Intuicionizmas Matematikos Filosofijoje

Turinys:

Intuicionizmas Matematikos Filosofijoje
Intuicionizmas Matematikos Filosofijoje

Video: Intuicionizmas Matematikos Filosofijoje

Video: Intuicionizmas Matematikos Filosofijoje
Video: R. Norvaiša. Matematikos mokymas, ugdymo filosofija ir matematikos mokymo filosofija 2024, Kovo
Anonim

Įėjimas Navigacija

  • Įstojimo turinys
  • Bibliografija
  • Akademinės priemonės
  • Draugai PDF peržiūra
  • Informacija apie autorius ir citata
  • Atgal į viršų

Intuicionizmas matematikos filosofijoje

Pirmą kartą paskelbta 2008 m. Rugsėjo 4 d. esminė peržiūra 2019 m. birželio 11 d., antradienis

Intuicionizmas yra matematikos filosofija, kurią pristatė olandų matematikas LEJ Brouweris (1881–1966). Intuicionizmas remiasi idėja, kad matematika yra proto kūrinys. Matematinio teiginio tiesa gali būti suvokiama tik per psichinę konstrukciją, įrodančią, kad ji teisinga, o matematikų bendravimas tarnauja tik kaip priemonė sukurti tą patį psichinį procesą skirtinguose protuose.

Šis matematikos požiūris turi didelę reikšmę kasdieninei matematikos praktikai, viena iš pasekmių yra ta, kad pašalintos vidurio principas ((A / vee / neg A)) nebegalioja. Iš tiesų yra teiginių, tokių kaip Riemann hipotezė, kuriems šiuo metu nėra nei teiginio, nei jo neigimo įrodymų. Kadangi žinojimas apie teiginio neigimą intuicionizme reiškia, kad galima įrodyti, jog teiginys netiesa, tai reiškia, kad ir (A), ir (neg A) nelaiko intuicijos, bent jau šiuo metu. Intuityvizmo priklausomybė nuo laiko yra būtina: laikui bėgant teiginiai gali tapti įrodomi ir todėl gali tapti intuicioniškai pagrįsti, kol to dar nebuvo.

Be to, kad atmetamas atstumto vidurio principas, intuicionizmas stipriai nukrypsta nuo klasikinės matematikos kontinuumo koncepcijoje, kuri ankstesnėje aplinkoje turi savybę, kad visos bendrosios funkcijos joje yra tęstinės. Taigi, skirtingai nei kelios kitos konstruktyvios matematikos teorijos, intuicionizmas nėra klasikinio samprotavimo apribojimas; tai iš esmės prieštarauja klasikinei matematikai.

Brouweris didžiąją savo gyvenimo dalį skyrė matematikos plėtrai, remdamasis šiuo nauju pagrindu. Nors intuicionizmas niekada nepakeitė klasikinės matematikos kaip standartinės matematikos nuomonės, ji visada sulaukė didelio dėmesio ir yra vis dar plačiai nagrinėjama šiandien.

Šiame įraše dėmesys sutelkiamas į intuicionizmo aspektus, išskiriančius jį iš kitų konstruktyvios matematikos šakų, ir tik trumpai aptariama dalis, kuria jis dalijasi su kitomis konstruktyvizmo formomis, tokiomis kaip pamatų teorijos ir modeliai.

  • 1. Broukeris
  • 2. Intuicionizmas

    • 2.1 Abu intuicionizmo veiksmai
    • 2.2 Kūrėjas
  • 3. Matematika

    • 3.1 BHK aiškinimas
    • 3.2 Intuicionistinė logika
    • 3.3 Natūralieji skaičiai
    • 3.4 Tęstinumas
    • 3.5 Tęstinumo aksiomos
    • 3.6 juostos teorema
    • 3.7 Pasirinkimo aksiomos
    • 3.8 Aprašomoji rinkinių teorija, topologija ir topos teorija
  • 4. Konstruktyvizmas
  • 5. Meta-matematika

    • 5.1 Aritmetika
    • 5.2 analizė
    • 5.3 Neteisėtos sekos
    • 5.4 Kūrėjo subjekto formalizavimas
    • 5.5 Pamatai ir modeliai
    • 5.6 Atvirkštinė matematika
  • 6. Filosofija

    • 6.1 Fenomenologija
    • 6.2 Vitgenšteinas
    • 6.3 Dummetas
    • 6.4 Finitizmas
  • Bibliografija
  • Akademinės priemonės
  • Kiti interneto šaltiniai
  • Susiję įrašai

1. Broukeris

Luitzenas Egbertusas Janas Brouweris gimė Overschie mieste, Nyderlanduose. Jis studijavo matematiką ir fiziką Amsterdamo universitete, kur 1907 m. Įgijo daktaro laipsnį. 1909 m. Jis tapo dėstytoju tame pačiame universitete, kur 1912 m. Jis buvo paskirtas nuolatiniu profesoriumi. Ši pozicija buvo iki pensijos 1951 m. Brouwer buvo puikus matematikas, atlikęs novatorišką topologijos darbą ir išgarsėjęs jau jauname amžiuje. Visą gyvenimą jis buvo savarankiškas protas, kuris aršiai veikė siekdamas dalykų, kuriais tikėjo, o tai jam sukėlė konfliktą su daugeliu kolegų, ypač su Davidu Hilbertu. Jis taip pat turėjo gerbėjų, o savo name „namelis“Blaricume pasveikino daugelį žinomų savo meto matematikų. Iki gyvenimo pabaigos jis tapo labiau izoliuotas, tačiau jo tikėjimas savo filosofijos tiesa niekada neapleido. Jis žuvo autoavarijoje, būdamas 85 metų Blaricume, praėjus septyneriems metams po žmonos Lize Brouwer mirties.

Būdamas 24 metų Brouweris parašė knygą „Gyvenimas, menas ir mistika“(Brouwer 1905), kurios solipsistinis turinys išpranašavo jo matematikos filosofiją. Jo disertacijoje pirmą kartą suformuluoti intuicionizmo pagrindai, nors dar ne tuo vardu ir ne galutine forma. Pirmaisiais metais po disertacijos didžioji dalis Brouwerio mokslinio gyvenimo buvo skirta topologijai - sričiai, kurioje jis vis dar yra žinomas dėl savo matmenų teorijos ir fiksuotosios taško teoremos. Šis darbas yra klasikinės matematikos dalis; Remiantis vėlesniu Brouwerio požiūriu, jo fiksuoto taško teorema netenkina, nors galima įrodyti, kad analogijos, pateiktos apytiksliai, laikosi pagal jo principus.

Nuo 1913 m. Brouweris vis labiau atsidavė disertacijoje suformuluotų idėjų plėtojimui į visą matematikos filosofiją. Remdamasis šiais principais, jis ne tik patobulino intuicionizmo filosofiją, bet ir perdarė matematiką, ypač kontinuumo teoriją ir aibių teoriją. Iki to laiko Brouweris buvo garsus matematikas, kuris skaitė įtakingas intuicijos paskaitas to meto mokslinėse meccose, Kembridže, Vienoje ir Getingene. Daugelis jo filosofijos laikė nepatogia, tačiau kai kurie garsiausių jo laikų matematikų traktuojo kaip rimtą klasikinių samprotavimų alternatyvą, net kai jie šiuo klausimu žiūrėjo kitaip. Kurt Gödel, kuris visą gyvenimą buvo platonistas, buvo vienas iš jų. Vienu metu Hermannas Weylas parašė „Taigi gebe ich taip pat jetzt meinen eigenen Versuch Preis und schließe mich Brouwer an“(Weylas 1921, 56). Ir nors vėliau gyvenime jis retai praktikavo intuicionistinę matematiką, Weylas niekada nesustojo žavėtis Brouweriu ir jo intuityvine matematikos filosofija.

Brouwerio gyvenimas buvo apkrautas konfliktais, garsiausias iš jų buvo konfliktas su Davidu Hilbertu, kuris galiausiai lėmė Brouwerio pašalinimą iš „Mathematische Annalen“valdybos. Šis konfliktas buvo „Grundlagenstreit“dalis, sukrėtusi matematikos visuomenę XX amžiaus pradžioje ir išryškėjusi dėl matematikos paradoksų ir labai nekonstruktyvių įrodymų atsiradimo. Filosofai ir matematikai buvo priversti pripažinti, kad matematikai trūksta epistemologinio ir ontologinio pagrindo. Brouwerio intuicionizmas yra matematikos filosofija, kuria siekiama suteikti tokį pagrindą.

2. Intuicionizmas

2.1 Abu intuicionizmo veiksmai

Anot Brouwerio, matematika yra kalbos be proto kūrimas. Laikas yra vienintelė a priori sąvoka kantiška prasme. Brouweris išskiria du intuicionizmo veiksmus:

Pirmasis intuicionizmo veiksmas yra:

Visiškai atskirtas matematika nuo matematinės kalbos, taigi ir nuo teorinės logikos aprašomų kalbos reiškinių, pripažįstant, kad intuicionistinė matematika yra iš esmės kalbos neturinti proto veikla, kilusi iš laiko judesio suvokimo. Šis laiko judesio suvokimas gali būti apibūdinamas kaip gyvenimo akimirkos suskaidymas į du skirtingus dalykus, iš kurių vienas užleidžia vietą kitam, bet kurį išsaugo atmintis. Jei tokiu būdu užgimusi dviesybė yra visiškai atsiribojusi, ji pereina į tuščią visų dviejų dualybių bendrąjį pagrindą. Būtent šis įprastas substratas, ši tuščia forma yra pagrindinė matematikos intuicija. (Brouwer 1981, 4–5)

Kaip bus aptarta matematikos skyriuje, pirmasis intuicionizmo aktas sukelia natūralius skaičius, tačiau reiškia griežtą leidžiamų samprotavimo principų apribojimą, visų pirma atstumto vidurio principo atmetimą. Dėl šio principo atmetimo ir išnykusio loginio tęstinumo principo, Brouwerio žodžiais tariant, galima „bijoti, kad intuicionistinė matematika būtinai turi būti prasta ir anemiška, o ypač neturėti kur analizuoti“(). Brouwer 1952, 142). Tačiau antrasis veiksmas nustato kontinuumo, tęstinumo, turinčio savybes, kurių neturi jo klasikinis kolega, egzistavimą. Tęstinumo atkūrimas priklauso nuo pasirinkimo sekos, nurodytos antrame akte, principo, ty nuo to, ar egzistuoja begalinės sekos, kurias sukuria laisvas pasirinkimas,kurios dėl to nėra iš anksto nustatomos.

Antrasis intuicionizmo veiksmas yra:

Priimami du naujų matematinių subjektų kūrimo būdai: pirmiausia formuojant daugiau ar mažiau laisvai besitęsiančias begalines anksčiau įgytų matematinių esybių sekas <…>; antra, matematinių rūšių pavidalu, t. y. savybėmis, kuriomis galima remtis anksčiau įgytiems matematiniams subjektams, tenkinančiai sąlygą, kad jei jie laikomi tam tikru matematiniu subjektu, jie taip pat galioja visiems matematiniams vienetams, kurie buvo apibrėžti kaip „lygūs“jai…. (Brouwer 1981, 8)

Du intuicionizmo aktai sudaro Brouwerio filosofijos pagrindą; kaip tik paaiškinęs toliau, Brouweris vien iš šių dviejų poelgių sukuria intuityviosios matematikos sritį. Jau iš šių pagrindinių principų galima daryti išvadą, kad intuicionizmas skiriasi nuo platonizmo ir formalizmo, nes jis taip pat neprisiima matematinės tikrovės už mūsų ribų ir nemano, kad matematika yra žaidimas su simboliais pagal tam tikras fiksuotas taisykles. Brouwerio nuomone, kalba naudojama keičiantis matematinėmis idėjomis, tačiau pastarosios buvimas nepriklauso nuo pirmosios. Skirtumas tarp intuicionizmo ir kitų konstruktyvių matematikos požiūrių, pagal kuriuos matematiniai objektai ir argumentai turėtų būti skaičiuojami, slypi laisvėje, kurią leidžia antrasis veiksmas konstruojant begalines sekas. Iš tikrųjų,Kaip bus paaiškinta toliau, antrojo intuicionizmo akto matematinės reikšmės prieštarauja klasikinei matematikai, todėl jo negalima laikyti pačiomis konstruktyviausiomis teorijomis, nes jos paprastai yra klasikinės matematikos dalis.

