Atitikimo Logika

Turinys:

Atitikimo Logika
Atitikimo Logika

Video: Atitikimo Logika

Video: Atitikimo Logika
Video: Geležinkelio produkcijos atitikties vertinimo centras 2024, Kovo
Anonim

Įėjimas Navigacija

  • Įstojimo turinys
  • Bibliografija
  • Akademinės priemonės
  • Draugai PDF peržiūra
  • Informacija apie autorius ir citata
  • Atgal į viršų

Atitikimo logika

Pirmą kartą paskelbta 1998 m. Birželio 17 d., Trečiadienis; esminė peržiūra 2012 m. kovo 26 d

Atitikimo logika yra ne klasikinė logika. Britanijoje ir Australazijoje vadinamos „atitinkama logika“, šios sistemos vystėsi kaip bandymas išvengti materialinių paradoksų ir griežto implikavimo. Šie vadinamieji paradoksai yra pagrįstos išvados, kurios išplaukia iš materialios ir griežtos implikacijos apibrėžimų, tačiau kai kurių nuomone, yra problemiškos.

Pavyzdžiui, reikšmė medžiagai (p → q) yra teisinga, kai p yra klaidinga arba q yra teisinga, ty (¬ p ∨ q). Taigi, jei p yra tiesa, tada materiali reikšmė yra teisinga, kai q yra tiesa. Tarp materialinio impulsų paradoksų yra šie:

  • p → (q → p).
  • ¬ p → (p → q).
  • (p → q) ∨ (q → r).

Pirmasis tvirtina, kad kiekvienas teiginys suponuoja tikrą; antrasis, kad klaidingas teiginys reiškia kiekvieną teiginį, ir trečiasis, kad kiekvienam iš trijų teiginių pirmasis reiškia antrą, arba antrasis reiškia trečiąjį.

Panašiai, griežta implikacija (p → q) yra teisinga, kai neįmanoma, kad p yra teisinga, o q yra klaidinga, ty ¬ ◇ (p & q). Tarp griežto numanymo paradoksų yra šie:

  • (p & ¬ p) → q.
  • p → (q → q).
  • p → (q ∨ ¬ q).

Pirmasis tvirtina, kad prieštaravimas griežtai suponuoja kiekvieną teiginį; antrasis ir trečiasis reiškia, kad kiekvienas teiginys griežtai reiškia tautologiją.

Daugelis filosofų, pradedant Hugh MacColl (1908), teigė, kad šios tezės yra priešintuityvios. Jie tvirtina, kad šios formulės negalioja, jei → 1 aiškiname kaip implikacijos sąvoką, kurią turime prieš išmokdami klasikinę logiką. Tinkamumo logikai tvirtina, kad dėl šitų vadinamųjų paradoksų kelia nerimą tai, kad kiekviename iš jų protėvis atrodo nesvarbus su pasekme.

Be to, atitikties logikai turėjo žinių apie tam tikras išvadas, kurias daro pagrįstą klasikinė logika. Pvz., Apsvarstykite klasikiniu požiūriu pagrįstą išvadą

Mėnulis pagamintas iš žaliojo sūrio. Todėl arba Ekvadore dabar lyja, arba nėra.

Panašu, kad čia vėl trūksta aktualumo. Atrodo, kad išvada neturi nieko bendra su prielaida. Tinkamumo logikai bandė sukurti logiką, atmetančią tezes ir argumentus, kurie daro „svarbius klaidingumus“.

Atitinkami logikai pabrėžia, kad kai kuriems paradoksams (ir klaidingiems dalykams) negerai yra tai, kad prieštaravimai ir pasekmės (arba prielaidos ir išvados) yra visiškai skirtingos temos. Vis dėlto temos sąvoka, atrodo, nėra kažkas, kuo turėtų domėtis logikas, - ji turi būti susijusi su sakinio turiniu, o ne su forma, ar išvadomis. Tačiau yra oficialus principas, kad atitinkami logikai taiko jėgos teoremas ir išvadas, kad „liktų prie temos“. Tai kintamojo pasidalijimo principas. Kintamojo pasidalijimo principas sako, kad jokia A → B formos formulė negali būti įrodyta atitikties logika, jei A ir B neturi bent vieno pasiūlymo kintamojo (kartais vadinamo pasiūlymo raide) ir jei negalima daryti išvados, kad jis yra teisingas jei prielaidose ir išvadoje nėra bent vieno pasiūlymo kintamojo.

Šiuo metu natūrali painiava dėl to, ką bando padaryti atitinkami logistai. Kintamojo pasidalijimo principas yra tik būtina sąlyga, kad logika turi būti laikoma aktualumo logika. Nepakanka. Be to, šis principas nesuteikia mums kriterijaus, kuris pašalintų visus paradoksus ir klaidas. Kai kurie išlieka paradoksalūs ar klaidingi, net jei tenkinami kintamieji. Tačiau, kaip matysime, tinkama logika pateikia mums realios patalpų naudojimo įrodymų sąvoką (žr. Skyrių „Įrodymų teorija“žemiau), tačiau ji pati savaime nenurodo, kas laikoma tikra. (ir svarbi) reikšmė. Tik tada, kai formali teorija yra suderinta su filosofiniu aiškinimu, ji gali tai padaryti (žr. Skyrių „Atitinkamos implikacijos semantika“).

Šiame straipsnyje pateiksime trumpą ir gana netechninę aktualumo logikos apžvalgą.

  • 1. Atitinkamos implikacijos semantika
  • 2. Neigimo semantika
  • 3. Įrodymų teorija
  • 4. Aktualumo logikos sistemos
  • 5. Aktualumo logikos programos
  • Bibliografija

    • Knygos apie aktualumo logiką ir įvadus į lauką:
    • Kiti cituojami darbai:
  • Akademinės priemonės
  • Kiti interneto šaltiniai
  • Susiję įrašai

1. Atitinkamos implikacijos semantika

Mūsų atitinkamos logikos ekspozicija yra atgręžta į labiausiai paplitusią literatūroje. Pradėsime, o ne baigsime semantika, nes dauguma filosofų šiuo metu yra semantiškai linkę.

Semantika, kurią aš čia pateikiu, yra Richardo Routley ir Roberto K. Meyerio trišalė ryšių semantika. Ši semantika yra Alasdairo Urquharto „pusiau gardelės semantikos“(Urquhart 1972) plėtra. Yra panaši semantika (kuri taip pat grindžiama Urquharto idėjomis) dėl Kit Fine, kuri buvo plėtojama tuo pat metu kaip ir Routley-Meyer teorija (Fine 1974). Yra ir algebrinė semantika dėl J. Michaelio Dunno. „Urquhart“, „Fine“ir „Dunn“modeliai patys savaime yra labai įdomūs, tačiau mes neturime vietos jų aptarti.

Trijų santykių semantikos idėja yra gana paprasta. Apsvarstykite CI Lewiso bandymą išvengti materialinio impulsų paradoksų. Jis pridėjo naują jungtį prie klasikinės logikos, griežtos implikacijos. Po Kripkean'o semantine prasme A ⊰ B yra tiesa w pasaulyje, jei ir tik tada, kai visoms w 'toms, kurios w' yra prieinamos w, A arba W nepavyksta ', arba B jas gauna. Dabar Kripke'o modalinės logikos semantikoje prieinamumo santykis yra dvejetainis. Jis telpa tarp pasaulių porų. Deja, tinkamu požiūriu griežtos implikacijos teorija vis dar neturi reikšmės. Tai yra, mes vis dar sudarome tinkamas formules, tokias kaip p ⊰ (q ⊰ q). Mes gana lengvai matome, kad Kripke tiesos sąlyga verčia mus šią formulę.

Kaip ir modalinės logikos semantika, atitikimo logika semantika atkuria formulių tiesą pasauliams. Tačiau Routley ir Meyeris geriau pažįsta modinę logiką ir naudojasi trijų vietų santykiais pasauliuose. Tai leidžia egzistuoti pasauliams, kuriuose q → q žlunga, ir tai savo ruožtu leidžia pasauliams, kuriuose p → (q → q) sutrinka. Jų tiesos sąlyga → šiai semantikai yra tokia:

A → B tiesa pasaulyje a, jei ir tik tada, kai visuose b ir c pasauliuose Rabc (R yra prieinamumo santykis) arba A yra klaidingas b punkte, arba B yra teisingas c punkte.

Žmonėms, naujiems lauke, reikia šiek tiek laiko, kad priprastų prie šios tiesos būklės. Bet turint nedaug darbo, galima manyti, kad tai tik Kripke'io tiesos sąlygos apibendrinimas griežtai implikuojant (tiesiog nustatykite b = c).

Trijų santykių semantika gali būti pritaikyta plačios logikos spektro semantikai. Įdėjus skirtingus apribojimus santykiui, gaunamos skirtingos formulės ir išvados. Pvz., Jei mes suvaržome santykį taip, kad Raaa turi visus pasaulius a, tada padarome teisingą, kad jei (A → B) & A yra tiesa pasaulyje, tada B taip pat yra teisinga ten. Atsižvelgiant į kitas Routley-Meyer semantikos ypatybes, tai reiškia, kad disertacija ((A → B) ir A) → B yra teisinga. Jei mes padarysime trijų dalių santykį simetrišką pirmosiose jo dviejose vietose, tai yra, mes jį suvaržysime taip, kad visiems a, b ir c pasauliams, jei Rabc, tada Rbac, galiojame tezė A → (((A → B)) → B).

Trijų komponentų prieinamumo ryšiui reikia filosofinio aiškinimo, kad atitinkamam implikacijai būtų suteikta tikroji šios semantikos prasmė. Neseniai buvo sukurtos trys interpretacijos, pagrįstos teorijomis apie informacijos pobūdį. Vienas iš trišalio santykio aiškinimų dėl Dunn'o plėtoja Urquharto pusiau gardelės semantikos idėją. Urquharto semantikoje, užuot traktavus indeksus kaip įmanomus (ar neįmanomus) pasaulius, jie laikomi informacijos elementais. Pusiau gardelės semantikoje operatorius ° sujungia dviejų būsenų informaciją - a ° b yra informacijos a ir b derinys. „Routley-Meyer“semantikoje nėra derinio ar „suliejimo“operatoriaus pasauliuose, tačiau mes galime gauti jo apytikslį, naudodamiesi trinariu santykiu. Skaitydamas Dunną,„Rabc“sako, kad „informacijos būsenų a ir b derinys yra informacijos būsenoje c“(Dunn 1986).

Kitas aiškinimas siūlomas Jon Barwise (1993) ir išplėtotas Restall (1996). Šiuo požiūriu pasauliai yra laikomi informacijos teorinėmis „svetainėmis“ir „kanalais“. Svetainė yra kontekstas, kuriame gaunama informacija, o kanalas yra kanalas, per kurį perduodama informacija. Taigi, pavyzdžiui, kai BBC naujienos pasirodo per televizorių mano gyvenamajame kambaryje, gyvenamąjį kambarį galime laikyti svetaine, o laidus, palydovus ir pan., Kurie jungia mano televizorių prie Londono studijos, kanalą. Naudodamiesi kanalų teorija aiškindami Routley-Meyer semantiką, imame Rabc reikšti, kad a yra informacijos teorinis kanalas tarp b ir c vietų. Taigi, mes manome, kad A → B yra teisingi tuo atveju, kai ir tik tada, kai jungiantis svetainę b, kurioje A yra, su vieta c, B gauna ties tašku c.

Panašiai Maresas (1997) naudojasi Davido Izraelio ir Johno Perry (1990) informacijos teorija. Be kitos informacijos, pasaulyje yra ir informacinių nuorodų, tokių kaip gamtos įstatymai, konvencijos ir pan. Pavyzdžiui, Niutono pasaulyje bus informacijos, kad visa materija traukia visus kitus dalykus. Informacijos teorijos prasme šiame pasaulyje yra informacijos, kad du daiktai, būdami materialūs, neša informaciją, kad jie traukia vienas kitą. Remdamasis šiuo požiūriu, Rabc tik tada, kai, remiantis nuorodomis a punkte, visa informacija, kurią gauna b punktas, yra c. Taigi, pavyzdžiui, jei a yra niutono pasaulis ir informacija, kad x ir y yra materialūs, yra b punkte, tada informacija, kuri x ir y traukia vienas kitą, yra c.

Kitas aiškinimas pateiktas Mares (2004). Šis aiškinimas reiškia, kad Routley-Meyer semantika yra „esančios implikacijos“sąvokos įforminimas. Dėl šio aiškinimo Routley-Meyer semantikos „pasauliai“tampa situacijomis. Situacija yra galbūt dalinis visatos vaizdavimas. Informacija, esanti dviejose situacijose, a ir b, gali mums leisti daryti papildomą informaciją apie visatą, esančią nė vienoje iš situacijų. Taigi, tarkime, pavyzdžiui, dabartinėje situacijoje turime informacijos, esančios bendrojo reliatyvumo teorijos įstatymuose (tai yra Einšteino sunkio teorija). Tada mes hipotezuojame situaciją, kurioje galime pamatyti žvaigždę, judančią elipsėje. Tada, remiantis turima informacija ir hipoteze,galime daryti išvadą, kad yra situacija, kai šiai žvaigždei veikia labai sunkus kūnas.

Galime modeliuoti išsidėsčiusias situacijas, naudodamiesi santykiu I („implikacijai“). Tada mes turime „IabP“, kur P yra teiginys, jei ir tik tuo atveju, jei a ir b informacija kartu leidžia daryti išvadą, kad egzistuoja situacija, kurioje yra P. Mes galime galvoti apie patį pasiūlymą kaip situacijų rinkinį. Mes nustatome, kad A → B laikytųsi tada ir tik tada, kai visose situacijose b, kuriose A yra, Iab | B |, kur | B | yra situacijų, kuriose B tiesa, rinkinys. Mes nustatėme, kad Rabc laikytųsi tada ir tik tada, kai c priklauso kiekvienam teiginiui P, tokiu kaip IabP. Pridėjus postulatą, kad bet kokiam teiginių rinkiniui P, pvz., „IabP“, to rinkinio X sankirtos taškas yra „IabX“, mes pastebime, kad padariniai, kurie bet kurioje situacijoje yra įgyvendinami naudojant tiesą, kuri kreipiasi į mane, yra tuos pačius, kuriuos paverčia Routley-Meyer tiesos sąlyga. Taigi vietos padėties sąvoka suteikia galimybę suprasti Routley-Meyer semantiką. (Tai labai trumpa diskusijos apie išsidėstymą, esančią Mareso (2004) 2 ir 3 skyriuose, versija.)

Vien tik trišalio ryšio panaudojimas nėra pakankamas, kad būtų išvengta visų implikacijos paradoksų. Atsižvelgiant į tai, ką kalbėjome iki šiol, neaišku, kaip semantika gali išvengti tokių paradoksų kaip (p & ¬ p) → q ir p → (q ∨¬ q). Šių paradoksų išvengiama įtraukiant nenuoseklų ir ne dvivalentį pasaulį į semantiką. Nes, jei nebūtų pasaulių, kuriuose yra p & ¬ p, tada, remiantis mūsų tiesos rodyklės sąlyga, (p & ¬ p) → q taip pat būtų visur. Panašiai, jei q ∨¬ q vyksta kiekviename pasaulyje, tada p → (q ∨¬ q) būtų visuotinai teisinga.

Routley ir Loparic (1978) bei Priest (1992) ir (2008) pateikia požiūrį į aktualumą, kuriam nereikia trejopo ryšio. Šioje semantikoje naudojamas pasaulių rinkinys ir dvejetainis ryšys S. Pasauliai yra suskirstyti į dvi kategorijas: normalius pasaulius ir nenormalius pasaulius. Įtaka A → B yra teisinga normaliame pasaulyje, jei ir tik tuo atveju, jei visuose b pasauliuose, jei A yra tiesa ties b, tada B taip pat teisinga ties b. Normaliuose pasauliuose tiesos reikšmės reikšmės yra atsitiktinės. Kai kurie gali būti teisingi, o kiti klaidingi. Formulė galioja tada ir tik tada, jei ji tinka kiekvienam tokiam modeliui įprastame pasaulyje. Šis pasaulių suskirstymas į normalų ir ne normalų, o atsitiktinių tiesų reikšmių panaudojimas ne normaliuose pasauliuose leidžia mums rasti priešmodelius tokioms formulėms kaip p → (q → q).

Kunigas interpretuoja nenormalius pasaulius kaip pasaulius, kurie atitinka „logikos fikcijas“. Mokslinėje fantastikoje gamtos dėsniai gali būti kitokie nei mūsų visatoje. Taip pat loginėje fantastikoje logikos dėsniai gali skirtis nuo mūsų įstatymų. Pvz., A → A gali būti netiesa tam tikroje loginėje fantastikoje. Pasauliai, kuriuos apibūdina tokios fikcijos, yra ne normalūs pasauliai.

Viena iš semantikos, neturinčios trišakio santykio, problema yra ta, kad sunku ją apibūdinti kuo įvairesnėmis loginėmis sistemomis, kaip tai galima padaryti atliekant trišalį ryšį. Be to, šios semantikos nulemta logika yra gana silpna. Pavyzdžiui, jie neturi teoremos implikacijos pernešamumo - ((A → B) & (B → C)) → (A → C).

Kaip ir trišalė santykių semantika, ši semantika reikalauja, kad kai kurie pasauliai būtų nenuoseklūs, o kiti - ne dvivalentiai.

2. Neigimo semantika

Nebivalentiškų ir nenuoseklių pasaulių naudojimui neigimui reikia ne klasikinės tiesos. Aštuntojo dešimtmečio pradžioje Ričardas ir Val Routley išrado savo „žvaigždės operatorių“, kad gydytų neigimą. Operatorius yra pasaulių operatorius. Kiekviename pasaulyje yra pasaulis a *. Ir

¬A teisinga, jei ir tik tada, kai A yra klaidinga, *.

Dar kartą mums sunku interpretuoti dalį formaliosios semantikos. Viena Routley žvaigždės interpretacija yra Dunno (1993) interpretacija. Dunnas naudoja dvejetainį C santykį pasauliuose. Kabina reiškia, kad b yra suderinama su a. a *, tada yra maksimalus pasaulis (pasaulis, kuriame yra daugiausia informacijos), suderinamas su.

Yra ir kita neigimo semantika. Viena, dėl Dunn ir kurią sukūrė Routley, yra keturių vertybių semantika. Ši semantika nagrinėjama parakonsistentinės logikos įraše. Kitus neigimo būdus, iš kurių kai kurie buvo naudojami atitinkamai logikai, galima rasti Wansing (2001).

3. Įrodymų teorija

Dabar egzistuoja daugybė skirtingų logikų įrodinėjimo teorijos metodų. Gregory Mintso (1972) ir JM Dunn'o (1973) sukurtas loginis fragmentas R yra neigiamas ir yra elegantiškas ir labai bendras požiūris, pavadintas „Ekrano logika“, kurį sukūrė Nuelis Belnapas (1982). Pirmąjį skaitykite papildomame dokumente:

Logika R

Bet čia nagrinėsiu tik natūralų atitinkamos logikos R išskaičiavimo sistemą dėl Andersono ir Belnapo.

Natūrali Andersono ir Belnapo dedukcijos sistema pagrįsta klasikinės ir intuicionistinės logikos natūralių „Fitch“dedukcijų sistemomis. Lengviausias būdas suprasti šią techniką yra žiūrint į pavyzdį.

1. {1} Hip
2. (A → B) {2} Hip
3. B {1,2} 1,2, → E

Tai paprastas modus ponens atvejis. Skaičiai, pateikti skliausteliuose, rodo hipotezes, naudojamas formulei įrodyti. Mes juos vadinsime „indeksais“. Išvados indeksai parodo, kokios hipotezės iš tikrųjų naudojamos išvados išvedimui. Toliau pateiktame „įrodyme“antroji prielaida iš tikrųjų nenaudojama:

1. {1} Hip
2. B {2} Hip
3. (A → B) {3} Hip
4. B {1,3} 1,3, → E

Šis „įrodymas“iš tikrųjų tik parodo, kad išvados iš A ir A → B į B yra tinkamos. Kadangi skaičius 2 nerodomas išvados poraštyje, antroji „prielaida“tikrai nelaikoma prielaida.

Panašiai, kai implikacija įrodyta tinkamai, išvados įrodymui tikrai turi būti naudojama ankstesnio asmens prielaida. Čia yra užuominos įrodymo pavyzdys:

1. {1} Hip
2. (A → B) {2} Hip
3. B {1,2} 1,2, → E
4. ((A → B) → B) {1} 2,3, → I
5. A → ((A → B) → B) 1,4, → I

Atliekant hipotezę, kaip šio įrodymo 4 ir 5 eilutėse, hipotezės skaičius iš tikrųjų turi atsirasti formulės, kuri turi būti implikacijos pasekmė, pogrupyje.

Dabar gali atrodyti, kad indeksų sistema leidžia nesusijusioms patalpoms prasiskverbti. Vienas iš būdų, kaip gali pasirodyti, kad pažeidimai gali įsibrauti, yra naudojant jungtinio įvedimo taisyklę. T. y., Gali atrodyti, kad visada galime įtraukti nereikšmingą prielaidą, darydami, tarkime, šiuos veiksmus:

1. {1} Hip
2. B {2} Hip
3. (A ir B) {1,2} 1,2, ir aš
4. B {1,2} 3 ir E
5. (B → B) {1} 2,4, → I
6. A → (B → B) 1,5, → I

Svarbumo logikui, pirmoji prielaida čia visiškai netinkama. Norėdami užblokuoti tokius judesius, Andersonas ir Belnapas pateikia šią įvesties taisyklę:

Nuo A i ir B i iki išvadų (A ir B) i.

Ši taisyklė sako, kad prieš sujungiant įvedimo taisyklę, dvi jungiamos formulės turi būti vienodos rodyklės.

Natūralaus išskaičiavimo sistema, be abejo, yra daug daugiau (žr. Anderson ir Belnap 1975 ir Anderson, Belnap ir Dunn 1992), tačiau to užteks mūsų tikslams. Tinkamumo teoriją, kurią užfiksuoja bent keletas atitinkamų logikų, galima suprasti atsižvelgiant į tai, kaip atitinkama natūralios atskaitos sistema fiksuoja realų patalpų naudojimą.

4. Aktualumo logikos sistemos

Atsižvelgiant Anderson ir Belnap darbo centrinės sistemos tinkamumo logika buvo logika El atitinkamos majoratu ir sistemos R atitinkamos netiesiogiai. Dviejų sistemų santykis yra tas, kad E jungiamasis ryšys turėjo būti griežtas (ty būtinas) svarbus implikacija. Norėdami palyginti du, Meyeris pridėjo būtinybės operatorių prie R (loginei NR sukurti). Larisa Maksimova vis dėlto atrado, kad NR ir E yra labai skirtingi - kad yra NR teoremų (natūraliame vertime), kurios nėra E teoremos.. Kai kuriems susijusiems logikams kilo keblumų. Jie turi nuspręsti, ar priimti NR kaip griežtos reikšmingos implikacijos sistemą, ar tvirtinti, kad NR kažkokiu būdu buvo trūkumų ir kad E reiškia griežtų reikšmingų implikacijų sistemą. (Žinoma, jie gali sutikti su abiem sistemomis ir tvirtinti, kad E ir R turi skirtingus ryšius.)

Kita vertus, yra tie, aktualumas logicians, kuris atmeta tiek R ir E. Yra tokių, kaip Arnonas Avronas, kurie priima stipresnę nei R logiką (Avronas 1990). Ir yra tokių, kaip Rossas Brady, Johnas Slaney, Steve'as Giambrone'as, Richardas Sylvanas, Grahamas Priestas, Gregas Restallas ir kiti, kurie pasisakė už silpnesnių nei R ar E sistemų priėmimą. Vienas labai silpna sistema yra logika S Robert Meyer ir Errol Martin. Kaip įrodė Martinas, šioje logikoje nėra A → A formos teoremų. Kitaip tariant, pasak S, nė vienas teiginys nereiškia savęs ir joks formos „A, todėl A“argumentas negalioja. Taigi ši logika nepateisina jokių aplinkraščių argumentų.

Norėdami gauti daugiau informacijos apie šią logiką, žiūrėkite E logikos, R logikos, NR logikos S ir S logikos papildymus.

Tarp silpnesnių sistemų naudai teigiama, kad, skirtingai nei R ar E, daugelis jų yra priimtinos. Kitas kai kurių iš šių silpnesnių logikų bruožas, kuris daro juos patrauklius, yra tas, kad jie gali būti naudojami konstruojant naivią teoriją. Naivi aibės teorija yra aibių teorija, į kurią kaip teorema įtraukiama naivaus supratimo aksioma, ty visoms A (y) formulėms,

∃ x ∀ y (y ∈ x ↔ A (y)).

Komplektinėse teorijose, pagrįstose stipria atitinkama logika, tokiomis kaip E ir R, taip pat klasikinėje aibės teorijoje, jei pridedame naivaus supratimo aksiomą, mes išvis galime išvesti bet kokią formulę. Taigi, naivios teorijos, pagrįstos tokiomis sistemomis kaip E ir R, yra „nereikšmingos“. Čia pateiktas intuityvus naivios teorijos trivialumo įrodymo eskizas, naudojant logikos R išvados principus. Tegul p yra savavališkas teiginys:

1. ∃ x ∀ y (y ∈ x ↔ (y ∈ y → p)) Naivus supratimas
2. ∀ y (y ∈ z ↔ (y ∈ y → p)) 1, egzistencinis momentas
3. z ∈ z ↔ (z ∈ z → p) 2, Visuotinis momentas
4. z ∈ z → (z ∈ z → p) 3, df iš ↔ ir -Eliminacija
5. (z ∈ z → (z ∈ z → p)) → (z ∈ z → p) Susitraukimo aksioma
6. z ∈ z → p 4,5, Modus Ponens
7. (z ∈ z → p)) → z ∈ z 3, df iš ↔ ir -Eliminacija
8. z ∈ z 6,7, Modus Ponens
9. p 6,8, „Modus Ponens“

Taigi mes parodome, kad bet koks savavališkas teiginys yra išplaukiantis iš šios naivios teorijos. Tai liūdnai pagarsėjęs Curry paradoksas. Dėl šio paradokso egzistavimo Grišenas, Brady, Restall, Priest ir kiti atsisakė susitraukimo aksiomos ((A → (A → B)) → (A → B)). Brady parodė, kad pašalindami susitraukimus ir kai kurias kitas pagrindines tezes iš R mes gauname logiką, kuri priima naivų supratimą, netapdama nereikšminga (Brady 2005).

Natūralios išskaitymo sistemos prasme susitraukimas reiškia, kad leidžiama naudoti patalpas daugiau nei vieną kartą. Apsvarstykite šį įrodymą:

1. A → (A → B) {1} Hip
2. A {2} Hip
3. A → B {1,2} 1,2, → E
4. B {1,2} 2,3, → E
5. A → B {1} 2–4, → I
6. (A → (A → B)) → (A → B) 1–5, → I

Tai, kas įgalina susitraukimą, yra tai, kad mūsų prenumeratos yra rinkiniai. Mes nestebime, kiek kartų (daugiau nei vieną kartą) hipotezė naudojama jos išvestyje. Norėdami atmesti susitraukimą, mums reikia būdo, kaip suskaičiuoti hipotezių panaudojimo skaičių. Taigi natūralių dedukcinių sistemų be susitraukimų sistemose vietoj aibių naudojami atitikmenų skaitmenų „daugiapakopiai“- tai yra struktūros, kuriose suskaičiuojamas tam tikro skaičiaus įvykių skaičius, bet ne tokia tvarka, kokia jie atsiranda. Galima sukurti dar silpnesnes sistemas, kurios taip pat stebi hipotezių panaudojimo tvarką (žr. Read 1986 ir Restall 2000).

5. Aktualumo logikos programos

Be motyvuojančių programų, kuriomis siekiama geriau formuluoti mūsų ikimokyklines implikacijos ir įtraukimo sąvokas ir suteikti pagrindą naiviai apibrėžtai teorijai, tinkamumo logika buvo panaudota įvairiems tikslams filosofijoje ir informatikoje. Čia išvardysiu tik keletą.

Remdamasis atitinkama logika, Dunnas sukūrė būdingų ir esminių savybių teoriją. Tai yra jo tinkamo numatymo teorija. Trumpai tariant, daiktas i turi savybę F atitinkamai iff ∀ x (x = i → F (x)). Neoficialiai objektas turi reikšmingą savybę, jei buvimas tuo daiktu reiškia, kad jis turi šią savybę. Kadangi pačios implikacijos pasekmės tiesos savaime nepakanka tos implikacijos tiesai, daiktai gali turėti savybių tiek nereikšmingai, tiek reikšmingai. Atrodo, kad Dunno formuluotė užfiksuoja bent vieną prasmę, kuria mes vartojame vidinės savybės sąvoką. Pridedant kalbą modalumą, galima įforminti esminės savybės, kaip savybės, kuri būtinai ir savaime suprantama, sąvoką (žr. Anderson, Belnap ir Dunn, 1992, §74).

Atitinkama logika buvo naudojama kaip matematinių teorijų, išskyrus nustatytą teoriją, pagrindas. Meyer gaminamas iš Peano aritmetinio variaciją remiantis logika R. Meyeris pateikė galutinį įrodymą, kad jo atitinkama aritmetika neturi teoremos 0 = 1. Taigi Meyeris išsprendė vieną iš svarbiausių Hilberto problemų atitinkamos aritmetikos kontekste; naudodamasis finišo priemonėmis jis parodė, kad atitinkama aritmetika yra absoliučiai nuosekli. Tai daro svarbią Peano aritmetiką nepaprastai įdomia teorija. Deja, kaip parodė Meyeris ir Friedmanas, atitinkamoje aritmetikoje nėra visų klasikinės Peano aritmetikos teoremų. Taigi iš to negalime daryti išvados, kad klasikinė Peano aritmetika yra absoliučiai nuosekli (žr. Meyer ir Friedman 1992).

Andersonas (1967) suformulavo deontinės logikos sistemą, pagrįstą Ro neseniai Mares (1992) ir Lou Goble (1999) naudojo atitikties logiką kaip deontinės logikos pagrindą. Šios sistemos leidžia išvengti kai kurių standartinių problemų, susijusių su labiau tradicine deontine logika. Viena problema, su kuria susiduria standartinė deontinė logika, yra ta, kad jos daro pagrįstą išvadą iš A '' teoremos į OA '' teoremą, kur 'OA' reiškia 'tai turėtų būti A'. Priežastis, dėl kurios kyla ši problema, yra tai, kad dabar įprasta traktuoti deontinę logiką kaip normalią modalinę logiką. Jei standartinė modalinės logikos semantika yra galiojanti, tada ji yra teisinga visuose įmanomuose pasauliuose. Be to, OA yra tiesa pasaulyje tik tada, kai A yra kiekviename pasaulyje, prieinamame. Taigi, jei A yra tinkama formulė, tada taip yra ir OA. Tačiau atrodo kvaila sakyti, kad taip turi būti kiekviena galiojanti formulė. Kodėl taip turi būti, kad dabar Ekvadore lyja, arba nėra? Atitinkamos logikos semantikoje ne kiekvienas pasaulis pasiteisina kiekviena galiojančia formule. Tik speciali pasaulių klasė (kartais vadinama „baziniais pasauliais“, o kartais - „normaliais pasauliais“) paverčia galiojančias formules. Bet kuri galiojanti formulė gali žlugti pasaulyje. Savo modeliuose leisdami šiems „ne normaliems pasauliams“, mes panaikinsime šią probleminę taisyklę.

Į atitinkamą logiką buvo įtraukta ir kitų rūšių modalinių operacijų vykdytojai. Žr. Fuhrmann (1990) apie bendrą atitinkamos modalinės logikos traktavimą ir Wansing (2002), kaip sukurti ir pritaikyti atitinkamą episteminę logiką.

Routley ir Val Plumwood (1989) bei Mares ir André Fuhrmann (1995) pateikia priešingos padėties sąlygų teorijas, pagrįstas atitinkama logika. Jų semantika prideda prie standartinės Routley-Meyer semantikos prieinamumo ryšį, kuris yra tarp formulės ir dviejų pasaulių. Routley ir Plumwoodo semantikoje A> B turi pasaulį a, jei ir tik tada, jei visuose b pasauliuose yra toks, kad SAab, B laikosi ties b. Mareso ir Fuhrmanno semantika yra šiek tiek sudėtingesnė: A> B turi pasaulį a, jei ir tik tuo atveju, jei visuose b pasauliuose toks, kad SAab, A → B laikosi ties b (taip pat žr. Brady (red.) 2002, §10, jei reikia daugiau informacijos apie tiek semantika). Maresas (2004) pateikia sudėtingesnę atitinkamų sąlygų teoriją, apimančią priešingus sąlyginius kriterijus. Visose šiose teorijose išvengiama implikacijų paradoksų analogų, kurie atsiranda standartinėje kontrafakto logikoje.

Atitinkama logika buvo naudojama tiek informatikoje, tiek filosofijoje. Linijinė logika - logikos šaka, kurią inicijavo Jeanas-Yvesas Girard'as - yra skaičiavimo išteklių logika. Linijiniai logikai skaito implikaciją A → B, sakydami, kad turėdami A tipo išteklius, galime gauti ką nors iš B tipo. Jei turime A → (A → B), tada mes žinome, kad B galima gauti iš dviejų A tipo išteklių. Bet tai nereiškia, kad galime gauti B iš vieno A tipo šaltinio, ty nežinome, ar galime gauti A → B. Taigi, susitraukimas žlunga tiesine logika. Tiesinė logika iš tikrųjų yra tinkama logika, kuriai trūksta susitraukimo ir jungimo paskirstymo per disjunkciją ((A & (B ∨ C)) → ((A & B) ∨ (A & C))). Jie taip pat apima du operatorius (! Ir?), Žinomus kaip „eksponentai“. Eksponentų pateikimas prieš formulę suteikia šiai formulei galimybę klasikiškai elgtis. Pavyzdžiui, kaip ir standartinėje atitikties logikoje, mes paprastai negalime tik pridėti papildomos prielaidos prie pagrįstų išvadų ir palikti jas galiojančioms. Bet mes visada galime pridėti formos prielaidą! A į pagrįstą išvadą ir palikite ją galiojančią. Tiesinė logika taip pat turi formos formų susitraukimą! A, ty šių logikų teorema yra (! A → (! A → B)) → (! A → B) (žr. Troelstra 1992). Panaudojimas ! leidžia elgtis su ištekliais, kurie „gali būti dubliuojami ar ignoruojami“(Restall 2000, p. 56). Norėdami daugiau sužinoti apie linijinę logiką, skaitykite poskyrio logikos įrašą.paprastai negalime tiesiog pridėti papildomos prielaidos prie pagrįstų išvadų ir palikti jas galiojančioms. Bet mes visada galime pridėti formos prielaidą! A į pagrįstą išvadą ir palikite ją galiojančią. Tiesinė logika taip pat turi formos formų susitraukimą! A, ty šių logikų teorema yra (! A → (! A → B)) → (! A → B) (žr. Troelstra 1992). Panaudojimas ! leidžia elgtis su ištekliais, kurie „gali būti dubliuojami ar ignoruojami“(Restall 2000, p. 56). Norėdami daugiau sužinoti apie linijinę logiką, skaitykite poskyrio logikos įrašą.paprastai negalime tiesiog pridėti papildomos prielaidos prie pagrįstų išvadų ir palikti jas galiojančioms. Bet mes visada galime pridėti formos prielaidą! A į pagrįstą išvadą ir palikite ją galiojančią. Tiesinė logika taip pat turi formos formų susitraukimą! A, ty šių logikų teorema yra (! A → (! A → B)) → (! A → B) (žr. Troelstra 1992). Panaudojimas ! leidžia elgtis su ištekliais, kurie „gali būti dubliuojami ar ignoruojami“(Restall 2000, p. 56). Norėdami daugiau sužinoti apie linijinę logiką, skaitykite poskyrio logikos įrašą.leidžia elgtis su ištekliais, kurie „gali būti dubliuojami ar ignoruojami“(Restall 2000, p. 56). Norėdami daugiau sužinoti apie linijinę logiką, skaitykite poskyrio logikos įrašą.leidžia elgtis su ištekliais, kurie „gali būti dubliuojami ar ignoruojami“(Restall 2000, p. 56). Norėdami daugiau sužinoti apie linijinę logiką, skaitykite poskyrio logikos įrašą.

Bibliografija

Itin gerą, nors ir pasenusią, tinkamumo logikos bibliografiją sudarė Robertas Wolffas, ji yra Andersone, Belnap ir Dunn (1992). Toliau pateiktas trumpas įvadų ir knygų apie minėtą logiką ir darbus sąrašas.

Knygos apie aktualumo logiką ir įvadus į lauką:

  • Andersonas, AR ir ND Belnap, jaunesnysis, 1975 m., „Entailment: The Logic of Relevance and Necessity“, Princeton, Princeton University Press, I. tomas. Anderson, ARND Belnap, Jr ir JM Dunn (1992) Entailment, II tomas. [Tai yra šiek tiek modifikuotų straipsnių apie aktualumo logiką rinkiniai kartu su daugybe unikalių šiems tomų medžiagų. Puikus darbas ir vis dar standartinės knygos šia tema. Bet jie yra labai techniniai ir gana sunkūs.]
  • Brady, RT, 2005, Universal Logic, Stanford: CSLI Publications, 2005. [Sunki, bet nepaprastai svarbi knyga, kurioje išsamiai aprašoma Brady semantika ir jo įrodymai, kad naivi teorijos teorija ir aukštesnės eilės logika, paremta jo silpna atitinkama logika, yra nuosekli..]
  • Dunn, JM, 1986, „Atitikimo logika ir įtraukimas“, F. Guenthneris ir D. Gabbay (red.), „Filosofinės logikos vadovas“, 3 tomas, Dordrecht: Reidel, p. 117–24. [Dunnas perrašė šį kūrinį kartu su Gregu Restallu ir naujoji versija pasirodė naujojo „Philosophical Logic Handbook“leidimo 6 tome, Dordrecht: Kluwer, 2002, p. 1–128.]
  • Mares, ED, 2004, Atitinkama logika: filosofinis aiškinimas, Kembridžas: Cambridge University Press.
  • Mares, ED ir RK Meyer, 2001 m., „Relevant Logics“, L. Goble (red.), „Blackwell Guide to Philosophical Logic“, Oksfordas: Blackwell.
  • Paoli, F., 2002, Substruktūrinė logika: pradmuo, Dordrecht: Kluwer. [Puikus ir aiškus įvadas į logikos lauką, į kurį įeina atitikimo logika.]
  • Priest, G., 2008, Įvadas į neklasikinę logiką: Nuo If iki Is, Kembridžas: University of Cambridge Press. [Labai geras ir nepaprastai aiškus atitinkamos ir kitos neklasikinės logikos pristatymas, naudojantis įrodymų teorijos principą.]
  • Perskaitykite, S., 1988, Relevant Logic, Oxford: Blackwell. [Labai įdomi ir linksma knyga. Idiosinkratiškas, bet filosofiškai tinkamas ir puikiai apibūdina logikos priešistorę ir ankstyvąją istoriją.]
  • Restall, G., 2000, Įvadas į substruktūrinę logiką, Londonas: maršrutas. [Puikus ir aiškus įvadas į logikos lauką, į kurį įeina atitikimo logika.]
  • Rivenc, François, 2005, Įvadas à la logique pertinente, Paryžius: Presses Universitaires de France. [Prancūzų. Pateikia „struktūrinį“atitinkamos logikos aiškinimą, kuris iš esmės yra įrodymo teorija. Dalyvaujančios konstrukcijos yra patalpų struktūros nuosekliame skaičiavime.]
  • Routley, R., RK Meyer, V. Plumwood ir R. Brady, 1983 m., Svarbi logika ir jos konkurentai (I tomas), Atascardero, CA: Ridgeview. [Labai naudinga knyga oficialiems rezultatams, ypač apie aktualumo logikos semantiką. Įžangoje ir filosofinėse pastabose pilna „Richardo Routleyism“. Jie linkę labiau į Routley, o ne į kitų autorių nuomones, ir yra gana radikalūs net ir atitinkamiems logikams. II tomas atnaujina I tomą ir apima kitas temas, tokias kaip sąlygos, kiekybinis įvertinimas ir sprendimų priėmimo procedūros: R. Brady (red.), Svarbi logika ir jų konkurentai (II tomas), Aldershot: Ashgate, 2003.]
  • Goldblatt, R., 2011, Kiekybiniai rodikliai, teiginiai ir tapatumas: leistina kiekybinės modinės ir substruktūrinės logikos semantika, Kembridžas: Cambridge University Press. [Išsami leistina kiekybinės logikos semantikos ataskaita, taikoma ir modalinei, ir atitikties logikai, ir pateikia naują kiekybiškai apibrėžtos logikos semantikos tipą - „viršelio semantika“.]

Kiti cituojami darbai:

  • Andersonas, AR, 1967 m., „Kai kurios bjaurios formalios etikos logikos problemos“, Noûs, 1: 354–360.
  • Avron, Arnon, 1990 m., „Aktualumas ir parakonsekvencija. Naujas požiūris“, Žurnalas „Symbolic Logic“, 55: 707–732.
  • Barwise, J., 1993, „Apribojimai, kanalai ir informacijos srautas“, P. Aczel ir kt. (red.), Situacijos teorija ir jos pritaikymas (3 tomas), Stanfordas: CSLI leidiniai, 3–27 p.
  • Belnap, ND, 1982, „Display Logic“, Journal of Philosophical Logic, 11: 375–417.
  • Brady, RT, 1989, „Neelektrialistinė dialektikos rinkinių teorija“, G. Priest, R. Routley ir J. Norman (red.), „Paraconsistent Logic“, Miunchenas: Philosophia Verlag, p. 437–470.
  • Dunn, JM, 1973, (Santrauka) „„ Gentzen sistema “teigiamai ir reikšmingai implikacijai“, žurnalas „Symbolic Logic“, 38: 356–357.
  • Dunn, JM, 1993, „Žvaigždė ir gyvas“, Filosofinės perspektyvos, 7: 331–357.
  • Fine, K., 1974, „Pavyzdžiai“, „Philosophical Logic“žurnalas, 3: 347–372.
  • Fuhrmann, A., 1990, „Atitinkamos modinės logikos modeliai“, „Studia Logica“, 49: 501–514.
  • Goble, L., 1999, „Deontinė logika su aktualumu“, P. McNamara ir H. Prakken (red.), Normos, loginiai ir informacinės sistemos, Amsterdamas: ISO Press, p. 331–346.
  • Grišinas, VN, 1974 m., „Nestandartinė logika ir jos pritaikymas teorijos nustatymui“, Formalizuotų kalbų ir neklasikinės logikos studijos (rusų kalba), Maskva: Nauka.
  • Izraelis, D. ir J. Perry, 1990 m., „Kas yra informacija?“, PP Hanson (red.), Informacija, kalba ir pažinimas, Vankuveris: University of British Columbia Press, p. 1–19.
  • MacColl, H., 1908 m., „Jei“ir „reiškia“, „Protas, 17: 151–152, 453–455.
  • Mares, ED, 1992, „Andersoninė deontinė logika“, Theoria, 58: 3–20.
  • Mares, ED, 1997, „Svarbi logika ir informacijos teorija“, Synthese, 109: 345–360.
  • Mares, ED ir A. Fuhrmann, 1995, „Svarbi sąlygų teorija“, Journal of Philosophical Logic, 24: 645–665.
  • Meyer, RK ir H. Friedman, 1992 m., „Kur yra tinkama aritmetika?“, The Symbolic Logic, 57: 824–831.
  • Rantala, V., 1982, „Kiekybinė modinė logika: nenormalūs pasauliai ir propoziciniai požiūriai“, Studia Logica, 41: 41–65.
  • Restall, G., 1996, „Informacijos srautas ir susijusi logika“, J. Seligman ir D. Westerstahl (red.), Logika, kalba ir skaičiavimas (1 tomas), Stanfordas: CSLI leidiniai, p. 463–478.
  • Routley, R. ir A. Loparic, 1978 m., „Arruda-da Costa P sistemų ir gretimų nepakeičiamųjų sistemų semantinė analizė“, Studia Logica, 37: 301–322.
  • Troelstra, AS, 1992, Paskaitos apie tiesinę logiką, Stanfordas: CSLI leidiniai.
  • Urquhart, A., 1972, „Atitinkamos logikos semantika“, „Symbolic Logic“žurnalas, 37: 159–169.
  • Wansing, H., 2001, „Neigimas“, L. Goble (red.), „Blackwell Guide to Philosophical Logic“, Oksfordas: Blackwell, p. 415–436.
  • Wansing, H., 2002, „Deimantai yra geriausi filosofo draugai“, Journal of Philosophical Logic, 31: 591–612.

Akademinės priemonės

sep vyro ikona
sep vyro ikona
Kaip pacituoti šį įrašą.
sep vyro ikona
sep vyro ikona
Peržiūrėkite šio įrašo PDF versiją „Friends of the SEP“draugijoje.
info piktograma
info piktograma
Ieškokite šios įrašo temos interneto filosofijos ontologijos projekte (InPhO).
„Phil Papers“piktograma
„Phil Papers“piktograma
Patobulinta šio įrašo „PhilPapers“bibliografija su nuorodomis į jo duomenų bazę.

Kiti interneto šaltiniai

Alternatyvi kiekybiškai svarbios logikos semantika [PDF], kurią pateikė Edvinas D. Maresas ir Robertas Goldblattas iš Velingtono Viktorijos universiteto, pateikia naują kiekybiškai reikšmingos logikos semantiką

[Kreipkitės į autorių ir pateikite kitus pasiūlymus.]

Rekomenduojama: