apie baigtinius skaitmenis yra lygybė ir nelygybė. Be to, baigtinis požiūris leidžia atlikti veiksmus su kariniais objektais. Čia paprasčiausias yra sujungimas. Skaičių 11 ir 111 susikaupimas perduodamas kaip „(2 + 3)“, o teiginys, kad 11, sujungtas su 111, reiškia tą patį skaičių kaip 111, sujungtas su 11 - „(2 + 3 = 3 + 2). “Tikrojoje teorinėje praktikoje, taip pat aiškiai (Hilbert ir Bernays, 1934; Bernays, 1930), šios pagrindinės operacijos yra apibendrintos iki operacijų, apibrėžtų rekursijos, paradigmatiškai, primityvios rekursijos, pvz., Daugybos ir eksponentijos (žr. Parsons 1998, filosofiniai sunkumai, susiję su eksponacija ir 2007 m. išplėstinės diskusijos apie intuityvią matematiką ir baigtinumą). Panašiaibaudžiamieji sprendimai gali apimti ne tik lygybę ar nelygybę, bet taip pat ir pagrindines lemiamas savybes, tokias kaip „yra svarbiausias dalykas“. Tai yra baigtinai priimtina, jei būdingoji tokios savybės funkcija yra baigtinė: Pavyzdžiui, operacija, kuri skaičių paverčia skaičiumi 1, jei jis yra svarbiausias, o 11, kitaip, gali būti apibrėžtas primityviu rekursija, taigi yra baigtinis. Tokius baigtinius teiginius gali derinti įprastos loginės jungimo, disjunkcijos, neigimo, bet taip pat ir ribojamos kiekybinio įvertinimo operacijos. (Hilbert, 1926) pateikia teiginį, kad „pradinis skaičius yra tarp (p + 1) ir (p! + 1)“, kuriame (p) yra tam tikras didelis pradmuo. Šis teiginys yra baigtinai priimtinas, nes jis „skirtas tik sutrumpinti teiginį“, kad arba (p + 1) arba (p + 2) arba (p + 3), arba… arba (p! + 1) yra pagrindinis.

Probleminiai finišo teiginiai yra tie, kurie išreiškia bendruosius faktus apie skaičius, tokius kaip bet kuris skaitmuo (n, 1 + n = n + 1). Tai problemiška, nes, kaip sako Hilbertas, „finitizmo požiūriu negali būti neigiamas“(1926, 378). Tuo jis reiškia prieštaringą teiginį, kad yra skaitmuo (n), kuriam (1 + n / ne n + 1) nėra baigtinė prasmė. „Juk negalima išbandyti visų skaičių“(1928, 470). Dėl tos pačios priežasties baigtinis bendrasis teiginys turi būti suprantamas ne kaip begalinis junginys, o „tik kaip hipotetinis sprendimas, kuris ateina norint ką nors patvirtinti pateikiant skaičių“(ten pat). Net jei jie ir yra problemiški šia prasme, bendrieji baigtiniai teiginiai yra ypač svarbūs Hilberto įrodymo teorijai,kadangi formalios sistemos nuoseklumo teiginys (S) yra tokios bendros formos: bet kuriai formulių sekai (P, P) nėra prieštaravimo išvestinė iš (S).

2.3. Karinės operacijos ir jų įrodymas

Finitizmo supratimui ir Hilbert'o įrodinėjimo teorijai labai svarbus yra klausimas, kokias operacijas ir kokius įrodinėjimo principus reikėtų leisti iš finišo pusės. Tai, kad reikalingas bendras atsakymas, yra aiški iš Hilbert'o įrodinėjimo teorijos reikalavimų, ty nereikia tikėtis, kad esant oficialiai matematikos sistemai (ar net vienai formulių sekai) galima „pamatyti“, kad ji yra nuosekli (arba kad tai negali būti tikras neatitikimo darinys) tokiu būdu, kokį galime pamatyti, pvz., kad (11 + 111 = 111 + 11). Nuoseklumo įrodymui reikalinga operacija, kuri, pateikusi oficialų išvestį, paverčia tokią išvestinę specialia forma, pridėdama įrodymų, kad operacija iš tikrųjų tai daro ir kad ypatingos rūšies įrodymai negali būti nesuderinamumo įrodymais.. Kad operacija būtų laikoma baigtiniu nuoseklumo įrodymu, pati operacija turi būti priimtina finitizmo požiūriu, o reikalaujamuose įrodymuose turi būti naudojami tik baigtinai priimtini principai.

Hilbertas niekada nepateikė bendros ataskaitos apie tai, kurios operacijos ir įrodinėjimo metodai yra priimtini finitizmo požiūriu, bet tik apie pavyzdžius operacijų ir metodų, leidžiančių daryti išvadą apie turinio finiškojo skaičiaus teoriją, kurį jis pripažino baigtiniu. Turinio indukcija buvo priimta pritaikant hipotetinio, bendro pobūdžio finišalaus pobūdžio teiginius, aiškiai nurodytus Hilbert (1922b). Jis (1923, 1139) teigė, kad intuityvi mintis „apima rekursiją ir intuityvią indukciją baigtiniams esamiems visumams“, ir 1922 m. Pavyzdyje panaudojo eksponaciją. Bernays (1930) paaiškino, kaip ekspansija gali būti suprantama kaip baigtinė skaitmenų operacija. Hilbertas ir Bernaysas (1934) pateikia vienintelę bendrą informaciją apie finišalaus turinio skaičių teoriją; pagal taioperacijos, apibrėžtos primityvia rekursija ir įrodymais, naudojant indukciją, yra baigtinai priimtinos. Visi šie metodai gali būti įforminti sistemoje, vadinamoje primityvia rekursyvia aritmetika ((PRA)), kuri leidžia apibrėžti funkcijas primityvia rekursija ir indukcija formulėse, kuriose nėra kiekybinių parametrų (ten pat). Tačiau nei Hilbertas, nei Bernays niekada neteigė, kad tik primityvūs rekursiniai veiksmai laikomi baigtiniais, ir faktiškai jau 1923 m. Jie neva naudojo kai kuriuos neprimityvius rekursinius metodus tariamai finišo konsistencijos įrodymuose (žr. Tait 2002 ir Zach 2003).nei Hilbertas, nei Bernays niekada neteigė, kad tik primityvios rekursinės operacijos laikomos baigtinėmis, ir faktiškai jau 1923 m. jie, regis, finiško konsistencijos įrodymuose, naudojo kai kuriuos neprimityvius rekursinius metodus (žr. Tait 2002 ir Zach 2003).nei Hilbertas, nei Bernays niekada neteigė, kad tik primityvios rekursinės operacijos laikomos baigtinėmis, ir faktiškai jau 1923 m. jie, regis, finiško konsistencijos įrodymuose, naudojo kai kuriuos neprimityvius rekursinius metodus (žr. Tait 2002 ir Zach 2003).

Įdomesnis konceptualus klausimas yra tai, kurios operacijos turėtų būti laikomos baigtinėmis. Kadangi Hilbertui buvo ne visai aišku, koks yra finiterio požiūris, apribojimų nustatymui yra pakankamai erdvės, epistemologinių ir kitokių, todėl turi būti atlikta finitistinės operacijos analizė ir įrodymai. Hilbertas apibūdino (žr. Aukščiau) finišo skaičiaus teorijos objektus kaip „intuityviai duotus“, kaip apie „matomus visose jų dalyse“ir teigė, kad jų pagrindinės savybės turi mums „egzistuoti intuityviai“. Bernays (1922, 216) teigia, kad baigtinėje matematikoje vaidina tik „primityvius intuityvius pažinimus“ir naudoja terminą „intuityvių įrodymų požiūrio taškas“ryšium su 1930, 250 finitizmu. Šį finitizmo apibūdinimą, visų pirma susijusį su intuicija ir intuityviomis žiniomis, ypač pabrėžė (Parsons, 1998), kuris teigia, kad tai, kas šiame supratime gali būti laikoma baigtine, yra ne tik tos aritmetinės operacijos, kurias galima apibrėžti sudėjus ir padauginus. naudojant apribotą rekursiją. Visų pirma, pasak jo, eksponentikacija ir bendras primityvusis pasikartojimas nėra baigtinai priimtini.

Tezė, kad finitizmas sutampa su primityviais rekursyviais samprotavimais, sulaukė griežtos gynybos (Tait 1981; taip pat žr. 2002 ir 2005b). Taitas, priešingai nei Parsonsas, atmeta reprezentatyvumo intuicijoje aspektą, kuris yra finišo požymis; vietoj to jis priima baigtinį samprotavimą kaip „minimalų prigimtį, pagrįstą visais nesvarbiais matematiniais samprotavimais apie skaičius“. ir analizuoja karines operacijas ir įrodinėjimo metodus kaip tuos, kurie numanomi pačioje skaičiaus, kaip baigtinės sekos formos, sąvokoje. Šią finitizmo analizę palaiko Hilbert'o teiginys, kad baigtinis samprotavimas yra būtina loginio ir matematinio, iš tikrųjų bet kokio mokslinio mąstymo Hilbert'o sąlyga (1931b, 267). Kadangi baigtinis samprotavimas yra ta matematikos dalis, kurią suponuoja visi ne trivialūs samprotavimai apie skaičius, tai yra,Taigi Taitas, „neabejotinas“Dekarto prasme, ir tas neabejotinumas, kaip visko, ko prireiktų dėl finiško samprotavimo, norint pateikti epistemologinį matematikos pagrindą, kurį Hilbertas tam numatė.

Kreiselė (1960) pasiūlė dar vieną įdomią baigtinių įrodymų analizę, kuri vis dėlto nepateikia tokio išsamaus filosofinio pagrindimo. Rezultatas yra tas, kad tiksliai tos funkcijos yra baigtinės, ir tai gali būti įrodyta, kad jos yra bendrosios eilės aritmetinėje (PA). Jis grindžiamas įrodymo teorijos atspindžio principo samprata; išsamiau žr. Zach (2006) ir analizę Dean (2015). Kreisel (1970, 3.5 skyrius) pateikia kitą analizę, sutelkdamas dėmesį į tai, kas yra „vizualizuojama“. Rezultatas yra tas pats: baigtinis įrodomumas atrodo platus kartu su (PA) įrodymu.

Taito techninė analizė leidžia teigti, kad finitistinės funkcijos yra tiksliai primityviosios rekursyviosios, o finitistinės skaičių teorijos tiesos yra tiksliai tos, kurias galima įrodyti primityvios rekursinės aritmetinės teorijos (PRA) teorijoje. Svarbu pabrėžti, kad ši analizė nėra atliekama pačio finitizmo požiūriu. Kadangi bendrosios „funkcijos“ir „įrodymo“sąvokos savaime nėra baigtinės, finitistas nesugeba įprasminti Taito tezės, kad viskas, kas įrodoma (PRA), yra finitistiškai teisinga. Pasak Taito, tinkamai analizuojant finitistinį įrodomumą, negalima manyti, kad pats finitizmas turi prieigą prie tokių nefinitistinių sąvokų. Kreiselio požiūris ir tam tikra Tait kritika, kuri remiasi refleksijos principais arba (omega) - taisyklėmis, įgyvendina šį reikalavimą (žr. Tait 2002, 2005b). Iš kitos pusės,galima teigti, kad (PRA) yra per stipri teorija, kad būtų galima laikyti formalizavimu to, kas „suponuoja visi ne trivialūs matematiniai samprotavimai apie skaičius“: yra silpnesnių, bet ne trivialių teorijų, susijusių su mažesnėmis klasėmis. funkcijų, palyginti su primityviomis rekursinėmis, tokiomis kaip (PV) ir (EA), susijusios atitinkamai su polinomo laiko ir Kalmaro elementinėmis funkcijomis (žr. Avigad 2003, kiek matematikos galima atlikti (EA)). Remdamasis analize, analogiška Taito analizei, Ganea (2010) pateko į atitinkamą Kalmaro elementariųjų funkcijų klasę, kaip ir tas, kuri yra baigtinė.yra silpnesnių, bet ne trivialių teorijų, susijusių su mažesnėmis funkcijų klasėmis nei primityviosios rekursinės, pavyzdžiui, (PV) ir (EA), susijusios atitinkamai su polinomo laiko ir Kalmaro elementinėmis funkcijomis. (žr. „Avigad 2003“, kiek matematikos galima atlikti programoje (EA)). Remdamasis analize, analogiška Taito analizei, Ganea (2010) pateko į atitinkamą Kalmaro elementariųjų funkcijų klasę, kaip ir tas, kuri yra baigtinė.yra silpnesnių, bet ne trivialių teorijų, susijusių su mažesnėmis funkcijų klasėmis nei primityviosios rekursinės, tokios kaip (PV) ir (EA), susijusios atitinkamai su polinomo laiko ir Kalmaro elementinėmis funkcijomis (žr. „Avigad 2003“, kiek matematikos galima atlikti programoje (EA)). Remdamasis analize, analogiška Taito analizei, Ganea (2010) pateko į atitinkamą Kalmaro elementariųjų funkcijų klasę, kaip ir tas, kuri yra baigtinė. Ganea (2010) pateko į atitinkamą Kalmaro elementariųjų funkcijų klasę kaip tas, kurios yra baigtinės. Ganea (2010) pateko į atitinkamą Kalmaro elementariųjų funkcijų klasę kaip tas, kurios yra baigtinės.

3. Formalizmas, redukcionizmas ir instrumentalizmas

Weylas (1925) buvo taikinamoji reakcija į Hilbert'o pasiūlymą 1922b ir 1923 m., Kuris vis dėlto sulaukė svarios kritikos. Weylas apibūdino Hilberto projektą kaip teiginio matematikos pakeitimą beprasmiu formulių žaidimu. Jis pažymėjo, kad Hilbertas norėjo „užsitikrinti ne tiesą, o analizės nuoseklumą“ir pasiūlė kritiką, kuri atkartoja Frege anksčiau pateiktą kritiką: Kodėl mes turėtume laikyti formalios matematikos sistemos nuoseklumą kaip priežastį tikėti ikimokyklinę matematiką ji kodifikuoja? Ar beprasmis Hilberto formulių inventorius nėra tik „bejėgis analizės vaiduoklis“? Weylas pasiūlė sprendimą:

Jei matematika turi likti rimtas kultūrinis rūpestis, tada Hilberto formulių žaidimas turi būti susijęs su tam tikra prasme, ir aš matau tik vieną galimybę priskirti tai (įskaitant jo neribotus komponentus) savarankiškai intelektinei prasmei. Teorinėje fizikoje prieš mus yra puikus visiškai kitokio pobūdžio žinių rūšis, nei bendrosios ar fenomenaliosios žinios, išreiškiančios grynai tai, kas duota intuicijoje. Nors šiuo atveju kiekvienas sprendimas turi savo prasmę, kurią intuicija gali visiškai įgyvendinti, tai jokiu būdu netaikoma teorinės fizikos teiginiams. Tokiu atveju susiduriama su patirtimi, o ne visa sistema. (Weylas, 1925 m., 140 m.)

Analizė su fizika yra stulbinanti, ir panašių idėjų galima rasti ir paties Hilberto rašinyje - galbūt Hilbertą tam paveikė Weylas. Nors pirmieji Hilbert'o pasiūlymai buvo nukreipti tik į nuoseklumą, pastebimas Hilbert'o mąstymo vystymasis bendrojo reductivistinio projekto, panašaus į gana įprastą tuo metu mokslo filosofijoje, kryptimi (kaip pabrėžė Giaquinto 1983). 1920 m. Antroje pusėje Hilbertas nuoseklumo programą pakeitė konservatyvumo programa: Formalizuota matematika turėjo būti nagrinėjama pagal analogiją su teorine fizika. Pagrindinis teorinės dalies pagrindimas yra jos konservatyvumas, palyginti su „tikra“matematika: kai teorinė „ideali“matematika įrodo „tikrąją“nuostatą, ši nuostata taip pat yra intuityviai teisinga. Tai pateisina transfinitetinės matematikos naudojimą: ji ne tik nuosekli vidiniu požiūriu, bet įrodo tik tikrus intuityvius teiginius (ir iš tikrųjų visus, nes intuityvios matematikos formalizavimas yra visos matematikos formalizavimo dalis).

1926 m. Hilbertas nustatė skirtumą tarp realių ir idealių formulių. Šio skirtumo nebuvo 1922 m., O apie jį užsiminta tik 1923 m. Pastarojoje Hilbertas pirmiausia pateikia oficialią skaitinių skaitmenų teorijos be kvantifikatorių sistemą, apie kurią jis sako, kad „Tokiu būdu įgytos įrodomosios formulės turi tokį pat pobūdį: baigtinis “(1139). Tada teorijos supaprastinimui ir papildymui pridedamos neribotos aksiomos (ty kiekybiniai rodikliai) (1144). Čia jis pirmą kartą atkreipia analogiją su idealių elementų metodu: „Mano įrodymo teorijoje transfinitetinės aksiomos ir formulės yra pririštos prie baigtinių aksiomų, kaip ir sudėtingų kintamųjų teorijoje įsivaizduojami elementai pririšti prie realaus., ir kaip ir geometrijoje, idealios konstrukcijos yra prigludusios prie realios “(ten pat). Kai Hilbertas,1926 m. aiškiai įveda idealaus teiginio sąvoką, o 1928 m., kai jis pirmą kartą kalba apie realius teiginius, be idealo, jam yra visiškai aišku, kad tikrąją teorijos dalį sudaro tik priimtinos, be kintamųjų formulės. Manoma, kad jie yra „tiesiogiai pajėgūs patikrinti“, atsižvelgiant į teiginius, kylančius iš gamtos dėsnių, kuriuos galima patikrinti eksperimentu (1928, 475). Naujas programos vaizdas buvo toks: Klasikinė matematika turi būti formalizuota sistemoje, apimančioje visų tiesiogiai patikrinamų (pagal skaičiavimus) teiginių apie turinio baigtinių skaičių teoriją formalizavimą. Nuoseklumo įrodymas turėtų parodyti, kad visi realūs teiginiai, kurie gali būti įrodyti idealiais metodais, yra teisingi, ty gali būti tiesiogiai patikrinti baigtiniais skaičiavimais.(Faktiniai įrodymai, tokie kaip (varepsilon) - pakaitalai visada buvo tokio pobūdžio: pateikite baudžiamąsias procedūras, kurios pašalina neribotus elementus iš tikrųjų teiginių, visų pirma, (0 = 1), įrodymų.) Iš tikrųjų, Hilbertas pamatė, kad kažkas stipresnio yra tiesa: ne tik nuoseklumo įrodymas nustato realių formulių tiesą, įrodomą idealiais metodais, bet ir pateikia finiško bendrųjų teiginių baigtinius įrodymus, jei atitinkama laisvai kintama formulė yra išvedama idealiais metodais (1928, 474)..tačiau jis pateikia galutinius bendrų teiginių įrodymus, jei atitinkama laisvojo kintamojo formulė yra išvedama idealiais metodais (1928, 474).tačiau jis pateikia galutinius bendrų teiginių įrodymus, jei atitinkama laisvojo kintamojo formulė yra išvedama idealiais metodais (1928, 474).

Hilbertas pasiūlė papildomus teorijos apribojimus, be konservatyvumo: paprastumą, įrodymų trumpumą, „minties ekonomiją“ir matematinį produktyvumą. Formali transfinitetinės logikos sistema nėra savavališka: „Šis formulių žaidimas vykdomas pagal tam tikras apibrėžtas taisykles, kuriomis išreiškiama mūsų mąstymo technika. […] Pagrindinė mano įrodinėjimo teorijos idėja yra ne kas kita, kaip apibūdinti mūsų supratimo veiklą, sudaryti taisyklių protokolą, pagal kurį mūsų mąstymas iš tikrųjų vyksta “(Hilbert, 1928, 475). Kai Weylas (1928) galiausiai nusisuko nuo intuicionizmo (dėl priežasčių žr. Mancosu ir Ryckman, 2002), jis pabrėžė šią Hilbert'o įrodinėjimo teorijos motyvaciją: nepaversti matematikos beprasmiu simbolių žaidimu,bet paversti tai teoriniu mokslu, kodifikuojančiu mokslinę (matematinę) praktiką.

Taigi Hilberto formalizmas buvo gana rafinuotas: išvengta dviejų esminių prieštaravimų: (1) Jei sistemos formulės neturi prasmės, kaip sistemos išvestinumas gali sukelti bet kokį įsitikinimą? (2) Kodėl verta priimti (PA) sistemą, o ne bet kokią kitą nuoseklią sistemą? Abu prieštaravimai yra pažįstami iš Frege; į abu klausimus (iš dalies) atsakoma pateikiant konservatyvumo įrodymus, susijusius su tikrais teiginiais. Be to, kalbant apie (2), Hilbertas turi natūralistinį priėmimo kriterijų: pasirenkant sistemas mus riboja paprastumas, vaisingumas, vienodumas ir tai, ką iš tikrųjų daro matematikai; Weylas pridurtų, kad svarbiausias teorijos testas būtų jos naudingumas fizikoje.

Daugelis matematikos filosofų, rašančių apie Hilbertą, skaitė jį kaip instrumentalistą (įskaitant Kitcherį 1976 m., Resniką 1980 m., Giaquinto 1983 m., Siegą 1990 m., Ypač Detlefseną 1986 m.), Nes jie perskaitė Hilbert paaiškinimą, kad idealūs teiginiai „patys savaime neturi prasmės“. (Hilbert, 1926, 381), teigdami, kad klasikinė matematika yra tik instrumentas ir kad permainos matematikos teiginiai neturi tiesos vertės. Tiek, kiek tai teisinga, jis turi būti suprantamas kaip metodinis instrumentizmas: Sėkmingas korektūros teorijos programos vykdymas parodytų, kad galima apsimesti, tarsi matematika neturi prasmės. Taigi analogijos su fizika nėra: neribotos teiginiai neturi prasmės, nes teiginiai, apimantys teorinius terminus, neturi prasmės, bet:transfinitetiniai teiginiai nereikalauja tiesioginės intuityvios prasmės, lygiai taip pat nereikia tiesiogiai matyti elektronų, kad būtų galima apie juos teoretikuoti. Hallettas (1990), atsižvelgdamas į XIX amžiaus matematinį pagrindą, iš kurio kilo Hilbertas, taip pat į paskelbtus ir neskelbtus šaltinius iš visos Hilbert'o karjeros (ypač Hilbert 1992, plačiausia idealių elementų metodo diskusija) daro tokią išvadą.:

[Hilberto požiūris į filosofinius klausimus] nėra skirtas kaip tam tikras instrumentalistų agnosticizmas apie egzistenciją ir tiesą ir panašiai. Priešingai, siekiama pateikti neskeptišką ir teigiamą tokių problemų sprendimą, pažintiniu požiūriu prieinamą sprendimą. Ir, atrodo, tas pats sprendimas galioja ir matematinėms, ir fizinėms teorijoms. Priėmus naujas sąvokas ar „idealius elementus“arba naujus teorinius terminus, jie egzistuoja ta prasme, kuria egzistuoja bet kokie teoriniai subjektai. (Hallett, 1990, 239)

4. Hilberto programa ir Gödelio neišsamumo teoremos

Buvo keletas diskusijų dėl Gödelio neišsamumo teoremų įtakos Hilberto programai ir dėl to, ar tai buvo pirmoji, ar antroji neišsamumo teorema, sukėlusi valstybės perversmą. Be abejo, tiesiogiai į pokyčius įsitraukusių asmenų nuomonė buvo įsitikinusi, kad teoremos turėjo lemiamą įtaką. Gedelas paskelbė antrąją neišsamumo teoremą 1930 m. Spalio mėn. Paskelbtoje santraukoje: jokiais sistemų, tokių kaip Principia, Zermelo-Fraenkel aibės teorija, ar Ackermanno ir von Neumanno ištirtų sistemų nuoseklumo įrodymais negalima remtis šiose sistemose suformuluojamais metodais. Visoje savo darbo versijoje Gödel (1931) paliko galimybę, kad gali būti baigtinių metodų, kurie nėra formalizuojami šiose sistemose ir kurie duotų reikiamus nuoseklumo įrodymus. Pirmoji „Bernays“reakcija laiške Gödeliui 1931 m. Sausio mėn. Taip pat buvo tokia: „Jei, kaip daro von Neumannas, bus užtikrinta, kad visi finišo sumetimai gali būti formalizuoti sistemoje“(P) - aš, kaip jūs, kad jokiu būdu kaip nusistovėjusio negalima daryti išvados, kad baigtinai įrodyti (P) nuoseklumo neįmanoma “(Gödel, 2003a, 87).

Kaip Gödelio teoremos veikia Hilberto programą? Atidžiai („Gödel“) koduodamas simbolių sekas (formules, įrodymus), Gödel parodė, kad teorijose (T), kuriose yra pakankamas aritmetinės vertės kiekis, galima sudaryti formulę (Pr (x (x), y)), kuris „sako“, kad (x) yra (kodas) įrodymas (formulė su kodu) (y). Tiksliau, jei (išorinis kampas 0 = 1 / urcorner) yra formulės kodas (0 = 1), tada (Con_T = / forall x / neg Pr (x, / ulcorner 0 = 1 / urcorner)) gali būti laikoma „sakančiu“, kad (T) yra nuoseklus (joks skaičius nėra išvesties kodas, esantis (T) iš (0 = 1)). Antroji neišsamumo teorema (G2) sako, kad remiantis tam tikromis prielaidomis apie (T) ir kodavimo aparatą, (T) neįrodo (Con_T). Dabar tarkime, kad buvo baigtinis (T) nuoseklumo įrodymas. Manoma, kad tokiame įrodyme naudojami metodai gali būti įforminami dokumente (T). („Formalizuojamas“reiškia, kad apytiksliai tuo atveju, jei įrodyme daroma baigtinė operacija (f) išvestinėms, kurios bet kokį išvestinį (D) paverčia paprastos formos dariniu (f (D)); tada ten yra yra formulė (F (x, y)), kad visiems dariniams (D, T / vdash F (ulcorner D / urcorner, / ulcorner f (D) urcorner)).) (T) būtų baigtinai išreikšta hipotetiška, kad jei (D) yra kokia nors simbolių seka, (D) nėra formulės (T) darinys: (0 = 1). Šio teiginio įforminimas yra formulė (neg Pr (x, / Ulcorner 0 = 1 / Urcorner)), kurioje kintamasis (x) yra laisvas. Jei būtų baigtinis (T) nuoseklumo įrodymas, jo įforminimas duotų išvestinę (T) (neg Pr_T (x,\ ulcorner 0 = 1 / urcorner)), iš kurios (Con_T) gali būti išvestas (T) paprastu universaliu apibendrinimu (x). Tačiau G2 atmeta (Con_T) išvedimą (T).

Kaip minėta pirmiau, Gödel ir Bernays iš pradžių manė, kad (PA) nuoseklumo įrodymo sunkumus būtų galima įveikti pasitelkiant metodus, kurie, nors ir nėra įforminami (PA), vis dėlto yra baigtiniai. Ar tokie metodai bus laikomi baigtiniais pagal pirminę finitizmo sampratą, ar yra pradinio finitizmo požiūrio pratęsimas, yra diskusijų klausimas. Nauji svarstomi metodai apėmė galutinę (omega) taisyklės versiją, kurią pasiūlė Hilbertas (1931b; 1931a). Tačiau teisinga sakyti, kad maždaug po 1934 m. Buvo beveik visuotinai priimta, kad įrodinėjimo metodai, pripažinti galutiniais iki Gödelio rezultatų, yra įforminami (PA). Buvo siūloma išplėsti pradinį finitizmo požiūrį ir ginti jį iš esmės dėl baudžiamųjų priežasčių, pvz. Gentzenas (1936) gynė transfinite indukcijos naudojimą iki (varepsilon_0) savo nuoseklumo įrodyme, kad (PA) yra „neginčijamas“. Takeuti (1987) pateikė kitą gynybą. Gödel (1958) pateikė dar vieną finitizmo požiūrio pratęsimą; minėtas Kreiselio darbas gali būti vertinamas kaip dar vienas bandymas išplėsti finitizmą išlaikant pirminės Hilbert'o idėjos dvasią.

Detlefsenas (1986; 2001; 1979) pasiūlė kitokį bandymą pateikti kelią aplink antrąją Gödelio Hilberto programos teoremą. Detlefsenas pateikia keletą gynybos linijų, iš kurių viena panaši į ką tik aprašytą: teigiant, kad (omega) taisyklės versija yra baigtinai priimtina, nors ir nesugebanti jos įforminti (vis dėlto žr. Ignjatovic 1994). Kitas Detlefseno argumentas prieš bendrą Gödelio antrosios teoremos aiškinimą sutelktas į formalizavimo sąvoką: Tai, kad konkretus „(T) atitikimas“pagal Gödelio formulę (Con_T) yra neįrodomas, dar nereiškia, kad to negalėjo būti “. tai negali būti kitos formulės, kurios yra įrodomos programoje (T) ir turinčios tiek pat teisių, kad būtų vadinamos „((T)) nuoseklumo formalizacijomis. Jie remiasi skirtingais įrodomumo pagrindimo (Pr_T) formalumais nei standartiniai. Yra žinoma, kad oficialūs nuoseklumo teiginiai yra neįrodomi, kai tikimybės predikatas paklūsta tam tikroms bendroms išvestinių sąlygų. Detlefsenas teigia, kad šios sąlygos nėra būtinos, kad predikatas būtų laikomas tikru provaikavimo predikatu, ir iš tikrųjų yra provatacinių predikatų, kurie pažeidžia provaikavimo sąlygas ir dėl kurių atsiranda nuoseklumo formulės, įrodomos jų atitinkamose teorijose. Tačiau tai priklauso nuo nestandartinių koncepcijų apie įrodomumą, kurių Hilbertas greičiausiai nepriimtų (taip pat žr. Resnik 1974, Auerbach 1992 ir Steiner 1991). Yra žinoma, kad oficialūs nuoseklumo teiginiai yra neįrodomi, kai tikimybės predikatas paklūsta tam tikroms bendroms išvestinių sąlygų. Detlefsenas teigia, kad šios sąlygos nėra būtinos, kad predikatas būtų laikomas tikru provaikavimo predikatu, ir iš tikrųjų yra provatavimo predikatų, kurie pažeidžia provaikavimo sąlygas ir dėl kurių atsiranda nuoseklumo formulės, įrodomos jų atitinkamose teorijose. Tačiau tai priklauso nuo nestandartinių koncepcijų apie įrodomumą, kurių Hilbertas greičiausiai nepriimtų (taip pat žr. Resnik 1974, Auerbach 1992 ir Steiner 1991). Yra žinoma, kad oficialūs nuoseklumo teiginiai yra neįrodomi, kai tikimybės predikatas paklūsta tam tikroms bendroms išvestinių sąlygų. Detlefsenas teigia, kad šios sąlygos nėra būtinos, kad predikatas būtų laikomas tikru provaikavimo predikatu, ir iš tikrųjų yra provatavimo predikatų, kurie pažeidžia provaikavimo sąlygas ir dėl kurių atsiranda nuoseklumo formulės, įrodomos jų atitinkamose teorijose. Tačiau tai priklauso nuo nestandartinių koncepcijų apie įrodomumą, kurių Hilbertas greičiausiai nepriimtų (taip pat žr. Resnik 1974, Auerbach 1992 ir Steiner 1991).ir iš tikrųjų yra įrodomumo predikatų, kurie pažeidžia įrodomumo sąlygas ir dėl kurių atsiranda nuoseklumo formulės, įrodomos jų atitinkamose teorijose. Tačiau tai priklauso nuo nestandartinių koncepcijų apie įrodomumą, kurių Hilbertas greičiausiai nepriimtų (taip pat žr. Resnik 1974, Auerbach 1992 ir Steiner 1991).ir iš tikrųjų yra įrodomumo predikatų, kurie pažeidžia įrodomumo sąlygas ir dėl kurių atsiranda nuoseklumo formulės, įrodomos jų atitinkamose teorijose. Tačiau tai priklauso nuo nestandartinių koncepcijų apie įrodomumą, kurių Hilbertas greičiausiai nepriimtų (taip pat žr. Resnik 1974, Auerbach 1992 ir Steiner 1991).

Smorynskis (1977) tvirtino, kad jau pirmoji nepilnavertiškumo teorema nugali Hilberto programą. Hilbert'o tikslas buvo ne tik parodyti, kad formalizuota matematika yra nuosekli, bet ir tai padaryti konkrečiu būdu - parodyti, kad ideali matematika niekada negali padaryti išvadų, neatitinkančių tikrosios matematikos. Taigi, norint sėkmingai pasisekti, ideali matematika turi būti konservatyvi realiosios dalies atžvilgiu: kai formalizuota ideali matematika įrodo tikrąją formulę (P, P) (ar ją išreiškianti finiška nuostata), ji turi būti baigtinai įrodyta. Smorynski realias formules sudaro ne tik skaitinės lygtys ir jų deriniai, bet ir bendrosios formulės su laisvaisiais kintamaisiais, bet be neapribotų kiekybinių rodiklių.

Dabar Gödelio pirmoji neišsamumo teorema (G1) teigia, kad už bet kokią pakankamai stiprią, nuoseklią formalią teoriją (S) yra sakinys (G_S), kuris yra tikras, bet neišvedamas iš (S). (G_S) yra tikras sakinys pagal Smorynskio apibrėžimą. Dabar apsvarstykite teoriją (T), įforminančią idealiąją matematiką, ir jos potemę (S), kuri formalizuoja tikrąją matematiką. (S) atitinka G1 sąlygas, taigi (S) neateina iš (G_S). Vis dėlto (T), kaip visos matematikos įforminimas (įskaitant tai, ko reikia norint pamatyti, kad (G_S) yra tiesa), išveda (G_S). Taigi, mes turime realų teiginį, kurį galima įrodyti idealia matematika, o ne realia matematika.

Detlefsenas (1986, Priedas; taip pat žr. 1990 m.) Nuo šio argumento taip pat apgynė Hilberto programą. Detlefsenas teigia, kad „Hilbertian“instrumentalizmas išvengia G1 argumento neigdamas, kad idealioji matematika turi būti konservatyvi realiojoje dalyje; Viskas, ko reikia, yra tikroviškumas. Hilbertio instrumentalizmas reikalauja tik to, kad ideali teorija neįrodytų nieko, kas prieštarauja realiajai teorijai; nereikalaujama, kad tai įrodytų tik tikrus teiginius, kuriuos įrodo ir tikroji teorija. (Norėdami sužinoti daugiau apie konservatyvumo ir nuoseklumo klausimus, skaitykite „Zach 2006“, atitinkamą Gödel įrašo skyrių tolimesnėms diskusijoms, „Franks 2009“- susijusiai gynybai ir Hilbert'o projekto pakartotiniam vertinimui, ir „McCarthy 2016“- alternatyvų požiūrį į įrodomumą). nuoseklumo ir G2 dėl paties Gödelio.)

5. Peržiūrėtos Hilberto programos

Net jei negalima pateikti galutinio aritmetikos nuoseklumo įrodymo, vis dėlto nuoseklumo įrodymų suradimo klausimas yra vertingas: tokiuose įrodymuose naudojami metodai, nors ir turi peržengti Hilbert'o pradinį finitizmo pojūtį, gali suteikti tikrą supratimą apie konstruktyvųjį aritmetines ir stipresnes teorijas. Gedelo rezultatas parodė, kad negali būti absoliučio visos matematikos nuoseklumo įrodymo; taigi darbas įrodymo teorijoje po to, kai Gödelis sutelkė dėmesį į santykinius rezultatus, tiek sistemos, kuriai buvo pateiktas nuoseklumo įrodymas, tiek ir palyginti su naudojamais įrodymo metodais.

Redukcinio įrodymo teorija šia prasme laikėsi dviejų tradicijų: pirmoji, kurią daugiausia vykdė įrodymų teoretikai, sekdami Gentzeną ir Schütte'ą, vykdė vadinamosios ordinarinės analizės programą ir ją įrodo pirmasis Gentzen'o nuoseklumo įrodymas: ((PA)) indukcija iki (varepsilon_0. / varepsilon_0) yra tam tikras transfinitetinis (nors ir suskaičiuojamas) ordinalas, tačiau „indukcija iki (varepsilon_0)“čia vartojama prasme nėra tikrai transfinituota procedūra. Ordinalioji analizė veikia ne su begaliniais eilės skaičiais, o su ordinarinėmis žymėjimo sistemomis, kurios pačios gali būti formalizuotos labai silpnose (iš esmės baigtinėse) sistemose. Eilinė sistemos (T) analizė pateikiama, jei:(a) gali būti sukurta eilinių žymėjimo sistema, imituojanti ordinus mažiau nei kai kurie ordinariniai (alpha_T), kad b) būtų baigtinai įrodyta, jog įforminimas (TI (alpha_T)) principo indukcija iki (alpha_T) reiškia (T) nuoseklumą (ty, (S / vdash TI (alpha_T) dešinė rodyklė Con_T) ir (c) (T) įrodo (TI) (beta)) visiems (beta / lt / alpha_T) ((S) yra teorija, formalizuojanti baigtinę metamatematiką ir paprastai yra silpna (T) poteorija. Norint turėti bet kokią pamatinę reikšmę, taip pat būtina, kad būtų galima pateikti konstruktyvų argumentą transfinito indukcijai iki (alpha_T). Kaip minėta aukščiau, tai padarė Gentzenas ir Takeuti dėl (varepsilon_0), įrodymų teorinio ordino, esančio (PA),bet tampa sunkesnė ir laipsniškai abejotina filosofine reikšme stipresnėms teorijoms.

Filosofiškai labiau patenkintą Hilberto programos tęsinį įrodyta teorine prasme pasiūlė Kreisel (1983; 1968) ir Feferman (Feferman, 1988; Feferman, 1993a). Šis darbas grindžiamas platesne Hilbert'o programos samprata, kaip bandymu pagrįsti idealią matematiką ribotomis priemonėmis. Šia samprata Hilbert'o įrodinėjimo teorijos tikslas buvo parodyti, kad bent jau tam tikra realių teiginių klase ideali matematika neviršija tikrosios matematikos. Tai būtų įvykdęs baigtinis nuoseklumo įrodymas, kurį numatė Hilbertas: jei ideali matematika įrodo realų teiginį, tada šis teiginys jau yra įrodytas realiaisiais (ty baigtiniaisiais) metodais. Tam tikra prasme tai idealią matematiką paverčia realia matematika. Įrodyta teorinė teorijos (T) redukcija į teoriją (S) rodo, kad, kalbant apie tam tikrą teiginių klasę, jei (T) įrodo teiginį, tada (S) tai įrodo ir pats šio fakto įrodymas yra baigtinis. Tada Hilberto įrodymo teoretinė programa gali būti įrodyta, kad visos matematikos teorinis redukcija yra baigtinė matematika; relativizuotoje programoje ieškoma silpnesnių nei visos klasikinės matematikos teorijų redukcijos į teorijas, kurios dažnai būna stipresnės nei baigtinė matematika. Įrodyta, kad teoretikai yra gavę nemažai tokių rezultatų, įskaitant teorijų, kurios, jų nuomone, pagrindžiant baigtines sistemas (pvz., Analizės posistemiai) pagrindimą, reikalauja daug idealios matematikos, skaičių. (Fefermanas,1993b) panaudojo tokius rezultatus kartu su kitais rezultatais, kurie parodo, kad daugumą, jei ne visus, moksliškai pritaikomą matematiką galima atlikti sistemose, kuriose yra tokių redukcijų, kad būtų galima argumentuoti nepakeičiamu matematikos filosofijos argumentu. Tokių įrodinėjimo teorinių redukcijų filosofinė reikšmė šiuo metu yra diskusijų objektas (Hofweber, 2000; Feferman, 2000).

Friedmano ir Simpsono sukurta vadinamosios atvirkštinės matematikos programa yra dar viena Hilbert'o programos tąsa. Turėdami omenyje Gödelio rezultatus, kurie rodo, kad ne visa klasikinė matematika gali būti redukuota iki baigtinės, jie siekia atsakyti į klausimą: kiek klasikinės matematikos galima taip sumažinti? Atvirkštinė matematika siekia tiksliai pateikti atsakymą į šį klausimą ištyrdama, kurios klasikinės matematikos teoremos yra įrodomos silpnuose analizės posistemiuose, kurie yra redukuojami iki baigtinės matematikos (ankstesnėje pastraipoje aptarta prasme). Tipiškas rezultatas yra tai, kad Hahno-Banacho funkcinės analizės teorema yra įrodyta teorija, vadinama (WKL_0) („silpnai König lemmai“); (WKL_0) yra konservatyvus, palyginti su (PRA), skirtu (Pi ^ {0} _2) sakiniams (ty,formos sakiniai (forall x / egzistuoja yA (x, y)). (Žr. „Simpson 1988“apžvalgą ir „Simpson 1999“- techninį gydymą.)

Bibliografija

Išplėstinę šio įrašo pirmosios versijos versiją galima rasti Zach (2006).

  • Ackermannas, Wilhelmas, 1924 m., „Begründung des“neterminuotas „mittels der Hilbertschen Theorie der Widerspruchsfreiheit“, „Mathematische Annalen“, 93: 1–36.
  • Auerbach, Davidas, 1992 m., „Kaip pasakyti dalykus su formalizmais“, „Proof, Logic and Formalization“, Michaelis Detlefsenas, ed., London: Routledge, 77–93.
  • Avigad, Jeremy, 2003, „Skaičių teorija ir elementari aritmetika“, Philosophia Mathematica, 11: 257–284. [Preprint galima rasti internete]
  • Bernays, Paulius, 1922 m., „Über Hilberts Gedanken zur Grundlegung der Arithmetik“, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 31: 10–19. Vertimas į anglų kalbą Mancosu (1998a, 215–222).
  • ––– 1923 m., „Erwiderung auf die Herrn Aloys Müller pastaba: Über Zahlen als Zeichen“, Mathematische Annalen, 90: 159–63. Vertimas į anglų kalbą Mancosu (1998a, 223–226).
  • ––– 1928 m., „Über Nelsons Stellungnahme in Philosophie der Mathematik“, Die Naturwissenschaften, 16: 142–45.
  • ––– 1928 m., „Zusatz zu Hilberts Vortrag über„ Die Grundlagen der Mathematik ““, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, 6: 88–92. Vertimas į anglų kalbą: van Heijenoort (1967, 485–489).
  • ––– 1930 m., „Die Philosophie der Mathematik und die Hilbertsche Beweistheorie“, Blätter für deutsche Philosophie, 4: 326–67. Perspausdinta Bernuose (1976, 17–61). Vertimas į anglų kalbą Mancosu (1998a, 234–265).
  • ––– 1976 m., Abhandlungen zur Philosophie der Mathematik, Darmštatas: „Wissenschaftliche Buchgesellschaft“.
  • Dekanas, Walteris, 2015 m., „Aritmetinis atspindys ir patikimumo įrodomumas“, Philosophia Mathematica, 23: 31–64, doi: 10.1093 / philmat / nku026
  • Detlefsenas, Michaelas, 1979 m., „Dėl antrosios Gödelio teoremos interpretavimo“, žurnalas „Philosophical Logic“, 8: 297–313. Perspausdintas su „Shanker“(1988, 131–154) straipsniu.
  • ––– 1986 m., Hilberto programa, Dordrecht: Reidelis.
  • ––– 1990 m., „Dėl tariamo Hilberto programos paneigimo, naudojant pirmąją Gödelio nepilnumo teoremą“, Journal of Philosophial Logic, 19: 343–377.
  • ––– 2001 m., „Ką sako antroji Gödelio teorema?“, Philosophia Mathematica, 9: 37–71.
  • Ewald, William Bragg (red.), 1996 m., Nuo Kanto iki Hilberto. Šaltinio knyga „Matematikos pagrindai“, t. 2, Oksfordas: Oxford University Press.
  • Ewald, William Bragg ir Wilfried Sieg (red.), 2013 m., Davido Hilberto paskaitos apie aritmetikos ir logikos pagrindus 1917–1933, Berlynas ir Heidelbergas: „Springeris“.
  • Fefermanas, Saliamonas, 1988 m., „Hilberto programa buvo atnaujinta: teoriniai ir fondo redukcijos įrodymai“, „Symbolic Logic“žurnalas, 53 (2): 364–284.
  • –––, 1993a, „Nuo ko priklauso? Teorinė matematikos analizė “, matematikos filosofijoje. Penkioliktojo tarptautinio Wittgensteino simpoziumo 1 dalis, Johannes Czermak, red., Viena: Hölder-Pichler-Tempsky, 147–171. Perspausdinta „Feferman“(1998 m., 187–208, 10 ch.). [Preprint galima rasti internete].
  • –––, 1993b, „Kodėl po truputį nueini ilgą kelią: Moksliškai pritaikomos matematikos loginiai pagrindai“, PSA 1992, 2: 442–455. Perspausdinta „Feferman“(1998, Ch. 14, 284–298). [Preprint galima rasti internete].
  • ––– 1998 m., Atsižvelgiant į logiką, Oksfordas: Oxford University Press.
  • ––– 2000 m., „Ar redukcinio įrodymo teorija turi pagrįstą pagrindimą?“, Erkenntnis, 53: 63–96. [Preprint galima rasti internete].
  • Franks, Curtis, 2009, Matematinių žinių autonomija: atnaujinta Hilberto programa, Kembridžas: Cambridge University Press.
  • Ganea, Mihai, 2010 m., „Dvi (arba trys) finitizmo sąvokos“, Simbolinės logikos apžvalga, 3: 119–144.
  • Gentzen, Gerhard, 1936 m., „Die Widerspruchsfreiheit der reinen Zahlentheorie“, Mathematische Annalen, 112: 493–565. Vertimas į anglų kalbą Gentzen (1969, 132–213).
  • ––– 1969 m., Gerhardo Gentzeno surinkti dokumentai, Amsterdamas: Šiaurės Olandija.
  • Giaquinto, Marcus, 1983 m., „Hilberto matematikos filosofija“, Britanijos mokslo filosofijos žurnalas, 34: 119–132.
  • Gödel, Kurt, 1931 m., „Aukščiausiosios oficialiosios pagrindinės matematikos ir pagrindinės sistemos I“, Monatshefte für Mathematik und Physik, 38: 173–198. Perspausdinta ir išversta Gedelyje (1986, 144–195).
  • ––– 1958 m., „Aukščiausiasis tarpininkas“, „Dialektika“, 280–287. Perspausdinta ir išversta Gedelyje (1990, 217–251).
  • –––, 1986, „Collected Works“, t. 1, Oksfordas: Oxford University Press.
  • –––, 1990 m., „Kolekcionuojami darbai“, t. 2, Oksfordas: Oxford University Press.
  • ––– 2003 m., „Kolekcionuojami darbai“, t. 4, Oksfordas: Oxford University Press.
  • Hallett, Michael, 1990, „Fizizmas, redukcionizmas ir Hilbertas“, „Fizizmas matematikoje“, Andrew D. Irvine, red., Dordrecht: Reidel, 183–257.
  • Hilbertas, Davidas, 1899 m., „Grundlagen der Geometrie“, „Festschrift zur Feier der Enthüllung des Gauss-Weber-Denkmals“Getingene, Leipcige: Teubner, 1–92, 1-asis leidimas.
  • ––– 1900 m., „Mathematische Probleme“, Nachrichtenas von der Königlichenas Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, matematikos-fiz. Klasse, 253–297. Paskaita tarptautiniame matematikų kongrese, Paryžiuje, 1900 m. Dalinis vertimas į anglų kalbą Ewald mieste (1996, 1096–1105).
  • ––– 1900 m., „Über den Zahlbegriff“, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 8: 180–184. Vertimas į anglų kalbą Ewald (1996, 1089–1096).
  • ––– 1905 m., „Bendra die Grundlagen der Logik und der Arithmetik“, Verhandlungen des dritten Internationalen Mathematiker-Kongress Heidelberg, 8. 8. 1904 m. Rugpjūčio 13 d., A. Krazer, ed., Leipzig: Teubner, 174–85. Vertimas į anglų kalbą van Heijenoort'e (1967, 129–138).
  • ––– 1918 m., „Axiomatisches Denken“, Mathematische Annalen, 78: 405–15. Paskaita Šveicarijos matematikų draugijoje, 1917 m. Rugsėjo 11 d. Perspausdinta Hilberte (1935, 146–156). Vertimas į anglų kalbą Ewald (1996, 1105–1115).
  • ––– 1918 m., „Prinzipien der Mathematik“, Paul Bernays paskaitos užrašai. 1917/18 m. Žiemos-semestras. Rašomasis raštas. Bibliothek, Mathematisches Institut, Getingeno universitetas. Redaguota Ewald ir Sieg (2013, 59–221)..
  • –––, 1922a, „Grundlagen der Mathematik“, Vorlesung, 1921/22 žiemos semestras. Paul Bernays paskaitos užrašai. Rašomasis raštas. Bibliothek, Mathematisches Institut, Getingeno universitetas. Redaguota Ewald ir Sieg (2013, 431–527).
  • ––– 1922 m., „Neubegründung der Mathematik: Erste Mitteilung“, Abhandlungen aus dem Seminar der Hamburgischen Universität, 1: 157–177. Pokalbių ciklas, pasakytas Hamburgo universitete, 1921 m. Liepos 25–27 d. Perspausdintas su Bernardo užrašais Hilberte (1935, 157–177). Vertimas į anglų kalbą Mancosu (1998a, 198–214) ir Ewald (1996, 1115–1134).
  • ––– 1923 m., „Die logischen Grundlagen der Mathematik“, Mathematische Annalen, 88: 151–165. Paskaita „Deutsche Naturforscher-Gesellschaft“, 1922 m. Rugsėjo mėn. Perspausdinta Hilberte (1935, 178–191). Vertimas į anglų kalbą Ewald (1996, 1134–1148).
  • ––– 1926 m., „Über das Unendliche“, Mathematische Annalen, 95: 161–190. Paskaita Miunsteryje, 1925 m. Birželio 4 d. Vertimas į anglų kalbą van Heijenoort (1967, 367–392).
  • ––– 1928 m., „Die Grundlagen der Mathematik“, Abhandlungen aus dem Seminar der Hamburgischen Universität, 6: 65–85. Perspausdinti Ewald ir Sieg (2013, 917–942). Vertimas į anglų kalbą van Heijenoort'e (1967, 464–479).
  • ––– 1929 m., „Problema der Grundlegung der Mathematik“, „Mathematische Annalen“, 102: 1–9. Paskaita tarptautiniame matematikų kongrese, įvykusiame 1928 m. Rugsėjo 3 d. Perspausdinta Ewald ir Sieg (2013, 954–966). Vertimas į anglų kalbą Mancosu (1998a, 227–233).
  • ––– 1931 m., „Beweis des Tertium non datur“, Nachrichten der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Matematika-fiz. Klasse, 120–125. Perspausdinti Ewald ir Sieg (2013, 967–982).
  • ––– 1931 m., „Die Grundlegung der elementaren Zahlenlehre“, „Mathematische Annalen“, 104: 485–494. Perspausdinti Hilberte (1935, 192–195) ir Ewald ir Sieg (2013, 983–990). Vertimas į anglų kalbą Ewald (1996, 1148–1157).
  • ––– 1935 m., Gesammelte Abhandlungen, t. 3, Berlynas: „Springer“.
  • ––– 1992 m., Natur undhematisches Erkennen, Bazelis: Birkhäuser. Vorlesungen, 1919–20.
  • Hilbertas, Davidas ir Ackermannas, Wilhelmas, 1928 m., Grundzüge der theoretischen Logik, Berlynas: Springeris.
  • Hilbertas, Davidas ir Bernays, Paulius, 1923 m., „Logische Grundlagen der Mathematik“, Vorlesung, 1922–23 žiemos semestras. Paul Bernays paskaitos užrašai su Hilbert'o rankomis užrašais. Hilbert-Nachlaß, Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek, Cod. Ponia Hilbert 567.
  • –––, 1934 m., Grundlagen der Mathematik, t. 1, Berlynas: „Springer“.
  • –––, 1939 m., Grundlagen der Mathematik, vol. 2, Berlynas: „Springer“.
  • Hofweberis, Thomas, 2000, „Teorinis įrodymas kaip filosofo įrankis“, Erkenntnis, 53: 127–146.
  • Ignjatovičius, Aleksandaras, 1994 m., „Hilberto programa ir omega taisyklė“, žurnalas „Symbolic Logic“, 59: 322–343.
  • Kitcher, Philip, 1976 m., „Hilberto epistemologija“, Mokslo filosofija, 43: 99–115.
  • Kreisel, Georg, 1960 m., „Įprasta logika ir neoficialių įrodymų sampratų apibūdinimas“, Tarptautinio matematikų kongreso leidiniuose. Edinburgas, 1958 m. Rugpjūčio 14–21 d., JA Todd, ed., Cambridge: Cambridge University Press, 289–299.
  • ––– 1968 m., „Įrodymų teorijos apžvalga“, Journal of Symbolic Logic, 33: 321–388.
  • ––– 1970 m., „Intuicionizmo ir įrodinėjimo teorijos įrodinėjimo principai ir įsakmieji principai, numanomi duotose sąvokose“, A. Kino, J. Myhill ir RE Veseley, red., Amsterdamas: Šiaurės Olandija.
  • ––– 1983 m., „Hilberto programa“, matematikos filosofija, Paul Benacerraf ir Hilary Putnam, red., Kembridžas: Cambridge University Press, 207–238, 2-asis leidimas.
  • Mancosu, Paolo (red.), 1998a, Nuo Brouwer iki Hilbert. Diskusija apie matematikos pagrindus 1920 m., Oksfordas: Oxford University Press.
  • Mancosu, Paolo, 1998b, „Hilbert and Bernays on Metahematics“, (Mancosu, 1998a), 149–188. Perspausdintas „Mancosu“(2010).
  • ––– 1999 m., „Tarp Russell ir Hilbert: Behmann ant matematikos pagrindų“, Simbolinės logikos biuletenis, 5 (3): 303–330. Perspausdintas „Mancosu“(2010).
  • ––– 2010 m., Priežasties nuotykis: Matematikos filosofijos ir matematinės logikos sąveika, 1900–1940, Oksfordas: Oxford University Press.
  • Mancosu, Paolo ir Ryckman, Thomas, 2002, „Matematika ir fenomenologija: O. Beckerio ir H. Weilo susirašinėjimas“, Philosophia Mathematica, 10: 130–202. Perspausdintas „Mancosu“(2010).
  • McCarthy, T., 2016, „Trečioji Godelio neužbaigtumo teorema“, Dialektika 70: 87–112.
  • Parsons, Charles, 1998, „Finitizmas ir intuityvios žinios“, „Matematikos filosofija šiandien“, Matthias Schirn, ed., Oxford: Oxford University Press, 249–270.
  • –––, 2007, Matematinė mintis ir jos objektai, Kembridžas: Cambridge University Press.
  • Patton, Lydia, 2014 m., „Hilberto objektyvumas“, Historia Mathematica, 41 (2): 188–203.
  • Peckhaus, Volker, 1990 m., Hilbertprogramm und Kritische Philosophie, Getingenas: Vandenhoeck und Ruprecht.
  • Poincaré, Henri, 1906 m., „Les mathématiques et la logique“, Revue de métaphysique et de morale, 14: 294–317. Vertimas į anglų kalbą Ewald (1996, 1038–1052).
  • Resnik, Michaelas D., 1974 m., „Dėl nuoseklumo įrodymų filosofinės reikšmės“, žurnalas „Philosophical Logic“, 3: 133–47.
  • –––, 1980 m., Frege'as ir matematikos filosofija, Ithaca: Cornell University Press.
  • Shankeris, Stuartas G., 1988 m., Gödelio tema „Focus“, Londonas: maršrutas.
  • Sieg, Wilfried, 1990, „Reflections on Hilbert's program“, Spektakliai ir refleksijos, Wilfried Sieg, red., Dordrecht: Kluwer, 171–82. Perspausdinta „Sieg“(2013).
  • –––, 1999 m., „Hilberto programos: 1917–1922“, Simbolinės logikos biuletenis, 5 (1): 1–44. Perspausdinta „Sieg“(2013).
  • ––– 2013 m., Hilberto programos ir už jos ribų, Niujorkas: „Oxford University Press“.
  • Simpson, Stephen G., 1988, „Dalinis Hilberto programos įgyvendinimas“, „Symbolic Logic“žurnalas, 53 (2): 349–363.
  • –––, 1999 m., Antrosios eilės aritmetikos posistemiai, Berlynas: „Springeris“.
  • Smorynski, Craigas, 1977 m., „Nebaigtumo teoremos“, „Matematinės logikos vadove“, Jon Barwise, ed., Amsterdam: North-Holland, 821–865.
  • Steineris, Markas, 1975 m., Matematikos žinios, Ithaca: Cornell University Press.
  • ––– 1991 m., „Hilberto programos apžvalga: esė apie matematinį instrumentalizmą (Detlefsen, 1986)“, Filosofijos žurnalas, 88 (6): 331–336.
  • Tait, WW, 1981 m., „Finitizmas“, žurnalas apie filosofiją, 78: 524–546. Perspausdinta Taite (2005a, 21–42).
  • –––, 2002 m., „Pastabos apie finitizmą“, apmąstymuose apie matematikos pagrindus. Esė Saliamono Fefermano, Wilfriedo Siego, Ričardo Sommerio ir Carolyn Talcott garbei, LNB 15. Simbolinės logikos asociacija. Perspausdinta Taite (2005a, 43–53). [Preprint galima rasti internete]
  • –––, 2005a, „Grynos priežasties ištaka: esė matematikos filosofijos ir jos istorijos filosofijoje“, Niujorkas: Oxford University Press.
  • –––, 2005b, „1 ir 2 skyrių priedėlis“, Tait (2005a, 54–60)
  • Takeuti, Gaisi, 1987 m., Įrodymo teorija (Studijos logikoje: 81), Amsterdamas: Šiaurės Olandija, 2-as leidimas
  • van Heijenoort, Jean (red.), 1967 m., nuo Frege iki Gödel. Šaltinio knyga „Matematinė logika“, 1897–1931, Kembridžas, Masačusetsas: Harvard University Press.
  • von Neumann, Johann, 1927 m., „Zur Hilbertschen Beweistheorie“, „Mathematische Zeitschrift“, 26: 1–46.
  • Weyl, Hermann, 1921 m., „Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik“, „Mathematische Zeitschrift“, 10: 37–79. Perspausdintas „Weyl“(1968, 143–180). Vertimas į anglų kalbą Mancosu (1998a, 86–118).
  • ––– 1925 m., „Die heutige Erkenntnislage in der Mathematik“, Simpoziumas, 1: 1–23. Perspausdinta: Weyl (1968, 511–42). Vertimas į anglų kalbą: „Mancosu“(1998a, 123–42).
  • ––– 1928 m., „Diskussionsbemerkungen zu dem zweiten Hilbertschen Vortrag über die Grundlagen der Mathematik“, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, 6: 86–88. Vertimas į anglų kalbą van Heijenoort'e (1967, 480–484).
  • ––– 1968 m., Gesammelte Abhandlungen, t. 1, Berlynas: „Springer Verlag“.
  • Zach, Richardas, 1999, „Visiškumas prieš paštą: Bernays, Hilbert ir teiginio logikos plėtra“, Simbolinės logikos biuletenis, 5 (3): 331–366. [Preprint galima rasti internete]
  • ––– 2003 m., „Finitizmo praktika. Epsilono skaičiavimai ir nuoseklumo įrodymai Hilberto programoje “, Synthese, 137: 211–259. [Preprint galima rasti internete]
  • ––– 2004 m., „Hilberto„ Verunglückter Beweis “, pirmoji epsilono teorema ir nuoseklumo įrodymai“, Logikos istorija ir filosofija, 25: 79–94. [Preprint galima rasti internete]
  • ––– 2006 m., „Hilberto programa tada ir dabar“, autoriai: Dale Jacquette, red., Logikos filosofija. Mokslo filosofijos vadovas, t. 5. Amsterdamas: Elsevier, 411–447. [Preprint galima rasti internete]

Akademinės priemonės

sep vyro ikona
sep vyro ikona
Kaip pacituoti šį įrašą.
sep vyro ikona
sep vyro ikona
Peržiūrėkite šio įrašo PDF versiją „Friends of the SEP“draugijoje.
info piktograma
info piktograma
Ieškokite šios įrašo temos interneto filosofijos ontologijos projekte (InPhO).
„Phil Papers“piktograma
„Phil Papers“piktograma
Patobulinta šio įrašo „PhilPapers“bibliografija su nuorodomis į jo duomenų bazę.

Kiti interneto šaltiniai

[Kreipkitės į autorių ir pateikite pasiūlymų.]