Taigi Brouwerio intuicionizmas išsiskiria iš kitų matematikos filosofijų; ji remiasi laiko suvokimu ir įsitikinimu, kad matematika yra laisvo proto kūrinys, todėl ji nėra nei platonizmas, nei formalizmas. Tai yra konstruktyvizmo forma, tačiau tik plačiąja prasme, nes daugelis konstruktyvistų nepriima visų principų, kuriuos Brouweris manė esant tiesa.

2.2 Kūrėjas

Šie du intuicionizmo veiksmai savaime neatmeta psichologinio matematikos aiškinimo. Nors Brouweris tik retkarčiais atkreipė dėmesį į šį klausimą, iš jo raštų aišku, kad jis intuicionizmą laikė nepriklausomu nuo psichologijos. Brouwerio įvestas kūrimo objektas (Brouwer 1948) kaip idealizuotas protas, kuriame vyksta matematika, jau atsiriboja nuo neesminių žmogaus samprotavimų aspektų, tokių kaip erdvės ir laiko apribojimai bei klaidingų argumentų galimybė. Taigi intersubjektyvumo problema, prašanti paaiškinti faktą, kad žmonės sugeba bendrauti, nustoja egzistuoti, nes egzistuoja tik vienas Kūrimo subjektas. Literatūroje taip pat naudojamas pavadinimas Kūrybinis subjektas, kuriantis subjektą, tačiau čia vartojama Brouwerio terminija. In (Niekus 2010),teigiama, kad Brouwerio kūrimo tema nėra idealizuotas matematikas. Apie fenomenologinę Kūrybos subjekto, kaip transcendentalinio subjekto, analizę Husserlio prasme, skaitykite (van Atten 2007).

Brouweris naudojo argumentus, susijusius su Kūrimo subjektu, kad sukonstruotų tam tikrų intuicioniškai nepriimtinų teiginių pavyzdžių. Kai silpni priešpriešiniai pavyzdžiai, kurie bus aptariami toliau, tik parodo, kad kai kurie teiginiai šiuo metu negali būti priimami intuityviai, idealizuoto proto samprata įrodo, kad tam tikri klasikiniai principai yra klaidingi. Pavyzdys pateiktas 5.4 skyriuje apie Kūrėjo subjekto sąvokos įforminimą. Ten taip pat paaiškinama, kad šį principą, žinomą kaip Kripke'io schema, galima pagrįsti Kūrėjo subjektu:

(tag {({ bf KS})} egzistuoja / alpha (A / leftrightarrow / egzistuoja n \, / alpha (n) = 1).)

Į KS, (A) svyruoja per formulių ir (alpha) svyruoja per pasirinkimo sekų, kurios yra sekos natūralių skaičių, gaunamas kūrimas subjekto, kuris pasirenka jų elementai vienas po kito. Pasirinkimo seka ir Kripke'io schema išsamiau aptariama 3.4 skyriuje.

Daugelyje matematikos filosofijų, pavyzdžiui, platonizmo, matematiniai teiginiai yra be įtampos. Intuicionizme tiesa ir klastotė turi laiko aspektą; nustatytas faktas taip ir liks, tačiau teiginiui, kuris tam tikru metu tampa įrodytas, iki tos dienos trūksta tiesos vertės. Minėtame „Kūrybos subjekto“idėjos įforminime, kurį suformulavo ne Brouwer, o tik vėliau kiti, aiškiai pastebimas laikinasis intuicionizmo aspektas.

Svarbu, nes argumentai, naudojantys dalyko kūrimo sąvoką, gali būti tolesni intuicionizmo, kaip matematikos filosofijos, supratimui, jo vaidmuo plėtojant lauką turėjo mažiau įtakos nei dviejų intuicionizmo aktų, kurie tiesiogiai veda prie matematinės tiesos Brouweris ir kiti, einantys po jo, norėjo sutikti.

3. Matematika

Nors XX amžiaus pradžioje Brouwerio intuicionizmo raida vaidino svarbų vaidmenį pagrindinėse matematikų diskusijose, tolimos jo filosofijos reikšmės matematikai paaiškėjo tik po daugelio metų tyrimų. Dvi būdingiausios intuicionizmo savybės yra loginiai samprotavimo principai, kuriuos jis leidžia įrodymuose, ir visiškas intuicionizmo tęstinumo suvokimas. Tik kalbant apie pastarąją, intuicionizmas tampa nepalyginamas su klasikine matematika. Šiame įraše pagrindinis dėmesys skiriamas tiems intuicionizmo principams, kurie išskiria jį iš kitų matematikos disciplinų, todėl kiti jo konstruktyvūs aspektai bus nagrinėjami ne taip išsamiai.

3.1 BHK aiškinimas

Intuicionizme žinoti, kad teiginys A yra teisingas, reiškia turėti tai įrodantį. 1934 m. Arend Heyting, kuris buvo Brouwerio studentas, pristatė tai, kas vėliau tapo žinoma kaip Brouwer-Heyting-Kolmogorovo interpretacija, kurioje aprašomos loginių simbolių reikšmės intuicionizme ir apskritai konstruktyvizme. Neoficialiai apibrėžiama, ką turėtų sudaryti intuicinis įrodymas, nurodant, kaip turėtų būti aiškinami jungiamieji elementai ir kiekybiniai rodikliai.

  • (bot) neįrodomi.
  • (A / pleišto B) įrodymą sudaro (A) įrodymas ir (B) įrodymas.
  • (A / vee B) įrodymą sudaro (A) arba (B) įrodymas.
  • (A / dešinės rodyklės B) įrodymas yra konstrukcija, kuri bet kurį ((A)) įrodymą paverčia (B) įrodymu.
  • (Egzistuoja x A (x)) įrodymas pateikiamas pateikiant domeno elementą (d) ir (A (d)) įrodymą.
  • (Forall x A (x)) įrodymas yra konstrukcija, kuri kiekvieną įrodymą, kad (d) priklauso domenui, paverčia (A (d)) įrodymu.

Formulės (A) neigimas (neg A) yra įrodytas, kai paaiškėja, kad negali būti (A) įrodymo, tai reiškia, kad reikia pateikti konstrukciją, kuri klastotų iš bet kokio galimo įrodymo. (A). Taigi (neg A) yra lygiavertė (A / dešiniarankiams / bot). BHK aiškinimas nėra oficialus apibrėžimas, nes statybos sąvoka nėra apibrėžta ir todėl gali būti interpretuojama skirtingai. Nepaisant to, jau šiame neoficialiame lygmenyje žmogus yra priverstas atmesti vieną iš klasikinėje logikoje visada egzistuojančių loginių principų: atstumto vidurio principą ((A / vee / neg A)). Remiantis BHK aiškinimu, šis teiginys intuityviai galioja, jei kuriantis subjektas žino (A) įrodymą arba įrodymą, kad (A) neįmanoma įrodyti. Tuo atveju, kai nežinoma nei apie (A), nei dėl jo neigimo įrodymų,teiginys ((A / vee / neg A)) nelaikomas. Šį faktą iliustruoja atvirų problemų, tokių kaip Goldbacho spėjimas ar Riemann'o hipotezė, buvimas. Bet kai tik rasi (A) arba jos neigimo įrodymą, padėtis pasikeičia ir šiam konkrečiam (A) principas ((A / vee / neg A)) galioja nuo to. momentas.

3.2 Intuicionistinė logika

Brouweris, remdamasis savo filosofija, atmetė atstumto vidurio principą, tačiau Arend Heyting pirmasis suformulavo visapusišką principų, priimtinų intuicionistiniu požiūriu, logiką. Intuicionistinė logika, kuri yra ir daugelio kitų konstruktyvizmo formų logika, dažnai vadinama „klasikine logika be pašalinto vidurio principo“. Tai žymima IQC, kuris žymi intuicinę Quantifier logiką, tačiau literatūroje taip pat pasitaiko ir kitų pavadinimų. Galima aksiomatizacija Hilberto stiliumi susideda iš principų

(A pleištas B / dešinėn rodyklė A) (A pleištas B / dešinėn rodyklė B) (A dešinė rodyklė A / vee B) (B / dešinė rodyklė A / vee B)
(A dešinė rodyklė (B / dešinė rodyklė A)) (forall x A (x) dešinė rodyklė A (t)) (A (t) dešinė rodyklė / egzistuoja x A (x)) (bot / dešinė rodyklė A)
((A / dešinė rodyklė (B / dešinė rodyklė C)) dešinė rodyklė ((A / dešinė rodyklė B) dešinė rodyklė (A / dešinė rodyklė C)))
(A dešinė rodyklė (B / dešinė rodyklė A / pleištas B))
((A / dešinė rodyklė C) dešinė rodyklė ((B / dešinė rodyklė C) dešinė rodyklė (A / vee B / dešinė rodyklė C)))
(forall x (B / dešinė rodyklė A (x)) dešinė rodyklė (B / dešinė rodyklė / forall x A (x))) (forall x (A (x) dešinė rodyklė B) dešinė rodyklė (egzistuoja x A (x) dešinė rodyklė B))

su įprastomis šoninėmis sąlygomis paskutinėms dviem aksiomoms ir taisykle Modus Ponens,

(tekstas {iš (A) ir ((A / dešinė rodyklė B)) nustatyti (B)},)

kaip vienintelė išvadų taisyklė. Intuitionistinė logika buvo tyrimo objektas nuo tada, kai Heytingas ją suformulavo. Jau pasiūlymo lygmenyje jis turi daug savybių, išskiriančių ją iš klasikinės logikos, pavyzdžiui, Disjunkcijos savybė:

(tag {({ bf DP})} { bf IQC} vdash A / vee B / text {reiškia} { bf IQC} vdash A / text {or} { bf IQC} vdash B.)

Šis principas akivaizdžiai pažeidžiamas klasikinėje logikoje, nes klasikinė logika įrodo, kad ((A / vee / neg A)) taip pat formulėms, kurios nepriklauso nuo logikos, ty kurioms tiek (A), tiek (neg A) nėra tautologija. Ex Falso Sequitur Quodlibet, ((bot / rightarrow A)) principo įtraukimas į intuicionistinę logiką yra diskusijos vieta tiems, kurie nagrinėja Brouwerio pastabas šia tema; van Atten 2008 m. teigiama, kad principas negalioja intuicijoje ir kad loginiai principai, galiojantys pagal Brouwerio požiūrį, yra svarbūs. Norėdami sužinoti daugiau apie „Brouwer“ir „Ex Falso Sequitur Quodlibet“, skaitykite „Van Dalen 2004“.

Nors iki šiol visa intuicijos samprotavimams naudojama logika yra IQC, iš esmės įmanoma įsivaizduoti, kad tam tikru momentu bus rastas intuicionistiniu požiūriu priimtinas principas, kurio ši logika neapima. Daugelio konstruktyvizmo formų atžvilgiu plačiai priimta nuomonė, kad taip nebus niekada, todėl IQC laikoma konstruktyvizmo logika. Intuicionizmo atveju situacija nėra tokia aiški, nes negalima atmesti galimybės, kad tam tikru momentu mūsų intuicionistinis supratimas gali mus nuvesti prie naujų loginių principų, kurių mes anksčiau nesuvokėme.

Viena iš priežasčių, dėl kurių plačiai naudojamasi intuicionistine logika, yra ta, kad ji gerai elgiasi ir korektūros teorijos, ir modelio teorijos požiūriu. Tam egzistuoja daugybė įrodymų sistemų, tokių kaip Gentzeno skaičiavimai ir natūralios dedukcijos sistemos, taip pat įvairios semantikos formos, tokios kaip Kripke modeliai, Beth modeliai, Heyting algebros, topologinė semantika ir kategoriniai modeliai. Tačiau keletas iš šių semantikų yra tik klasikinės priemonės intuicionistinei logikai nagrinėti, nes galima parodyti, kad jų atžvilgiu intuityvumo išsamumo įrodymas negali egzistuoti (Kreisel 1962). Vis dėlto įrodyta, kad yra alternatyvių, bet šiek tiek mažiau natūralių modelių, kurių išsamumas konstruktyviai galioja (Veldman 1976). Konstruktyvusis intuityvinės logikos pobūdis ypač išryškėja Curry-Howardo izomorfizme, nustatančiame logikos darinių ir terminų atitikimą paprasčiausiai įvestame (lambda) - skaičiavime, tai yra tarp įrodymų ir skaičiavimų. Susirašinėjimas išsaugo struktūrą, nes terminų sumažinimas atitinka įrodymų normalizavimą.

3.3 Natūralieji skaičiai

Natūralių skaičių egzistavimą suteikia pirmasis intuicionizmo veiksmas, tai yra suvokimas apie laiko judėjimą ir gyvenimo akimirkos suskaidymas į du skirtingus dalykus: kas buvo, 1 ir kas yra kartu su tuo, kas buvo, 2 ir iš ten iki 3, 4,… Priešingai nei klasikinė matematika, intuicijoje visa begalybė laikoma potencialia begalybe. Visų pirma tai taikoma natūraliųjų skaičių begalybei. Todėl teiginius, kurie kiekybiškai apibūdina šį rinkinį, reikia vertinti atsargiai. Kita vertus, indukcijos principas yra visiškai priimtinas intuicionistiniu požiūriu.

Dėl natūralaus skaičiaus baigtinumo, priešingai nei, pavyzdžiui, tikrasis skaičius, daugelis klasikinės matematikos baigtinio pobūdžio aritmetinių teiginių taip pat yra intuicijoje. Pvz., Intuicijoje kiekvienas natūralusis skaičius turi pagrindinę faktorizaciją; egzistuoja nesuskaičiuojamų ir neskaičiuojamų aibių rinkiniai; ((A / vee / neg A)) galioja visiems teiginiams apie kiekybinį neapibrėžtį (A). Sudėtingesniems teiginiams, pavyzdžiui, van der Waerdeno teoremai ar Kruskalo teoremai, intuicijos pagrįstumas nėra toks paprastas. Tiesą sakant, intuityvūs abiejų teiginių įrodymai yra sudėtingi ir skiriasi nuo klasikinių įrodymų (Coquand 1995, Veldman 2004).

Taigi natūraliųjų skaičių kontekste intuicija ir klasikinė matematika turi daug bendro. Tik tada, kai manoma, kad kiti begaliniai rinkiniai, tokie kaip tikrieji skaičiai, intuicionizmas pradeda ryškiau skirtis nuo klasikinės matematikos ir nuo daugelio kitų konstruktyvizmo formų.

3.4 Tęstinumas

Intuicionizme kontinuumas yra ir jo klasikinio atitikmens pratęsimas, ir apribojimas. Visiškai suprantama, abi sąvokos yra nepalyginamos, nes intuicionistiniai tikrieji skaičiai turi savybių, kurių neturi klasikiniai tikrieji skaičiai. Garsus pavyzdys, kuris bus aptartas toliau, yra teorema, kad intuicijoje visos tęstinumo funkcijos yra nepertraukiamos. Tai, kad intuicionistinis kontinuumas neatitinka tam tikrų klasikinių savybių, galima lengvai pastebėti per silpnus tarpinius pavyzdžius. Tai, kad joje yra savybių, kurių neturi klasikinės realybės, lemia intuicija, kad egzistuoja pasirinktos sekos.

Silpni pavyzdžiai

Silpni priešpriešiniai pavyzdžiai, kuriuos Brouweris pristatė 1908 m., Yra pirmieji pavyzdžiai, kuriais Brouweris pasinaudojo norėdamas parodyti, kad perėjimas nuo klasikinės prie intuityvios matematikos sampratos nėra be pasekmės matematinėms tiesoms, kurias galima nustatyti pagal šias filosofijas. Jie parodo, kad kai kurie klasikiniai teiginiai šiuo metu yra nepriimtini intuicijos požiūriu. Kaip pavyzdį pažiūrėkime realiųjų skaičių seką, pateiktą tokiu apibrėžimu:

[r_n = / pradėti {atvejai} 2 ^ {- n} tekstas {if} forall m / leq n A (m) / 2 ^ {- m} text {if} neg A (m) pleištas m / leq n / pleištas / forall k / lt m A (k). / pabaiga {atvejai})

Čia (A (n)) yra nusprendžiama savybė, kurios (forall n A (n)) nėra žinoma, kad ji yra tikra ar klaidinga. Sprendžiamumas reiškia, kad šiuo metu kiekvienam konkrečiam (n) egzistuoja (gali būti sukonstruota) (A (n)) arba (neg A (n)) įrodymas. Rašymo metu, pavyzdžiui, galime leisti (A (n)) išreikšti, kad (n), jei didesnė nei 2, yra trijų pradmenų suma; (forall n A (n)) tada išreiškia (originalią) Goldbacho prielaidą, kad kiekvienas skaičius, didesnis nei 2, yra trijų pradmenų suma. Seka (langle r_n / rangle) nusako tikrąjį skaičių (r), kuriam teiginys (r = 0) yra lygiavertis teiginiui (forall n A (n)). Darytina išvada, kad teiginys ((r = 0 / vee r / neq 0)) negalioja, todėl trichotomijos dėsnis (forall x (x / lt y / vee x = y / vee x) gt y)) netiesa intuityviniame tęstinume.

Atkreipkite dėmesį į subtilų skirtumą tarp „(A) nėra intuityviškai teisinga“ir „(A) intuityviai paneigiama“: pirmuoju atveju mes žinome, kad (A) negali turėti intuicijos įrodymų, antrame teiginyje išreiškiamas kad turime ¬A įrodymą, ty konstrukciją, kuri klastotų iš visų galimų (A) įrodymų. Trichotomijos dėsniui mes ką tik parodėme, kad jis nėra intuityviškai teisingas. Žemiau bus parodyta, kad net antroji stipresnė forma, sakanti, kad įstatymas yra paneigiamas, galioja intuityviai. Tačiau tai netaikoma visiems teiginiams, kurių egzemplioriai yra silpni. Pvz., Goldbacho spėjimas yra silpnas pavyzdys atskirto vidurio principui, nes (forall n A (n)), kaip aprašyta aukščiau, šiuo metu nėra žinoma, kad ji būtų teisinga ar klaidinga,ir todėl negalime tvirtinti (forall n A (n) vee / neg / forall n A (n)) intuityviai, bent jau šiuo metu. Tačiau šio teiginio paneigimas (neg (forall n A (n) vee / neg / forall n A (n))) netiesa intuicionizmui, nes galima parodyti, kad bet kuriam teiginiui (B) prieštaravimas gali būti išvestas iš prielaidos, kad (neg B) ir (neg / neg B) laikosi (taigi ir iš (B) ir (neg B)). Kitaip tariant, (neg / neg (B / vee / neg B)) yra intuityviškai teisinga, taigi, nors egzistuoja silpni atskirto vidurio principo pavyzdžiai, jo neigimas intuityvizme yra klaidingas, t. tai intuityviškai paneigiama.kaip galima parodyti, kad bet kokiam teiginiui (B) prieštaravimas gali būti išvestas iš prielaidos, kad (neg B) ir (neg / neg B) laikosi (taigi ir iš (B) ir (neg B)). Kitaip tariant, (neg / neg (B / vee / neg B)) yra intuityviškai teisinga, taigi, nors egzistuoja silpni atskirto vidurio principo pavyzdžiai, jo neigimas intuityvizme yra klaidingas, t. tai intuityviškai paneigiama.kaip galima parodyti, kad bet kokiam teiginiui (B) prieštaravimas gali būti išvestas iš prielaidos, kad (neg B) ir (neg / neg B) laikosi (taigi ir iš (B) ir (neg B)). Kitaip tariant, (neg / neg (B / vee / neg B)) yra intuityviškai teisinga, taigi, nors egzistuoja silpni atskirto vidurio principo pavyzdžiai, jo neigimas intuityvizme yra klaidingas, t. tai intuityviškai paneigiama.

Realiųjų skaičių egzistavimas (r), kurių atžvilgiu intuicionierius negali nuspręsti, ar jie yra teigiami, ar ne, rodo, kad tam tikros klasikinės bendrosios funkcijos nebeegzistuoja tokiose intuicionistinėse nuostatose, kaip, pavyzdžiui, vientisos funkcijos

[f (r) = / pradėti {atvejai} 0 / tekstas {jei} r / geq 0 \\ 1 / tekstas {jei} r / lt 0. / pabaiga {atvejai})

Daugybė klasiškai pagrįstų teiginių yra silpni. Šių silpnų tarpinių pavyzdžių konstrukcija dažnai yra tokia pati, kaip aukščiau pateiktame pavyzdyje. Pavyzdžiui, argumentas, parodantis, kad tarpinė reikšmių teorema intuityviai negalioja, pateikiamas taip. Tegul (r) yra realusis skaičius [−1,1], kuriam ((r / leq 0 / vee 0 / lt r)) nebuvo nuspręsta, kaip aukščiau pateiktame pavyzdyje. Apibrėžkite tolygiai tęstinę funkciją (f) į ((0,3))

[f (x) = / tekstas {min} (x-1,0) + / tekstas {max} (0, x-2) + r.)

Aišku, (f (0) = -1 + r) ir (f (3) = 1 + r), iš kur (f) kažkuriame taške paima 0 vertę (x) [0, 3]. Jei tokį (x) būtų galima nustatyti, arba (1 / leq x), arba (x / leq 2). Kadangi (f) lygus (r) ant ([1,2]), pirmuoju atveju (r / leq 0), o antruoju atveju (0 / leq r), prieštaraujant teiginio neapsisprendimas ((r / leq 0 / vee 0 / leq r)).

Panašu, kad šie pavyzdžiai rodo, kad pereinant nuo klasikinės prie intuicionistinės matematikos prarandama keletas pagrindinių analizės teoremų. Tačiau taip nėra, nes daugeliu atvejų intuicija atgauna tokias teoremas kaip analogą, kurioje egzistenciniai teiginiai pakeičiami teiginiais apie artimųjų egzistavimą savavališkai tiksliai, kaip šioje klasikiškai lygiavertėje tarpinės vertės teoremos formoje, kuri yra konstruktyviai galioja:

Teorema. Už kiekvieną ištisinę realios vertės funkciją (f) su intervalu ([a, b]) su (a / lt b), už kiekvieną (c) tarp (f (a)) ir (f (b)), galioja šie dalykai:

(forall n / egzistuoja x [a, b], | f (x) -c | / lt 2 ^ {- n}.)

Silpni tarpiniai pavyzdžiai yra priemonė parodyti, kad tam tikri matematiniai teiginiai nėra intuityvūs, tačiau jie dar neatskleidžia intuicionizmo tęstinumo turtingumo. Tik po to, kai Brouweris įvedė pasirinkimo sekas, intuicija įgijo ypatingą skonį ir tapo nepalyginama su klasikine matematika.

Pasirinkimo seka

Brouweris pristatė pasirinkimo sekas, kad įgytų tęstinumo intuiciją. Kadangi intuicionistui visa begalybė yra potenciali, begalinius objektus galima suvokti tik per procesą, kuris juos generuoja žingsnis po žingsnio. Todėl tai, kas bus leistina kaip teisėta konstrukcija, nusprendžia, kuriuos begalinius objektus priimti. Pavyzdžiui, daugumoje kitų konstruktyvizmo formų leidžiamos tik skaičiuojamos taisyklės tokių objektų generavimui, tuo tarpu platonizme begalybės yra laikomos baigtomis visumomis, kurių egzistavimas yra priimtinas net tais atvejais, kai nežinomos generavimo taisyklės.

Antrasis Brouwerio intuicionizmo veiksmas sukelia pasirinkimo sekas, suteikiančias tam tikriems begaliniams rinkiniams savybes, nepriimtinas klasikiniu požiūriu. Pasirinkta seka yra begalinė skaičių seka (arba baigtiniai objektai), sukurta laisva valia. Seka gali būti nustatoma pagal įstatymą arba algoritmą, pavyzdžiui, seką, kurią sudaro tik nuliai, arba pradinius skaičius didėjančia tvarka, tokiu atveju mes kalbame apie įstatyminę seką arba jai negalėtų būti taikomas joks įstatymas. kuris atvejis vadinamas neteisėtu. Neteisėtos sekos, pavyzdžiui, gali būti sukurtos pakartojant monetos metimą arba paprašius Kūrėjo pasirinkti vieną po kito eilės numerius, leidžiančius jam pasirinkti bet kurį skaičių pagal savo skonį. Taigi įstatymų seka niekada nebūna baigta,ir vienintelė turima informacija apie tai bet kuriuo metu yra pradinis iki šiol sukurto sekos segmentas. Aišku, dėl paties neteisėtumo pobūdžio niekada negalime nuspręsti, ar jo vertybės sutaps su įstatymų seka. Be to, laisva valia gali kurti sekas, kurios prasideda kaip įstatyminės, tačiau kurioms tam tikru momentu įstatymas gali būti panaikintas, o laisvo pasirinkimo procesas pereina generuoti paskesnius skaičius, arba atvirkščiai.bet kuriam tam tikru momentu įstatymas gali būti panaikintas, o laisvo pasirinkimo procesas perimamas, norint sugeneruoti sekančius skaičius, arba atvirkščiai.bet kuriam tam tikru momentu įstatymas gali būti panaikintas, o laisvo pasirinkimo procesas perimamas, norint sugeneruoti sekančius skaičius, arba atvirkščiai.

Anot Brouwerio, kiekvieną realų skaičių žymi pasirinkimo seka, o pasirinkimo sekos leido jam užfiksuoti intuicionistinį tęstinumą per prieštaringai vertinamas tęstinumo aksiomas. Brouwer pirmą kartą savo pasirinktame pranešime kalbėjo apie pasirinkimo sekas (Brouwer 1912), tačiau tuo metu jis dar nelaikė jų pagrindine savo matematikos dalimi. Palaipsniui jie tapo svarbesni ir nuo 1918 m. Brouwer pradėjo juos naudoti taip, kaip paaiškinta kitame skyriuje.

3.5 Tęstinumo aksiomos

Pasirinkimo sekos sąvokos pripažinimas turi didelę reikšmę. Intuicionistui tai pateisina tęstinumo aksiomų, iš kurių galima būtų klasifikuoti negaliojančius teiginius, naudojimą. Silpniausia iš šių aksiomų yra silpnoji tęstinumo aksioma:

(tag {({ bf WC / mbox {-} N})} forall / alfa / egzistuoja n A (alfa, n) dešinė rodyklė / forall / alfa / egzistuoja m / egzistuoja n / forall / beta / in / alpha (overline {m}) A (beta, n).)

Čia (n) ir (m) svyruoja tarp natūraliųjų skaičių, (alpha) ir (beta) pasirinkimo sekose ir (beta / in / alpha (overline {m})) reiškia, kad pirmieji (m) elementai (alpha) ir (beta) yra lygūs. Nors iki šiol niekada nebuvo pateiktas visiškai patenkinamas daugelio savavališkų pasirinkimų sekų tęstinumo aksiomų pateisinimas, net Brouweris, kai apsiriboja neteisėtų sekų klase, argumentais, pagrindžiančiais silpnos tęstinumo aksiomos pagrįstumą, pateiktas taip. Kada intuicionistas galėtų nustatyti formos (forall / alfa / egzistuoja n A (alfa, n)) teiginį? Atsižvelgiant į neteisėtos sekos sampratos pobūdį, skaičių (n), kuriam priklauso (A (alfa, n)), reikia pasirinkti tik po baigtinio pradinio (alpha) yra žinomas. Nes mes nežinome, kaip (alpha) veiks laiku,todėl pasirinkdami (n) turime pagrįsti pradinį (alfa) segmentą, žinomą tuo metu, kai norime taisyti (n). Tai reiškia, kad ir kiekviena neteisėta seka (beta), turinti tą patį pradinį segmentą kaip (alpha), taip pat (A (beta, n)).

Įrodyta, kad silpna tęstinumo aksioma yra nuosekli ir dažnai taikoma tokia forma, kuri gali būti pateisinama, būtent tuo atveju, kai predikatas (A) nurodo tik (alpha) reikšmes, ir ne aukštesnio laipsnio savybes, kurias ji gali turėti. Čia nebus praleistos argumento detalės, tačiau jame yra tų pačių ingredientų, kaip ir nepateisinamų sekų principo pagrindimas; jį galima rasti 2002 m. Van Atten ir van Dalen.

Silpnas tęstinumas neišnaudoja intuicionistų intuicijos apie kontinuumą, nes atsižvelgiant į silpną tęstinumo aksiomą, atrodo pagrįsta manyti, kad skaičiaus (m) pasirinkimas yra toks, kad (forall / beta / in / alpha (perbraukti {m}) A (beta, n)), gali būti aiškiai apibrėžtas. Taigi (forall / alfa / egzistuoja n A (alfa, n)) reiškia nepertraukiamo funkcinio (Phi) egzistavimą, kuris kiekvienam (alfa) sukuria (m), kuris nustato ilgis (alpha), pagal kurį pasirenkamas (n). Kalbant oficialiau, tegul (matematikos {CF}) yra ištisinių funkcijų klasė (Phi), kurioms priskiriami natūralieji skaičiai begalinėms sekoms, ty kurios tenkina

(forall / alpha / egzistuoja m / forall / beta / in / alpha (overline {m}) Phi (alpha) = / Phi (beta).)

Tuomet visą tęstinumo aksiomą, kuri yra silpnojo tęstinumo aksiomos pratęsimas, tada galima išreikšti taip:

(tag {({ bf C / mbox {-} N})} forall / alfa / egzistuoja n A (alfa, n) dešinė rodyklė / egzistuoja / Phi / in / mathcal {CF}, / forall / alpha A (alpha, / Phi (alpha)).)

Pasitelkdami tęstinumo aksiomą, tam tikri silpni prieš pavyzdžiai gali būti paversti tikrais klasikinių principų paneigimais. Pvz., Tai reiškia, kad kiekybiškai apibrėžta pašalintos vidurio principo versija yra klaidinga:

(neg / forall / alpha (forall n / alpha (n) = 0 / vee / neg / forall n / alpha (n) = 0).)

Čia (alpha (n)) žymi (n) - tąjį (alpha) elementą. Tarkime, kad šis neigimas pagrįstas, tarkime, argumentuodami prieštaravimais, kad (neg / forall / alpha (forall n / alpha (n) = 0 / vee / neg / forall n / alpha (n) = 0)) laiko. Tai reiškia, kad

(forall / alpha / egzistuoja k ((forall n / alpha (n) = 0 / pleišto k = 0) vee (neg / forall n / alpha (n) = 0 / pleišto k = 1)).)

Atsižvelgiant į silpną tęstinumo aksiomą, (alpha), kurį sudaro tik nuliai, egzistuoja skaičius (m), kuris patvirtina pasirinkimą (k), o tai reiškia, kad visiems (beta / in / alpha (perbraukti {m})), (k = 0). Bet sekų, kurių pirmieji (m) elementai yra 0 ir kuriose yra 1, buvimas rodo, kad to negali būti.

Šis pavyzdys, parodantis, kad atstumtosios vidurio principas ne tik nelaiko, bet iš tikrųjų yra klaidingas intuicijoje, lemia daugelio pagrindinių kontinuumo savybių paneigimą. Pavyzdžiui, atsižvelkite į tikrąjį skaičių (r_ / alpha), kuris yra seka, susidedanti iš skaičių (r_n), kaip nurodyta skyriuje apie silpnus tarpinius pavyzdžius, kur (A (m)) yra apibrėžimas laikomas teiginiu (alpha (m) = 0). Tuomet aukščiau pateiktas paneigimas suponuoja, kad (neg / forall / alpha (r_ / alpha = 0 / vee r_ / alpha / neq 0)), ir tai paneigia trichotomijos dėsnį:

(forall x (x / lt y / vee x = y / vee y / lt x).)

Ši teorema yra dar vienas pavyzdys, kaip tęstinumo aksioma paneigia tam tikrus klasikinius principus.

Teorema ({ bf (C / mbox {-} N)}) Kiekviena bendra realioji funkcija yra tęstinė.

Iš tiesų, klasikinis šios teoremos pavyzdys, niekur nepertraukiama funkcija [f (x) = / prasideda {atvejai} 0 / tekstas {jei (x) yra racionalus skaičius} / 1 / tekstas {if (x) yra neracionalus skaičius} pabaiga {atvejai}) intuityvistiniu požiūriu nėra teisėta funkcija, nes racionalumo savybė negali būti nuspręsta realiaisiais skaičiais. Aukščiau pateikta teorema suponuoja, kad kontinuumas nėra skaidomas, ir van Dalen 1997 parodoma, kad tai galioja net ir neracionalių skaičių aibei.

Du aukščiau pateikti pavyzdžiai yra būdingi tęstinumo aksiomų taikymo intuicionistinėje matematikoje būdams. Jos yra vienintelės intuicionizmo aksiomos, prieštaraujančios klasikiniams samprotavimams, ir tuo pačiu vaizduojančios spalvingiausią bei prieštaringiausiai vertinamą Brouwerio filosofijos dalį.

Kaimynystės funkcijos

Yra patogus nepertraukiamų funkcijų vaizdavimas, plačiai naudojamas literatūroje, nors ne pats Brouweris. Nepertraukiamus funkcionierius, priskiriančius skaičius begalinėms sekoms, galima pavaizduoti kaimynystės funkcijomis, kai kaimynystės funkcija (f) yra natūraliųjų skaičių funkcija, tenkinanti šias dvi savybes ((cdot) žymi sujungimą ir (f (f (f) alpha (overline {n}))) žymi (f) reikšmę baigtinės sekos kode (alpha (overline {n}))).

(alfa / egzistuoja nf (alfa (perdėta {n})) gt 0 / \ / \ / forall n / forall m (f (n) gt 0 / dešinė rodyklė f (n / cdot m) = f (n)).)

Intuityviai tariant, jei (f) žymi (Phi), tada (f (alpha (overline {n})) = 0) reiškia, kad (alpha (overline {n})) yra neilgai skaičiuoti (Phi (alpha)), o (f (alpha (overline {n}) = m + 1) reiškia, kad (alpha (overline {n})) yra pakankamai ilgas, kad būtų galima apskaičiuoti (Phi (alpha)), ir kad (Phi (alpha)) reikšmė yra (m). Jei (mathcal {K}) žymi kaimynystės funkcijų klasę, tada tęstinumo aksiomą ({ bf C / mbox {-} N}) galima perfrazuoti taip, kaip (forall / alfa / egzistuoja n A (alfa, n) dešinė rodyklė / egzistuoja f / in / mathcal {K}, / forall m (f (m) gt 0 / rightarrow / forall / beta / in m A (beta, f (m-1)))),)

kur (beta / in m) reiškia, kad (beta) pradinio segmento kodas yra (m).

3.6 juostos teorema

Brouweris pristatė pasirinkimo sekas ir tęstinumo aksiomas, kad užfiksuotų intuicionistinį tęstinumą, tačiau vien šių principų nepakanka, kad būtų atkurta ta tradicinės analizės dalis, kurią Brouweris laikė intuityviai pagrįstu, pavyzdžiui, teorema, kad kiekviena nepertraukiama reali funkcija uždaru intervalu yra vienodai tęstinė.. Dėl šios priežasties Brouweris įrodė vadinamąją baro teoremą. Tai yra klasikinis teiginys, tačiau Brouwer pateiktas įrodymas daugeliu atvejų laikomas įrodymu, nes jame naudojama prielaida dėl įrodymų formos, kuriai nepateikti griežti argumentai. Dėl šios priežasties juostos teorema taip pat minima kaip juostos principas.

Garsiausia juostos teoremos pasekmė yra ventiliatoriaus teorema, kurios pakanka minėtai teoremai įrodyti esant vienodam tęstinumui ir kuri pirmiausia bus nagrinėjama. Tiek ventiliatoriaus, tiek juostos teorema leidžia intuicionistui naudoti indukciją tam tikruose pagrįstuose objektų rinkiniuose, vadinamuose pasklidimais. Sklaida yra intuityvus rinkinio analogas ir užfiksuoja begalinių objektų idėją kaip vis augantį ir niekada nebaigtą. Išplatėjimas iš esmės yra šakojantis medis, paženklintas natūraliais skaičiais ar kitais baigtiniais objektais ir turintis tik begalinius kelius.

Ventiliatorius yra išsišakojęs pasiskirstymas, o ventiliatoriaus principas išreiškia kompaktiškumo formą, klasikiškai prilygstančią Königo lemmai, kurios klasikinis įrodymas yra nepriimtinas intuicionistiniu požiūriu. Principas teigia, kad kiekvienam ventiliatoriui (T), kuriame kiekviena šaka tam tikru momentu tenkina savybę (A), yra vienoda riba, kuria pasiekiama ši savybė. Tokia savybė vadinama (T) juosta.

(tag {({ bf FAN})} forall / alpha / in T / egzistuoja n A (alpha (overline {n})) rightarrow / egzistuoja m / forall / alpha / in T / egzistuoja n / leq m A (alpha (overline {n})).)

Čia (alpha / in T) reiškia, kad (alpha) yra (T) šaka. FAN principo pakanka minėtai teoremai įrodyti:

Teorema (FAN) Kiekviena nepertraukiama reali funkcija uždaru intervalu yra tolygi.

Brouwerio pateisinimas ventiliatoriaus teorema yra jo juostos principas visuotiniam skleidimui:

(žyma {({ bf BI})} pradėti {lygiuoti} ir (forall / alpha / forall n / big (A (alpha (overline {n})) vee / neg A (alfa (perdengta {n})) didelis) pleištas / foralas / alfa / egzistuoja n A (alfa (perdengimas {n})) / pleištas \& / quad / forall / alfa / forall n / didelis (A (alfa (perdėta {n})) dešinė rodyklė B (alfa (pern. {n})) didelis) / pleištas \& / quad / forall / alfa / forall n / didelis (forall mB (alpha (overline {n}) cdot m) rightarrow B (alpha (overline {n})) big)] rightarrow B (varepsilon). / pabaiga {lygiuoti})

Čia (varepsilon) reiškia tuščią seką, (cdot) sujungimui, BI - juostos indukcijai, o indeksas D nurodo predikato sprendimą (A). Stulpelio principas suteikia intuityvizmą ir indukcijos principą medžiams; jis išreiškia paskaičiavimo pagrįstumo principą, atsižvelgiant į lemiamas savybes. Šio principo pratęsimai, kai susilpnėja sprendimo reikalavimai, gali būti paimti iš Brouwerio darbo, bet čia to nebus praleista. Tęstinumas ir juostos principas kartais fiksuojami vienoje aksiomoje, vadinamoje juostos tęstinumo aksioma.

Tarp juostos principo ir kaimynystės funkcijų, nurodytų skyriuje apie tęstinumo aksiomas, yra glaudus ryšys. Tegul (mathcal {IK}) yra induktyviai apibrėžta kaimynystės funkcijų klasė, susidedanti iš visų pastovių ne nulio sekų (lambda m.n + 1) ir tokia, kad jei (f (0) = 0) ir (lambda mf (x / cdot m) in / mathcal {IK}) visiems (x), tada (f / in / mathcal {IK}). Pareiškimas (mathcal {K} = / mathcal {IK}), tai yra, patvirtinimas, kad kaimynystėje funkcijos gali būti generuojami induktyviai, yra lygi BI D.

Brouverio įrodyta juostos teorema yra nuostabi tuo, kad joje naudojamos gerai užsakomos hipotetinių įrodymų savybės. Jis grindžiamas prielaida, kad bet koks įrodymas, kad sekų savybė A yra juosta, gali būti išskaidytas į kanoninį įrodymą, kuris yra gerai išdėstytas. Nors šis principas yra klasikinis, Brouwerio principo įrodymas rodo, kad priežastis jį priimti kaip pagrįstą intuicionizmo principą iš esmės skiriasi nuo argumento, pagrindžiančio jo priimtinumą klasikinėje matematikoje.

3.7 Pasirinkimo aksiomos

Pasirinkta visos formos aksioma yra nepriimtina konstruktyviu požiūriu, bent jau esant tam tikroms kitoms rinkinio teorijos centrinėms aksiomoms, tokioms kaip išplėtimas (Diaconescu 1975). Nes tegul (A) yra teiginys, kuris nėra žinomas kaip teisingas ar klaidingas. Tuomet šių dviejų grupių nėra narystė.

(pradėti {lygiuoti} X & = {x / in {0,1 } viduryje x = 0 / vee (x = 1 / pleištas A) } / Y & = {y / in {0,1 } viduryje y = 1 / vee (y = 0 / pleištas A) } pabaiga {lygiuoti})

Jei egzistuoja pasirinkimo funkcija (f: {X, Y } dešinėn rodyklė {0,1 }), pasirenkant elementą iš (X) ir (Y), tai reikštų, kad ((A / vee / neg A)). Jei jei (f (X) neq f (Y)), tai reiškia, kad (X / neq Y), taigi (neg A), tuo tarpu (f (X) = f (Y))) reiškia (A). Todėl ({X, Y }) pasirinkimo funkcija negali būti.

Tačiau yra tam tikri intuicionistams priimtini aksiomos apribojimai, pavyzdžiui, skaičiuojamo pasirinkimo aksioma, kurią pusiau intuicionistai taip pat pripažino teisėtu principu, kuri bus aptariama toliau:

(tag {({ bf AC / mbox {-} N})} forall R / subseteq / mathbb {N} times / mathbb {N} didelis (forall m / egzistuoja n \, mRn / dešinė rodyklė / egzistuoja / alpha / in / mathbb {N} ^ / mathbb {N} forall m \, mR / alpha (m) big).)

Ši schema gali būti pateisinama taip. Prielaidos įrodymas turėtų pateikti metodą, kuris pateikus (m) pateikia tokį skaičių (n), kad (mRn). Taigi funkciją (alpha) natūraliaisiais skaičiais (mathbb {N}) galima sukurti žingsnis po žingsnio: pirmiausia pasirenkamas elementas (m_0) taip, kad (0Rm_0), kuris bus (alpha (0)) reikšmė. Tada pasirenkamas elementas (m_1) toks, kad (1Rm_1), kuris bus (alfa (1)) reikšmė ir pan.

Kelios kitos pasirinkimo aksiomos gali būti pateisinamos panašiai. Čia bus paminėtas tik dar vienas, priklausomo pasirinkimo aksioma:

(tag {({ bf DC / mbox {-} N})} pradėti {lygiuoti} forall R / subseteq / mathbb {N} times / mathbb {N} big (forall m / egzistuoja n \, mRn / dešinė rodyklė ir / forall k / egzistuoja / alpha / in / mathbb {N} ^ / mathbb {N} big (alpha (0) = k / \ pleišas \& / forall i / geq 0 \, / alfa (i) R / alfa (i + 1) didelis) didelis). / pabaiga {lygiuoti})

Taip pat klasikinėje matematikoje pasirinkimo aksiomos yra traktuojamos atsargiai ir dažnai aiškiai nurodoma, kiek įrodymų reikia pasirinkti. Kadangi priklausomo pasirinkimo aksioma atitinka svarbią klasikinės aibomos teorijos aksiomą (nustatymo aksiomą), o pasirinktoji aksioma nėra, šiai aksiomai skiriamas ypatingas dėmesys ir paprastai bandoma sumažinti pasirinkimo kiekį įrodymas, kad pasirinkimo išvis yra, priklausomas pasirinkimas.

3.8 Aprašomoji rinkinių teorija, topologija ir topos teorija

Brouweris nebuvo vienintelis abejodamas dėl tam tikrų klasikinių samprotavimo formų. Tai ypač akivaizdu aprašomojoje aibių teorijoje, kuri atsirado kaip reakcija į labai nekonstruktyvias sąvokas, kylančias Kantoriaus aibių teorijoje. Steigiamieji lauko tėvai, įskaitant Emile Borel ir Henri Lebesgue, kaip dvi pagrindines figūras, buvo vadinami pusiau intuicionistais, o jų konstruktyvus tęstinumo traktavimas nulėmė Borelio hierarchijos apibrėžimą. Jų požiūriu, tokia sąvoka, kaip visų realiųjų skaičių aibių rinkinys, neturi prasmės, todėl turi būti pakeista pogrupių, turinčių aiškų aprašą, hierarchija.

Veldman 1999 m. Yra suformuluotas intuityvios Borel aibės sąvokos atitikmuo ir parodyta, kad klasiškai ekvivalentiški Borel aibių apibrėžimai sukelia įvairias intuicioniškai skirtingas klases - situaciją, kuri dažnai pasitaiko intuicijoje. Intuicionistiniam „Borel“rinkiniui yra pagrįstas Borelio hierarchijos teoremos analogas. Šio fakto įrodymu iš esmės pasinaudojama aukščiau aptartomis tęstinumo aksiomomis ir taip parodyta, kaip klasikinė matematika gali padėti ieškoti intuicionistinių analogų, kuriuos vis dėlto reikia įrodyti visiškai kitaip, kartais naudojant principus, nepriimtinus klasikiniame taške. vaizdas.

Kitas požiūris į kontinuumo pogrupių ar apskritai į topologinę erdvę tyrimą atsirado plėtojant oficialią ar abstrakčią topologiją (Fourman 1982, Martin-Löf 1970, Sambin 1987). Šioje konstruktyvioje topologijoje atvirųjų rinkinių ir taškų vaidmuo yra atvirkščias; klasikinėje topologijoje atviras rinkinys yra apibrėžiamas kaip tam tikras taškų rinkinys, konstruktyviu atveju atviros aibės yra pagrindinė sąvoka ir taškai yra apibrėžti pagal juos. Todėl šis požiūris kartais vadinamas topologija be taško.

Intuicionistinę funkcinę analizę daugelis išplėtojo po Brouwerio, tačiau kadangi dauguma požiūrių nėra griežtai intuityvūs, bet ir konstruktyvūs plačiąja prasme, šis tyrimas čia nebus nagrinėjamas daugiau.

4. Konstruktyvizmas

Intuicionizmas turi pagrindinę dalį su daugeliu kitų konstruktyvizmo formų. Konstruktyvizmas apskritai susijęs su konstruktyviais matematiniais objektais ir samprotavimais. Iš konstruktyvių įrodymų bent jau iš principo galima išgauti algoritmus, kurie apskaičiuoja elementus ir imituoja konstrukcijas, kurių egzistavimas įrodytas įrodyme. Daugelis konstruktyvizmo formų yra suderinamos su klasikine matematika, nes jos paprastai grindžiamos griežtesniu leidžiamų kiekybinių rodiklių, jungiamųjų ir konstrukcijų aiškinimu, tuo tarpu nėra daromos jokios papildomos prielaidos. Beveik visų konstruktyvių bendruomenių priimta logika yra ta pati, būtent intuicionistinė logika.

Daugelis klasikinės matematikos egzistencinių teoremų turi konstruktyvų analogą, kuriame egzistencinis teiginys pakeičiamas teiginiu apie apytikslę reikšmę. Aukščiau esančiame skyriuje apie silpnus tarpinius pavyzdžius pamatėme šios, tarpinės vertės teoremos, pavyzdį. Didelę matematikos dalį galima konstruktyviai atstatyti panašiai. Priežastis, kodėl jų toliau nenagrinėti, yra ta, kad šiame įraše dėmesys sutelkiamas į tuos intuicionizmo aspektus, kurie išskiria jį iš kitų konstruktyvių matematikos šakų. Norėdami išsamiai išnagrinėti konstruktyvizmą, skaitytojas nurodo atitinkamą šios enciklopedijos įrašą.

5. Meta-matematika

Nors Brouweris tiksliai ir esmingai sukūrė savo matematiką, formalizavimą ta prasme, kokią mes šiandien žinome, kiti atliko tik vėliau. Iš tikrųjų, pasak Brouwerio nuomonės, kad matematika atsiskleidžia iš vidaus, formalizavimas, nors ir nėra nepriimtinas, nėra būtinas. Kiti po jo galvojo kitaip, o intuicionistinės matematikos įforminimas ir jos meta-matematinių savybių, ypač aritmetinės ir analizės, tyrimas pritraukė daugybę tyrėjų. Intuicionistinės logikos, kuria grindžiamos visos formalizacijos, formalizavimas jau buvo aprašytas aukščiau.

5.1 Aritmetika

Heitingo aritmetinio HA, kaip suformulavo Arend Heyting, yra natūraliųjų skaičių intuicionistinės teorijos formalizavimas (Heyting 1956). Ji turi tas pačias nelogiškas aksiomas kaip ir Peano Aritmetic PA, tačiau ji pagrįsta intuicionistine logika. Taigi tai yra klasikinės aritmetikos apribojimas ir ji yra priimta natūraliųjų skaičių teorija beveik visose konstruktyviosios matematikos srityse. Aritmetikos skaičiavimas turi daug savybių, atspindinčių jos konstruktyvų pobūdį, pavyzdžiui, disjunkcijos savybė, kuri tinka ir intuityvinei logikai. Kita HA savybė, kurios PA nebendrauja, yra skaitmeninė egzistavimo savybė: ((perbraukti {n}) yra skaičius, atitinkantis natūralųjį skaičių (n))

(žyma {({ bf NEP})} { bf HA} vdash / egzistuoja x A (x) dešinėn rodyklė / egzistuoja n { mathbb N}, { bf HA} vdash A (perbraukti {n}).)

Tai, kad ši savybė neturi PA, išplaukia iš to, kad PA įrodo (egzistuoja x (A (x) vee / forall y / neg A (y))). Tarkime, pavyzdžiui, atvejis, kai (A (x)) yra formulė (T (e, e, x)), kur (T) yra nusprendžiamas Kleene'o predikatas, išreiškiantis tai (x) yra programos baigimo skaičiavimo kodas su įvesties (e) kodu (e). Jei kiekviename (e) egzistuotų skaičius (n) toks, kad ({ bf PA} vdash T (e, e, n) vee / forall y / neg T (e, e, y)), tada patikrinus, ar (T (e, e, n)) yra, bus nuspręsta, ar programa (e) pasibaigia įvesties (e) metu. Tačiau tai apskritai yra nenusprendžiama.

Markovo taisyklė yra principas, galiojantis tiek klasikiniu, tiek intuityviu požiūriu, tačiau tik HA įrodymas yra fakto neturėjimas.

(tag {({ bf MR})} { bf HA} vdash / forall x (A (x) vee / neg A (x)) pleišas / neg / neg / egzistuoja x A (x) Dešinysis rodyklė { bf HA} vdash / egzistuoja x A (x).)

Kadangi HA įrodo kiekvieno primityvaus rekursyvinio predikato išstumto vidurio dėsnį, darytina išvada, kad tokiam (A) HA / reikšmė (neg / neg / egzistuoja x A (x)) išvestinė reikšmė yra (taip pat egzistuoja x A (x)). Iš to išplaukia, kad PA yra konservatyvi HA atžvilgiu (Pi ^ 0_2). T. y., Primityviam rekursyviniam (A): [{ bf PA} vdash / forall x / egzistuoja y A (x, y) dešinėn rodyklė { bf HA} vdash / forall x / egzistuoja y A (x, y).) Taigi įrodomai pasikartojančių HA funkcijų klasė sutampa su įrodomai rekursyvių PA funkcijų klase, savybe, kuri, remiantis konstruktyvizmo ir intuicionizmo idėjomis, negali būti staigmena.

5.2 analizė

Intuicionistinės matematikos formalizavimas apima ne tik aritmetiką. Didelė analizės dalis buvo aksiomatizuota konstruktyviu požiūriu (Kleene 1965, Troelstra 1973). Šių sistemų konstruktyvumas gali būti nustatytas naudojant funkcines, tipo teorines arba realizuojamumo interpretacijas, kurių dauguma pagrįstos Gödel's Dialectica interpretacijos (Gödel 1958, Kreisel 1959), Kleene realizuojamumo (Kleene 1965) arba tipo teorijomis (Martin- Löf 1984). Tokiuose aiškinimuose aiškiai nurodomos funkcijos, kuriomis grindžiami konstruktyvūs teiginiai, pavyzdžiui, funkcija, priskirianti (y) kiekvienam (x) (forall x / egzistuoja y A (x, y)). įvairiais būdais.

Straipsnyje (Scott 1968 ir 1970) pateiktas antrosios eilės intuityvinės analizės teorijos topologinis modelis, kuriame realijos aiškinamos kaip nenutrūkstamos funkcijos iš Baire erdvės į klasikines realijas. Šiame modelyje galioja Kripke'io schema ir tam tikros tęstinumo aksiomos. (Moschovakis, 1973) šis metodas pritaikytas intuicionistinės analizės teorijų modeliui sukonstruoti, atsižvelgiant į pasirinkimo sekas. Taip pat šiame modelyje galioja Kripke'io schema ir tam tikros tęstinumo aksiomos. In (Van Dalen, 1978) Beth modeliai naudojami pateikti aritmetiniams ir pasirinkimo sekų modeliams, tenkinantiems pasirinkimo schemas, silpno tęstinumo atvejus ir Kripke'o schemą. Šiame modelyje kiekvieno mazgo domenai yra natūralieji skaičiai, todėl nereikia naudoti nestandartinių modelių, kaip kad Kripke modelių atveju. Negana to, aksiomos Kūrybinio subjekto CS1–3 gali būti interpretuojami, tokiu būdu parodant, kad ši teorija yra nuosekli.

5.3 Neteisėtos sekos

Egzistuoja nelegalių sekų aksiomatizacija ir jose visuose yra tęstinumo aksiomų pratęsimai (Kreisel 1968, Troelstra 1977). Visų pirma atvirų duomenų aksiomos forma, kurioje teigiama, kad (A (alfa)) be (alfa) nėra kitų neteisėtų parametrų:

[A (alfa) dešinė rodyklė / egzistuoja n / forall / beta / in / alpha (overline {n}) A (beta).)

In (Troelstra, 1977), intuityvinės analizės kontekste yra plėtojama (ir pagrindžiama) įstatymų neturinčių sekų teorija. Be elementariosios analizės aksiomų, joje yra ir teisėtų sekų sustiprintos atvirų duomenų, tęstinumo, priimtinumo ir tankio aksiomų formos (tankis sako, kad kiekviena baigtinė seka yra pradinis įstatymų neturinčios sekos segmentas). Ypač įdomu tai, kad šiose teorijose gali būti pašalinti neteisėtų sekų kiekybiniai rodikliai, o rezultatas taip pat gali būti traktuojamas kaip pateikiantis tokių teorijų dėsningumų seką. Kiti klasikiniai įstatymų neturinčių sekų teorijos modeliai buvo sukonstruoti kategorijų teorijoje pjūvių modelių pavidalu (van der Hoeven ir Moerdijk 1984). (Moschovakis 1986) pristatoma pasirinkimo sekų, susijusių su tam tikru įstatyminių elementų rinkiniu, teorija,kartu su klasikiniu modeliu, kuriame neteisėtos sekos yra tiksliai bendrosios.

5.4 Kūrėjo subjekto formalizavimas

Kūrybos subjektas, pristatytas 2.2 skyriuje, gali generuoti pasirinkimo sekas, kurios yra vieni iš svarbiausių ir sudėtingiausių Brouwerio intuicijos matematinių elementų. Keletas filosofų ir matematikų Kūrybos dalyko teoriją bandė išplėsti ir matematiškai, ir filosofiškai.

Formalizuojant Kūrėjo subjekto sąvoką, jo laikinis aspektas įforminamas naudojant žymėjimą (Box_n A), kuris reiškia, kad Kūriantis subjektas turi A įrodymą n metu (kai kuriose kitose formuluotėse: patiria tiesą (A) vienu metu (n)). Georgas Kreiselis (1967) pristatė šias tris Kūrybos subjekto aksiomas, kurias kartu žymi CS:

(pradėti {lygiuoti} žyma {({ bf CS1})} & / Box_n A / vee / neg / Box_n A \& / mbox {(tuo metu (n), galima nuspręsti ar kuriantis objektas} & / „mbox“turi A įrodymą)} / \ žyma {({ bf CS2})} & / Box_m A / dešinė rodyklė / Box_ {m + n} A \& / mbox {(kuriantis subjektas niekada nepamiršta to, ką įrodė)} / \ žyma {({ bf CS3})} & (egzistuoja n / Box_n A / dešinė rodyklė A) pleištas (A / dešinė rodyklė / neg / neg / egzistuoja n / Box_n A) & / mbox {(Kūrinio subjektas įrodo tik tai, kas tiesa, o ne} & / mbox {tikrojo teiginio gali būti neįmanoma įrodyti} & / mbox {Sukurti Tema)} / \ pabaiga {lygiuoti})

Anne Troelstra (1969) versijoje paskutinė aksioma sustiprinta iki

(pradėti {lygiuoti} žyma {({ bf CS3} ^ +)} & / egzistuoja n / Box_n A / leftrightarrow A \& / mbox {(kūrimo objektas tik įrodo, kas yra tiesa ir kas}) & / mbox {tiesa, bus įrodyta kuriančia tema kai kur} & / mbox {point)} end {lyign})

Pirmoji CS1 aksioma yra neginčijama: bet kuriuo metu galima nustatyti, ar Kūrėjas yra pateikto teiginio įrodymas, ar ne. Antrojoje ašiomoje CS2 aiškiai naudojamas faktas, kad kūrimo subjektas yra idealizavimas, nes jis išreiškia, kad įrodymai visada bus atsimenami. Paskutinė aksioma CS3yra labiausiai ginčijama Kūrėjo subjekto įforminimo dalis, arba dar geriau, jo antrasis junginys ((A / dešinė rodyklė / neg / neg / egzistuoja n / Box_n A)) yra tas, kuriam krikščioniškos labdaros vardas buvo suteiktas kaip Axiom. Kreisel. Pavyzdžiui, Göranas Sundholmas (2014) tvirtina, kad krikščioniškosios labdaros aksioma nėra priimtina konstruktyviu požiūriu. O Gödelio neišsamumo teorema net suponuoja, kad principas yra klaidingas, kai (Box_n A) būtų aiškinamas kaip įrodantis pakankamai tvirtoje įrodymų sistemoje, tačiau tai tikrai nėra tas aiškinimas, kurį turėjo omenyje Brouweris.

Atsižvelgiant į teiginį (A), kuriame nėra jokios nuorodos į laiką, ty, kad nėra (Box_n), galima apibrėžti pasirinkimo seką pagal šią taisyklę (Brouwer 1953):

(alfa (n) = / kairė { pradžia {masyvas} {ll} 0 & / mbox {if (neg / Box_n A)} / 1 & / mbox {if (Box_n A). } pabaiga {masyvas} dešinė.)

Iš to išplaukia principas, žinomas kaip Kripke'o schema KS, įvestas 2.2 skyriuje, principas, kuris, skirtingai nei Kūrėjo subjekto teorijos aksiomos, neturi aiškios nuorodos į laiką: (egzistuoja / alfa (A / leftrightarrow / egzistuoja n) alfa (n) = 1)).

Naudojant Kripke'o schemą, silpnieji kontrargumentų pavyzdžiai gali būti išreikšti formaliai, be jokios nuorodos į Kūrėjo subjektą. Šis pavyzdys paimtas iš (van Atten 2018). Tegul A yra teiginys, kurio šiuo metu (neg A / vee / neg / neg A) nežinoma. Naudojant KS gaunamos pasirinkimo sekos (alpha_1) ir (alpha_2), kad

(neg A / leftrightarrow / egzistuoja n / alpha_1 (n) = 1 / \ / \ / \ neg / neg A / leftrightarrow / egzistuoja n / alpha_2 (n) = 1.)

Susieti su šiomis dviem sekomis tikrieji skaičiai (r_0) ir (r_1), kur yra (i = 0,1):

[r_i (n) = / pradėti {atvejai} 0 & / tekstas {if (alpha_i (n) neq 1)} (-1) ^ i2 ^ {- m} & / pradėti {lygiuoti} & / tekstas {jei kai kuriems (m / leq n), (alpha_i (m) = 1) ir} & / text {jei ne (k / lt m), (alpha_i (k) = 1.)} pabaiga {lygiuoti} pabaiga {atvejai})

Tada (r = r_0 + r_1) teiginį (neg A / vee / neg / neg A) reiškia ((r / gt 0 / vee r / lt 0)), kuris rodo, kad ((r / gt 0 / vee r / lt 0)) negali būti įrodytas.

In (van Dalen 1978) sukurtas Kūrybinio subjekto aksiomų modelis aritmetikos ir pasirinkimo sekų kontekste, taip įrodant, kad jie atitinka intuicionistinę aritmetiką ir tam tikras analizės dalis. In (van Dalen, 1982) įrodyta, kad CS yra konservatyvi Heyting aritmetikos atžvilgiu. Matematines Kripke'io schemos pasekmes galima rasti (van Dalen 1997), kur parodyta, kad KS ir tęstinumo aksiomos atmeta Markovo principą, o KS kartu su Markovo principu reiškia atstumto vidurio principą.

Kripke parodė, kad K. S. reiškia nerekursyvias funkcijas, o rezultatas paskelbtas ne jo, o Kreislio (1970). Aišku, tai reiškia, kad CS teorija taip pat reiškia nerekursyvinės funkcijos egzistavimą. Galimas CS argumentas yra toks. Tarkime, kad (X) yra neapskaičiuojamas, bet apskaičiuojamas rinkinys ir apibrėžkite funkciją (f) taip:

[f (m, n) = / pradėti {atvejai} 0 & / tekstas {jei ne (Box_m (n / not / in X))} / 1 & / text {if (Box_m (n) not / in X)).} pabaiga {atvejai})

Iš to išplaukia, kad (n / not / in X) tada ir tik tada, kai (f (m, n) = 1) kažkokiam natūraliam skaičiui (m), tai reiškia, kad (f) negali būti skaičiuojamas. Jei taip, (X) papildymas būtų apskaičiuojamas neskaičiuojamai, tai reiškia, kad (X) yra apskaičiuojamas. Kadangi (f) yra funkcija intuicionizmo požiūriu, tai rodo, kad intuicijoje ne visos funkcijos yra apskaičiuojamos.

5.5 Pamatai

Formalizacijos, kurios turi būti naudojamos kaip konstruktyvios matematikos pagrindas, yra nustatytųjų teorijų (Aczel 1978, Myhill 1975) arba tipo teorijos (Martin-Löf 1984). Ankstesnės teorijos yra Zermelo-Fraenkel aibės teorijos adaptacija konstruktyviam kontekstui, tuo tarpu tipo teorijoje konstruktyvūs teiginiai, įvardyti konstruktyviais teiginiais, sistemoje yra aiškūs. Komplektų teorija gali būti traktuojama kaip išplečiamasis matematikos pagrindas, tuo tarpu tipų teorija paprastai yra intencionali.

Pastaraisiais metais atsirado daug tokių intuityviosios matematikos teorijų dalių modelių, kai kurie iš jų buvo paminėti aukščiau. Ypač toposo teorijoje (van Oosten, 2008) yra daugybė modelių, fiksuojančių tam tikras intuicionizmo savybes. Pavyzdžiui, yra topojai, kuriuose visos bendrosios funkcijos yra nepertraukiamos. Funkcines interpretacijas, tokias kaip realizavimas, taip pat interpretacijas tipo teorijoje taip pat galima laikyti intuityvinės matematikos ir daugumos kitų konstruktyvių teorijų modeliais.

5.6 Atvirkštinė matematika

Atvirkščia matematika bandoma nustatyti matematines teoremas, kurių aksiomų reikia joms įrodyti. Intuicionistinėje atvirkštinėje matematikoje siekiama panašaus tikslo, tačiau kalbant apie intuicionistines teoremas: dirbant per silpną intuicionizmo teoriją, aksiomos ir teoremos lyginamos viena su kita. Tipiškos aksiomos, su kuriomis norima palyginti teoremas, yra ventiliatoriaus principas ir juostos principas, Kripke schema ir tęstinumo aksiomos.

(Veldman 2011) nagrinėjami ventiliatoriaus principo atitikmenys pagrindinei teorijai, vadinamai „Basic Intuitionistic Mathematics“. Parodyta, kad ventiliatoriaus principas yra lygiavertis teiginiui, kad vieneto intervalas [0,1] turi Heine-Borel savybę, ir iš to gaunama daugybė kitų atitikmenų. (Veldman 2009) parodyta, kad ventiliatoriaus principas taip pat yra lygiavertis Brouwerio apytiksliai fiksuoto taško teoremai. Straipsnyje (Lubarsky ir kt., 2012) Kripke schemos formai taikoma atvirkštinė matematika, kuri parodyta kaip lygiavertė tam tikriems topologiniams teiginiams.

Yra daug daugiau tokių pavyzdžių iš intuityviosios atvirkštinės matematikos. Ypač didesnėje konstruktyviosios atvirkštinės matematikos srityje yra daug tokio pobūdžio rezultatų, kurie taip pat svarbūs intuicionistiniu požiūriu.

6. Filosofija

Brouweris statė savo intuiciją nuo pat pradžių ir daug nekomentavo intuicijos santykio su kitomis egzistuojančiomis filosofijomis, tačiau kiti po jo padarė. Kai kurie iš šių ryšių aptariami šiame skyriuje, ypač tai, kaip intuityvistinius principus galima pateisinti, remiantis kitomis filosofijomis.

6.1 Fenomenologija

Intuicionizmo ir fenomenologijos ryšys, Edmundo Husserlio sukurta filosofija, buvo ištirtas kelių autorių per Brouwerio gyvenimą, taip pat ir dešimtmečiais vėliau. Hermanas Weylas buvo vienas iš pirmųjų, kuris aptarė Brouwerio idėjų santykį su fenomenologiniu matematikos požiūriu. Kaip ir Brouweris, Weylas savo knygoje „Das Kontinuum“(2 skyrius) kalba apie intuityvų tęstinumą, tačiau Weyl'o samprata remiasi laiko (sąmonės) fenomenologija. Vėliau Weylas mano, kad Brouwerio realios analizės vystymas labiau atitinka intuityvaus tęstinumo idėją nei jo paties (Weyl 1921), todėl atsiduria Brouwerio pusėje, bent jau šiuo aspektu (van Atten 2002).

Van Attenas (2003 ir 2007) naudoja fenomenologiją, kad pateisintų pasirinkimo sekas kaip matematinius objektus. Autorius (2002) kritiškai vertina Brouwerio pasirinkimo sekų pagrindimą, kuris yra motyvas ieškoti filosofinio pagrindimo kitur. Pasirinkimo sekos atsiranda Beckerio (1927) ir Weyl'o darbuose, tačiau jos skiriasi nuo Brouwer'io idėjos, ir Husserlis niekada viešai nesvarstė pasirinkimo sekų. Van Attenas paaiškina, kaip kontinuumo homogeniškumas lemia jo neišsemiamumą ir neatomiškumą - dvi pagrindinės intuityvaus kontinuumo savybės, pasak Brouwerio. Remiantis tuo, kad šios dvi esminės savybės yra apibrėžtos pasirinkimo sekos, gaunamas fenomenologinis jų pagrindimas.

6.2 Vitgenšteinas

1928 m. Kovo 10 d. Brouweris Vienoje skaitė paskaitas apie savo intuityvius matematikos pagrindus. Toje paskaitoje dalyvavo Ludwigas Wittgensteinas, įtikinęs Herbertą Feiglą, kuris vėliau rašė apie valandas, kurias praleido su Wittgensteinu ir kitais po paskaitos: įvyko puikus renginys. Staiga ir labai atlaidžiai Wittgensteinas pradėjo kalbėti filosofija - labai ilgai. Galbūt tai buvo posūkio taškas, nes nuo to laiko, 1929 m., Persikėlęs į Kembridžo universitetą, Wittgensteinas vėl buvo filosofas ir pradėjo daryti didžiulę įtaką.

Kiti ginčija, kad Brouwerio paskaita turėjo įtakos Wittgensteino mąstymui (Hacker 1986, Hintikka 1992, Marion 2003). Nelabai aišku, ar Wittgenšteinui įtakos turėjo Brouwerio idėjos, bet iš viso yra įdomių susitarimų ir nesutarimų. Marionas (2003) tvirtina, kad Wittgensteino matematikos samprata, aprašyta Traktate, yra labai artima Brouwerio sąvokai ir kad Wittgensteinas sutinka su atstumto vidurio įstatymo atmetimu (1929 m. Rankraštis, p. 155–156, Wittgenstein 1994), tačiau nesutinka. su Brouwerio argumentais prieš tai. Marionas (2003) tvirtina, kad Wittgensteino pozicija yra radikalesnė nei Brouwerio, nes, jos manymu, atskirtojo vidurio dėsnio negaliojimas matematikoje yra visų matematinių teiginių skiriamasis bruožas (priešingai nei empiriniai teiginiai), o ne tik begalybės matematikos ypatumai, kaip kad Brouweriui.

Veldmanas (būsimasis) aptaria kelis Brouwerio ir Wittgensteino susitarimo (dis) susitarimo punktus, pavyzdžiui, logikos pavojų, dėl kurio, pasak abiejų, gali kilti konstrukcijų, neturinčių matematinio turinio. Vienas iš nesutarimų, iškeltų dokumente, susijęs su Wittgensteino nuomone, kad matematika yra įprasta užduotis, o tai visiškai prieštarauja Brouwerio kuriamajam dalykui ir jo nuomonei, kad matematika yra kalbos neturinti veikla.

6.3 Dummetas

Britų filosofas Michaelas Dummettas (1975 m.) Sukūrė intuicijos, ypač intuicionistinės logikos, filosofinius pagrindus. Dummetas aiškiai teigia, kad jo teorija nėra Brouwerio darbo egzegezė, o galima filosofinė teorija, skirta (jo žodžiais tariant) atmesti klasikinius matematikos samprotavimus intuicionistinių samprotavimų naudai.

Dummeto požiūris prasideda nuo minties, kad vienos logikos pasirinkimas prieš kitą būtinai turi slypėti loginių teiginių reikšmėje. Dummeto vartojamoje prasmės teorijoje, kuri remiasi Wittgensteino idėjomis apie kalbą ir ypač jo idėja, kad prasmė yra vartojimas, sakinio reikšmė nustatoma pagal sakinio naudojimo būdą. Matematinio teiginio prasmė pasireiškia jo vartojimu, o supratimas yra gebėjimo naudoti teiginį žinojimas. Šį požiūrį patvirtina būdas, kuriuo mes įgyjame matematikos žinias. Kai išmokstame matematinę sąvoką, išmokstame ja naudotis: kaip ją apskaičiuoti, įrodyti ar padaryti iš to išvadą. Ir vienintelis būdas įrodyti, kad suvokėme matematinio teiginio prasmę, yra mūsų mokėjimas teisingai naudoti teiginį.

Atsižvelgiant į šį požiūrį į prasmę, matematikos prasmės teorijoje svarbiausia mintis nėra tiesa, o kaip įrodymas; matematinio teiginio supratimas susideda iš sugebėjimo atpažinti jo įrodymą, kai jis pateikiamas. Tuomet, kaip teigia Dummettas, intuityvinė logika tampa matematinio samprotavimo logika.

Įdomu tai, kad, kaip pažymi pats Dummettas (1975), jo prasmės teorija labai skiriasi nuo Brouwerio matematikos idėjų, kaip iš esmės kalbos neturinčios veiklos. Taigi, kad egzistuoja bent dvi gana skirtingos minties linijos, vedančios į intuicionistinės logikos perėmimą virš klasikinės logikos, tą, kurią sukūrė Brouweris, ir tą, kurią ginčija Dummetas. Dummeto intuicijos kūrinį pakomentavo įvairūs filosofai, tokie kaip Dagas Prawitzas (1977), Parsonsas (1986) ir Richardas Tieszenas (1994 ir 2000).

6.4 Finitizmas

Įvairios finitizmo formos yra pagrįstos panašiu požiūriu, kokį išreiškė Dummetas, tačiau kuriame reikalaujama, kad konstrukcijos, kurioms leidžiama įrodyti matematinius teiginius, egzistuotų ne tik iš principo, bet ir praktiškai. Atsižvelgiant į tikslią pastarosios idėjos įgyvendinimą, atsiranda įvairių finitizmo formų, tokių kaip Aleksandro Yessenino-Volpino sukurtas ultraintuicionizmas (1970) ir Crispin Wright (1982) sukurtas griežtas finitizmas.

Bibliografija

  • Aczel, P., 1978 m., „Tipinis teorinis konstruktyviosios aibės teorijos aiškinimas“, A. Macintyre, L. Pacholski, J. Paris (red.), Logic Colloquium '77, specialusis „Logic Studies and Foundations“leidimas. iš matematikos, 96: 55–66.
  • van Atten, M., 2004, Brouwer, Belmont: Wadsworth / Thomson mokymasis.
  • ––– 2007 m. Brouweris susitinka su Husserlu: Apie pasirinktų sekų fenomenologiją, Dordrecht: Springer.
  • ––– 2008 m., „Dėl hipotetinio sprendimo intuicionistinės logikos istorijoje“, C. Glymour, W. Wang ir D. Westerståhl (red.), 2007 m. Tarptautinio kongreso Pekine darbai (logika, metodika ir Mokslo filosofija: XIII tomas), Londonas: King's College publikacijos, 122–136.
  • van Atten, M. ir D. van Dalen, 2002 m., „Tęstinumo principo argumentai“, Simbolinės logikos biuletenis, 8 (3): 329–374.
  • Beth, EW, 1956 m., „Semantinis intuicinės logikos konstravimas“, Mededeelingen der Koninklijke Nederlandsche Akademie van Wetenschappen, „Afdeeling Letterkunde“(„Nieuwe Serie“), 19 (11): 357–388.
  • Brouwer, LEJ, 1975 m., Surinkti darbai I, A. Heyting (red.), Amsterdamas: Šiaurės Olandija.
  • ––– 1976 m., II kolekcija, H. Freudenthal (red.), Amsterdamas: Šiaurės Olandija.
  • –––, 1905 m., Levenas, kunst en mystiek, Delftas: Waltmanas.
  • –––, 1907 m., Virš de grondslagen der wiskunde, Ph. D. Disertacija, Amsterdamo universitetas, Fizikos ir matematikos katedra.
  • ––– 1912 m., „Intuïtionisme en formalisme“, inauguracinis adresas 1912 m. Amsterdamo universitete. Taip pat 1913 m. Wiskundig tijdschrift.
  • ––– 1925 m., „Zur Begründung der intuitionistischen Mathematik I“, „Mathematische Annalen, 93: 244–257.
  • ––– 1925 m., „Zur Begründung der intuitionistischen Mathematik II“, „Mathematische Annalen, 95: 453–472.
  • ––– 1948 m., „Iš esmės neigiamos savybės“, Indagationes Mathematicae, 10: 322–323.
  • ––– 1952 m., „Istorinis pagrindas, intuicionizmo principai ir metodai“, Pietų Afrikos mokslo žurnalas, 49 (spalio – lapkričio mėn.): 139–146.
  • ––– 1953 m., „Taškai ir erdvės“, Kanados matematikos žurnalas, 6: 1–17.
  • ––– 1981 m. Brouwerio Kembridžo paskaitos apie intuiciją, D. van Dalenas (red.), Kembridžas: Cambridge University Press, Cambridge.
  • –––, 1992 m., Intuitionismus, D. van Dalen (red.), Mannhein: Wissenschaftsverlag.
  • Brouwer, LEJ ir CS Adama van Scheltema, 1984, Droeve snaar, vriend van mij - Brieven, D. van Dalen (red.), Amsterdam: Uitgeverij de Arbeiderspers.
  • Coquand, T., 1995, „Konstruktyvus topologinis van der Waerdeno teoremos įrodymas“, Journal of Pure and Applied Algebra, 105: 251–259.
  • van Dalen, D., 1978 m., „Intuicionistinės analizės aiškinimas“, Matematinės logikos metraštis, 13: 1–43.
  • –––, 1997 m., „Kiek susijęs intuityvus tęstinumas?“, „Symbolic Logic“žurnalas, 62 (4): 1147–1150.
  • –––, 1999/2005, mistikas, geometras ir intuicionistas, I tomai (1999) ir II tomai (2005), Oksfordas: Clarendon Press.
  • –––, 2001 m., LEJ Brouwer (een biografija), Amsterdamas: Uitgeverij Bert Bakker.
  • ––– 2004 m., „Kolmogorovas ir Brouweris apie konstruktyvų poveikį ir Ex Falso taisyklę“, Rusijos matematikos apžvalgos, 59: 247–257.
  • van Dalen, D. (red.), 2001, LEJ Brouwer en de grondslagen van de wiskunde, Utrecht: Epsilon Uitgaven.
  • Diaconescu, R., 1975 m., „Pasirinkta ir papildoma aksioma“, Proceedings of the American Mathematical Society, 51: 176–178.
  • Dummett, M., 1975 m., „Filosofiniai intuicinės logikos pagrindai“, HE Rose ir JC Shepherdson (red.), Logic Colloquium '73 leidiniai, specialusis logikos studijų ir matematikos pagrindų leidimas, 80: 5 –40.
  • M. Fourmanas ir R. Graysonas, 1982 m., „Formalios erdvės“, AS „Troelstra“ir D. van Dalenas (red. Past.), „LEJ Brouwer Centenary Symposium“, Amsterdamas: Šiaurės Olandija.
  • Gentzen, G., 1934 m., „Untersuchungen über das logische Schließen I, II“, „Mathematische Zeitschrift“, 39: 176–210, 405–431.
  • Gödel, K., 1958 m., „Über eine bisher noch nicht benützte Erweiterung des finiten Standpunktes“, Dialektija, 12: 280–287.
  • Hackeris, PMS, 1986, „Insight & Illusion“. Vitgenšteino filosofijos temos, pataisytas leidimas, Clarendon Press, Oksfordas.
  • Heyting, A., 1930 m., „Die formalen Regeln der intuitionistischen Logik“, „Sitzungsberichte der Preussischen Akademie von Wissenschaften“. „Physikalisch -hematische Klasse“, 42–56 metai.
  • ––– 1956 m., Intuicionizmas, įvadas, Amsterdamas: Šiaurės Olandija.
  • van der Hoeven, G., ir I. Moerdijk, 1984 m., „Varpos modeliai pasirinktoms sekoms“, Annals of Pure and Applied Logic, 27: 63–107.
  • Kleene, SC ir RE Vesley, 1965 m., Intuityvistinės matematikos pagrindai, Amsterdamas: Šiaurės Olandija.
  • Kreisel, G., 1959 m., „Analizės aiškinimas naudojant baigtinio tipo konstruktyvius funkcionierius“, A. Heyting (red.), Matematikos konstruktyvumas, Amsterdamas: Šiaurės Olandija.
  • ––– 1962 m., „Dėl silpnos intuityvinės predikatinės logikos išsamumo“, Journal of Symbolic Logic, 27: 139–158.
  • ––– 1968 m., „Neteisėta natūraliųjų skaičių seka“, Compositio Mathematica, 20: 222–248.
  • Kripke, SA, 1965 m., „Crossman and M. Dummett (ed.), J. Crossley ir M. Dummett (red.),„ Semantinė intuityvinės logikos analizė “, formaliosios sistemos ir rekursinės funkcijos, Amsterdamas: Šiaurės Olandija.
  • Lubarsky, R., F. Richman ir P. Schuster, 2012, „Kripke schema metrinėje topologijoje“, Matematinės logikos ketvirtinis leidinys, 58 (6): 498–501.
  • Maietti, ME ir G. Sambin, 2007, „Kuriant minimalistinį konstruktyvios matematikos pagrindą“, L. Crosilla ir P. Schuster (red. Past.), Nuo rinkinių ir tipų iki topologijos ir analizės: link minimalistinio konstruktyvios matematikos pagrindų, Oksfordas: Oxford University Press.
  • Marion, M., 2003, „Wittgenstein and Brouwer“, Sintezė 137: 103–127.
  • Martin-Löf, P., 1970, Pastabos apie konstruktyvią matematiką, Stokholmas: Almqvist & Wiskell.
  • –––, 1984 m., Intuicionistinio tipo teorija, Napolis: Bibliopolis.
  • Moschovakis, JR, 1973 m., „Antros eilės intuityvinės aritmetikos topologinis aiškinimas“, Compositio Mathematica, 26 (3): 261–275.
  • –––, 1986 m., „Santykinis neteisėtumas intuicionistinėje analizėje“, Žurnalas „Symbolic Logic“, 52 (1): 68–87.
  • Myhill, J., 1975 m., „Konstruktyvios rinkinio teorija“, Journal of Symbolic Logic, 40: 347–382.
  • Niekus, J., 2010, „Brouwerio neužbaigti objektai“Logikos istorija ir filosofija, 31: 31–46.
  • van Oosten, J., 2008, Realizavimas: įvadas į savo kategorinę pusę (Logikos studijos ir matematikos pagrindai: 152 tomas), Amsterdamas: Elsevier.
  • Prawitz, D., 1977 m., „Reikšmė ir įrodymai: apie klasikinės ir intuicionistinės logikos konfliktą“, Theoria, 43 (1): 2–40.
  • Parsons, C., 1986, „Intuicija konstruktyvioje matematikoje“, kalba, protas ir logika, J. Butter (red.), Cambridge: Cambridge University Press.
  • Sambinas, G., 1987, „Intuicionistinės formaliosios erdvės“, „Matematinė logika ir jos taikymai“, D. Skordev (red.), Niujorkas: Plenum.
  • Scott, D., 1968, „Topologinio aiškinimo taikymas intuityvinei analizei“, Compositio Mathematica, 20: 194–210.
  • ––– 1970 m., „Intuicionizmo ir įrodymų teorijos topologinio aiškinimo išplėtimas iki intuityvinės analizės II“, J. Myhill, A. Kino ir R. Vesley (red.), Amsterdamas: Šiaurės Olandija.
  • Sundholmas, BG, „Konstruktyvios rekursyvinės funkcijos, bažnyčios disertacija ir Brouwerio kūrinio teorija: Pomėgis apie Paryžiaus jungtinę sesiją“, Jacque Dubucs ir Michel Bordeau (red.), „Konstruktyvumas ir skaičiavimai istorinėje ir filosofinėje perspektyvoje (logika, Epistemologija ir mokslo vienybė: 34 tomas), Dordrecht: Springer: 1–35.
  • Tarski, A., 1938 m., „Der Aussagenkalkül und die Topologie“, „Fundamenta Mathematicae“, 31: 103–134.
  • Tieszen, R., 1994, „Koks yra intuicionistinės matematikos filosofinis pagrindas?“, D. Prawitz, B. Skyrms ir D. Westerstahl (red.), Logika, metodologija ir mokslo filosofija, IX: 579–594.
  • ––– 2000 m., „Intuicionizmas, prasmių teorija ir pažinimas“, „Logikos istorija ir filosofija“, 21: 179–194.
  • Troelstra, AS, 1973 m., Intuityvistinės aritmetikos ir matematiniai matematiniai tyrimai (matematikos paskaitų užrašai: 344 tomas), Berlynas: Springeris.
  • –––, 1977 m., Pasirinkimo sekos („Oxford Logic Guides“), Oksfordas: „Clarendon Press“.
  • Troelstra, AS, ir D. van Dalen, 1988 m., I ir II konstruktyvizmas, Amsterdamas: Šiaurės Olandija.
  • Veldman, W., 1976 m., „Intuityvistinės predikatinės logikos intuityviojo užbaigtumo teorema“, Journal of Symbolic Logic, 41 (1): 159–166.
  • –––, 1999 m., „Borelio hierarchija ir projekcinė intuityvinės matematikos hierarchija“, ataskaitos numeris 0103, Nijmegeno universiteto Matematikos katedra. [galima rasti internete]
  • ––– 2004 m., „Intuitinis Kruskalo teoremos įrodymas“, „Matematinės logikos archyvas“, 43 (2): 215–264.
  • ––– 2009 m. „Brouwerio apytikslė fiksuoto taško teorema prilygsta Brouwerio gerbėjų teoremai“, S. Lindström, E. Palmgren, K. Segerberg, V. Stoltenberg-Hansen (red.), Logika, intuicija ir formalizmas. (Sintezės biblioteka: 341 tomas), Dordrecht: Springer, 277–299.
  • ––– 2014 m., „Brouwerio gerbėjų teorema kaip aksioma ir kaip kontrastas Kleene'o alternatyvai“, „Mathematical Logic Archive“, 53 (5–6): 621–693.
  • –––, būsimasis, „Intuicionizmas yra visiškai nesąmonė. Nebent įkvėpimas “, - G. Alberts, L. Bergmans ir F. Muller (ed.),„ Reikšmės ir Vienos ratas: sankryžos “,„ Dordrecht “:„ Springeris “. [išankstinis spausdinimas galimas internete]
  • Weyl, H., 1921 m., „Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik“, „Mathematische Zeitschrift“, 10: 39–70.
  • Wittgenstein, L., 1994, Wiener Ausgabe, 1 grupė, Philosophische Bemerkungen, Viena, Niujorkas: Springer Verlag.
  • Wright, C., 1982, „Griežtas baigtinumas“, Sintezė 51 (2): 203–282.
  • Yessenin-Volpin, AS, 1970 m., „Itin intuityvistinė kritika ir antitradicinė programa matematikos pagrindams“, A. Kino, J. Myhill ir R. Vesley (red.), Intuicionizmas ir įrodymo teorija, Amsterdamas: Šiaurės – Leidykla „Holland“, 3–45.

Akademinės priemonės

sep vyro ikona
sep vyro ikona
Kaip pacituoti šį įrašą.
sep vyro ikona
sep vyro ikona
Peržiūrėkite šio įrašo PDF versiją „Friends of the SEP“draugijoje.
info piktograma
info piktograma
Ieškokite šios įrašo temos interneto filosofijos ontologijos projekte (InPhO).
„Phil Papers“piktograma
„Phil Papers“piktograma
Patobulinta šio įrašo „PhilPapers“bibliografija su nuorodomis į jo duomenų bazę.

Kiti interneto šaltiniai

Rekomenduojama: