Apytikslė Logika

Turinys:

Apytikslė Logika
Apytikslė Logika
Anonim

Įėjimas Navigacija

  • Įstojimo turinys
  • Bibliografija
  • Akademinės priemonės
  • Draugai PDF peržiūra
  • Informacija apie autorius ir citata
  • Atgal į viršų

Apytikslė logika

Pirmą kartą paskelbta 2016 m. Lapkričio 15 d., Antradienis; esminė peržiūra 2017 m. liepos 18 d., antradienis

Apytikslė logika skirta modeliuoti loginius samprotavimus tokiais neaiškiais ar netiksliais teiginiais, kaip „Petras yra jaunas (turtingas, aukštas, alkanas ir pan.)“. Tai reiškia daugelio vertinamų logikų šeimą (žr. Įrašą apie daugiakultūrę logiką) ir tokiu būdu nusako, kad logiškai sudėtinio teiginio tiesos vertė (kuri šiuo atveju prilygsta tiesos laipsniui), tokia kaip „Carlesas yra aukštas o Chrisas yra turtingas “, yra nulemta tikrosios jo sudedamųjų dalių vertės. Kitaip tariant, kaip ir klasikinėje logikoje, imponuojamas tiesos funkcionalumas.

Apytikslė logika atsirado susiliejusių rinkinių teorijos, kurią pristatė Zadeh (1965), kontekste. Apytikslė aibė visatos elementams priskiria narystės laipsnį, paprastai realųjį skaičių iš intervalo ([0,1]). Apytikslė logika atsiranda priskiriant teiginius tiesos laipsnius. Standartinis tiesos verčių (laipsnių) rinkinys yra ([0,1]), kur (0) reiškia „visiškai klaidinga“, (1) reiškia „visiškai teisinga“, o kiti skaičiai nurodo dalinę tiesa, ty tarpiniai tiesos laipsniai. [1]

„Apytikslė logika“dažnai suprantama labai plačiąja prasme, apimančia įvairius formalizmus ir metodus, susijusius su sistemingu tam tikrų laipsnių tvarkymu (žr., Pvz., Nguyen ir Walker 2000). Visų pirma inžinerijos kontekste (neaiškus valdymas, neaiškus klasifikavimas, minkštasis skaičiavimas) siekiama veiksmingų skaičiavimo metodų, tolerantiškų suboptimalumui ir netikslumui (žr., Pvz., Ross 2010). Šis įrašas sutelktas į apytikslę logiką siaurąja prasme, nustatytą kaip matematinės logikos disciplina po Petr Hájeko (1998) pagrindinės monografijos ir šiais laikais paprastai vadinamą „matematiškai neryškia logika“(žr. Cintula, Fermüller, Hájek ir Noguera, 2011). ir 2015 m.). Pagrindinis dėmesys skiriamas logikai, paremtai tikrovės funkcine dalinės tiesos analize, ir tiria jas klasikinės matematinės logikos (sintaksė,modelio teorinė semantika, įrodymo sistemos, išsamumas ir kt.; tiek pasiūlymo, tiek predikatiniame lygmenyje).

  • 1. Apytiksliai jungiamieji elementai, pagrįsti t-normomis
  • 2. MTL: esminė neaiški logika
  • 3. Łukavičiaus logika
  • 4. Gödel – Dummett logika
  • 5. Kita pastebima neaiški logika
  • 6. Numatykite logiką
  • 7. Algebrinė semantika
  • 8. Įrodymų teorija
  • 9. Semantika, pagrindžianti tiesos funkcionalumą
  • 10. Apytikslė logika ir neaiškumas
  • Bibliografija
  • Akademinės priemonės
  • Kiti interneto šaltiniai
  • Susiję įrašai

1. Apytiksliai jungiamieji elementai, pagrįsti t-normomis

Standartinis neryškios logikos tiesos laipsnių rinkinys yra tikrasis vieneto intervalas ([0,1]) su jo natūralia tvarka (leq), pradedant nuo visiško klastingumo (žymimas (0)) iki visos tiesos (pavaizduota (1)) per tarpinių tiesos laipsnių tęstinumą. Pati pagrindinė (pagrindinės) matematinės miglotos logikos prielaida yra tai, kad jungiamieji elementai turi būti aiškinami tiesai funkciškai per tiesos laipsnių aibę. Manoma, kad tokios tiesos funkcijos klasikiškai elgiasi su kraštutinėmis vertėmis (0) ir (1). Natūralus jungimosi ir atsiribojimo elgesys pasiekiamas įvedant (x / žemės y = / min {x, y }) ir (x / lor y = / max {x, y }) kiekvienas (x, y [0,1]).

Kitas, neidempotentinis, junginys (&) paprastai pridedamas siekiant paaiškinti intuiciją, kad du kartus pritaikius iš dalies teisingą hipotezę gali atsirasti kitoks tiesos laipsnis, nei ja naudotis tik vieną kartą. Toks junginys paprastai aiškinamas dvejetainiu veiksmu naudojant ([0,1]), kuris nebūtinai yra idempotentinis, bet vis tiek asociatyvus, komutacinis, nemažėjantis abiejų argumentų atžvilgiu ir turintis (1) kaip neutralų elementą. Šios operacijos vadinamos t-normomis (trikampėmis normomis) ir jų matematinės savybės buvo nuodugniai ištirtos (pvz., Klement, Mesiar ir Pap 2000). Ryškūs t-normų pavyzdžiai yra jau minėta funkcija (min), standartinis realiųjų skaičių sandauga ir Łukasiewicz t-norma: (x * _ {Ł} y = / max {x + y- 1,0 }). Šios trys t-normos iš tikrųjų yra nenutrūkstamos funkcijos ir bet kurią kitą tęstinę t-normą galima apibūdinti kaip šių trijų pagrindinių normų sumą (žr. Ling 1965; Mostert & Shields 1957).

Neigimas aiškinamas nedidėjančia funkcija, priskiriančia (0) (1) ir atvirkščiai; įprasti pasirinkimai yra Łukasiewicz neigimas (neg_ {Ł} x = 1 - x) ir Gödel neigimas: (neg_ / mathrm {G} 0 = 1) ir (neg_ / mathrm {G} x = 0) kiekvienam (x> 0). Taip pat įprasta įvesti nuolatinį simbolį (perbraukti {0}), kad visiška klastotė būtų aiškinama kaip (0). Galiausiai tinkamas implikacijos pasirinkimas yra t-normos (ast) likučiai, tai yra unikali funkcija (Rightarrow), tenkinanti vadinamąją likvidavimo sąlygą: (x / ast y / leq z), jei ir tik tada, (x / leq y / Rightarrow z). Tokia funkcija egzistuoja (ir yra apibrėžiama kaip (x / dešinėn rodyklė y = / max {z / viduryje x = as z / leq y })), jei ir tik tada, jei t-norma paliekama ištisinė.

2. MTL: esminė neaiški logika

Silpniausia logika su jungiamuoju elementu, aiškinamu aukščiau aprašyto tipo tiesos funkcijomis, yra MTL (Monoidinė T norma pagrįsta logika, Esteva ir Godo, 2001). Tai logika su primityviaisiais jungiamaisiais elementais (mathbin { &}, į, / pleištu,) ir (perdėta {0}), o išvestiniais jungiamaisiais priedais, kurie apibūdinami kaip: (pradėti {lygiuoti} varphi / lor / psi & = ((varphi / į / psi) į / psi) žemė ((psi / į / varphi) į / varphi), \\ / neg / varphi & = / varphi / į / perdengti {0}, \\ / varphi / leftrightarrow / psi & = (varphi / į / psi) žemė (psi / į / varphi) ir \\ / perdengti {1} & = / neg / perbraukti { 0}. / end {lygiuoti}) MTL yra apibrėžiamas kaip pasekmių ryšys per semantiką, kurią suteikia visos tęstinės kairiosios normos. Būtent, atsižvelgiant į tam tikrą kairiąją tęstinę t-normą (ast), vertinimas (e_ / ast) yra pasiūlymo kintamųjų į ([0,1]) atvaizdavimas,išplėstas visoms formulėms, aiškinant (&) kaip (ast), implikacija (į) kaip jo liekana (dešinė rodyklė) ir (žemė) ir (perdėta {0}) atitinkamai kaip (min) ir (0).

Formulė (varphi) yra formulės (gama), pateiktos MTL, aibės, žymimos (gama / modeliai / mathrm {MTL} varphi), pasekmė, jei kiekvienai paliktai tęstinei t- norma (ast) ir kiekvienas vertinimas (e_ / ast) toks, kad (e (psi) = 1) kiekvienam (psi / in Gamma) turime (e (varphi)) = 1); tai yra: kiekvienas įvertinimas, kuris daro prielaidą visiškai teisingą, taip pat turi padaryti išvadą visiškai teisingą. Formulės (varphi), kurios visada vertinamos pagal (1) ((model_ / mathrm {MTL} varphi)), vadinamos MTL tautologijomis. Atminkite, kad formulė ((varphi / mathbin { &} psi) iki (varphi / land / psi)) yra MTL tautologija, ty jungtis (&) yra stipresnė nei (žemė).

MTL taip pat gali pateikti Hilbert stiliaus įrodymo sistema, turinti šias aksiomas:

(pradėti {lygiuoti} (varphi / į / psi) & / į ((psi; į / chi) į (varphi / į / chi)) / \ varphi / mathbin { &} psi & / į / varphi \\ / varphi / mathbin { &} psi & / į / psi / mathbin { &} varphi \\ / varphi / land / psi & / to / varphi \\ / varphi / land / psi & / į / psi / žemę / varphi \(chi / į / varphi) & / į ((chi / į / psi) į (chi / į / varphi / pleištą / psi)) (varphi / mathbin { &} psi / į / chi) & / į (varphi / į (psi / į / chi)) (varphi / į (psi / į / chi)) & / į (varphi / mathbin { &} psi / į / chi) ((varphi / į / psi) į / chi) & / į (((psi) į / varphi) į / chi) į / chi) / \ perdengti {0} & / į / varphi \\ / pabaiga {lygiuoti})

ir modus ponens kaip vienintelę išvadų taisyklę: nuo (varphi) ir (varphi / iki / psi), sekti (psi). Ši sistema yra visiška MTL logikos aksiomatizacija: aukščiau pateiktų aksiomų ir formulių pavyzdžiai, esantys (gama). Žinoma, kad (mathrm {MTL}) pagrįstumo problema yra išsprendžiama, tačiau jos skaičiavimo sudėtingumas dar nenustatytas.

3. Łukavičiaus logika

Łukasiewicz logika gali būti apibrėžta pridedant [((varphi / į / psi) į / psi) į ((psi / į / varphi) į / varphi)) prie Hilbert'o stiliaus sistemos MTL. Jis atitinka baigtinę pasekmių sąsajos versiją, apibrėžtą įvertinimų, pagrįstų Łukavičiaus t-norma (simboliais: kiekvienam baigtiniam formulių rinkiniui (Gamma) ir kiekvienai formulei (varphi), mes turime (Gamma / model_ {Ł} varphi) iff (Gamma / vdash_ {Ł} varphi)). [2]

Ši logika buvo ankstyvasis daugelio vertinamos logikos pavyzdys, kurį pristatė Łukasiewicz & Tarski (1930), dar prieš pradedant miglotųjų aibių teoriją, naudojant lygiavertę aksiomatinę sistemą (su modus ponens kaip vienintelę išvados taisyklę).:

(pradėti {lygiuoti} varphi & / į (psi / į / varphi) (varphi / į / psi) & / į ((psi / į / chi) į (varphi / į / chi)) ((varphi / į / psi) į / psi) & / į ((psi / į / varphi) į / varphi) (neg / psi / į / neg / varphi) & / į (varphi / į / psi) ((varphi / į / psi) & / į (psi / į / varphi)) į (psi / į / varphi) / \ pabaiga {lygiuoti })

Łukasiewicz logika yra vienintelė t-norma pagrįsta miglota logika, kai visi jungiamieji elementai aiškinami ištisinėmis funkcijomis, įskaitant implikaciją, kurią kaip (_ {Ł}) liekaną suteikia funkcija (x / to_ {Ł). } y = / min {1,1-x + y }). McNaughtono teorema (1951) teigia, kad realiosios vertės funkcijos, didesnės kaip [0,1], interpretuojančios Łukasiewicz logikos formules, yra tiksliai ištisinės ištisinės linijinės funkcijos su sveikaisiais koeficientais. Kalbant apie skaičiavimo sudėtingumą, šios logikos pagrįstumo problema nėra asimptotiškai blogesnė nei klasikinėje logikoje: ji išlieka coNP-išsami.

4. Gödel – Dummett logika

Gödel – Dummett logika, dar vadinama Dummett LC arba tiesiog Gödel logika, yra dar vienas ankstyvasis daugelio vertybių logikos, kurioje tiesos reikšmės yra ([0,1]), pavyzdys. Tai pristatė Michaelas Dummettas (1959) kaip intuicionistinės logikos pratęsimą (žr. Įrašą apie intuitionistinę logiką) aksioma [(varphi / į / psi) lor (psi / į / varphi).) Ši formulė vykdo linijinę tvarką pagrindinėje (Kripke stiliaus ir algebrinėje) semantikoje. Gödelio pastebėjime taip pat paaiškėja, kad neįmanoma apibūdinti intuicionistinės logikos baigtinėmis tiesos lentelėmis (Gödel 1932). Gödel – Dummett logika taip pat gali būti gaunama kaip aksiomatinis MTL išplėtimas pridedant aksiomą (varphi / į / varphi / mathbin { &} varphi), o tai reiškia, kad reikia (&) idempotencijos.,ir todėl abiejų junginių interpretacija sutampa. Apibrėžtoje logikoje Gödel – Dummett logika gali būti vertinama kaip pasekmių santykis, kurį suteikia minimali t-norma. Tai išskiriama kaip vienintelė t-norma pagrįsta logika, kai formulės teisingumas duotame vertinime priklauso ne nuo konkrečių reikšmių, priskirtų pasiūlytiniams kintamiesiems, o tik nuo santykinės šių verčių eilės. Šia prasme Gödel-Dummett logika gali būti vertinama kaip palyginamosios tiesos logika. Kaip ir Łukasiewicz logika, skaičiavimo sudėtingumo testavimo pagrįstumas tebėra bendras. Tai išskiriama kaip vienintelė t-norma pagrįsta logika, kai formulės teisingumas duotame vertinime priklauso ne nuo konkrečių reikšmių, priskirtų pasiūlytiniams kintamiesiems, o tik nuo santykinės šių verčių eilės. Šia prasme Gödel-Dummett logika gali būti vertinama kaip palyginamosios tiesos logika. Kaip ir Łukasiewicz logika, skaičiavimo sudėtingumo testavimo pagrįstumas tebėra bendras. Tai išskiriama kaip vienintelė t-norma pagrįsta logika, kai formulės teisingumas duotame vertinime priklauso ne nuo konkrečių reikšmių, priskirtų pasiūlytiniams kintamiesiems, o tik nuo santykinės šių verčių eilės. Šia prasme Gödel-Dummett logika gali būti vertinama kaip palyginamosios tiesos logika. Kaip ir Łukasiewicz logika, skaičiavimo sudėtingumo testavimo pagrįstumas tebėra bendras.

5. Kita pastebima neaiški logika

Be MTL (visų kairiųjų ištisinių t-normų logikos) ir Łukasiewicz bei Gödel-Dummett logikos (kiekviena iš jų yra sukelta vienos konkrečios t-normos), galima apsvarstyti ir logiką, kurią sukelia kiti t-normų rinkiniai arba apskritai savavališkai. aksiomatiniai MTL plėtiniai. Visų pirma, visų t-normų logika (Hájeko pagrindinė neryškioji logika) gaunama pridedant aksiomą [(varphi / mathbin { &} (varphi / į {{ psi}})) to (psi / mathbin { &} (psi / to / varphi))) MTL. Tiesą sakant, bet kuriam ištisinių t-normų rinkiniui yra baigtinė atitinkamos logikos aksiomatizacija (Esteva, Godo ir Montagna 2003; Haniková 2014). Visų pirma paskutinės iškilios t-normos (algebrinio produkto), vadinamos Produktų logika, logika yra Hájeko pagrindinės miglotosios logikos pratęsimas aksioma: (neg / varphi / vee ((nuo / varphi iki / varphi) mathbin { &} {{ psi}}) iki {{ psi}})) Kita vertus, ne visiems aksiomatiniams MTL plėtiniams gali būti suteikta t-normų semantika. Pavyzdžiui, klasikinę logiką galima aksiomatizuoti kaip MTL (+) (varphi / vee / neg / varphi), tačiau pašalinto vidurio aksioma nėra tautologija pagal jokią t-norma pagrįstą interpretaciją.

Taip pat yra priežasčių laikyti silpnesnę miglotąją logiką. Pavyzdžiui, galima teigti, kad prielaidos, verčiančios jungtį aiškinti t-norma, yra per stiprios. Visų pirma, prielaida, kad (1) yra neutralus jungties elementas, patvirtina tautologijos apibrėžimą kaip formulę, visada vertinamą pagal (1), ir pasekmių ryšį kaip vertės išsaugojimą (1) - tai yra, (1) yra vienintelė paskirta reikšmė semantikoje. [3]Natūralus būdas supažindinti logiką su daugiau nei vienu pažymėtu tiesos laipsniu yra manyti, kad neutralus (ast) elementas yra skaičius (t <1). (Galima parodyti, kad tokioje situacijoje tiesos laipsniai yra tiksliai tokie, kurie yra didesni arba lygūs (t).) Tokie junginių aiškinimai vadinami neinformacijomis. Gautą logiką aksiomatizuoja Metcalfe & Montagna (2007).

Analogiškai galima ginčytis ir dėl komutatyvumo ar net su junginio asociatyvumu. Gautos logikos aksiomatizacija aprašyta literatūroje (žr. Cintula, Horčík, & Noguera 2013; Jenei & Montagna 2003); išimtis yra nekomutacinių neinformatikų, kurioms natūrali aksiomatinė sistema nežinoma, logika.

Galiausiai, atsižvelgiant į tai, kad neaiški logika, skirtingai nei klasikinė logika, paprastai nėra funkcionali, išbaigta, galima padidinti jų išraiškingą galią pridedant naujų jungiamųjų elementų. Dažniausiai laikomi jungiamieji elementai: tiesos konstantos (bar r) kiekvienam racionaliam skaičiui (r / in (0,1)); uniariniai jungiamieji elementai (sim) ir (trikampis) interpretuojami kaip ({ sim} x = 1-x) ir (trikampis x = 1), jei (x = 1) ir (0) kitaip; dvejetainis jungiamasis ((tikimasi)), suprantamas kaip įprastas algebrinis produktas ir tt (Baaz 1996; Esteva, Gispert, Godo, & Noguera 2007; Esteva, Godo, & Montagna 2001; Esteva, Godo, Hájek ir Navara 2000)..

Išsamią visų šiame skyriuje paminėtų siūlomų neaiškių logikų rūšių apžvalgą (ir bendrą jų teoriją) galima rasti Matematinės neryškios logikos vadove (3 tomai, Cintula ir kt., 2011a, b, 2015).

6. Numatykite logiką

Atsižvelgiant į bet kokią pasiūlytą neaiškią logiką L, yra vienodas būdas įvesti jos pirmosios eilės atitikmenį L (forall) predikatine kalba (matematine {P \! L}) (apibrėžta kaip klasikiniu atveju). Šiame skyriuje, siekiant paprastumo, pateikiame jį t-norma pagrįsta logika.

Semantiką suteikia struktūros, kuriose predikatiniai simboliai interpretuojami kaip funkcijos, priskiriančios domeno elementų grupes tiesos vertybėmis. Tiksliau tariant, struktūrą ({ mathbf M}) sudaro tuščias elementų domenas (M), funkcija (f _ { mathbf M} dvitaškis M ^ n / į M), skirtas kiekvienas (n) - ary funkcijos simbolis (f / in / mathcal {P \! L}), ir funkcija (P _ { mathbf M} dvitaškis M ^ n / iki [0,1]) kiekvienam (n) - nurodykite simbolio simbolį (P / matematikoje {P \! L}). Pataisant objekto kintamųjų vertinimą ({ mathrm v}), esančiame (M), apibrėžiamos terminų reikšmės ((| f (t_1, / taškai, t_n) | _ { mathrm v} = f _ { mathbf M} (| t_1 / | _ { mathrm v}, / taškai, / | t_n / | _ { mathrm v}))) ir tiesinių atomų formulių reikšmės ((| P (t_1, / taškai, t_n) | _ { mathrm v} = P _ { mathbf M} (| t_1 / | _ { mathrm v}, / taškai, / | t_n / | _ { mathrm v}))). Visuotinai / egzistenciškai išreikštos formulės tikrosios vertės yra apskaičiuojamos kaip formulės atvejų, kai kiekybiškai įvertintas kintamasis viršija visus domeno (M) elementus, tiesos verčių mažiausias / aukščiausias reikšmės. Formaliai: (pradėti {lygiuoti} | (forall x) varphi / | _ { mathrm v} & = / inf { | / varphi / | _ {{ mathrm v} [x {:} a]} viduryje / M } / \ | (egzistuoja x) varphi / | _ { mathrm v} & = / sup { | / varphi / | _ {{ mathrm v} [x {:} a]} viduryje / M }, \\ / pabaiga {lygiuoti}), kur ({ mathrm v} [x {:} a]) yra vertinimo siuntimas (x) iki (a), o kitų kintamųjų reikšmės nekinta. Kitų formulių reikšmės yra apskaičiuojamos naudojant tiesos funkcijas teigiamiesiems L junginiams.(pradėti {lygiuoti} | (forall x) varphi / | _ { mathrm v} & = / inf { | / varphi / | _ {{ mathrm v} [x {:} a] } viduryje / M } / \ | (egzistuoja x) varphi / | _ { mathrm v} & = / sup { | / varphi / | _ {{ mathrm v} [x {:} a]} viduryje / M }, \\ / pabaiga {lygiuoti}), kur ({ mathrm v} [x {:} a]) yra vertinimo siuntimas (x) į (a), o kitų kintamųjų reikšmės nekinta. Kitų formulių reikšmės yra apskaičiuojamos naudojant tiesos funkcijas teigiamiesiems L junginiams.(pradėti {lygiuoti} | (forall x) varphi / | _ { mathrm v} & = / inf { | / varphi / | _ {{ mathrm v} [x {:} a] } viduryje / M } / \ | (egzistuoja x) varphi / | _ { mathrm v} & = / sup { | / varphi / | _ {{ mathrm v} [x {:} a]} viduryje / M }, \\ / pabaiga {lygiuoti}), kur ({ mathrm v} [x {:} a]) yra vertinimo siuntimas (x) į (a), o kitų kintamųjų reikšmės nekinta. Kitų formulių reikšmės yra apskaičiuojamos naudojant tiesos funkcijas teigiamiesiems L junginiams. Kitų formulių reikšmės yra apskaičiuojamos naudojant tiesos funkcijas teigiamiesiems L junginiams. Kitų formulių reikšmės yra apskaičiuojamos naudojant tiesos funkcijas teigiamiesiems L junginiams.

Pirmos eilės logika L (forall) tada apibrėžiama kaip pasekmių santykis, pateiktas išsaugojant visą tiesą (reikšmė (1)), kaip ir teiginio atveju. Tiksliau sakant, pirmosios eilės formulė (varphi) yra formulių rinkinio (Gamma) pasekmė (simboliais: (Gamma / modeliai _ { mathrm {L} forall} varphi)) if (| / varphi / | _ { mathrm v} = 1) kiekvienam įvertinimo v, kai (| / psi / | _ { mathrm v} = 1) kiekvienam vertinimas v ir kiekvienas (psi / „Gamma“).

L (forall) gali būti suteiktas Hilberto stiliaus skaičiavimas, turintis šias aksiomas:

  • (P) Pasiūlymo logikos aksiomų (pirmosios eilės) atvejai L
  • ((forall1)) ((forall x) varphi (x) to / varphi (t)), kur terminas (t) yra pakeičiamas žodžiu (x)
  • ((egzistuoja1)) (varphi (t) į (egzistuoja x) varphi (x)), kur terminas (t) yra pakeičiamas žodžiu (x)
  • ((forall2)) ((forall x) (chi / to / varphi) to (chi / to (forall (x) varphi)), kur (x) nėra nemokama (chi)
  • ((egzistuoja2)) ((forall x) (varphi / į / chi) į ((egzistuoja x) varphi / į / chi)), kur (x) nėra laisvas į (chi)
  • ((forall3)) ((forall x) (chi / vee / varphi) į / chi / vee (forall x) varphi), kur (x) nemokama programoje (chi).

L (forall) išskaičiavimo taisyklės yra L ir plius generalizacijos taisyklė: from (varphi) infer ((forall x) varphi).

Daugelio pastebimų siūlomų neaiškių logikų (įskaitant MTL ir Gödel logiką) atžvilgiu aukščiau išdėstyta aksiomatinė sistema yra patikima ir išsami semantikos atžvilgiu (ty, (Gamma / modeliai {{ mathrm {L} forall} varphi) iff (Gamma / vdash _ { mathrm {L} forall} varphi) kiekvienam (Gamma) ir kiekvienam (varphi); „Cintula“, „Horčík“ir „Noguera 2014“).

Tačiau pirmosios eilės Łukavičiaus logika nėra atkuriamai aksiomatizuojama, kaip parodė Scarpellini (1962; Ragaz (1981)), įrodė, kad tautologijų rinkinys iš tikrųjų yra (Sigma_2 / - pilnas aritmetinės hierarchijos prasme). Visiškumas gali būti pasiektas įtraukiant neinitarinių išvadų taisyklę (Hay 1963) arba apibendrinant tiesos vertybių rinkinį (žr. Kitą skyrių). Situacija dar sudėtingesnė Hajeko pagrindinės miglotosios logikos atveju, kai visų struktūrų pirmosios eilės tautologijų rinkinys, pateikiamas ištisinių t-normų, yra toks pat sudėtingas kaip tikrosios aritmetikos (Montagna 2001).

7. Algebrinė semantika

Viena iš pagrindinių neaiškios logikos tyrimo priemonių yra algebrinė semantika (žr. Įrašą apie algebrinę semantiką). Grubiai tariant, idėja yra pakeisti realųjį vienetų intervalą savavališku rinkiniu ir jungiamąsias dalis interpretuoti kaip atitinkamų aritijų operacijas tame rinkinyje.

MTL algebra (įvesta Esteva ir Godo (2001)) yra pavardė ({ mathbf A} = / langle A, &, / to, / pleištas, / vee, / overline {0}, / overline { 1} rangle) kur

  • (langle A, / pleištas, / vee, / overline {0}, / overline {1} rangle) yra apribota grotelė
  • (langle A, &, / overline {1} rangle) yra komutacinis monoidas
  • ((x / į y) vee (nuo y iki x) = / perdengti {1})
  • (x / mathbin { &} y / leq z) iff (x / leq y / į z) (kur (leq) yra grotelių eiliškumas, kurį sukelia (pleištas) arba (vee)).

MTL algebros yra aukščiau paaiškintos t-norma pagrįstos semantikos apibendrinimas ir pateikia patikimą ir išsamią MTL semantiką. [4]

MTL grandinės yra tos, kurių grotelių eiliškumas yra bendras, ir jos yra pagrindiniai visos algebrų klasės elementai, ta prasme, kad kiekviena MTL-algebra gali būti skaidoma kaip grandinių subdirektyvus produktas. Tai reiškia, kad logika taip pat yra išsami MTL grandinių semantikos atžvilgiu, kuri vėliau naudojama kaip pirmasis žingsnis siekiant įrodyti jos išsamumą t-norma pagrįstos semantikos atžvilgiu (Jenei ir Montagna 2002).

Algebrinė semantika yra universali priemonė, kurią galima naudoti bet kuriai logikai. Visų pirma, bet kuriai literatūroje ištirtai savavališkai miglotai logikai (net ir toms, kurios nepalaiko t-norma pagrįstos semantikos, tokios kaip baigtinės vertės neryškioji logika ar nekomutacinių neinformacijų logika), galima rasti atitinkamą algebrų klasę, kuri gali būti suskaidomi kaip grandininių grandžių tiesioginiai produktai. Šis faktas paskatino Běhounek ir Cintula (2006) pasiūlyti miglotos logikos apibrėžimą kaip logiką, kuri yra visiškai suderinta su visiškai algebrinėmis struktūromis.

Naudojant algebrinę semantiką pirmosios eilės logikai, paprastai gaunamas mažesnis sudėtingumas tiriant pagrįstumą ar patenkinamumą nei standartinei semantikai (Montagna ir Noguera 2010).

8. Įrodymų teorija

Buvo nemažas iššūkis sugalvoti miglotos logikos analitines įrodymo sistemas. Tai yra sistemos, turinčios svarbių bruožų, tokių kaip pjūvių pašalinamumas ir pogrupio savybės, su Gentzeno nuosekliais klasikinės ir intuityvinės logikos skaičiavimais (žr. Įrašą apie įrodymų teorijos plėtojimą). Arnon Avron (1991) įvedė vadinamąjį hipersekventišką Gödel – Dummett logikos skaičiavimą. Hipersekventiški skaičiavimai atsiranda iš nuosekliųjų skaičiavimų, atsižvelgiant į baigtinius daugiasektus ar sekų sekas, interpretuojamas kaip sekų disjunkcija, kaip pagrindinį išvados objektą. Gödelio – Dummeto logikos atveju panaikinamos Gentzeno intuicionistinio sekos skaičiavimo taisyklės, tiesiog pridedant šoninius hipersektorius prie viršutinės ir apatinės sekos. Pavyzdžiui,nuoseklumo įvedimo taisyklė dešinėje pusėje (frac { Gamma_1 / Rightarrow / phi / hspace {3ex} Gamma_2 / Rightarrow / psi} { Gamma_1, / Gamma_2 / Rightarrow / phi / vee / psi}], kur (Gamma_1) ir (Gamma_2) yra baigtinių formulių sekos, paverčiama tokia hipersekventiška taisykle: (frac {H / mid / Gamma_1 / Rightarrow / phi / hspace {3ex} H ' / mid / Gamma_2 / Rightarrow / psi} {H / mid H '\ mid / Gamma_1, / Gamma_2 / Rightarrow / phi / vee / psi}), kur (H) ir (H') žymi šoninę pusę. hipersekvencijos, ty baigtinės sekos arba daugiasegmentai. Tai savaime nekeičia atitinkamos logikos (šiuo atveju intuityvioji logika). Esminė papildoma struktūrinė taisyklė yra vadinamoji komunikacijos taisyklė: (frac {H / mid / Gamma_1, / Pi_1 / Rightarrow / Delta_1 / hspace {3ex} H '\ mid / Gamma_2,\ Pi_2 / Dešinė rodyklė / Delta_2} {H / mid H '\ mid / Gamma_1, / Gamma_2 / Rightarrow / Delta_1 / mid / Pi_2, / Pi_2 / Rightarrow / Delta_2}) Čia (Gamma_1, / Gamma_2, / Pi_1, / Pi_2) yra baigtiniai formulių sąrašai; (Delta_1) ir (Delta_2) yra vienos formulės arba lieka tuščios; (H) ir (H ') žymi šoninius hipersaitus, kaip aprašyta aukščiau.

Norint gauti hipersequen skaičiavimą pagrindinei neaiškiai logikai MTL, reikia pridėti komunikacijos taisyklę prie nuoseklios sistemos, skirtos intuicionistinės logikos versijoms be susitraukimų. Kitų neaiškių logikų, ypač Łukasiewicz logikos, analitinės įrodymo sistemos reikalauja radikalesnio nukrypimo nuo tradicinių skaičiavimų, kai hipersequentų eilės komponentai aiškinami skirtingai nei intuicionistiniai ar klasikiniai tęsiniai. Taip pat buvo pasiūlytos vadinamosios etikečių įrodymo sistemos ir įvairūs lentelių skaičiavimai. Išsamų atitinkamos technikos lygio aprašymą galite rasti „Metcalfe“, „Olivetti“, „Gabbay 2008“ir „Metcalfe 2011“.

9. Semantika, pagrindžianti tiesos funkcionalumą

Pageidautina, kad ne tik filosofiniu požiūriu, bet ir geriau įsisąmonintų galimus miglotos logikos pritaikymus, kad tarpinių tiesos reikšmių ir atitinkamų loginių jungčių prasmę būtų galima susieti su pagrindiniais samprotavimo modeliais su neaiškiomis ir netiksliomis sąvokomis. Buvo pristatyta nemažai tokios semantikos, kuria siekiama pateisinti tam tikrus tiesos funkcinių jungčių pasirinkimus. Čia tik du iš jų trumpai aprašomi.

Balsavimo semantika remiasi idėja, kad skirtingi agentai (rinkėjai) tą patį teiginį gali nuosekliai vertinti skirtingai. Agentų, kurie teigia, kad teiginys (varphi) yra tikras, proporcija gali būti laikoma tiesos vertybe. Be papildomų apribojimų tai nelemia tiesos funkcinės semantikos, o tikimybių priskyrimo teiginiams. Bet jei kiekvienam agentui priskiriamas fiksuotas skepticizmo lygis ir nustatomos tam tikros natūralios sąlygos, kad sprendimai dėl logiškai sudėtingų teiginių atitiktų tuos lygius, tada galima susigrąžinti (min), (max) ir (1-x) kaip tiesos funkcijos atitinkamai jungčiai, disjunkcijai ir neigimui. Išsamesnės informacijos galima rasti „Lawry 1998“.

Gilesas (1974) pristatė kitą intriguojantį samprotavimo modelį, pagrindžiantį visus siūlomos standartinės Łukasiewicz logikos jungtis. Tai susideda iš žaidimo, kuriame du žaidėjai, aš ir tu, sistemingai redukuojame logiškai sudėtingus teiginius (formules) į paprastesnius, laikydamiesi šių taisyklių:

  • Jei tvirtinu (varphi / lor / psi), tada turiu patvirtinti arba (varphi), arba (psi).
  • Jei aš tvirtinu (varphi / land / psi), tada jūs pasirenkate vieną iš junginių ir aš turiu patvirtinti, kad atitinkamai yra (varphi) arba (psi).
  • Jei tvirtinu (varphi / į / psi), tada turiu tvirtinti (psi), jei tvirtinate (varphi).

Kiekybiškai išreikštų teiginių taisyklės yra susijusios su fiksuotu domenu, darant prielaidą, kad kiekviename domeno elemente yra pastovus simbolis, kuris numato:

  • Jei aš tvirtinu ((forall x) varphi (x)), tada turiu patvirtinti (varphi (c)) jūsų pasirinktai konstanta (c).
  • Jei tvirtinu ((egzistuoja x) varphi (x)), tada turiu reikalauti (varphi (c)), kad būtų pasirinkta konstanta (c).

Jūsų tvirtinimų taisyklės yra dvejopos. Kiekvienoje žaidimo būsenoje pasirenkama neatomos formulės pasireiškimas daugialypiuose dabartiniuose mano arba jūsų teiginiuose ir jis pakeičiamas subformelėmis, kaip nurodoma šiose taisyklėse, kol liks tik atominiai teiginiai. Tada galutinė žaidimo būsena įvertinama pagal šią lažybų schemą.

Kiekvienai atominei formulei yra atitinkamas eksperimentas, kuris gali būti nesėkmingas arba sėkmingas, tačiau gali parodyti dispersiją, ty pakartoti gali duoti skirtingus rezultatus. Fiksuota gedimo tikimybė, vadinama rizikos verte, priskiriama kiekvienam eksperimentui, taigi kiekvienai atominei formulei. Žaidėjai turi sumokėti ($) 1 kitam žaidėjui už kiekvieną savo atominį teiginį, jei susiję eksperimentai nepavyksta. Bet kokio žaidimo, pradedančio mano teiginį apie (varphi), mano tikimasi, kad bendras pinigų praradimas, jei abu žaisime racionaliai, gali būti įrodytas, kad atvirkščiai atitinka (varphi) tikrąją vertę, vertinamą Łukasiewicz logikos aiškinimu, kad atominėms formulėms priskiria rizikos verčių atvirkštinę vertę kaip tiesos vertes. Visų pirma, formulė galioja Łukasiewicz logikoje tada ir tik tada, kai kiekvienai rizikos vertės priskyrimuiTuriu strategiją, kuri garantuoja, kad mano tikimasi, kad visi nuostoliai žaidimo pabaigoje bus (0) arba neigiami.

Fermüller ir Metcalfe (2009) atkreipė dėmesį į optimalių strategijų Giles žaidime atitikimą tarp nepaprastų įrodymų hipersekventiškoje Łukasiewicz logikos sistemoje. Fermüller & Roschger (2014) taip pat išplėtė žaidimą, kad apibūdintų įvairius (pusiau) miglotus kiekybinius rodiklius, skirtus modeliuoti natūralias kalbos išraiškas, tokias kaip „maždaug pusė“arba „beveik visos“.

Paryžius (2000) pateikia kitos semantikos, palaikančios įvairius tiesos funkcijų pasirinkimus, apžvalgą; ypač semantikos pakartotinis atsitiktinumas (Hisdal 1988), panašumo semantika (pvz., Ruspini 1991), priimtinumo semantika (Paryžius 1997) ir aproksimacijos semantika (Paryžius 2000). Taip pat paminėkime ištekliais pagrįstą Běhounek (2009) semantiką. Be to, aukščiau aprašyta „Giles for Łukasiewicz“logika, egzistuoja skirtingos įvairių neaiškių logikų įvertinimo žaidimų formos. Šių semantinių žaidimų apžvalgą galite rasti „Fermüller 2015“.

10. Apytikslė logika ir neaiškumas

Motyvavimo modeliavimas su neaiškiais prielinksniais ir teiginiais dažnai nurodomas kaip pagrindinė miglotos logikos įvedimo motyvacija. Yra daugybė alternatyvių neaiškumų teorijų (žr. Įrašą apie neaiškumą), tačiau sutariama, kad jautrumas soritų paradoksui (žr. Įrašą apie soritų paradoksą) yra pagrindinis neaiškumo bruožas. Apsvarstykite šią paradokso versiją:

  • (1) (10 ^ {100}) yra didžiulis skaičius.
  • (2) Jei (n) yra didžiulis skaičius, tada (n-1) taip pat yra didžiulis.

Atrodo, kad nėra neprotinga sutikti su šiomis dviem prielaidomis. Pakartoję (n) naudodami (10 ^ {100}) (2) ir taikydami modus ponens su (1), kaip kitą prielaidą, darome išvadą, kad (10 ^ {100} -1) yra didžiulis. Tiesiog pakartodami tokio tipo išvadas, mes priimame nepagrįstą teiginį

(3) (0) yra didžiulis skaičius

Apytikslė logika siūlo analizuoti soritų paradoksą, kuris gerbia intuiciją, kad teiginys (2), nors ir neabejotinai nėra visiškai teisingas, yra beveik tikras.

Yra keletas būdų, kaip modeliuoti šią samprotavimo formą t-norma pagrįsta miglota logika, ištirpdančia paradoksą. Pavyzdžiui, galima pareikšti, kad bet koks modus ponens pavyzdys yra pagrįstas, jei išvados teisingumas nėra žemesnis už stiprią jo patalpų jungtį. [5]Kaip nurodyta, teigiama, kad kiekvienas (2) atvejis yra teisingas laipsniu (1- / epsilon), kai yra labai mažas skaičius (epsilon). Net jei paskelbtume (1), kad visiška tiesa, teiginys, kad (10 ^ {100} -1) yra didžiulis, gali būti ir mažiau tikras, neprarandant akimirksnio ir modus ponens pagrįstumo. Jei, be to, dviejų nevisiškai teisingų (arba ne visiškai klaidingų) teiginių teisingumo laipsnis yra mažesnis nei kiekvieno junginio teiginys, galime drąsiai pareikšti, kad šis teiginys (3) yra visiškai melagingas ir, nepaisant to, reikalauti pagrįstumo. kiekvienas nurodytos išvadų grandinės žingsnis. Neoficialiai tariant, paradoksas išnyksta, darant prielaidą, kad pakartotinai sumažinus kažkokį didžiulį skaičių mažu kiekiu, atsiranda skaičius, kuris yra vis mažiau tikras, kad ir jie yra didžiuliai.

Hájek ir Novák (2003) pasiūlė alternatyvų tiesos laipsniu pagrįstą soritų paradokso sprendimą. Jie pristato naują tiesos funkcinį jungiamąjį modeliavimą posakį „tai beveik tiesa“. Tokiu būdu jie formalizuoja soritų stiliaus samprotavimus, laikydamiesi aksiomatinės teorijos, pagrįstos atitinkama t-norma pagrįsta miglota logika.

Smithas (2008; taip pat žr. 2005 m.) Teigė, kad vadinamasis uždarumo principas atspindi neaiškumo esmę. Tai išreiškia, kad tos pačios formos teiginiai apie niekuo neišsiskiriančius objektus tiesos atžvilgiu turėtų likti artimi. Tai yra daugelio požiūrio į paradoksą, kuris naudoja miglotą logiką, bruožas, kad jie suderinami su šiuo principu. [6]

Bibliografija

Papildomas dokumentas:

Bibliografija surūšiuota pagal temą

  • Aguzzoli, S., Bova, S., ir Gerla, B., 2011, „Nemokamos algebros ir funkcinis vaizdavimas miglotai logikai“, P. Cintula, P. Hájek ir C. Noguera (redaktoriai), „Matematikos vadovas“. Apytikslė logika, 2 tomas (Matematinė logika ir pagrindai, 38 tomas), Londonas: Kolegijos publikacijos, 713–719 puslapiai.
  • Avronas, Arnonas, 1991 m., „Hipersekvencijos, loginės pasekmės ir tarpinė logika kartu“, Matematikos ir dirbtinio intelekto metraščiai, 4 (3–4): 225–248. doi: 10.1007 / BF01531058
  • Baaz, Matthias, 1996 m., „Begalinis vertės Gödelio logika su 0–1 projekcijomis ir reliatyvizacijomis“, Petr Hájek (red.), Gödel'96: Loginiai matematikos, informatikos ir fizikos pagrindai (paskaitų užrašai logikoje, 6 tomas), Brno: „Springer“, 23–33
  • Baaz, M., Hájek, P., Montagna, F. ir Veith, H., 2002, „T-tautologijų kompleksiškumas“, Grynos ir taikomosios logikos metraščiai, 113 (1–3): 3–11.
  • Baazas, Matiasas ir Preiningas, Norbertas, 2011 m., „Gödel-Dummett Logics“, Cintula, Petr, Petras Hájek ir Carles Noguera (red.), „Mathematical Fuzzy Logic“vadovas, 2 tomas („Matematinė logika ir pagrindai“, tomas). 38), London: College Publications, 585–625 psl.
  • Běhounek, Libor, 2009, „Apytikslė logika, interpretuojama kaip išteklių logika“, Michalas Pelišas (red.), „Logica“metraštis, 2008, Londonas: „College Publications“, p. 9–21.
  • –––, 2014 m., „Kuri prasme miglota logika yra neryškumo logika?“, Lukaševičiaus, Tomo, Peñaloza, Rafaelio ir Turhano, Anni-Yasmin, (redaktoriai), PRUV 2014: logika pagrįsti savo nuostatas, neapibrėžtumą ir neaiškumas (CEUR seminaro medžiaga, 1205 tomas), Drezdenas: CEUR.
  • Běhounek, Libor, ir Cintula, Petr, 2005, „Apytikslė klasės teorija“, Apytiksliai rinkiniai ir sistemos, 154 (1): 34–55.
  • ––– 2006 m., „Apytikslė logika kaip grandinių logika“, Apytiksliai rinkiniai ir sistemos, 157 (5): 604–610.
  • Běhounek, Libor, ir Haniková, Zuzana, 2014 m., „Set Theory and Aritmetic in Fuzzy Logic“, Montagna, Franco, (editor), Petr Hájek on Mathematical Fuzzy Logic, (Neįvykdyti logikos įnašai, 6 tomas), Cham: Springer, 63–89 psl.
  • Bělohlávek, R., ir Vychodil, V., 2005, Fuzzy Equational Logic, (Apytikslės ir minkštosios kompiuterijos studijos, 186 tomas), Berlynas ir Heidelbergas: Springeris.
  • Bobillo, F., Cerami, M., Esteva, F., García-Cerdaña,,., Peñaloza, R., ir Straccia, U., 2015, „Apytikslė aprašymo logika“, Cintula, P., Fermüller, CG, ir Noguera, C., (redaktoriai), „Mathematical Fuzzy Logic“vadovas, 3 tomas („Matematinė logika ir fondai“, 58 tomas), Londonas: „College Publications“, 1105–1181 psl.
  • Bou, F., Esteva, F., Godo, L. ir Rodríguez, RO, 2011 m., „Apie minimalią daugiausiai vertinamą modulio logiką per baigtinę grotelę“, žurnalas „Logic and Computation“, 21 (5): 739 –790.
  • Busaniche, Manuela ir Montagna, Franco, 2011 m., „Hájek's Logic BL and BL-Algebras“, Cintula, Petr, Petras Hájek ir Carles Noguera (red.), „Mathematical Fuzzy Logic“vadovas, 1 tomas („Matematinė logika ir Fondai, 37 tomas), Londonas: Kolegijos leidiniai, 355–447 psl.
  • Ciabattoni, A., Galatos, N., ir Terui, K., 2012 m., „Algebrinė įrodymų teorija substruktūrinei logikai: pjūvis ir šalinimas“, „Grynos ir taikomosios logikos metraščiai“, 163 (3): 266–290.
  • Caicedo, X., ir Rodríguez, RO, 2010 m., „Standard Gödel Modal Logics“, „Studia Logica“, 94 (2): 189–214.
  • Cicalese, F., ir Montagna, F., 2015 m., „Ulam-Rényi žaidimais pagrįsta semantika miglotai logikai“, P. Cintula, CG Fermüller ir C. Noguera, (redaktoriai), „Mathematical Fuzzy Logic Handbook“, 3 tomas., (Matematinė logika ir pagrindai, 58 tomas), Londonas: Kolegijos leidiniai, 1029–1062 puslapiai.
  • Cignoli, R., D'Ottaviano, IM, ir Mundici, D., 1999, Algebriniai daugelio vertybių pagrindimo pagrindai (7 tomas), Dordrecht: Kluwer.
  • Cintula, Petr, 2006, „Silpnai netaktiška (miglota) logika I: Pagrindinės savybės“, Matematinės logikos archyvas, 45 (6): 673–704.
  • Cintula, P., Esteva, F., Gispert, J., Godo, L., Montagna, F. ir Noguera, C., 2009, „Išskirtinė algebrinė semantika T-norma pagrįsta miglotai logikai: metodai ir algebrinės ekvivalencijos“., Grynos ir taikomosios logikos metraštis, 160 (1): 53–81.
  • Cintula, Petr, Christian Fermüller ir Carles Noguera (red.), 2015 m., „Mathematical Fuzzy Logic“vadovas, 3 tomas, (Studies in Logic, vol. 58), London: College Publications.
  • Cintula, Petr, Petr Hájek ir Carles Noguera (red.), 2011a, Mathematical Fuzzy Logic Handbook, 1 tomai (Studies in Logic, vol. 37), London: College Publications.
  • ––– (red.), 2011b, „Mathematical Fuzzy Logic“vadovas, 2 tomas (Studies in Logic, 38 tomas), Londonas: Kolegijos publikacijos.
  • Cintula, Petr, Rostislav Horčík ir Carles Noguera, 2013 m., „Neasociatyvioji pogrindžio logika ir jų pusiau tiesiniai plėtiniai: aksiomatizacija ir užbaigtumo savybės“, Simbolinės logikos apžvalga, 6 (3): 394–423. doi: 10.1017 / S1755020313000099
  • ––– 2014 m., „Pagrindinės miglotos logikos ieškojimas“, Franco Montagna (red.), Petras Hájekas apie matematinę miglotąją logiką (Nuostabus indėlis į logiką, 6 tomas), Chamas: „Springer“, p. 245–290.. doi: 10.1007 / 978-3-319-06233-4_12
  • Cintula, Petr ir Noguera, Carles, 2011 m., „Bendras matematinės neryškios logikos pagrindas“, Cintula, Petr, Petr Hájek ir Carles Noguera (red.), „Mathematical Fuzzy Logic“vadovas, 1 tomas („Matematinė logika ir Fondai, 37 tomas, Londonas: Kolegijos publikacijos, 103–207 psl.
  • Cintula, P., ir Metcalfe, G., 2009, „Struktūrinis išbaigtumas miglotoje logikoje“, „Notre Dame Journal of Formal Logic“, 50 (2): 153–183.
  • Dellunde, P., 2012, „Išsaugoti atvaizdus neaiškioje prognozuojamoje logikoje“, „Logic and Computation“žurnalas, 22 (6): 1367–1389.
  • Di Nola, A., ir Gerla, G., 1986, „Apytiksliai pirmosios eilės kalbų modeliai“, Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, 32 (19–24): 331–340.
  • Dummett, Michaelas, 1959 m., „Propozicinis skaičiavimas su matuojama matrica“, Žurnalas „Symbolic Logic“, 24 (2): 97–106. doi: 10.2307 / 2964753
  • Esteva, Francesc, Joan Gispert, Lluís Godo ir Carles Noguera, 2007, „Tiesos konstantų pridėjimas prie tęstinių T normų logikos: aksiomatizacijos ir išsamumo rezultatai“, Apytiksliai rinkiniai ir sistemos, 158 (6): 597–618. doi: 10.1016 / j.fss.2006.11.010
  • Esteva, Francesc ir Lluís Godo, 2001 m., „Monoidinė T-norma pagrįsta logika: kairiosios kairiosios T-normos logikos link“, Apytiksliai rinkiniai ir sistemos, 124 (3): 271–288. doi: 10.1016 / S0165-0114 (01) 00098-7
  • „Esteva“, „Francesc“, „Godo“, „Lluís“ir „García-Cerdaña“, normngel, 2003, „Dėl t-norma pagrįstos liekanos miglotos logikos hierarchijos“, „Fiting“, Melvinas ir Orłowska, Ewa (redaktoriai), „Beyond Two“: teorija ir Kelios vertės logikos pritaikymas (Apytikslės ir minkštosios kompiuterijos studijos, 114 tomas), Heidelbergas: „Springer“, 251–272 psl.
  • Esteva, Francesc, Lluís Godo, Petras Hájekas ir Mirko Navara, 2000 m., „Liekamoji miglota logika su neatsiejama neigiamybe“, Matematinės logikos archyvas, 39 (2): 103–124. doi: 10.1007 / s001530050006
  • Esteva, Francesc, Godo, Lluís ir Marchioni, Enrico, 2011, „Apytikslė logika su praturtinta kalba“, Cintula, Petr, Petras Hájek ir Carles Noguera (red.), „Mathematical Fuzzy Logic“vadovas, 2 tomas, (Mathematical „Logika ir fondai“, 38 tomas), Londonas: „College Publications“, 627–711 psl.
  • „Esteva“, „Francesc“, „Lluís Godo“ir „Franco Montagna“, 2001 m., „The ((L / Pi) and (L / Pi / frac12) Logika: dvi pilnos neryškių sistemų sujungimas su Łukasiewicziu ir produktų logika“, Matematinės logikos archyvas, 40 (1): 39–67. doi: 10.1007 / s001530050173
  • ––– 2003 m., „Bet kokios nepertraukiamos T-normos apibrėžtos lieknos logikos aksiomatizacija“, Taner Bilgiç, Bernard De Baets ir Okyay Kaynak (red.), Apytiksliai rinkiniai ir sistemos: IFSA 2003 (Paskaitų užrašai kompiuteryje Science, 2715 tomas), Berlynas / Heidelbergas: Springeris, p. 172–179. doi: 10.1007 / 3-540-44967-1_20
  • Fedelis, M., Hosni, H., ir Montagna, F., 2011 m., „Neteisingų tikimybių nuoseklumo loginis apibūdinimas“, Tarptautinis apytikslių samprotavimų žurnalas, 52 (8): 1147–1170, doi: 10.1016 / j. ijar 2011.06.004.
  • Fermüller, Christian G., 2015 m., „Semantiniai žaidimai neaiškiai logikai“, Cintula, Fermüller ir „Noguera 2015“: 969–1028.
  • Fermüller, Christianas G. ir George'as Metcalfe'as, 2009 m., „Gileso žaidimo ir įrodymo teorija Łukasiewicz Logic“, „Studia Logica“, 92 (1): 27–61. doi: 10.1007 / s11225-009-9185-2
  • Fermüller, Christian G. ir Christoph Roschger, 2014 m., „Atsitiktinė žaidimų semantika pusiau neryškiems kiekybiniams rodikliams“, Grynos ir taikomosios logikos interesų grupės loginis žurnalas, 22 (3): 413–439. doi: 10.1093 / jigpal / jzt049
  • Flaminio, T., Godo, L., ir Marchioni, E., 2011, „Priežastys dėl neapibrėžtų įvykių: apžvalga“, Cintula, Petr, Fermuller, Christian G., Godo, Lluis ir Hájek, Petr, (Redaktoriai), Neaiškumų supratimas: loginės, filosofinės ir kalbinės perspektyvos (Studies in Logic, 36 tomas), Londonas: College Publications, 367–400 psl.
  • T. Flaminio ir T. Kroupa, 2015 m., „MV-Algebros būsenos“, Cintula, Petr, Christian Fermüller ir Carles Noguera (red.), „Mathematical Fuzzy Logic“vadovas, 3 tomas („Matematinė logika ir Fondai, 58 tomas), Londonas: Kolegijos leidiniai, 1183–1236 puslapiai.
  • Šriftas, Josep Maria, 2016, Anotacija Algebrinė logika: Įvadinis vadovėlis, (Matematinė logika ir pagrindai, 60 tomas), Londonas: Kolegijos publikacijos.
  • Galatos, Nikolaos, Jipsen, Peter, Kowalski, Tomasz ir Ono, Hiroakira, (redaktoriai), 2007, Likusios grotelės: Algebrinis žvilgsnis į struktūros logiką, (Logikos studijos ir matematikos pagrindai, 151 tomas), Amsterdamas: Elsevier..
  • García-Cerdaña,,., Armengol, E., ir Esteva, F., 2010, „Apytikslė aprašymo logika ir T-norma pagrįsta neapytikslė logika“, Tarptautinis žurnalas apie apytikslį samprotavimą, 51 (6): 632–655.
  • Gerla, G., 2001, Apytikslė logikos matematikos priemonė apytiksliam samprotavimui (logikos tendencijos, 11 tomas), Niujorkas: Kluwer ir Plenum Press.
  • Giles, Robin, 1974 m., „Neklasikinė fizikos logika“, „Studia Logica“, 33 (4): 397–415. doi: 10.1007 / BF02123379
  • Gedelis, Kurtas, 1932 m., „Zum intuitionistischen Aussagenkalkül“, Anzeiger Akademie Der Wissenschaften Wien, 69: 65–66.
  • Godo, L., Esteva, F., ir Hájek, P., 2000, „Tikimybių pagrindimas naudojant neryškią logiką“, „Neural Network World“, 10 (5): 811–823, (Specialusis leidimas SOFSEM 2000).
  • Goguen, Joseph A., 1969 m., „Neaiškios sąvokos logika“, Synthese, 19 (3–4): 325–373.
  • Gottwald, Siegfried, 2001 m., Traktatas apie daugelio vertinamą logiką (Logikos ir skaičiavimo studijos, 9 tomas), Baldock: Research Studies Press Ltd.
  • Hájek, Petr, 1998, Apytikslės logikos metamatika (Trends in Logic, vol. 4), Dordrecht: Kluwer.
  • –––, 2001 m., „Apie labai teisingą“, Apytiksliai rinkiniai ir sistemos, 124 (3): 329–333.
  • –––, 2005 m., „Apytikslė migloto aprašymo logika“, Apytiksliai rinkiniai ir sistemos, 154 (1): 1–15.
  • P. Hájekas ir Cintula, P., 2006 m., „Apie teorijas ir modelius neapibrėžtoje prognozuojamoje logikoje“, Žurnalas „Symbolic Logic“, 71 (3): 863–880.
  • P. Hájek ir Z. Haniková, 2003 m., „Set Theory Development in Fuzzy Logic“, Fitingas, Melvinas ir Orłowska, Ewa, (redaktoriai), „Beyond Two: Multiple Valued Logic Theory and Applications“, (Apytikslės ir minkštosios kompiuterijos studijos, 114 tomas), Heidelbergas: Springeris, 273–285 psl.
  • Hájek, P., Montagna, F., & Noguera, C., 2011, „Pirmos eilės miglotos logikos aritmetinis sudėtingumas“, Cintula, Petr, Hájek, Petr ir Noguera, Carles, (redaktoriai), Matematikos vadovas Apytikslė logika, 2 tomas (Matematinė logika ir pagrindai, 38 tomas), Londonas: Kolegijos publikacijos, 853–908 puslapiai.
  • Hájek, Petr ir Vilém Novák, 2003 m., „Soritų paradoksas ir miglota logika“, Tarptautinis bendrųjų sistemų žurnalas, 32 (4): 373–383. doi: 10.1080 / 0308107031000152522
  • Háajek, P., Paris, J., ir Shepherdson, JC, 2000, „Melagis paradoksas ir miglota logika“, Žurnalas „Symbolic Logic“, 65 (1): 339–346.
  • Haniková, Zuzana, 2011 m., „Propozicinės miglotos logikos skaičiavimo sudėtingumas“, Cintula, Petras, Hájek, Petras ir Noguera, Carles, (redaktoriai), „Mathematical Fuzzy Logic“vadovas, 2 tomas („Matematinė logika ir pagrindai“, 38 tomas).), Londonas: Kolegijos leidiniai, 793–851 psl.
  • ––– 2014 m., „Standartinės BL-Algebros sukurtos veislės“, įsakymas, 31 (1): 15–33. doi: 10.1007 / s11083-013-9285-5
  • Hansoul, G., ir Teheux, B., 2013, „řukasiewicz Logika pratęsimas naudojant modalumą: Algebrinis požiūris į reliacinę semantiką“, „Studia Logica“, 101 (3): 505–545, doi: 10.1007 / s11225-012–9396– 9.
  • Hay, Louise Schmir, 1963 m., „Begalinio vertės prognozuojamo skaičiavimo aksiomatizacija“, Žurnalas „Symbolic Logic“, 28 (1): 77–86. doi: 10.2307 / 2271339
  • Hisdal, Ellen, 1988, „Ar narystės tikimybės yra laipsnio?“Apytiksliai rinkiniai ir sistemos, 25 (3): 325–348. doi: 10.1016 / 0165-0114 (88) 90018-8
  • Horčík, Rostislav, 2011, „Algebrinė semantika: pusiau linijinės FL-algebros“, P. Cintula, P. Hájek ir C. Noguera, (redaktoriai), „Mathematical Fuzzy Logic“vadovas, 1 tomas („Matematinė logika ir pagrindai“, tomas). 37), Londonas: Kolegijos leidiniai, 283–353 puslapiai.
  • Horn, Alfredas, 1969 m., „Logika su tiesos vertybėmis linijiškai išdėstytoje algebroje“, Žurnalas „Symbolic Logic“, 34 (3): 395–408.
  • Jenei, Sándor ir Franco Montagna, 2002 m., „Estevos ir Godo logikos MTL standartinio išsamumo įrodymas“, „Studia Logica“, 70 (2): 183–192. doi: 10.1023 / A: 1015122331293
  • Jeřábek, E., 2010, „Łukasiewicz Logic leistinų taisyklių pagrindai“, „Logic and Computation“žurnalas, 20 (6): 1149–1163.
  • ––– 2003 m., „Nekomutacinės monoidinės T-normos logikos standartinio išsamumo įrodymas“, „Neural Network World“, 13 (5): 481–489.
  • Klementas, Erichas Peteris, „Radkos Mesiar“ir „Endre Pap“, 2000 m., Trikampės normos (tendencijos logikoje, 8 tomas), Dordrechtas: Kluweris.
  • Lawry, J., 1998, „Balsavimo mechanizmas dėl miglotos logikos“, Tarptautinis žurnalas apie apytikslį pagrindimą, 19 (3–4): 315–333. doi: 10.1016 / S0888-613X (98) 10013-0
  • I. Leştean ir DiNola, A., 2011, „Łukasiewicz Logic and MV-Algebras“, P. Cintula, P. Hájek ir C. Noguera, (redaktoriai), „Mathematical Fuzzy Logic Handbook“, 2 tomas, (Matematinė logika ir pagrindai, 38 tomas), Londonas: Kolegijos leidiniai, 469–583 psl.
  • Ling, Cho-Hsin, 1965 m., „Asociacinių funkcijų vaizdavimas“, leidiniai „Mathematicae Debrecen“, 12: 189–212.
  • Łukasiewicz, 1920 m. Sausis, „O Logice Trójwartościowej“, Ruch Filozoficzny, 5: 170–171. Vertimas į anglų kalbą, „Apie trijų vertybių logiką“, Storrs McCall, (redaktorius), 1967 m., Lenkų logika, 1920–1939, Oksfordas: „Clarendon Press“, 16–18 puslapiai, ir Jano Łukasiewicziaus, 1970 m., „Selected Works“, L. Borkowski., (redaktorius), Amsterdamas: Šiaurės Olandija, 87–88 puslapiai.
  • Łukasiewicz, J. & A. Tarski, 1930 m., „Untersuchungen über den Aussagenkalkül“, „Comptes Rendus Des Séances de la Société Des Sciences“ir „Lettres de Varsovie“, Cl. III, 23 (iii): 30–50.
  • Marra, V., ir Spada, L., 2013, „Dvilypumas, projektyvumas ir suvienijimas řukasiewicz logikoje ir MV-Algebras“, Grynos ir taikomosios logikos metraštis, 164 (3): 192–210.
  • McNaughtonas, Robertas, 1951 m., „Teorema apie begalinio lygio sentencinę logiką“, Žurnalas „Symbolic Logic“, 16 (1): 1–13. doi: 10.2307 / 2268660
  • Metcalfe, George, 2011 m., „Matematinės miglotos logikos įrodinėjimo teorija“, Cintula, Hájek ir Noguera, 2011a: 209–282.
  • Metcalfe, George'as ir Franco Montagna, 2007 m., „Substructural Fuzzy Logics“, Žurnalas „Symbolic Logic“, 72 (3): 834–864. doi: 10.2178 / jsl / 1191333844
  • Metcalfe'as, George'as, Nicola Olivetti ir Dov M. Gabbay, 2008 m., Apibrėžtosios logikos teorija (Taikomosios logikos serija, 36 tomas), Dordrecht: Springer Nyderlandai.
  • Montagna, Franco, 2001 m., „Trys kiekybinės neapibrėžtos logikos sudėtingumo problemos“, „Studia Logica“, 68 (1): 143–152. doi: 10.1023 / A: 1011958407631
  • Montagna, Franco ir Carles Noguera, 2010 m., „Pirmos eilės miglotosios logikos aritmetinis sudėtingumas per išskirtinę semantiką“, žurnalas „Logic and Computation“, 20 (2): 399–424. doi: 10.1093 / logcom / exp052
  • Montagna, Franco, Noguera, Carles ir Horčík, Rostislav, 2006 m., „Apie silpnai atšaukiančią miglotąją logiką“, Logic and Computation žurnalas, 16 (4): 423–450.
  • Montagna, Franco ir Ono, Hiroakira, „Kripke semantika, neatsiejamumas ir standartinis išsamumas Estevos ir Godo logikai MTL“(„forall“) “,„ Studia Logica “, 71 (2): 227–245.
  • Mostertas, Paulius S. ir Allenas L. Shieldsai, 1957 m., „Dėl pusiau grupių struktūros kompaktiškame kolektoriuje su riba“, Matematikos metraštis, Antroji serija, 65 (1): 117–143. doi: 10.2307 / 1969668
  • Mundici, D., 1987, & ldauo; pasitenkinimas daugelio vertinamų sentencijų logika yra NP-baigtas “, Teorinė informatika, 52 (1–2): 145–153.
  • ––– 1992 m., „Ulamo žaidimo su melais logika“, C. Bicchieri ir M. Dalla Chiara (redaktoriai), „Žinios, įsitikinimai ir strateginė sąveika“(Castiglioncello, 1989), Kembridžas: „Cambridge University Press“, 275–284.
  • ––– 2011 m., Pažengusieji Łukasiewicz Calculus ir MV-Algebras, (Logikos tendencijos, 35 tomas), Niujorkas: „Springeris“.
  • Novák, V., 2004, „Apie neryškaus tipo teoriją“, Apytiksliai rinkiniai ir sistemos, 149 (2): 235–273.
  • –––, 2015 m., „Apytikslė logika su įvertinta sintaksė“, Cintula, Petr, Christian Fermüller ir Carles Noguera (red.), „Mathematical Fuzzy Logic“vadovas, 3 tomas („Matematinė logika ir fondai“, 58 tomas), Londonas: Kolegijos leidiniai, 1063–1104 puslapiai.
  • Novák, V., Perfilieva, I., and Močkoř, J., 2000, Matematiniai principai miglotos logikos, Dordrecht: Kluwer.
  • Nguyen, Hung T. ir Elbert A. Walker, 2005 m., Pirmasis „Fuzzy Logic“kursas (trečiasis leidimas), „Chapman“ir „Hall“/ CRC.
  • Paryžius, Jeffas B., 1997 m., „Apgaulingos logikos semantika“, minkštasis kompiuteris, 1 (3): 143–147. „doi“: 10.1007 / s005000050015
  • ––– 2000 m., „Apytikslės logikos, palaikančios tiesos funkcionalumą, semantika“, Vilém Novák ir Irina Perfilieva (red.), „Atrask pasaulį su miglota logika“(„Apytikslės ir minkštosios kompiuterijos studijos“, 57 tomas). Heidelbergas: Springeris, p. 82–104.
  • Pavelka, J., 1979 m., „Dėl I, II ir III miglotos logikos“, Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, 25: 45–52, 119–134 ir 447–464.
  • Ragaz, Matthias Emil, 1981, Arithmetische Klassifikation von Formelmengen der unendlichwertigen Logik (daktaro disertacija). Šveicarijos federalinis technologijos institutas, Ciurichas. doi: 10.3929 / ethz-a-000226207
  • Ross, Timothy J., 2016, „Apytikslė logika su inžinerinėmis programomis“(ketvirtasis leidimas), Hoboken, NJ: Wiley.
  • Ruspini, Enrique H., 1991 m., „Dėl miglotos logikos semantikos“, Tarptautinis apytikrio protavimo žurnalas, 5 (1): 45–88. doi: 10.1016 / 0888-613X (91) 90006-8
  • Scarpellini, Bruno, 1962 m., „Die Nichtaxiomatisierbarkeit des unendlichwertigen Prädikatenkalküls von Łukasiewicz“, Žurnalas „Symbolic Logic“, 27 (2): 159–170. doi: 10.2307 / 2964111
  • Smithas, Nicholas JJ, 2005, „Neaiškumas kaip uždarumas“, Australijos filosofijos žurnalas, 83 (2): 157–183. doi: 10.1080 / 00048400500110826
  • –––, 2008, Neaiškumas ir tiesos laipsniai, Oksfordas: Oxford University Press.
  • ––– 2015 m., „Apytikslė logika neaiškumų teorijose“, Cintula, Petr, Christian Fermüller ir Carles Noguera (red.), „Mathematical Fuzzy Logic“vadovas, 3 tomas („Matematinė logika ir fondai“, 58 tomas), Londonas: „College Publications“, 1237–1281 psl.
  • Straccia, U., 1998, „Apytikslė aprašymo logika“, Mostow, J. ir Rich, C. (redaktoriai), 15-osios nacionalinės dirbtinio intelekto konferencijos (AAAI 1998), Menlo parkas: AAAI Press, darbai, 594–599 psl.
  • Takeuti, G., ir Titani, S., 1984 m., „Intuicionistinė neryški logika ir intuicionistinė neryškios teorijos teorija“, Žurnalas „Symbolic Logic“, 49 (3): 851–866.
  • Takeuti, G., ir Titani, S., 1992, „Apytikslė logika ir miglotų rinkinių teorija“, Matematinės logikos archyvas, 32 (1): 1–32.
  • Vetterlein, T., 2015, „Algebrinė semantika: likusių grandinių struktūra“, P. Cintula, C. G. Fermüller ir C. Noguera, (redaktoriai), „Mathematical Fuzzy Logic“vadovas, 3 tomas („Matematinė logika ir pagrindai“). 58 tomas), Londonas: Kolegijos leidiniai, 929–967 puslapiai.
  • Zadeh, Lotfi A., 1965 m., „Apytiksliai rinkiniai“, Informacija ir valdymas, 8 (3): 338–353. doi: 10.1016 / S0019-9958 (65) 90241-X

Akademinės priemonės

sep vyro ikona
sep vyro ikona
Kaip pacituoti šį įrašą.
sep vyro ikona
sep vyro ikona
Peržiūrėkite šio įrašo PDF versiją „Friends of the SEP“draugijoje.
info piktograma
info piktograma
Ieškokite šios įrašo temos interneto filosofijos ontologijos projekte (InPhO).
„Phil Papers“piktograma
„Phil Papers“piktograma
Patobulinta šio įrašo „PhilPapers“bibliografija su nuorodomis į jo duomenų bazę.

Kiti interneto šaltiniai

Rekomenduojama: