Parakonsistentinė Logika

Turinys:

Parakonsistentinė Logika
Parakonsistentinė Logika
Anonim

Įėjimas Navigacija

  • Įstojimo turinys
  • Bibliografija
  • Akademinės priemonės
  • Draugai PDF peržiūra
  • Informacija apie autorius ir citata
  • Atgal į viršų

Parakonsistentinė logika

Pirmą kartą paskelbta 1996 m. Rugsėjo 24 d. esminė peržiūra 2018 m. gegužės 18 d

Šiuolaikinė loginė ortodoksija sako, kad iš prieštaringų prielaidų viskas seka. Loginis pasekmių ryšys yra sprogstamasis, jei pagal jį bet kokią savavališką išvadą (B) lemia bet koks savavališkas prieštaravimas (A), (neg A) (egz. Prieštaravimų kvotėlė (ECQ)). Klasikinė logika ir dauguma standartinės „neklasikinės“logikos, tokios kaip intuicionisto logika, yra sprogstamosios. Neatitikimas, remiantis gauta išmintimi, negali būti nuosekliai pagrįstas.

Parakonsistentiška logika ginčija šią ortodoksiją. Sakoma, kad loginis pasekmių ryšys yra parakonsistentas, jei jis nėra sprogstamasis. Taigi, jei pasekmių ryšys yra parakonsistencinis, tada net tokiomis aplinkybėmis, kai turima informacija yra nenuosekli, pasekmių ryšys neišblėsta į smulkmeną. Taigi, parakonsistentiška logika kontroliuoja nenuoseklumą, kuris nenuoseklią informaciją traktuoja kaip potencialiai informatyvią.

Priešdėlis „para“anglų kalba turi dvi reikšmes: „kvazi“(arba „panašus į, modeliuojamas“) arba „už“. Kai Miró Quesada 1976 m. Trečiojoje Lotynų Amerikos konferencijoje apie matematinę logiką sugalvojo terminą „parakonsistents“, atrodo, jis turėjo omenyje pirmąją reikšmę. Tačiau daugelis parakonsistentiškų logikų suprato, kad tai yra antrasis, pateikęs skirtingas parakonsistentiškos logikos kūrimo priežastis, kaip pamatysime toliau.

Parakonsistentiška logika apibrėžiama neigiamai: bet kokia logika yra parakonsekventi tol, kol ji nėra sprogstamoji. Tai reiškia, kad parakonsistentinėje logikoje nėra nei vieno atvirų problemų ar programų rinkinio. Iš esmės šis įrašas nėra išsamus parakonsistentinės logikos tyrimas. Tikslas yra apibūdinti kai kuriuos filosofiškai svarbiausius įvairios srities bruožus.

  • 1. Parakonsekvencija

    • 1.1 Dialeteizmas
    • 1.2 Trumpa buveinės prieštaravimų istorija
    • 1.3 Šiuolaikinė parakonsistencinės logikos istorija
  • 2. Motyvacija

    • 2.1 Nesuderinamumas be smulkmenų

      • 2.1.1 Netrivialios teorijos
      • 2.1.2 Tikri prieštaravimai
      • 2.1.3 Kalbotyra
    • 2.2 Dirbtinis intelektas

      • 2.2.1 Automatizuotas pagrindimas
      • 2.2.2 Tikėjimo peržiūra
    • 2.3 Formalioji semantika ir aibės teorija

      • 2.3.1 Tiesos teorija
      • 2.3.2 Nustatyti teoriją
      • 2.3.3 Matematika apskritai
    • 2.4 Aritmetika ir Gödelio teorema
    • 2.5 Neaiškumas
  • 3. Parakonsistentinės logikos sistemos

    • 3.1 Aptarimo logika
    • 3.2 Papildomos sistemos
    • 3.3 Preservacionizmas
    • 3.4 Adaptyvioji logika
    • 3.5 Formalaus nenuoseklumo logika
    • 3.6 Įvairiapusė logika
    • 3.7 Atitinkama logika
  • Bibliografija
  • Akademinės priemonės
  • Kiti interneto šaltiniai
  • Susiję įrašai

1. Parakonsekvencija

Logika yra parakonsistentė, jei jos loginis pasekmių ryšys ((vDash) - nei semantinis, nei įrodymo teoretikas) nėra sprogstamasis. Parakonsekvencija yra pasekmių santykio savybė. Argumentas ex contrahibitione quodlibet (ECQ) yra parakonsekventiškai neteisingas: paprastai nėra taip, kad (A), (neg A / vDash B).

Vaidmuo, kurį ortodoksinėje logikoje dažnai vaidina nuoseklumo sąvoka, būtent, pats svarbiausias reikalavimas, kurį turi atitikti bet kuri teorija, yra sušvelnintas sąvokos sąvokai: jokia teorija negali apimti kiekvieno sakinio, jei jis laikomas tinkamu. Paprastas teorijos nuoseklumas (be prieštaravimų) yra ypatingas absoliutaus nuoseklumo arba ne trivialumo (ne kiekvienas sakinys yra teorijos dalis) atvejis. Kaip pamatysime toliau, daugelis parakonsekvenčių logikų patvirtina Neprieštaravimo įstatymą (LNC), ((vvDash / neg (A / pleištas / neg A))), net jei jie daro negaliojantį ECQ.

Be pagrindinio apibrėžimo reikalavimo, kad paraconsistentinis pasekmių ryšys neturi būti sprogstamasis, egzistuoja didžiulis paraconsistent logikos skirtumas. Šiame vystymosi etape, jau XXI amžiuje, atrodo teisinga sakyti, kad „parakonsekvencija“neišryškina vieno konkretaus požiūrio į logiką, o yra labiau savybė, kurią kai kurios logikos turi, o kitos neturi (pvz., kompaktiškumas ar kelios išvados).

1.1 Dialeteizmas

Literatūroje, ypač toje dalyje, kurioje pateikiami prieštaravimai parakonsistencinei logikai, buvo pastebimas tam tikras polinkis supainioti parakonsekvenciją su dialetheizmu, nuomonė, kad egzistuoja tikri prieštaravimai (žr. Įrašą apie dialetheizmą). Nuomonė, kad pasekmių santykis turėtų būti parakonsistentiškas, nereiškia, kad egzistuoja tikri prieštaravimai. Parakonsekvencija yra pasekmių santykio savybė, tuo tarpu dialeteizmas yra požiūris į tiesą. Tai, kad galima apibrėžti nesprogstantį pasekmių ryšį, dar nereiškia, kad kai kurie sakiniai yra teisingi. Tai, kad galima sukurti modelį, kuriame yra prieštaravimų, bet ne kiekviename kalbos sakinyje (arba kai tai yra kai kuriame pasaulyje), dar nereiškia, kad prieštaravimas yra teisingas per se. Taigi parakonsekvenciją reikia atskirti nuo dialetheizmo (nors žr. Asmus 2012).

Jei dialeteizmas turi būti nuoseklus, tada dialethiest'o pasirinkta logika turi būti parakonsekventi. Dialeteizmas yra požiūris, kad kai kurie prieštaravimai yra tiesa, o tai skiriasi nuo „trivializmo“tezės, požiūrio, kad viskas, kas bet kas (įskaitant ir visus prieštaravimus), yra tiesa. Parakonsistentiškas logikas gali jausti tam tikrą dialeteizmo traumą, tačiau dauguma parakonsistentiškų logikų nėra „dialetheic“logika. Aptariant parakonsekventišką logiką, pagrindinis dėmesys skiriamas ne prieštaravimų pasiekiamumui, o sprogstamajam pasekmių santykio pobūdžiui.

1.2 Trumpa buveinės prieštaravimų istorija

Dabar įprasta žiūrėti į prieštaringą „quodlibet“kaip galiojančią. Tačiau šį šiuolaikinį požiūrį reikėtų žvelgti į istorinę perspektyvą. Sprogstančioji loginė teorija tapo standartu XIX amžiaus pabaigoje, kai logikos studijos pasiekė matematinę artikuliaciją. Dirbant tokiems logikams kaip Boole, Frege, Russell ir Hilbert, klasikinė logika tapo stačiatikių logine sąskaita.

Tačiau senovėje, atrodo, niekas nepritarė ECQ galiojimui. Aristotelis pateikė tai, kas kartais vadinama jungiamuoju principu: „neįmanoma, kad tą patį dalyką reikalautų to paties buvimas ir nebūtis“(Ankstesnė analitika II 4 57b3). (Neįprastą logiką neseniai atnaujino Wansingas; žr. Jungiamosios logikos įrašą, kuris buvo sukurtas remiantis šiuo principu.) Šis principas tapo diskusijų tema viduramžiais ar viduramžiais. Nors viduramžių diskusijos, atrodo, buvo vykdomos sąlyginių sąlygų kontekste, mes taip pat galime tai vertinti kaip diskusijas apie pasekmes. Šio principo laikėsi Boethius (480–524 arba 525) ir Abelard (1079–1142), kurie svarstė dvi pasekmių ataskaitas. Pirmasis yra pažįstamas:neįmanoma, kad prielaidos būtų tikros, bet išvada klaidinga. Taigi pirmoji mintis panaši į šiuolaikinę tiesos išsaugojimo sampratą. Antrasis pastaruoju metu yra mažiau priimtas: patalpų pojūtis apima tą išvadą. Ši ataskaita, kaip ir atitinkama logika, neleidžia daryti išvados, kurios išvada yra savavališka. Abelard'as teigė, kad pirmoji sąskaita neatitinka sujungimo principo, o antroji sąskaita (izoliavimo sąskaita) atspindi Aristotelio principą. Abelard'as teigė, kad pirmoji sąskaita neatitinka sujungimo principo, o antroji sąskaita (izoliavimo sąskaita) atspindi Aristotelio principą. Abelard'as teigė, kad pirmoji sąskaita neatitinka sujungimo principo, o antroji sąskaita (izoliavimo sąskaita) atspindi Aristotelio principą.

Abelardo pozicijai 1130-aisiais Paryžiaus Albericas pademonstravo sunkumus. Daugelis viduramžių logikų vis dėlto neatsisakė galiojimo sąskaitos, pagrįstos izoliacija ar kažkuo panašiu (žr., Pavyzdžiui, Martin 1987). Bet vienas iš būdų įveikti sunkumus yra atmesti jungimosi principą. Šis požiūris, kuris tapo įtakingiausia, buvo priimtas pagal Adam Balsham ar Parvipontanus pasekėjų (arba kartais vadinamas Adomo The Little tilto [12 -osios amžiuje]). Parvipontaniečiai priėmė tiesos išsaugojimo pasekmių ataskaitą ir su ja susijusius „paradoksus“. Tiesą sakant, tai buvo parvipontaniečių narys Williamas iš Soissonsas, kuris XII amžiuje atrado tai, ką mes dabar vadiname CI Lewis (nepriklausomu) argumentu dėl ECQ (žr. Martin 1986).

Tačiau izoliavimo sąskaita neišnyko. Johnas Dunsas Scotusas (1266–1308) ir jo pasekėjai priėmė izoliavimo sąskaitą (žr. Martin 1996). XV amžiaus pabaigos Kelno mokykla prieštaravo ECQ atmesdama disjunkcinį sylogoizmą (žr. Sylvan 2000).

Azijos logikos istorijoje yra tendencija (pavyzdžiui, Jaina ir budizmo tradicijose) manyti, kad teiginiai gali būti teisingi ir melagingi. Be to, sukurtos pagrindinių budistų logicians logika, Dignāga (5 -oji amžiaus) ir Dharmakīrti (7 -osios amžiuje) neturi apimti ECQ. Jų loginė mintis iš tikrųjų yra pagrįsta 'pasklidimo' (Skt: vyāpti, Tib: khyab pa) ryšiu tarp argumento elementų. Kaip ir Abelardo izoliavimo sąskaita, tarp patalpų ir išvadų turi būti glaudesnis ryšys, nei leidžia tiesos išsaugojimo sąskaita. Dharmakīrti ir vėlesnės jo raidos logiką žr., Pavyzdžiui, Dunne 2004 ir Tillemans 1999.

1.3 Šiuolaikinė parakonsistencinės logikos istorija

Dvidešimtame amžiuje skirtingiems žmonėms skirtingais laikotarpiais ir vietose, nepriklausomai vienas nuo kito, alternatyvos sprogstamajai loginei pasekmei atsirado. Jie dažnai buvo motyvuojami skirtingais sumetimais. Panašu, kad ankstyviausią parakonsistentinę logiką šiuolaikiniame amžiuje davė du rusai. Pradedant maždaug 1910 m., Vasil'év pasiūlė modifikuotą aristotelio grafiką, apimantį tokios formos teiginius: (S) yra ir (P), ir ne (P). 1929 m. Orlovas pateikė pirmą atitinkamos logikos (R) aksiomatizmą, kuris yra parakonsekmingas. (Apie Vasil'év žr. Arruda 1977 ir Arruda 1989: 102f; apie Orlov, see Anderson, Belnap, & Dunn 1992: xvii.)

Tuo metu Vasil'évo ar Orlovo darbai nepadarė jokios įtakos. Pirmasis (oficialus) logotipas, sukūręs parakonsekvenčią logiką, buvo Jaśkowski Lenkijoje, kuris buvo Łukasiewicz studentas, kuris pats numatė parakonsistentišką logiką kritikuodamas Aristotelį LNK (Łukasiewicz 1951). Beveik tuo pačiu metu Halldén (1949) pristatė nesąmonių logikos kūrinį, tačiau vėlgi tai dažniausiai liko nepastebėta.

Paraconsistent logiką Pietų Amerikoje savarankiškai sukūrė Florencio Asenjo ir ypač Newton da Costa atitinkamai 1954 m. Ir 1963 m. Daktaro disertacijose, daugiausia dėmesio skirdami matematiniams pritaikymams (žr. Asenjo 1966 m., Da Costa 1974 m.). Aktyvi logistų grupė nuo to laiko nuolat tyrinėja parakonsistencinę logiką, ypač Campinas ir San Paulo, Brazilijoje, daugiausia dėmesio skirdama formalaus nenuoseklumo logikai. Carnielli ir Coniglio (2016) pateikia išsamią naujausią šio darbo ataskaitą.

Parakonsistentinę logiką atitinkamų logikų formose 1959 m. Anglijoje pasiūlė „Smiley“, taip pat tuo pačiu metu daug išplėstine forma Jungtinėse Valstijose Andersonas ir Belnapas. Pitsburge išaugo aktyvi atitinkamų logikų grupė, įskaitant Dunną ir Meyerį. Paraconsistent logikos (atitinkamos logikos pavidalu) vystymas buvo gabenamas į Australiją. R. Routley (vėliau Sylvan) ir V. Routley (vėliau Plumwood) atrado sąmoningą kai kurių Andersonui / Belnapui svarbių logikų semantiką. Kanberoje aplink juos išsivystė mokykla, kurioje dalyvavo Brady ir Mortensenas, o vėliau ir kunigas, kuris kartu su R. Routley įtraukė dialetheizmą į plėtrą.

Nuo aštuntojo dešimtmečio parakonsistentinės logikos plėtra buvo tarptautinė. Kai kurios pagrindinės minties mokyklos yra aprašytos žemiau, įskaitant adaptyviąją logiką (kaip Batens 2001 m.) Ir konservacionizmą (kaip Schotch, Brown ir Jennings 2009). Šiuo metu dirbama Argentinoje, Australijoje, Belgijoje, Brazilijoje, Kanadoje, Čekijoje, Anglijoje, Vokietijoje, Indijoje, Izraelyje, Japonijoje, Meksikoje, Naujojoje Zelandijoje, Lenkijoje, Škotijoje, Ispanijoje, JAV ir kt. Buvo surengta nemažai didelių tarptautinių konferencijų apie parakonsistencinę logiką. 1997 m. Belgijos Gento universitete įvyko pirmasis pasaulinis parakonsekvencijos kongresas. Antrasis pasaulinis kongresas vyko 2000 m. San Sebastião (San Paulas, Brazilija), trečiasis - Tulūza (Prancūzija) 2003 m., O ketvirtasis - Melburne (Australija) 2008 m.2013 m. Kalkute, Indijoje, vyko penktasis pasaulinis kongresas. Kita svarbi 2014 m. Parakonsekvencijos konferencija buvo surengta Miunchene (Andreas & Verdée 2016). Žr. Bibliografijos skyrių apie Pasaulio kongreso pranešimus.

2. Motyvacija

Nurodytos parakonsekvencijos priežastys yra būdingos konkrečių formalių parakonsekventiškos logikos sistemų plėtrai. Tačiau yra keletas bendrų priežasčių manyti, kad logika turėtų būti nuosekli. Prieš apibendrindami parakonsistencinės logikos sistemas, pateikiame keletą parakonsentinės logikos motyvų.

2.1 Nesuderinamumas be smulkmenų

Labiausiai pasakojanti parakonsekventiškos logikos priežastis, iš pirmo žvilgsnio, yra tai, kad yra teorijų, kurios yra nenuoseklios, bet nėra nereikšmingos. Jei pripažinsime, kad egzistuoja tokios teorijos, jų logika turi būti parakonsistentiška (nors žr. Michaelas 2016).

2.1.1 Netrivialios teorijos

Nesudėtingų, bet ne trivialių teorijų pavyzdžius lengva pateikti. Iš mokslo istorijos galima išvesti vieną pavyzdį. Apsvarstykite Bohro atomo teoriją. Pagal tai elektronas, rodydamas atomo branduolį, skleidžia energiją. Tačiau pagal Maxwello lygtis, kurios buvo neatsiejama teorijos dalis, orbitui įsibėgėjantis elektronas turi spinduliuoti energiją. Taigi Bohro atomo elgesys buvo nenuoseklus. Tačiau akivaizdu, kad ne viskas, kas susiję su elektronų elgesiu, iš jo nebuvo nustatyta ir neturėjo būti. Taigi, kad ir koks būtų numanymo mechanizmas, kuris buvo jo pagrindas, jis turėjo būti nuoseklus (Brown & Priest, 2015).

2.1.2 Tikri prieštaravimai

Nepaisant to, kad dialetheizmas ir parakonsekvencija turi būti atskirti, dialeteizmas gali būti parakonsistentiškos logikos motyvas. Vienas dialeterijos kandidatas (tikras prieštaravimas) yra melagio paradoksas. Apsvarstykite sakinį: „Šis sakinys netiesa“. Yra dvi galimybės: arba sakinys teisingas, arba nėra. Tarkime, kad tai tiesa. Tada sakoma, kad taip. Taigi sakinys nėra teisingas. Tarkime, tai netiesa. Štai ką ji sako. Taigi sakinys yra teisingas. Bet kuriuo atveju tai yra tiesa ir netiesa. (Žr. Įrašą apie dialetheizmą.)

2.1.3 Kalbotyra

Natūralios kalbos yra dar viena galimybė ne trivialiam nenuoseklumui. Kalbotyroje pastebėta, kad normalūs leksiniai bruožai išsaugomi net ir nenuosekliuose kontekstuose. Pvz., Tokie žodžiai kaip „šalia“turi erdvinę konotaciją, kuri netrikdoma net dirbant su neįmanomais objektais (McGinnis 2013):

Jei aš jums pasakysiu, kad aš nutapiau rutulio formos rutulinį rutulį, jūs manote, kad jo išorė yra ruda …, o jei aš esu jo viduje, jūs žinote, kad nesu šalia. (Chomsky 1995: 20)

Taigi, jei galima sakyti, kad natūrali kalba turi logiką, parakonsistentiška logika galėtų būti kandidatas ją įforminti.

2.2 Dirbtinis intelektas

Parakonsistentinę logiką motyvuoja ne tik filosofiniai sumetimai, bet ir jos pritaikymai bei padariniai.

2.2.1 Automatizuotas pagrindimas

Viena iš programų yra automatizuotas samprotavimas (informacijos apdorojimas). Apsvarstykite kompiuterį, kuriame kaupiama daug informacijos, kaip aprašyta 1992 m. „Belnap“. Nors kompiuteris kaupia informaciją, jis taip pat naudojamas juo valdyti ir, svarbiausia, daryti iš jo išvadą. Dabar gana įprasta, kad kompiuteryje yra nenuoseklios informacijos dėl duomenų įvedimo operatorių klaidų ar dėl daugybės informacijos šaltinių. Tai, be abejo, yra duomenų bazių operacijų su teoremomis problema, todėl kompiuterių mokslininkai atkreipė didelį dėmesį. Ištirti nenuoseklios informacijos šalinimo būdai. Vis dėlto jie yra ribotai pritaikomi ir bet kuriuo atveju negarantuojami, kad užtikrins nuoseklumą. (Nėra jokio loginio melo algoritmo.) Taigi, net jei imamasi priemonių atsikratyti prieštaravimų juos radus,pagrindinė parakonsistentiška logika yra pageidautina, jei paslėpti prieštaravimai nesukelia klaidingų atsakymų į klausimus.

Nelsono parakonsistencinė (keturių vertybių) logika N4 buvo specialiai ištirta pritaikant kompiuterių mokslą (Kamide ir Wansing 2012). Parašytą logiką pasiūlė „Subrahmanian“(1987), vėliau - „Da Costa“, „Subrahmanian“ir „Vago“(1991); šios priemonės dabar yra pritaikytos robotikai, ekspertinėms medicininės diagnozės sistemoms ir inžinerijai, o paskutinis darbas buvo surinktas į Abe, Akama, Nakamatsu (2015) ir Akama (2016) redaguotus tomus.

2.2.2 Tikėjimo peržiūra

Tikėjimo tikrinimas yra racionalaus tikėjimo organų peržiūros tyrimas atsižvelgiant į naujus įrodymus. Įdomu, kad žmonės turi nenuoseklių įsitikinimų. Jie netgi gali būti racionalūs tai darydami. Pvz., Gali būti akivaizdžiai neįtikėtinų įrodymų tiek dėl kažko, tiek dėl jo neigimo. Net gali būti atvejų, kai iš esmės neįmanoma pašalinti tokio nenuoseklumo. Pavyzdžiui, apsvarstykite „pratarmės paradoksą“. Racionalus žmogus, nuodugniai ištyręs, parašo knygą, kurioje teigia: (A_1), …, (A_n). Tačiau jie taip pat supranta, kad jokioje sudėtingumo knygoje nėra tik tiesų. Taigi jie racionaliai tiki ir (neg (A_1 / pleištas / ldots / pleištas A_n)). Taigi racionalaus įsitikinimų peržiūros principai turi veikti pagal nenuoseklius įsitikinimų rinkinius. Standartinės įsitikinimų taisymo ataskaitos, pvz., AGM teorija (žr. Įsitikinimų taisymo logiką),visi to nepadaro, nes remiasi klasikine logika (Tanaka 2005). Tinkamesnė sąskaita gali būti pagrįsta parakonsistentine logika; žiūrėti „Girard and Tanaka 2016“.

2.3 Formalioji semantika ir aibės teorija

Parakonsekvencija gali būti laikoma atsakymu į loginius formaliosios semantikos ir rinkinio teorijos paradoksus.

2.3.1 Tiesos teorija

Semantika yra tyrimas, kurio tikslas - išsiaiškinti teorinį prasmės supratimą. Daugelyje semantikos teiginių reikalaujama, kad sakinio prasmė būtų išaiškinta tam tikra prasme, nurodant jo tiesos sąlygas. Dabar bent jau prima facie tiesa yra predikatas, apibūdinamas Tarskio T schema:

[T (boldsymbol {A}) leftrightarrow A)

kur (A) yra sakinys ir (boldsymbol {A}) yra jo pavadinimas. Bet atsižvelgiant į bet kokias standartines savęs nurodymo priemones, pvz., Aritmetisizaciją, galima sukonstruoti sakinį (B), kuris sako, kad (neg T (boldsymbol {B})). T schema pateikia šią reikšmę: (T (boldsymbol {B}) leftrightarrow / neg T (boldsymbol {B})). Iš to seka, kad (T (boldsymbol {B}) pleišas / neg T (boldsymbol {B})). (Tai, be abejo, yra tik melagingas paradoksas.) Išsamų tiesos teorijos vystymą parakonsistentinėje logikoje pateikia Beall (2009).

2.3.2 Nustatyti teoriją

Panaši padėtis ir nustatytoje teorijoje. Naivios ir intuityviai teisingos rinkinio teorijos aksiomos yra supratimo schema ir išplėtimo principas:

(pradėti {sulyginti *} ir / egzistuoja y / forall x (x / y y sulyginti *})

kur (x) laisvai nevyksta (A). Kaip atrado Russellas, bet kokia teorija, kurioje yra supratimo schema, yra nenuosekli. Įrašius „(y / not / in y)“už (A) į supratimo schemą ir egzistencinį kiekybinį momentą pritaikant savavališkam tokiam objektui „(r)“, gaunama:

(forall y (y / r / leftrightarrow y / not / in y))

Taigi, perskaičiavus universalųjį rodiklį į „(r)“, gaunama:

[r / r r leftrightarrow r / not / in r)

Iš to išplaukia, kad (r / in r / pleištas r / not / in r).

Standartiniai požiūriai į šias nenuoseklumo problemas yra tikslingumas. Paraconsistentinis požiūris leidžia turėti tiesos ir nusiteikimo teorijas, kuriose būtų gerbiamos matematiškai pagrindinės intuicijos apie šias sąvokas. Pavyzdžiui, kaip parodė Brady (1989; 2006), paraconsistentinėje rinkinio teorijoje gali atsirasti prieštaravimų, tačiau jie neturi užkrėsti visos teorijos.

Yra keletas metodų, kaip teoriją naiviai suprasti per parakonsistencinę logiką. Tinklinių ir kardinalių skaičių teorijos plėtojamos aksiomatiškai, naudojant atitinkamą logiką, Weber 2010b, 2012. Galimybė pridėti nuoseklumo operatorių, kad būtų galima sekti neparadoksalius teorijos fragmentus, yra svarstoma „Omori 2015“, atsižvelgiant į da Costa tradiciją.. Naivią teoriją, naudojant adaptyviąją logiką, pateikia Verdée (2013). Parakonsistentiškos aibės teorijos modeliai aprašyti Liberto (2005).

2.3.3 Matematika apskritai

Pasak da Costa (1974: 498),

Taip pat būtų įdomu ištirti nenuoseklias sistemas, pavyzdžiui, neeuklidines geometrijas: geriau suprasime paradoksų pobūdį, galėtume geriau suprasti sąsajas tarp įvairių loginių principų, būtinų norint nustatyti nuoseklųjį pobūdį. rezultatai ir tt … Mūsų tikslas nėra pašalinti neatitikimus, o juos išanalizuoti ir ištirti.

Norėdami sužinoti apie tolimesnį matematikos tobulėjimą parakonsistentinėje logikoje, skaitykite įrašą apie nenuoseklią matematiką.

2.4 Aritmetika ir Gödelio teorema

Skirtingai nuo formalios semantikos ir rinkinio teorijos, negali būti jokių akivaizdžių aritmetinių principų, sukeliančių prieštaravimus. Nepaisant to, kaip ir klasikiniai nestandartiniai aritmetikos modeliai, yra ir nenuoseklių aritmetikos modelių (arba, tiksliau sakant, nenuoseklios aritmetinės modeliai), kurie turi įdomią ir svarbią matematinę struktūrą.

Viena įdomių nenuoseklių aritmetikos modelių egzistavimo reikšmė yra ta, kad kai kurie iš jų yra baigtiniai (skirtingai nei klasikiniai nestandartiniai modeliai). Tai reiškia, kad metamatematinėse teoremose yra keletas reikšmingų taikymo būdų. Pavyzdžiui, klasikinėje Löwenheim-Skolem teoremoje teigiama, kad (Q) (Robinsono aritmetika, kuri yra Peano aritmetikos fragmentas) turi kiekvieno begalinio kardinalumo modelius, tačiau neturi baigtinių modelių. Tačiau galima įrodyti, kad (Q) turi ir baigtinio dydžio modelius, remdamiesi nenuosekliais aritmetikos modeliais.

Paraconsistentinis gydymas gali būti taikomas ne tik Löwenheim-Skolem teoremai, bet ir kitoms metamatematinėms teoremoms. Tačiau kitų teoremų atveju neigiami rezultatai, kuriuos dažnai rodo ribinės metamatematikos teoremos, gali nebetikti. Viena svarbi tokia teorema yra Gödelio teorema.

Vienoje pirmosios Gödelio neišsamumo teoremos versijoje teigiama, kad bet kuriai nuosekliai aksiomatinei aritmetikos teorijai, kuri gali būti pripažinta pagrįsta, egzistuos aritmetinė tiesa, ty jos Gödelio sakinys joje neįrodomas, tačiau kurį galima nustatyti kaip tiesa intuityviai teisingais samprotavimais. Gödelio teoremos esmė yra paradoksas, susijęs su sakiniu, ((G)): „Šis sakinys neįrodomas“. Jei (G) yra įrodyta, tada ji yra tiesa, taigi ir neįrodoma. Taigi (G) įrodyta. Vadinasi, (G) yra tiesa ir tokia neįrodoma. Jei aritmetikai įforminti naudojama pagrįsta parakonsistentiška logika ir todėl teorija leido būti nenuosekli, Gödelio sakinys gali būti įrodytas teorijoje (iš esmės remiantis pirmiau pateiktais samprotavimais). Taigi paraconsistentinis požiūris į aritmetiką įveikia tuos aritmetikos apribojimus, kurie, kaip manoma, (daugelio nuomone) išplaukia iš Gödelio teoremos. (Apie kitas „ribojančias“metamatematikos teoremas skaitykite Priest 2002.)

2.5 Neaiškumas

Iš pat pradžių parakonsistentiška logika iš dalies buvo skirta neaiškumo ir soritų paradokso problemoms spręsti (Jaśkowski 1948 [1969]). Kai kurie empiriniai įrodymai rodo, kad natūralios kalbos neaiškumas yra tinkamas paraconsistentinio gydymo kandidatas (Ripley 2011).

Buvo pasiūlyti keli skirtingi paraconsistentiniai požiūrio į neaiškumus būdai. Subvaluationizmas yra logiškas dvigubas palyginimas su supervaluationism: jei teiginys yra teisingas dėl tam tikro priimtino neaiškaus predikato ryškinimo, tada jis yra teisingas. Ten, kur supervaluationistas mato neapibrėžtumą arba tiesos ir vertės spragas, subvaluationist mato perdėtą apibrėžimą, tiesos ir vertybių glūdėjimą. Subvalvacijos logika, kaip ir jos supervertinis dualumas, išsaugos visas klasikines tautologijas, jei tik galiojimo apibrėžimas apsiribos neskoningais atvejais. Dėl to, kad struktūriškai jis yra panašus į supervaluationizmą, subvaluationism taip pat taikoma ta pati kritika (Hyde 1997).

Kalbant plačiau, (dialektinis) parakonsekvencija buvo naudojama tiesmukiškame trijų vertybių tiesos-funkciniame požiūryje į neaiškumą. Tikslas yra išsaugoti abu šiuos intuityvius teiginius:

  1. Tolerancija: neaiškiai (F) nėra taip, kad (x) yra (F), bet kai kurie labai (F) - panašūs (x) nėra (F)
  2. Atjungimai: Visiems (F), jei kai kurie (x) yra (F), o kai kurie ((y)) nėra, ir yra užsakyta (F) - progresija iš (x) į (y), tada yra paskutinis (F) ir kai kurie pirmieji ne - (F)

Vėlgi, svarbiausia analizė yra ta, kad objektas yra nenuoseklus ir objektams, ir F, ir ne F. Tada visi tolerancijos teiginiai (apie neaiškų F) laikomi tiesa; tačiau kadangi parakonsekventiškai disjunkcinio skiemens išvados iš esmės negalioja, šie teiginiai nereiškia absurdo, kaip „visi pliki“. Parakonsistentiški modeliai daug dėmesio skiria neaiškių predikatų atskyrimo taškams, priskirdami daug rūpesčių, susijusių su rūšies paradoksu, dėl neaiškių predikatų nenuoseklumo (Weber, 2010a).

Diskutuojama, ar rūšies paradoksas yra panašus į kitus gerai žinomus semantinius ir nustatytus teorinius paradoksus, tokius kaip Russello ir melagis. Jei taip yra, tada parakonsistengus požiūris į vieną būtų toks pat natūralus, kaip į kitą.

3. Parakonsistentinės logikos sistemos

Buvo sukurta keletas oficialių metodų, leidžiančių ECQ pripažinti negaliojančiais. Daugelis metodų buvo apibendrinti kitur (Brown 2002, Priest 2002). Didėjant susidomėjimui parakonsistentiška logika, skirtingose pasaulio vietose buvo kuriamos skirtingos metodikos. Dėl to metodų plėtra turi tam tikrą regioninį skonį (nors, be abejo, yra ir išimčių, o regioniniai skirtumai gali būti perdėti; žr. Tanaka 2003).

Dauguma parakonsistentų logikų nesiūlo iš esmės atmesti klasikinės logikos. Jie paprastai pripažįsta klasikinių išvadų pagrįstumą nuosekliuose kontekstuose. ECQ atmetimą motyvuoja poreikis pašalinti nenuoseklumą, neišplatant visur. Priklausomai nuo to, kiek revizijos reikia, mes turime parakonsekvencijos metodą. Čia pateikta taksonomija pagrįsta klasikinės logikos peržiūros laipsniu. Kadangi loginę naujovę galima pastebėti teiginių lygmenyje, mes sutelksime dėmesį į parakonsistentinę logiką.

3.1 Aptarimo logika

Pirmoji išplėtota parakonsekventiška logika buvo diskutuojanti (arba diskursyvi) logika, kurią pateikė lenkų logikas Jaśkowski (1948). Diskusinės logikos mintis yra ta, kad diskurse kiekvienas dalyvis pateikia tam tikrą informaciją, įsitikinimus ar nuomones. Kiekvienas teiginys yra teisingas, atsižvelgiant į dalyvį, kuris jį pateikia diskurse. Bet tai, kas iš tikrųjų yra diskurse, yra dalyvių pareikštų teiginių suma. Kiekvieno dalyvio nuomonės gali būti nenuoseklios, tačiau gali būti nesuderinamos su kitų nuomonėmis. Jaśkowskis įformino šią idėją diskutuojančios logikos pavidalu.

Diskusinės logikos įforminimas yra modeliuojant diskursą modalinėje logikoje. Paprastumo dėlei Jaśkowskis pasirinko S 5. Mes manome, kad kiekvieno dalyvio įsitikinimai yra teisingi sakiniai, kurie pasaulyje yra S 5 modelyje (M). Taigi, sakinys (A), kurį tvirtina diskurso dalyvis, aiškinamas kaip „įmanoma, kad (A)“arba sakinys (Diamond A) iš S 5. Tada (A) sulaiko diskursą, jei (A) yra tiesa kai kuriame ((M)) pasaulyje. Kadangi (A) gali būti viename pasaulyje, bet ne kitame, tiek (A), tiek (neg A) gali būti diskurse. Iš tikrųjų reikia tikėtis, kad dalyviai racionalaus diskurso metu nesutaria dėl kai kurių klausimų. Taigi idėja yra ta, kad (B) yra diskutuojanti (A_1, / ldots, A_n) pasekmė, jei (Diamond B) yra S (5) (Diamond A_ {1} punktai / deimantas A_ {n}).

Norėdami pamatyti, kad diskusinė logika yra prieštaringa, apsvarstykite S 5 modelį (M), kad (A) laikytųsi (w_1), (neg A) turėtų kitą pasaulį (w_2), bet (B) kai kuriuose pasaulyje nelaiko (B). Tada tiek (A), tiek (neg A) sulaiko, tačiau (B) nelaiko (M). Taigi diskusinė logika daro negaliojančią ECQ.

Tačiau nėra S 5 modelio, kuriame (A / pleištas / neg A) būtų kažkuriame pasaulyje. Taigi formos ({A / pleištas / neg A } vDash B) išvada galioja diskretiškoje logikoje. Tai reiškia, kad diskutuojančioje logikoje papildymas (({A, / neg A } vDash A / pleištas / neg A)) nepavyksta. Bet diskutuojamąją jungtį (pleišto_d) galima apibrėžti kaip (A / pleištas / Diamond B) (arba (Diamond A / pleištas B)). Tada priedas galioja (pleišto_d) (Jaśkowski 1949).

Vienas sunkumų yra sąlyginio formuluotė. S 5 atveju išvados iš (Diamond p) ir (Diamond (p / supset q)) į (Diamond q) nepavyksta. Jaśkowskis pasirinko pristatyti jungiamąjį elementą, kurį jis pavadino diskretiška implikacija, (supset_d), apibrėžtą kaip (Diamond A / supset B). Ši jungtis gali būti suprantama taip, kad „jei kai kurie dalyviai teigia, kad (A), tada (B)“. Kadangi išvados iš (Diamond A / supset B) ir (Diamond A) į (Diamond B) galioja S 5, modus ponens for (supset_d) galioja diskusinėje logikoje. Aptariamasis abipusis implikacija (equiv_d) taip pat gali būti apibrėžtas kaip ((Diamond A / Subtset B) pleištas / Diamond (Diamond B / Apsetas A)) (arba (Diamond (Deimantas A / supsetas B) pleišas (Deimantas B / supset A))). Apie Jaškovskio logikos ir jos aksiomatizacijos darbo istoriją skaitykite Omori ir Alama (būsimi).

3.2 Papildomos sistemos

Nepridedanti sistema yra sistema, nepatvirtinanti papildymo (ty, ({A, B } not / vDash A / pleištas B)). Kaip matėme aukščiau, diskusinė logika be diskusinio junginio nėra papildoma. Kitą neprivalomą strategiją pasiūlė Rescher and Manor (1970). Tiesą sakant, mes galime sujungti patalpas, bet tik iki maksimalaus nuoseklumo. Tiksliau, jei (Sigma) yra patalpų rinkinys, maksimaliai suderintas pogrupis yra bet koks nuoseklus pogrupis (Sigma '), tokiu atveju, jei (A / Sigma - / Sigma'), tada (Sigma '\ cup {A }) yra nenuoseklus. Tada sakome, kad (A) yra (Sigma) pasekmė, jei (A) yra klasikinė (Sigma ') pasekmė maksimaliai nuosekliam poaibiui (Sigma'). Tada ({p, q } vDash p / pleištas q), bet ({p, / neg p } not / vDDash p / pleištas / neg p).

3.3 Preservacionizmas

Neatliekančioje Rescher ir dvaro sistemoje pasekmių ryšys yra apibrėžtas per maksimaliai nuoseklų patalpų pogrupį. Tai gali būti vertinama kaip būdas „išmatuoti“nustatytos prielaidos nuoseklumo lygį. ({P, q }) lygis yra 1, nes maksimaliai nuoseklus pogrupis yra pats rinkinys. Tačiau ({p, / neg p }) lygis yra 2: ({p }) ir ({ neg p }).

Jei apibrėžtume pasekmių ryšį per kurį nors maksimaliai nuoseklų pogrupį, tada galima manyti, kad šis ryšys išsaugo nuoseklių fragmentų lygį. Tai požiūris, kuris buvo pradėtas vadinti konservacionizmu. Pirmiausia jį sukūrė Kanados logistai Ray Jennings ir Peteris Schotchas.

Tiksliau tariant, (baigtinis) formulių rinkinys (Sigma) gali būti suskaidytas į klasikinius nuoseklius fragmentus, kurių sąjunga yra (Sigma). Tegul (vdash) yra klasikinis pasekmių santykis. (Sigma) viršelis yra rinkinys ({ Sigma_i: i / I }), kuriame kiekvienas narys yra nuoseklus, ir (Sigma = / bigcup_ {i / in I} Sigma_i). (Sigma, l (Sigma)) lygis yra mažiausias (n) toks, kad (Sigma) gali būti suskaidytas į (n) rinkinius, jei yra toks (n), arba (infty), jei tokio nėra (n). Rezultatų ryšys, vadinamas priverstiniu, (Vdash), yra apibūdinamas taip. (Sigma / Vdash A) iff (l (Sigma) = / infty) arba (l (Sigma) = n) ir kiekvienai dangčiai, kurios dydis (n), yra (j / in I) toks, kad (Sigma_j / vdash A). Jei (l (Sigma) = 1) arba (infty), tada priverstinis ryšys sutampa su klasikiniu pasekmių santykiu. Tuo atveju, kai (l (Sigma) = / infty), turi būti formos sakinys (A / pleištas / neg A) ir priverstinis ryšys sprogs.

Tvirtinimo strategija taip pat buvo taikoma siekiant nustatyti įtaigųjį mechanizmą, kuriuo grindžiamos kai kurios gamtos mokslų ir matematikos teorijos. Matematikoje geriausia turima teorija, susijusi su begaliniais modeliais, buvo nenuosekli. Begaliniame Leibnizo ir Niutono skaičiavimuose, apskaičiuojant išvestinę, begaliniai dydžiai turėjo būti tiek nuliniai, tiek ne. Norėdami užfiksuoti išvados mechanizmą, kuriuo grindžiamas begalinis Leibnizo ir Niutono skaičiavimas (ir Bohro atomo teorija), prie chunkingo turime pridėti mechanizmą, leidžiantį ribotam informacijos kiekiui tekėti tarp nuoseklių šių nenuoseklių, bet ne trivialios teorijos. Tai yra, tam tikra informacija iš vieno riekio gali prasiskverbti į kitus gabalus. Išvadų procedūra, kuria grindžiamos teorijos, turi būti riekė ir skvarbi.

Tegul (C = { Sigma_i: i / I }) ir (varrho) pralaidumo santykis (C) taip, kad (varrho) yra žemėlapis iš ((I) kartų I) į kalbos formulių pogrupius. Jei (i_0 / in I), bet kokia struktūra (langle C, / varrho, i_0 / rangle) vadinama C&P struktūra (Sigma). Jei (mathcal {B}) yra C (angl. C&P) struktūra sistemoje (Sigma), mes apibrėžiame (Sigma) C&P pasekmes, palyginti su (matematine {B}), taip. Kiekvienam (i / in I) sakinių rinkinys (Sigma_i ^ n) apibrėžiamas rekursijos būdu (n):

(pradėti {lygiuoti *} Sigma_i ^ {0} & = / Sigma_i ^ { vdash} / \ Sigma_i ^ {n + 1} & = / kairė (Sigma_i ^ n / cup / bigcup_ {j / in I} kairė (Sigma_j ^ n / cap / rho (j, i) dešinė) dešinė) ^ { vdash} / \ pabaiga {lygiuoti *})

Tai yra, (Sigma_i ^ {n + 1}) sudaro pasekmes iš (Sigma_i ^ n) kartu su informacija, kuri prasiskverbia į rieką (i) iš kitos riekės lygiu (n). Tada mes surenkame visus baigtinius etapus:

(Sigma_i ^ { omega} = / bigcup_ {n / lt / omega} Sigma_i ^ n)

(Sigma) C&P padarinius galima apibrėžti sakiniais, kurie gali būti išvedami į nurodytą riekę (i_0), kai buvo leidžiama visa tinkama informacija tekėti pagal pralaidumo ryšius (žr. Brown ir Priest 2004, 2015.)

3.4 Adaptyvioji logika

Galima manyti, kad nenuoseklumą reikia atskirti, bet taip pat kad retas atvejis yra rimtas poreikis atsižvelgti į neatitikimus. Galvojama, kad nuoseklumas yra norma, kol neįrodyta kitaip: sakinį ar teoriją turėtume vertinti kuo nuosekliau. Iš esmės tai yra adaptyvios logikos motyvacija, kurią pradininkas Diderik Batens Belgijoje.

Adaptyvioji logika yra logika, kuri prisitaiko prie situacijos, kai taikoma išvadų taisyklės. Tai modeliuoja mūsų samprotavimų dinamiką. Yra du jutimai, kuriuose samprotavimas yra dinamiškas: išorinis ir vidinis. Priežastys yra išoriškai dinamiškos, jei, gavus naujos informacijos, plečiant nustatytą prielaidą, gali tekti panaikinti anksčiau padarytas pasekmes. Taigi išorinė dinamika yra nemonotoniškas kai kurių pasekmių ryšių pobūdis: (Gamma / vdash A) ir (Gamma / cup / Delta / not / vdash A) kai kuriems (Gamma, / Delta) ir (A). Tačiau net jei nustatyta prielaida išlieka pastovi, vėliau padaryta išvada gali būti laikoma neišvedama. Kadangi mūsų samprotavimai kyla iš nustatytų prielaidų, galime susidurti su situacija, kai padarome išvadą, jei nebus jokių anomalijų,ypač neprieštarauja tam tikrame samprotavimo proceso etape. Jei būsime priversti išaiškinti prieštaravimą vėliau, savo samprotavimus turime pritaikyti taip, kad būtų atšaukta anksčiau taikytos išvados taisyklės taikymas. Tokiu atveju samprotavimas yra dinamiškas. Mūsų samprotavimai gali būti dinamiški, jei pagrįstų išvadų rinkinys nėra rekursyviai išvardytas (ty nėra sprendimo procedūros, kuri leistų pasakyti „taip“po daugybės žingsnių, jei išvados iš tikrųjų yra pagrįstos). Tai yra vidinė dinamika, kuriai pritaikyti yra pritaikoma logika.samprotavimai yra vidiniai dinaminiai. Mūsų samprotavimai gali būti dinamiški, jei pagrįstų išvadų rinkinys nėra rekursyviai išvardytas (ty nėra sprendimo procedūros, kuri leistų pasakyti „taip“po daugybės žingsnių, jei išvados iš tikrųjų yra pagrįstos). Tai yra vidinė dinamika, kuriai pritaikyti yra pritaikoma logika.samprotavimai yra vidiniai dinaminiai. Mūsų samprotavimai gali būti dinamiški, jei pagrįstų išvadų rinkinys nėra rekursyviai išvardytas (ty nėra sprendimo procedūros, kuri leistų pasakyti „taip“po daugybės žingsnių, jei išvados iš tikrųjų yra pagrįstos). Tai yra vidinė dinamika, kuriai pritaikyti yra pritaikoma logika.

Norėdami iliustruoti adaptyviosios logikos idėją, atsižvelkite į nustatytą prielaidą (Gama = {p, / neg p / vee r, / neg r / vee s, / neg s, s / vee t }). Gali pradėti samprotauti su (neg s) ir (s / vee t), naudodamiesi disjunktyviniu silogizmu (DS), kad padarytume išvadą (t), atsižvelgiant į tai, kad (pleištas / neg s) daro negauti. Tada nusprendžiame su (p) ir (neg p / vee r) daryti išvadą apie (r) DS, atsižvelgiant į tai, kad (p / pleištas / neg p) negauna. Dabar DS galime pritaikyti (neg r / vee s) ir (r), kad gautume (s), su sąlyga, kad (r / wedge / neg r) negaus. Tačiau sujungę (s) ir (neg s), galime gauti (s / pleištą / neg s). Taigi turime atšaukti pirmąjį DS prašymą, todėl (t) įrodymas netenka galios. Šio samprotavimo pasekmė yra tai, ko negalima nugalėti jokiame proceso etape.

Paprastai adaptyviosios logikos sistemą galima apibūdinti kaip susidedančią iš trijų elementų:

  1. Žemutinės ribos logika (LLL)
  2. Nenormalumo rinkinys
  3. Adaptyvi strategija

LLL yra adaptyviosios logikos dalis, kuriai adaptacija netaikoma. Iš esmės tai susideda iš daugybės įtikinamų taisyklių (ir (arba) aksiomų), kurias žmogus mielai priima, nepaisydamas situacijos samprotavimo procese. Nenormalumų rinkinys - tai formulių rinkinys, kuris, manoma, kad samprotavimo pradžioje neturi (arba yra absurdiškas), kol neįrodo, kad yra kitaip. Daugelio adaptyvių logikų atveju šio rinkinio formulė yra (A / pleištas / neg A). Adaptyvioji strategija nurodo išvadų taisyklių taikymo strategiją, pagrįstą anomalijų rinkiniu. Jei LLL pratęsiamas su reikalavimu, kad logiškai neįmanomi jokie nukrypimai, gaunama viršutinės ribos logika (ULL). ULL iš esmės sudaro ne tik įtaigios LLL taisyklės (ir (arba) aksiomos), bet ir papildomos taisyklės (ir (arba) aksiomos), kurios gali būti taikomos nesant anomalijų, pavyzdžiui, DS. Nurodžius šiuos tris elementus, gaunama adaptyviosios logikos sistema.

3.5 Formalaus nenuoseklumo logika

Paraconsistent logikos sistemų motyvavimo metodai, kuriuos mes iki šiol matėme, išskiria nenuoseklumą nuo nuoseklių pateiktos teorijos dalių. Siekiama išlaikyti kiek įmanoma daugiau klasikinės technikos, kuriant parakonsistentiškos logikos sistemą, kuri, nepaisydama prieštaravimo, išvengia sprogimo. Vienas iš būdų aiškiai apibrėžti šį tikslą yra išplėsti išraiškingą mūsų kalbos galią, užkoduojant objekto kalba meteorines nuoseklumo (ir nenuoseklumo) sąvokas. Formalaus nenuoseklumo logika (LFI) yra parakonsistentiškos logikos šeima, sudaranti nuoseklius klasikinės logikos fragmentus, tačiau atmetanti sprogimo principą, kai yra prieštaravimų. Šios logikos šeimos tyrimą inicijavo Newton da Costa Brazilijoje.

Kodavimo nuoseklumo (ir nenuoseklumo) objekto kalba poveikis yra tas, kad mes galime aiškiai atskirti nenuoseklumą nuo smulkmenos. Turėdami pakankamai turtingą kalbą, kad galėtume išreikšti nenuoseklumą (ir nuoseklumą), galime studijuoti nenuoseklias teorijas, nemanydami, kad jos būtinai yra nereikšmingos. Tai leidžia aiškiai pasakyti, kad prieštaravimo buvimas yra atskiras klausimas nuo nekontroliuojamo parakonsistencinių išvadų pobūdžio.

LFI mintis yra ta, kad turėtume kiek įmanoma labiau gerbti klasikinę logiką. Logika turėtų nuo jos nukrypti tik tada, kai yra prieštaravimų. Tai reiškia, kad galime pripažinti ECQ galiojimą, jei nėra prieštaravimų. Norėdami tai padaryti, mes užkoduojame „nuoseklumą“savo objektų kalba pagal (circ). Tada (vdash) yra LFI iff pasekmės santykis

  1. (egzistuoja / gama / egzistuoja A / egzistuoja B (gama, A, / neg A / not / vdash B)) ir
  2. (forall / gama / forall A / forall B (gama, / apskritimas A, A, / neg A / vdash B)).

Tegul (vdash_C) yra klasikinis pasekmių (arba išvestinių) santykis ir (Circ (Gamma)) išreiškia formulių aibės nuoseklumą (Gamma) taip, kad jei (Circ A) ir (Circ B), tada (Circ (A * B)), kur (*) yra bet kuri dviejų vietų loginė jungtis. Tada mes galime užfiksuoti išvestinę galią nuosekliame kontekste pagal lygiavertiškumą: (forall / Gamma / Forall B / egzistuoja / Delta (Gamma / vdash_C B) iff (Circ (Delta), / Gamma / vdash B)).

Dabar paimkite teigiamą klasikinės logikos fragmentą su modus ponens ir dvigubo neigimo pašalinimu ((neg / neg A / dešinė rodyklė A)) kaip aksiomą ir keletą aksiomų, valdančių (circ):

(pradėti {lygiuoti *} apskritimas A ir / dešinė rodyklė (A / dešinė rodyklė (neg A / dešinė rodyklė B)) (apskritimas A / pleištas / apskritimas B) & / dešinė rodyklė / apskritimas (A / pleištas B) (apskritimas A / dešinė rodyklė / apskritis B) & / dešinė rodyklė / apskritimas (A / dešinė rodyklė B) pabaiga {sulyginti *})

Tada (vdash) pateikia „da Costa“sistemą (C_1). Jei leistume (A ^ 1) sutrumpinti formulę (neg (A / pleištas / neg A)) ir (A ^ {n + 1}) formulę ((neg (A ^ n) pleištas / neg A ^ n)) ^ 1), tada gauname (C_i) už kiekvieną natūralųjį skaičių (i) didesnį kaip 1.

Norėdami gauti da Costa sistemą (C _ { omega}), vietoj teigiamo klasikinės logikos fragmento, mes pradedame nuo teigiamos intuicionisto logikos. (C_i) baigtinių (i) sistemų neatmeta galimybės ((A ^ n / pleišto / neg A ^ n / pleišto A ^ {n + 1})) laikyti teorijoje. Keldami hierarchiją į (omega), (C _ { omega}) atmeta šią galimybę. Tačiau atminkite, kad (C _ { omega}) nėra LFC, nes jame nėra klasikinės teigiamos logikos.

„Da Costa“(C) sistemų semantiką žr., Pavyzdžiui, „da Costa“ir „Alves“1977 ir „Loparic“1977. Apie šiuolaikinę būklę skaitykite „Carnielli“ir „Coniglio 2016“.

3.6 Įvairiapusė logika

Ko gero, paprasčiausias parakonsekventiškos logikos generavimo būdas, kurį pirmiausia pasiūlė Asenjo savo daktaro disertacijoje, yra naudoti daug kam naudingą logiką. Klasikiškai yra tiksliai dvi tiesos vertybės. Daugelio vertinamas požiūris yra atsisakyti šios klasikinės prielaidos ir leisti daugiau nei dvi tiesos vertybes. Paprasčiausia strategija yra naudoti formules vertinant tris tiesos vertybes: tikra (tik), klaidinga (tik) ir abi (tikra ir klaidinga). Loginių jungčių tiesos lentelės, išskyrus sąlygines, gali būti pateiktos taip:

(neg)
(t) (f)
(b) (b)
(f) (t)
(pleištas) (t) (b) (f)
(t) (t) (b) (f)
(b) (b) (b) (f)
(f) (f) (f) (f)
(vee) (t) (b) (f)
(t) (t) (t) (t)
(b) (t) (b) (b)
(f) (t) (b) (f)

Iš esmės šios lentelės yra trijų Kleene ir Łukasiewicz vertinamų logikų lentelės, kai manoma, kad vidutinė vertė yra neapibrėžta arba nė viena (tikra ar klaidinga).

Sąlyginiam (supset), laikydamiesi trijų Kleene logikų, galime nurodyti tiesos lentelę taip:

(supset) (t) (b) (f)
(t) (t) (b) (f)
(b) (t) (b) (b)
(f) (t) (t) (t)

Tegul (t) ir (b) yra nurodytos vertės. Tai yra vertybės, kurios išsaugomos galiojančiose išvadose. Jei apibrėžtume pasekmių ryšį šių nurodytų vertybių išsaugojimo prasme, tada turėtume parakonsistencinę logiką LP (Priest 1979). LP, ECQ negalioja. Norėdami tai pamatyti, (b) priskiriame (p) ir (f) - (q). Tada (neg p) taip pat įvertinamas kaip (b), taigi ir (p), ir (neg p) yra paskiriami. Tačiau (q) nėra įvertinta kaip turinti nurodytą vertę. Taigi LP ECQ negalioja.

Kaip matome, LP daro negaliojančią ECQ, priskirdama prieštaravimą nurodytai reikšmei - tiek teisingai, tiek klaidingai. Taigi LP labiau skiriasi nuo klasikinės logikos nei sistemos, kurias mes matėme anksčiau. Bet, prieštaringai vertinama, ji taip pat natūraliai suderinta su dialetizmu. Tačiau tiesos vertybes galime interpretuoti ne aletheine, bet epistemine prasme: tiesos vertybės (arba nurodytos reikšmės) išreiškia episteminius ar doksastinius įsipareigojimus (žr., Pavyzdžiui, Belnap 1992). Arba mes galime pamanyti, kad tiek viena, tiek kita vertė yra reikalinga dėl semantinės priežasties: mums gali reikėti pareikšti prieštaringą kai kurių mūsų įsitikinimų, tvirtinimų ir pan. Pobūdį (žr. Dunn 1976: 157). Jei ši interpretacinė strategija bus sėkminga, galime atskirti LP nuo būtinybės patekti į dialetheizmą.

Viena iš LP savybių, į kurią reikia atkreipti dėmesį, yra tai, kad LP modus ponai pasirodo negaliojantys. Jei (p) yra teisinga ir klaidinga, bet (q) klaidinga (tik), tada (p / supset q) yra ir teisinga, ir klaidinga, todėl ji yra pažymėta. Taigi ir (p), ir (p / supset q) yra paskiriami, tačiau išvada (q) nėra. Taigi, modus ponens for (supset) netinkamas LP. (Vienas iš būdų ištaisyti problemą yra pridėti tinkamą sąlyginį jungiamąjį elementą, kaip pamatysime atitinkamos logikos skyriuje.)

Kitas būdas sukurti daugelio vertinamą parakonsistencinę logiką yra galvoti apie tiesos vertės priskyrimą ne kaip funkciją, o kaip santykį. Tegul (P) yra pasiūlymo parametrų rinkinys. Tada vertinimas (eta) yra (P / kartų {0, 1 }) pogrupis. Teiginys gali būti susijęs tik su 1 (tiesa), jis gali būti susijęs tik su 0 (klaidingu), jis gali būti susijęs tiek su 1, tiek su 0 arba gali būti susijęs nei su 1, nei su 0. šios rekursinės išlygos:

(pradėti {lygiuoti *} neg A / eta 1 & / textrm {iff} A / eta 0 \\ / neg A / eta 0 & / textrm {iff} A / eta 1 \[1ex] A / pleištas B / eta 1 & / textrm {iff} A / eta 1 / textrm {and} B / eta 1 \\ A / pleištas B / eta 0 & / textrm {iff} A / eta 0 / textrm {arba} B / eta 0 \[1ex] A / vee B / eta 1 & / textrm {iff} A / eta 1 / textrm {arba} B / eta 1 \\ A / vee B / eta 0 & / textrm {iff} A / eta 0 / textrm {and} B / eta 0 \\ / pabaiga {lygiuoti *})

Jei mes apibrėžtume pagrįstumą tiesos išsaugojimo prasme visuose santykiniuose vertinimuose, tada gautume pirmo laipsnio padarinius (FDE), kurie yra atitinkamos logikos fragmentas. Šią FDE reliacinę semantiką lemia Dunnas 1976 m.

Skirtingas požiūris nagrinėjamas per nedeterministinių matricų idėją, kurią tyrė Avronas ir jo bendradarbiai (pvz., Avron & Lev 2005).

3.7 Atitinkama logika

Mūsų išnagrinėti požiūriai į parakonsekvenciją daugiausia nukreipti į neišvengiamą buvimą ar kai kurių prieštaravimų tiesą. Atliekant šiuos metodus ECQ atmetimas priklauso nuo prieštaravimo pateiktų patalpų analizės. Galima manyti, kad tikroji ECQ problema susijusi ne su prieštaringai vertinamomis patalpomis, o su ryšio tarp patalpų ir išvados nebuvimu. Manoma, kad išvada turi būti tinkama daryti išvadą apie patalpas.

Siekiant išsiaiškinti Andersono ir Belnapo (1975 m.) Pitsburge pateiktos išvados dėl patalpų tinkamumą, buvo imtasi svarbios logikos. Andersonas ir Belnapas motyvavo atitinkamos logikos kūrimą, naudojant natūralias dedukcines sistemas; tačiau jie sukūrė atitinkamų logikų šeimą aksiomatinėse sistemose. Kūrimas vyko ir Australijoje, todėl daugiau dėmesio buvo skiriama semantikai.

Atitinkamos logikos semantiką sukūrė Fine (1974), Routley ir Routley (1972), Routley ir Meyer (1993) bei Urquhart (1972). (Taip pat yra algebrinė semantika; žr., Pavyzdžiui, Dunn & Restall 2002: 48ff.) Routley-Meyer semantika pagrįsta galimo pasaulio semantika, kuri yra labiausiai tyrinėjama atitinkamos logikos semantika, ypač Australijoje. Šioje semantikoje jungtukas ir disjunkcija elgiasi įprastu būdu. Bet kiekvienas pasaulis (w) turi asocijuotąjį pasaulį (w ^ *), ir neigimas vertinamas pagal: (w ^ *: / neg A) tiesa ties ((w)) (A) yra klaidinga, ne (w), o prie (w ^ *). Taigi, jei (A) tiesa ties (w), bet klaidinga ties (w ^ *), tada (A / pleištas / neg A) yra tiesa ties (w). Norint gauti standartinę atitinkamą logiką, reikia pridėti apribojimą, kad (w ^ {**} = w). Kaip aišku,neigimas šioje semantikoje yra sąmoningas operatorius.

Svarbiausias logikos rūpestis yra ne tiek neigimas, kiek sąlyginis jungiamasis (dešinysis rodyklė) (tenkinantis modus ponens). Atitinkamoje logikoje, jei (A / dešinė rodyklė B) yra logiška tiesa, tada (A) yra svarbi (B), ta prasme, kad (A) ir (B) dalijasi mažiausiai vienas pasiūlymo kintamasis.

Atitinkamos sąlyginės dalies semantika gaunama pateikiant kiekvieną Routley-Meyer modelį trišakiu ryšiu. Supaprastintoje Priest ir Sylvan (1992) ir Restall (1993, 1995) semantikose pasauliai yra suskirstyti į normalųjį ir nenormalųjį. Jei (w) yra normalus pasaulis, (A / dešinė rodyklė B) yra tiesa ties (w), jei visuose pasauliuose, kur (A) yra tiesa, (B) yra tiesa. Jei (w) nėra normalus, (A / dešinė rodyklė B) teisinga tuo atveju, kai (w), jei visi (x, y), pavyzdžiui, (Rwxy), jei (A) tiesa ties (x, B) tiesa ties (y). Jei (B) tiesa ties (x), bet ne (y), kur (Rwxy), tada (B / dešinė rodyklė B) netiesa (w). Tada galima parodyti, kad (A / dešinė rodyklė (B / dešinė rodyklė B)) nėra logiška tiesa. (Galiojimas apibrėžiamas kaip tiesos išsaugojimas normaliuose pasauliuose.) Tai suteikia pagrindinę logiką (B). Tvirtesnė logika, tokia kaip logika (R),gaunami pridedant trišalio santykio apribojimus.

Taip pat yra atitinkamos logikos pasaulinės semantikos versijų, pagrįstų Dunn'o reliacine semantika FDE. Tada neigimas yra pratęsiamas. Sąlyginis jungiamasis elementas, dabar reikia pateikti ir tiesos, ir klaidingumo sąlygas. Taigi, mes turime: (A / dešinė rodyklė B) yra tiesa ties (w), jei visi (x, y), pavyzdžiui, (Rwxy), jei (A) tiesa ties (x, y). x, B) tiesa ties (y); ir (A / dešinė rodyklė B) yra klaidinga, kai (, w), kai kuriems ((x, y)), pavyzdžiui, (Rwxy), jei (A) yra ties ties (x, B)) yra klaidingas vietoje (y). Pridėjus įvairius trišalio santykio apribojimus, gaunama stipresnė logika. Tačiau ši logika nėra standartinė tinkama Andersono ir Belnapo sukurta logika. Norint gauti standartinę atitinkamų logikų šeimą, reikia kaimynystės rėmų (žr. Mares, 2004). Daugiau informacijos galite rasti atitinkamos logikos įraše.

Bibliografija

Bibliografija surūšiuota pagal temą

Nuorodos

  • Abe, Jair Minoro, Seiki Akama ir Kazumi Nakamatsu (red.), 2015 m., Anotavuotos logikos įvadas: nepilnaverčio ir neatitinkančio samprotavimo pagrindai (intelektinių sistemų informacinė biblioteka 88), Dordrecht: Springeris. doi: 10.1007 / 978-3-319-17912-4
  • „Akama“, „Seiki“(red.), 2016, „Paraconsistent Engineering“link (intelektualiųjų sistemų informacinė biblioteka 110), „Dordrecht“: „Springer“. doi: 10.1007 / 978-3-319-40418-9
  • Andersonas, Alanas Rossas ir Nuelis D. Belnapas, 1975 m., „Entailment“: tinkamumo ir reikalingumo logika, 1 tomas, Prinstonas: Princeton University Press.
  • Andersonas, Alanas Rossas, Nuelis D. Belnapas ir J. Michaelas Dunnas, 1992, „Entailment: The Logic of Relevance and Necessity“, 2 tomas, Princeton: Princeton University Press.
  • Andreasas, Holgeris ir Peteris Verdée, 2016 m., Parakonsistento samprotavimo loginiai tyrimai gamtoje ir matematikoje (Logic tendencijos 45), Dordrecht: Springeris. doi: 10.1007 / 978-3-319-40220-8
  • Arruda, Ayda I., 1977 m., „Vaizduojama NA Vasil'év logika“, Arruda et al. 1977: 3–24. doi: 10.1016 / S0049-237X (08) 70642-6
  • ––– 1989 m., „Paraconsistent logikos istorinės raidos aspektai“, Priest et al. 1989: 99–130.
  • Arruda, Ayda I., Newton da Costa ir R. Chuaqui (red. Past.), 1977 m., „Neklasikinė logika, modelio teorija ir skaičiavimai (logikos studijos ir matematikos pagrindai 89“), Amsterdamas: Šiaurės Olandija.
  • Asenjo, FG, 1966 m., „Antinomijų skaičiavimas“, „Notre Dame Journal of Formal Logic“, 7 (1): 103–105. doi: 10.1305 / ndjfl / 1093958482
  • Asmusas, Konradas, 2012 m., „Parakonsekcija dialeteizmo uolienose“, Logique et Analyze, 55 (217): 3–21. [Asmusas 2012]
  • Avronas, Arnonas ir Iddo Levas, 2005 m., „Nedeterministinės daugiareikšmės struktūros“, „Logic and Computation“žurnalas, 15 (3): 241–261.
  • Batensas, Diderik, 2001 m., „Bendras adaptyviosios logikos apibūdinimas“, Logique et Analyze, 44 (173–175): 45–68. [„Batens 2001“galima rasti internete]
  • ––– 2007 m., „Visuotinis loginis požiūris į adaptyviąją logiką“, „Logica Universalis“, 1 (1): 221–242. doi: 10.1007 / s11787-006-0012-5
  • Batens, Diderik, Chris Mortensen, Graham Priest ir Jean-Paul van Bendegem (red.), 2000, Paraconsistent Logic Frontiers (Studies in Logic and Computation 8), Baldock, Anglija: Research Studies Press. [Pirmojo pasaulinio kongreso darbai]; taip pat žr. „Logique & Analyze“, 41 tomas, numeriai 161–163.
  • Beall, Jc, 2009, „Tiesos spandreliai“, Oksfordas: „Oxford University Press“. doi: 10.1093 / acprof: oso / 9780199268733.001.0001
  • Belnapas, Nuelis D., jaunesnysis, 1992 m., „Naudinga keturių vertybių logika: kaip kompiuteris turėtų galvoti“, Užrašas: Aktualumo ir reikalingumo logika, II tomas, Alanas Rossas Andersonas, Nuelis D. Belnapas, jaunesnysis ir J. Michaelas Dunnas, Prinstonas: Princeton University Press; pirmą kartą pasirodė kaip „Naudinga keturių vertybių logika“, „Daugiavertės logikos šiuolaikinis panaudojimas“, J. Michaelas Dunnas ir George'as Epsteinas (red.), Dordrecht: D. Reidel, 1977: 5–37, ir „Kaip kompiuteris turėtų Pagalvok “, šiuolaikiniai filosofijos aspektai, Gilbert Ryle (red.), Oriel Press, 1977: 30–. doi: 10.1007 / 978-94-010-1161-7_2
  • Besnard, Philippe ir Anthony Hunter (red. Past.), 1998, Priežastys faktiniais ir potencialiais prieštaravimais, (Neįmanoma pagrįstumo ir neapibrėžtumo valdymo sistemų vadovas, 2 tomas), Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. doi: 10.1007 / 978-94-017-1739-7
  • Beziau, Jean-Yves, Walteris A. Carnielli ir Dov M. Gabbay (red.), 2007 m., Parakonsistencingumo vadovas (Studies in Logic 9), Londonas: College Publications. [Trečiojo pasaulinio kongreso darbai]
  • Beziau, Jean-Yves, Mihir Chakraborty ir Soma Dutta (red.), 2015 m., Naujos kryptys „Paraconsistent Logic“, Dordrecht: Springeris. doi: 10.1007 / 978-81-322-2719-9 [Penktojo pasaulinio kongreso darbai]
  • Brady, Ross T., 1989 m., „Neelektriškumas dialektikos rinkinių teorijoje“, Priest et al. 1989: 437–471.
  • ––– (red.), 2003 m., Svarbi logika ir jų konkurentai, 2 tomas, Aldershot: Ashgate.
  • ––– 2006 m., „Universal Logic“, Stanfordas, Kalifornija: CSLI leidiniai.
  • Brownas, Brysonas, 2002 m., „Apie parakonsekvenciją“, filosofinės logikos palydovas, Dale Jacquette (red.), Oksfordas: Blackwell, p. 628–650. doI: 10.1002 / 9780470996751.ch40
  • Brownas, Brysonas ir Grahamas Priestas, 2004 m., „Chunk and Permeate: Paraconsistent Inference Strategy. 1 dalis: Begalinis skaičiavimas “, Žurnalas apie filosofinę logiką, 33 (4): 379–388. doi: 10.1023 / B: LOGI.0000036831.48866.12
  • –––, 2015 m., „Riekė ir permeatas II: Bohro vandenilio atomas“, Europos mokslo filosofijos žurnalas, 5 (3): 297–314.
  • Chomsky, Noam, 1995, Minimalist Program, Cambridge, MA: MIT Press.
  • Carnielli, Walter A. ir Marcelo Esteban Coniglio, 2016, Parakonsistentinė logika: nuoseklumas, prieštaravimas ir neigimas, Dordrecht: Springeris. doi: 10.1007 / 978-3-319-33205-5
  • Carnielli, Walteris A., Marcelo E. Coniglio ir João Marcosas, 2007 m., „Formalaus nenuoseklumo logika“, Filosofinės logikos vadove, 14 tomas (antrasis leidimas), Dov M. Gabbay ir Franz Guenthner (red.), Berlynas: „Springer“, p. 15–107. doi: 10.1007 / 978-1-4020-6324-4_1
  • Carnielli, Walteris A., M. Coniglio ir Itala Maria Lof D'ottaviano (red.), 2002 m., Parakonsekvencija: loginis kelias į nenuoseklųjį (paskaitų užrašai grynojoje ir taikomojoje matematikoje: 228 tomas), Boca Raton: CRC Press. [Antrojo pasaulinio kongreso darbai]
  • da Costa, Newton, CA, 1974 m., „Dėl nenuoseklių formalių sistemų teorijos“, Notre Dame Journal of Formal Logic, 15 (4): 497–510. doi: 10.1305 / ndjfl / 1093891487
  • da Costa, Newton, CA ir EH Alves, 1977 m., „Skaičiuoklių semantinė analizė ({ bf C} _ {n})“, Notre Dame Journal of Formal Logic, 18 (4): 621–630. doi: 10.1305 / ndjfl / 1093888132
  • da Costa, Newton, CA ir L. Dubikajtis, 1977 m., „Apie Jaśkowskio diskusinę logiką“, Arruda ir kt. 1977: 37–56. doi: 10.1016 / S0049-237X (08) 70644-X
  • da Costa, Newton CA, VS Subrahmanian ir Carlo Vago, 1991, „Paraconsistent logika (mathrm {P} mathcal {T} “), Zeitschrift für Mathematische Logic und Grundlangen der Mathematik, 37 (9–12).: 139–148. doi: 10.1002 / malq.19910370903
  • Dunn, J. Michaelas, 1976 m., „Intuityvioji pirmojo laipsnio semantika ir„ susieti medžiai ““, Filosofijos studijos, 29 (3): 149–68. doi: 10.1007 / BF00373152
  • Dunn, J. Michael ir Greg Restall, 2002, „Svarbumo logika“, Filosofinės logikos vadovas, 6 tomas, antrasis leidimas, Dov M. Gabbay ir Franz Guenthner (red.), Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, p. 1–136..
  • Dunne, John D., 2004, Dharmakīrti filosofijos pagrindai, Bostonas: Išminties publikacijos.
  • Fine, rinkinys, 1974 m., „Pavyzdžiai“, „Philosophical Logic Journal“, 3 (4): 347–372. doi: 10.1007 / BF00257480
  • Girard, Patrick ir Koji Tanaka, 2016 m., „Paraconsistent Dynamics“, Synthese, 193 (1): 1–14. doi: 10.1007 / s11229-015-0740-2
  • Halldén, Sören, 1949 m., Nesąmonių logika, Upsala: A.-B. Lundequistska Bokhandeln.
  • Hyde, Dominic, 1997, „Nuo krūvos ir tarpelių iki žarnų krūvos“, Mind, 106 (424): 641–660. doi: 10.1093 / mind / 106.424.641
  • Jaśkowski, Stanisław, 1948 m. [1969], „Rachunek zdań dla systemów dedukcyjnych sprzecznych“, „Studia Societatis Scientiarum Torunensi“(Sectio A), 1 (5): 55–77; vertimas į anglų kalbą pasirodė kaip „Propozicinis paskaičiavimas prieštaringoms dedukcinėms sistemoms“, „Studia Logica“, 24 (1969): 143–157. (Atnaujintas J. Perzanowskio vertimas pasirodė 1999 m. Kaip „Propozicinis nenuoseklių dedukcinių sistemų skaičiavimas“, Logika ir loginė filosofija, 7: 35–56.
  • ––– 1949 m. [1999 m.], „O koniunkcji dyskusyjnej w rachunku zdań dla systemów dedukcyjnych sprzecznych“, „Studia Societatis Scientiarum Torunensis“(Sectio A), 1 (8): 171–172; vertimas į anglų kalbą pasirodė kaip „Dėl nenuoseklių dedukcinių sistemų siūlomos sąvado aptarimo“, Logika ir loginė filosofija, 7 (1999): 57–59.
  • Kamide, Norihiro ir Heinrichas Wansingas, 2012 m., „Nelsono parakonsistentiškos logikos įrodinėjimo teorija: vienoda perspektyva“, teorinė informatika, 415: 1–38. doi: 10.1016 / j.tcs.2011.11.001
  • Libertas, Thiery, 2005 m., „Parakonsistentiškos rinkinio teorijos modeliai“, Taikomosios logikos žurnalas, 3 (1): 15–41. doi: 10.1016 / j.jal.2004.07.010
  • Loparic, A., 1977 m., „Utenétu semantique de quelques calculs propositionnels“, Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Academie des Sciences, 284: 835–838.
  • Łukasiewicz, 1951 m. Sausis, Aristotelio filologija: šiuolaikinės formaliosios logikos požiūriu, Oksfordas: Oxford University Press.
  • Mares, Edwin D., 2004 m., „Keturių reikšmių“reikšmingos logikos semantika R “, žurnalas„ Philosophical Logic “, 33 (3): 327–341. doi: 10.1023 / B: LOGI.0000031375.18295.30
  • Martin, Christopher J., 1986, „William's Machine“, Journal of Philosophy, 83 (10): 564–572. doi: 10.2307 / 2026432
  • ––– 1987 m., „Nepatogūs argumentai ir stulbinančios išvados sąlyginio vystymosi teorijose dvyliktajame amžiuje“, Gilbert De Poitiers et Ses Contemporains, J. Jolivet, A. De Libera (red.), Napolis: Bibliopolis, pp 377–401.
  • –––, 1996 m., „Neįmanoma pozityva kaip metafizikos pamatas ar logika škotų plane?“, Vestigija, Įsivaizduok, Verba: Semiotika ir logika viduramžių teologiniuose tekstuose, C. Marmo (red.), Turnhout: Brepols, 255–276 psl.
  • McGinnis, Nicholas D., 2013 m., „Netikėtas parakonsistentiškos logikos pritaikymas: Chomskio kelias į dialetheizmą“, Mokslo pagrindai, 18 (4): 625–640. doi: 10.1007 / s10699-012-9294-7
  • McKubre-Jordens, Maarten ir Zach Weber, 2011 m., „Tikroji analizė paraconsistentinėje logikoje“, Journal of Philosophical Logic, 41 (5): 901–922. doi: 10.1007 / s10992-011-9210-6
  • Michaelas, Michaelis, 2016 m., „Dėl„ aiškiausio “parakonsistentiškos logikos argumento“, Synthese, 193 (10): 3347–3362. doi: 10.1007 / s11229-015-0935-6
  • Mortensenas, Chrisas, 1995 m., Nenuosekli matematika, Dordrechtas: Kluverio akademinė leidykla.
  • Omori, Hitoshi, 2015 m., „Pastabos apie naivią rinkinio teoriją remiantis LP“, Simbolinės logikos apžvalga, 8 (2): 279–295. doi: 10.1017 / S1755020314000525
  • „Omori“, Hitoshi ir Jesse Alama, būsimasis „Jaškovskio diskusinės logikos D2 aksiomatizacija“, „Studia Logica“, pirmą kartą prisijungęs 2018 m. Vasario 10 d. Doi: 10.1007 / s1122.
  • Priest, Graham, 1979 m., „Paradokso logika“, „Philosophical Logic Journal“, 8 (1): 219–241. doi: 10.1007 / BF00258428
  • –––, 1987 m., Priešingai: Transkonsistencijos tyrimas, Dordrecht: Martinus Nijhoff; antrasis leidimas, Oksfordas: Oxford University Press, 2006 m.
  • –––, 2001 m., „Paraconsistent Belief Revision“, Theoria, 67 (3): 214–228. doi: 10.1111 / j.1755-2567.2001.tb00204.x
  • –––, 2002 m., „Parakonsistentinė logika“, „Filosofinės logikos vadovo“antrasis leidimas, 6 tomas, Dov M. Gabbay ir Franz Guenthner (red.), Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, p. 287–393.
  • ––– 2003 m., „Nenuoseklus aritmetika: techniniai ir filosofiniai klausimai“, atsižvelgiant į logikos tendencijas: „Studia Logica“(Studia Logica biblioteka, 21 tomas) 50 metų, VF Hendricks ir J. Malinowski (red.), Dordrecht: Kluwer Academic Leidėjai, p. 273–99.
  • ––– 2007 m., „Parakonsekvencija ir dialeteizmas“, Logikos istorijos vadovėlyje, 8 tomas, D. Gabbay ir J. Woods (red.), Amsterdamas: Šiaurės Olandija, p. 129–204.
  • Kunigas, Grahamas, JC Beall ir Bradley Armor-Garb (red. Past.), 2004 m., Neprieštaravimo įstatymas, Oksfordas: Oxford University Press. doi: 10.1093 / acprof: oso / 9780199265176.001.0001
  • Kunigas, Grahamas, Richardas Routley ir Jeanas Normanas (red.), 1989 m., Parakonsistentinė logika: esė apie nenuoseklųjį, Miunchenas: Philosophia Verlag.
  • Priest, Graham ir Richard Sylvan, 1992, „Supaprastinta pagrindinės logikos semantika“, Žurnalas apie filosofinę logiką, 21 (2): 217–232. doi: 10.1007 / BF00248640
  • Rescheris, Nikolajaus ir Rūtos dvaras, 1970 m., „Dėl išvadų iš nenuoseklių patalpų“, teorija ir sprendimas, 1 (2): 179–217. doi: 10.1007 / BF00154005
  • Restall, Gregas, 1993 m., „Supaprastinta svarbios logikos (ir kai kurių jų konkurentų) semantika“, žurnalas „Philosophical Logic“, 22 (5): 481–511. doi: 10.1007 / BF01349561
  • ––– 1995 m., „Keturių reikšmių logikos (ir kai kurių jų konkurentų) semantika“, „Philosophical Logic“žurnalas, 24 (2): 139–160. doi: 10.1007 / BF01048529
  • Restall, Greg ir John Slaney, 1995 m., „Realistinė įsitikinimų peržiūra“, Antrosios pasaulinės konferencijos dirbtinio intelekto pagrindai medžiaga, M. De Glas ir Z. Pawlak (red.), Paryžius: Angkor, p. 367–378..
  • Ripley, Davidas, 2011, „Prieštaravimai pasienyje“, R. Nouwenas, R. van Rooij, U. Sauerland ir H.-C. Schmitzas (red. Past.), Neaiškus bendravimas, Dordrecht: Springer, p. 169–188. doi: 10.1007 / 978-3-642-18446-8_10
  • Routley, Richardas ir Robertas K. Meyeris, 1993, „Įtakos semantika“, tiesa, sintaksė ir modalumas, H. Leblanc (red.), Amsterdamas: Šiaurės Olandija, p. 194–243.
  • Routley, Richardas, Val Plumwood, Robertas K. Meyeris ir Rossas T. Brady, 1982 m., „Svarbi logika ir jų konkurentai“, 1 tomas, „Ridgeview“: „Atascadero“.
  • Routley, Richardas ir Val Routley, 1972 m., „Pirmojo laipsnio prigimties semantika“, Noûs, 6 (4): 335–359. doi: 10.2307 / 2214309
  • Schotch, PK ir RE Jennings, 1980 m., „Išvada ir būtinumas“, žurnalas „Philosophical Logic“, 9 (3): 327–340. doi: 10.1007 / BF00248398
  • Schotchas, Peteris, Brysonas Brownas ir Raymondas Jenningsas (red. Past.), 2009 m., „Išsaugojimas: Eserijos apie konservatyvizmą ir parakonsistencinę logiką“, Torontas: „Toronto University Press“.
  • „Smiley TJ“, 1959 m., „Įsitraukimas ir atskaitomybė“, Aristotelio draugijos leidinys, 59: 233–254.
  • Subrahmanian, VS, 1987, „Dėl kokybinių loginių programų semantikos“, Proc. 4-asis IEEE simpas. Loginis programavimas, San Franciskas, Kalifornija: IEEE Computer Society Press, 178–182.
  • Sylvanas, Ričardas, 2000 m., „Preliminary Western History of Socociative Logics“, Socialinė logika ir jų pritaikymas: Vėliojo Ričardo Sylvano, Dominic Hyde ir Graham Priest esė (red.), Aldershot: Ashgate Publishers.
  • Tanaka, Koji, 2003 m., „Trys parakonsekvencijos mokyklos“, „Australasian Logic Journal“, 1: 28–42.
  • ––– 2005 m., „AGM teorija ir nenuoseklūs įsitikinimų pokyčiai“, Logique ir Analyze, 48 (189–192): 113–150. [„Tanaka 2005“galima rasti internete]
  • „Tanaka“, „Koji“, Francesco Berto, Edwinas Maresas ir Francesco Paoli (red.), 2013 m., Parakonsistencija: logika ir programos (logika, epistemologija ir mokslo vienybė 26), Dordrechtas: „Springeris“. doi: 10.1007 / 978-94-007-4438-7 [Ketvirtojo pasaulinio kongreso darbai]
  • „Tillemans“, Tomas JF, 1999, Raštas, logika, kalba: esė apie Dharmakirti ir jo Tibeto įpėdinius, Bostonas: Išminties publikacijos.
  • Urquhart, Alasdair, 1972 m., „Atitinkamos logikos semantika“, Žurnalas „Symbolic Logic“, 37 (1): 159–169. doi: 10.2307 / 2272559
  • Verdée, Peteris, 2013 m., „Tvirta, universali ir, tikėtina, ne trivialioji rinkinio teorija adaptyviosios logikos priemonėmis“, IGPL logikos žurnalas, 21 (1): 108–125. doi: 10.1093 / jigpal / jzs025
  • Weberis, Zachas, 2010a, „Paraconsistentinis neaiškumo modelis“, Mind, 119 (476): 1025–1045. doi: 10.1093 / mind / fzq071
  • ––– 2010b, „Transfinite numeriai paraconsistentų rinkinių teorijoje“, Simbolinės logikos apžvalga, 3 (1): 71–92. doi: 10.1017 / S1755020309990281
  • ––– 2012 m., „Transfinite Cardinals in Paraconsistent Set Theory“, Simbolinės logikos apžvalga, 5 (2): 269–293. doi: 10.1017 / S1755020312000019

Pasaulio parakonsekvencijos tomų kongresas

  • [Pirmasis kongresas] Batensas, Diderikas, Chrisas Mortensenas, Grahamas Priestas ir Jean-Paul van Bendegem (red.), 2000 m., Paraconsistent Logic Frontiers (Studies in Logic and Computation 8), Baldock, Anglija: Research Studies Press.
  • [Antrasis kongresas] Carnielli, Walteris A., M. Coniglio ir Itala Maria Lof D'ottaviano (red.), 2002 m., Parakonsekvencija: loginis kelias į nenuoseklųjį (Paskaitų užrašai grynojoje ir taikomojoje matematikoje: 228 tomas), Boca Ratonas: „CRC Press“.
  • [Trečiasis kongresas] Beziau, Jean-Yves, Walter A. Carnielli ir Dov M. Gabbay (red.), 2007 m., Parakonsistencingumo vadovas (Studies in Logic 9), Londonas: College Publications.
  • [Ketvirtasis kongresas] Tanaka, Koji, Francesco Berto, Edwinas Maresas ir Francesco Paoli (red.), 2013 m., Parakonsistencija: logika ir programos (logika, epistemologija ir mokslo vienybė 26), Dordrecht: Springeris. doi: 10.1007 / 978-94-007-4438-7
  • [Penktasis kongresas] Beziau, Jean-Yves, Mihir Chakraborty ir Soma Dutta (red.), 2015 m., Naujos kryptys paraconsistentinėje logikoje, Dordrecht: Springeris. doi: 10.1007 / 978-81-322-2719-9

Akademinės priemonės

sep vyro ikona
sep vyro ikona
Kaip pacituoti šį įrašą.
sep vyro ikona
sep vyro ikona
Peržiūrėkite šio įrašo PDF versiją „Friends of the SEP“draugijoje.
info piktograma
info piktograma
Ieškokite šios įrašo temos interneto filosofijos ontologijos projekte (InPhO).
„Phil Papers“piktograma
„Phil Papers“piktograma
Patobulinta šio įrašo „PhilPapers“bibliografija su nuorodomis į jo duomenų bazę.

Kiti interneto šaltiniai

  • Pirmasis pasaulinis parakonsekvencijos kongresas
  • Antrasis pasaulinis parakonsekvencijos kongresas
  • Trečiasis pasaulio parakonsekvencijos kongresas
  • Ketvirtasis pasaulio parakonsekvencijos kongresas
  • Penktasis pasaulio parakonsekvencijos kongresas

Rekomenduojama: