Matematinis Stilius

Turinys:

Matematinis Stilius
Matematinis Stilius

Video: Matematinis Stilius

Video: Matematinis Stilius
Video: Python paskaita: 2. Python kodavimo stilius 2024, Kovo
Anonim

Įėjimas Navigacija

  • Įstojimo turinys
  • Bibliografija
  • Akademinės priemonės
  • Draugai PDF peržiūra
  • Informacija apie autorius ir citata
  • Atgal į viršų

Matematinis stilius

Pirmą kartą paskelbta 2009 m. Liepos 2 d. esminė peržiūra 2017 m. rugpjūčio 9 d., trečiadienis

Esė prasideda pagrindinių aplinkybių, kuriose matematikos stilius vartojamas nuo XX amžiaus pradžios, taksonomija. Tai apima stiliaus sąvokos naudojimą lyginamosiose matematikos kultūrinėse istorijose, apibūdinant nacionalinius stilius ir apibūdinant matematikos praktiką. Tuomet šie pokyčiai yra susiję su labiau pažįstamu stiliaus traktavimu istorijoje ir gamtos mokslų filosofijoje, kur išskiriami „vietiniai“ir „metodiniai“stiliai. Teigiama, kad natūralus „stiliaus“matematikos lokusas yra tarp „vietinio“ir „metodinio“stilių, aprašytų istorikų ir mokslo filosofų. Galiausiai paskutinėje esė dalyje apžvelgiamos pagrindinės matematikos stiliaus sampratos dėl Hackingo ir Grangerio,ir patikrina jų epistemologinius ir ontologinius padarinius.

  • 1. Įvadas
  • 2. Stilius kaip pagrindinė sąvoka lyginamosiose kultūros istorijose
  • 3. Nacionaliniai matematikos stiliai
  • 4. Matematikai apie stilių
  • 5. Stilius
  • 6. Stiliaus epistemologijos link
  • 7. Išvada
  • Bibliografija
  • Akademinės priemonės
  • Kiti interneto šaltiniai
  • Susiję įrašai

1. Įvadas

Šio rašinio tikslas yra apžvelgti ir išanalizuoti stiliaus istorijas ir matematikos filosofiją. Visų pirma, bus išspręsta problema, kaip filosofiškai priartėti prie „stiliaus“sampratos matematikoje. Nors tai nėra viena iš kanoninių matematikos filosofijos temų, pranešime bus aptariamos aktualios stiliaus istorijos ir filosofijos filosofijos diskusijos.

Kalbėjimas apie matematiką stiliaus prasme yra pakankamai dažnas reiškinys. Su tokiais matematikos stilistikos bruožais susiduriama jau XVII a. Pradžioje. Pvz., Bonaventura Cavalieri, pavyzdžiui, jau 1635 m. Savo individualizuoto metodo atžvilgiu prieštarauja Archimedeo stiliui:

Tiesą sakant, aš žinau, kad visi aukščiau paminėti dalykai [paties Cavalieri teoremos, gautos iš indiviibilistų įrodymų] gali būti redukuojami iki Archimedeo stiliaus. (Originalia lotynų kalba: „Scio autem praefata omnia ad stylum Archimedeum reduci posse.“(Cavalieri 1635, 235)).

Vėliau šimtmetyje lengviau rasti pavyzdžių. Pavyzdžiui, Leibnizas (1701, 270–71) rašo: „Analizė nesiskiria nuo Archimedo stiliaus, išskyrus tiesiogines ir labiau atradimų menui tinkamas išraiškas“(prancūzų kalba: „L'analyse ne diffère du style d „Archimède que dans les expressions, qui sont plus directes et plus conformes à l'art d'inventer“). Įdomus faktas, kad tokie įvykiai vyrauja prieš pradedant visuotinai naudoti stiliaus sąvoką tapyboje, kuri datuojama tik 1660-aisiais (atsitiktiniai reiškiniai, kaip pabrėžta Sauerländer 1983 m., Taip pat aptinkami XVI amžiuje). Anksčiau septynioliktame amžiuje pasirinktas žodis tapyboje buvo „meèère“(žr. Panofsky 1924; vertimas į anglų kalbą (1968, 240)). Čia yra pora papildomų pavyzdžių iš XIX ir XX amžių. Chasles savo „Aperçu historique“(1837 m.), Kalbėdamas apie Monge, sako:

Jis inicijavo naują šio mokslo rašymo ir kalbėjimo būdą. Tiesą sakant, stilius yra taip glaudžiai susijęs su metodikos dvasia, kad jis turi žengti į priekį kartu su ja; taip pat, jei stilius to numatė, būtinai stilius turi daryti didelę įtaką tam ir bendrai mokslo pažangai. (Chasles, 1837, 18, 207 straipsniai)

Kitas pavyzdys yra Edvardo atliktas Dedekind požiūrio į matematiką įvertinimas:

Negalima abejoti „Kronecker“spindesiu. Jei jis turėtų Dedekindo sugebėjimą dešimtadaliu aiškiai suformuluoti ir išreikšti savo idėjas, jo indėlis į matematiką galėjo būti dar didesnis nei Dedekindo. Vis dėlto didžiulis jo spindesys mirė kartu su juo. Kita vertus, „Dedekind“palikimą sudarė ne tik svarbios teoremos, pavyzdžiai ir sąvokos, bet ir visas matematikos stilius, kuris buvo įkvėpimas kiekvienai kartai iš eilės. (Edwards 1980, 20)

Akivaizdu, kad galima kaupti tos pačios rūšies citatas (žr., Be kita ko, Cohen 1992, de Gandt 1986, Dhombres 1993, Epple 1997, Fleckenstein 1955, Granger 2003, Høyrup 2005, Laugwitz 1993, Novy 1981, Reck 2009, Tappenden 2005)., Weiss 1939, Wisan 1981), bet tai nebūtų labai įdomu. Net matematikos stilius, be kita ko, svyruoja nuo „atskirų stilių“iki „nacionalinių stilių“iki „episteminių stilių“. Pirmiausia reikia suprasti pagrindinius kontekstus, kuriuose matematikoje apeliuojama į „stilių“, nors šiame rašinyje nebus daug aptariama „individualių stilių“sąvokų analizė (tokių pavyzdžių turėtų būti, remiantis Enrico pasiūlymu). Bombieri, „labai asmeniški“Euler, Ramanujan, Riemann, Serre ir A. Weil stiliai).

Daugeliu atvejų apeliacija į stiliaus sąvoką suprantama kaip pasiskolinta iš vaizduojamojo meno, o kai kurie atvejai bus aptariami nedelsiant. Harwood 1993 teigia, kad „stiliaus samprata buvo sugalvota siekiant klasifikuoti vaizduojamojo meno studijose pastebėtus kultūros modelius“. Wessely 1991 m. Kalba apie „tos stiliaus sampratos perkėlimą į mokslo istoriją“(265). Nors tai gali būti teisinga dvidešimtajam amžiui (taip pat žr. Kwa 2012), reikėtų nepamiršti, kaip buvo pabrėžta aukščiau, kad šis teiginys turi būti kvalifikuotas XVII a.

2. Stilius kaip pagrindinė sąvoka lyginamosiose kultūros istorijose

Nepaisant ankstesnių įspėjimų, akivaizdu, kad kai kurie pagrindiniai dvidešimtojo amžiaus raginimai priskirti matematikos stiliaus kategoriją tai padarė atsižvelgiant į menus. Tai ypač pasakytina apie tuos autorius, kuriuos vieningai apskaitė žmonijos kultūrinė produkcija ir kurie tokiu būdu įžvelgė mokslo ir meno gamybos procesų vienodumą. Būtent tokiame kontekste Oswald Spengler knygoje „The Decline of West“(1919, 1921) bandė morfologizuoti pasaulio istoriją ir teigė, kad matematikos istorijai būdingos skirtingos stilistinės epochos, priklausančios nuo ją sukūrusios kultūros:

Bet kokios įgytos matematikos stilius visiškai priklauso nuo kultūros, kurioje ji įsišaknijusi, kokia žmonija ją apmąsto. Siela gali suteikti savo prigimtines galimybes mokslo plėtrai, gali jas praktiškai valdyti, gydydama gali pasiekti aukščiausią lygį, tačiau yra gana bejėgiška juos pakeisti. Euklido geometrijos idėja aktualizuojama ankstyviausiose klasikinių ornamentų formose, o Infinitesimal Calculus - ankstyviausiose gotikos architektūros formose, šimtmečius anksčiau nei gimė pirmieji atitinkamų kultūrų matematikai. (Spengleris 1919, 59 m.)

Yra ne tik paralelių tarp matematikos ir kitų kultūros meno kūrinių. Remdamasis Goethe teiginiu, kad visiškas matematikas „savyje jaučia tikrojo grožį“, ir Weierstrasso teiginiui, kad „kuris tuo pačiu nėra poetas, niekada nebus tikras matematikas“, Spengleris apibūdino matematiką. pati kaip menas:

Taigi matematika yra menas. Taigi ji turi savo stilių ir stiliaus laikotarpius. Kaip įsivaizduoja pasaulietis ir filosofas (šiuo klausimu yra ir pasaulietis), jis nėra iš esmės nekeičiamas, tačiau, kaip ir kiekvienas menas, nepastebimai keičiasi kiekvienoje epochoje. (Spengleris 1919, 62 m.)

Plačiausias požiūris, paremtas meno ir matematikos paralelėmis, ir stiliaus mintis, kaip pagrindinė matematikos istorijos analizės kategorija, yra Maxo Benseo analizė. Knygoje, pavadintoje „Konturen einer Geistesgeschichte der Mathematik“(1946), Bense visą skyrių (2 skyrius) skyrė tam, kad paaiškintų, kaip stiliaus sąvoka taikoma matematikai. „Bense“stilius yra forma:

Nes stilius yra forma, esminė forma, ir mes šią formą mes vadiname „estetiniu“, jei ji kategoriškai kontroliuoja protingą, medžiagą. („Bense 1946“, 118)

Menas ir matematikos istorija Bense'as laikė proto istorijos aspektus [Geistesgeschichte]. Tiesą sakant, „stilius suteikiamas visur, kur kuriama žmogaus vaizduotė ir raiškos galimybės“. Bense'as tikrai buvo linkęs nubrėžti paraleles tarp dailės istorijos stilių ir matematikos stilių (savo knygoje jis ypač traktavo baroko ir romantiškus stilius), tačiau, priešingai nei Spengleris, meno ir matematikos prigimtį jis laikė atskirai. Iš tiesų jis pripažino, kad stilistinė matematikos istorija negali būti sumažinta „iki sutapimo tarp tam tikrų matematinių formaliųjų tendencijų ir didžiųjų atskirų epochų, tokių kaip Renesansas, klasicizmas, barokas ar romantizmas, meninio pasaulėjautos ir dvasinio stiliaus sutapimo“(p. 132).;žr. Fleckenstein 1955 m. ir Wisan 1981 m., jei norite pamatyti naujausias paraleles tarp baroko dailėje ir XVII a. matematikos). Jis užsiminė apie Felikso Kleino „Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus“, norėdamas pabrėžti, kad tam tikros Kleino apibūdintos raidos linijos gali būti vertinamos kaip nurodančios stilius matematikos raidos istorijoje (žr. Klein 1924, 91).

Tokie bandymai, kaip Spenglerio ir Bense'o kreipimasis, be abejo, yra tie teoretikai, kurie norėtų naudoti stiliaus kategoriją kaip įrankį, apibūdinantį ir galbūt atspindintį kultūros modelius. Tačiau matematiką ir (arba) meno istoriją išmanantis skaitytojas skeptiškai vertina dėl paprastai nutolusių paralelių, kurios turėtų pateikti įrodymus. Be abejo, tai neatmeta požiūrio ar stiliaus kategorijos tinkamumo matematikoje naudingumo, tačiau norėtųsi, kad jos taikymas būtų labiau susijęs su matematikos praktikos aspektais.

Apskritai galima išskirti du teorijos tipus, kurie gali būti siejami su tokiais bandymais. Pirmasis yra grynai aprašomasis arba taksonominis ir patenkina tam tikrų bendrų modelių tarp tam tikros minties srities, pavyzdžiui, matematikos, ir kitų tam tikros visuomenės kultūros produktų rodymą. Antrasis požiūris suponuoja pirmąjį, tačiau taip pat tiriamos priežastys, kurios paaiškina tam tikro mąstymo ar gamybos stilių, ir paprastai bandoma jį priskirti prie psichologinių ar sociologinių veiksnių. Sprendime Spengler ir Bense yra abiejų elementų, nors daugiau akcentuojamos paralelės, o ne priežastys, pagrindžiančios ar paaiškinančios paraleles.

Dvidešimtojo amžiaus pradžioje buvo bandoma išplėsti stiliaus sąvokos vartojimą mene ir kitose žmogaus pastangų srityse. Plačiai žinomas atvejis yra sociologinis Manheimo bandymas apibūdinti mąstymo stilių skirtingose socialinėse grupėse (Mannheim 1928). Nors Manheimas neatmetė mokslinės minties iš sociologinės žinių analizės srities, jis tokios analizės aktyviai nevykdė. Priešingai, Ludwikas Fleckas atliko sociologinę mokslo analizę, kurioje pagrindinis vaidmuo buvo „mąstymo stilius“. Tačiau Fleckas daugiausia dėmesio skyrė medicinai (Fleck 1935).

Svarbu pabrėžti, kad minties stiliaus samprata iš esmės įgavo du skirtingus šiuolaikinių tyrimų pokyčius, kurie taip pat daro įtaką matematikai. Pirma, yra minėta mintis Fleke. Priklausomai nuo to, koks dosnus žmogus nori būti užmezgęs ryšius, buvo galima pastebėti, kad šis požiūris į mąstymo stilius gali būti susijęs su vėlesniais Kuhno, Foucault ir Hackingo darbais (žr. Žemiau apie Hackingo aptarimą). Tačiau yra ir skirtingas mąstymo stilių mąstymo būdas, kuris paprastai vadinamas kognityviniu stiliumi. Tai domina pažinimo psichologai ir matematikos pedagogai (šios srities psichologinių tyrimų apžvalgą rasite „Riding 2000“ir „Stenberg and Grigorenko 2001“). Daugiausia dėmesio skiriama psichologiniam asmens, kuris pasirenka tam tikrą pažinimo stilių, sudarymui mokantis, suprantant ar galvojant apie matematiką (ty apdorojant ir tvarkant matematinę informaciją). Senas skirtumas tarp vaizdinių ir analitinių matematikų, pabrėžtas Poincaré (žr. Poincaré 1905), vis dar yra paveikslo dalis, nors modelių ir klasifikacijų yra labai įvairių. Istorinę apžvalgą ir teorinį pasiūlymą, pagrįstą matematika, rasite „Borromeo Ferri 2005“. Senas skirtumas tarp vaizdinių ir analitinių matematikų, pabrėžtas Poincaré (žr. Poincaré 1905), vis dar yra paveikslo dalis, nors modelių ir klasifikacijų yra labai įvairių. Istorinę apžvalgą ir teorinį pasiūlymą, pagrįstą matematika, rasite „Borromeo Ferri 2005“. Senas skirtumas tarp vaizdinių ir analitinių matematikų, pabrėžtas Poincaré (žr. Poincaré 1905), vis dar yra paveikslo dalis, nors modelių ir klasifikacijų yra labai įvairių. Istorinę apžvalgą ir teorinį pasiūlymą, pagrįstą matematika, rasite „Borromeo Ferri 2005“.

Istorijos ir matematikos filosofijos srityje nėra knygų apie matematinius stilius, kurios paaiškintų tam tikro stiliaus atsiradimą sociologinėmis ar psichologinėmis kategorijomis (nors „Netz 1999“stiliaus teoretikus domino kaip bandymą pažinti istoriją). svarbaus graikų matematikos segmento). Tai priešingai nei tokios gamtos mokslų istorijos knygos kaip Harwood 1993, kurių tikslas sociologiniais argumentais paaiškinti vokiečių genetikų bendruomenės minties stiliaus atsiradimą. Arčiausiai to galima pasakyti Bieberbacho matematikos stiliaus sampratą, priklausomą nuo psichologinių ir rasinių veiksnių. Jis bus aptartas kitame nacionalinių stilių skyriuje.

3. Nacionaliniai matematikos stiliai

Kažkas mažiau ambicingas nei ankstesni bandymai sukurti bendrą žmonių kultūros kūrinių istoriją ar tolimos paralelės tarp meno ir matematikos yra stiliaus, kaip istoriografinės kategorijos, sampratos panaudojimas matematikos istorijoje, be ypatingos nuorodos į meną ar kitą žmogų. kultūrinė veikla. Grįžtant į dvidešimtojo amžiaus pradžią, galima pastebėti, kad „nacionaliniai stiliai“dažnai buvo minimi tam tikrų matematikos gamybai būdingų bruožų klasifikavimui, kurie atrodė visiškai priklausantys nacionalinėms linijoms. Mokslo istorijoje tokie „nacionalinio stiliaus“atvejai buvo dažnai nagrinėjami. Čia reikėtų prisiminti J. Harwoodo knygą „Mokslinės minties stiliai“(1993) ir „Nye 1986“, „Maienschein 1991“ir „Elwick 2007“. Matematikos susidomėjimas yra prancūzų ir vokiečių matematikos stiliaus priešprieša, kurią tyrė Herbertas Mehrtensas.

Mehrtensas (1990a, 1990b, 1996), apibūdindamas stilius, matematikos konfliktą tarp „formalistų“ir „logistų“ir „intuicionistų“, kita vertus, apibūdina kaip kovą tarp dviejų matematikos sampratų (taip pat žr. Pilka 2008 m. Už kritišką Mehrtens požiūrio perėmimą, pabrėžiant „modernistinę“matematikos transformaciją). Hilbertas ir Poincaré yra naudojami kaip opozicijos, kuri 1920 m. Paskatino Hilbert-Brouwer pagrindinius debatus (apie Brouwerio-Hilbert'o debatų istoriją žr. Mancosu 1998), šaltinių paradigmos. Mehrtensas taip pat pabrėžia, kad ši opozicija nebūtinai vyko pagal nacionalinius principus, nes, pavyzdžiui, Kleiną galima laikyti artimu Poincaré. Iš tikrųjų,tam tikras matematikos internacionalizmas dominavo XIX amžiaus pabaigoje ir XX amžiaus pradžioje. Tačiau Pirmasis pasaulinis pasaulis turėjo pakeisti situaciją ir sukėlė stiprius nacionalistinius konfliktus. Pagrindinis „nacionalizacijos“opozicijos žaidėjas buvo Pierre'as Duhemas, kuris priešinosi prancūzų espritui ir vokiečių esprit de géométrie:

Pradėti nuo aiškių principų … tada žengti žingsnis po žingsnio kantriai, kruopščiai ir tokiu tempu, kokį griežtai drausmina dedukcinės logikos taisyklės: štai kuo puikuojasi vokiečių genijus; vokiečių espritas iš esmės yra esprit de géométrie… Vokiečiai yra geometrai, jie nėra subtilūs [fin]; vokiečiams visiškai trūksta esprit de finesse. (Duhem 1915, 31–32)

Duhemas savo modelį ketino pritaikyti ne tik gamtos mokslams, bet ir matematikai. Kleinertas 1978 m. Parodė, kad Duhemo knyga buvo tik dalis prancūzų mokslininkų reakcijos į 1914 m. Deklaraciją „Aufruf an die Kulturwelt“, kurią pasirašė 93 žymūs vokiečių intelektualai. Tai paskatino vadinamąjį „Krieg der Geister“, kuriame Vokietijos ir Prancūzijos poliarizacija siekė ne tik kritikuoti konkrečius mokslo panaudojimo būdus (tarkime, praktikuojantis mokslą su kariniais tikslais), bet ir paskatino apibūdinti mokslo žinias, kurias iš esmės lemia nacionalinės ypatybės. Faktiškai šią strategiją iš esmės naudojo prancūzai, kritikuodami „La Science Allemande“, tačiau vokiečiai ją panaudos po dvidešimties metų, pakeisdami „nacionalinę“į „rassisch“. Žinomiausias atvejis yra „Deutsche Physik“, tačiau daugiausia dėmesio bus skiriama „Deutsche Mathematik“(taip pat žr. Segal 2003 ir Peckhaus 2005).

Pati kraštutinė šios ideologinės konfrontacijos forma, ironiškai panaikinusi vokiečių ir prancūzų vaidmenis, palyginti su „Duhem“, randama vadinamojo „Deutsche Mathematik“įkūrėjo Ludwigo Bieberbacho raštuose. Pradėjęs nuo Landau atleidimo iš Getingeno matematikos fakulteto, Bieberbachas bandė racionaliau paaiškinti, kodėl studentai privertė Landau atleisti. Kurzreferatas savo pokalbiui apibendrino savo tikslus taip:

Mano svarstymais siekiama apibūdinti kūrybos stilių savo gamtos mokslams, matematikai, žmonių [Volkstum], kraujui ir rasėms, naudodamas keletą pavyzdžių. Nacionalsocialistui tai, žinoma, nereikalauja jokių įrodymų. Tai greičiau didelio akivaizdumo įžvalga. Visų mūsų veiksmų ir minčių pagrindas yra kraujas ir rasė ir iš jų gaunama jų specifika. Kad yra tokių stilių, žino ir kiekvienas matematikas. (Bieberbach, 1934a, 235)

Savo dviejuose dokumentuose 1934b ir 1934c jis teigė, kad Landau praktikuojama matematika buvo svetima vokiečių dvasiai. Jis palygino Erhardą Schmidtą ir Landau ir tvirtino, kad pirmuoju atveju

Sistema nukreipta į objektus, konstrukcija ekologiška. Priešingai, Landau stilius yra svetimas tikrovei, antagonistiškas gyvenimui, neorganinis. Erhardo Schmidto stilius yra konkretus, intuityvus ir kartu patenkina visus loginius reikalavimus. (Bieberbach 1934b, 237)

Kiti svarbūs prieštaravimai, kuriuos Bieberbachas pateikė kaip savo įrodymų „įrodymą“, buvo Gaussas prieš Cauchy-Goursatą dėl sudėtingų skaičių; Poincaré ir Maxwell matematinėje fizikoje; Landau prieš Schmidtą; ir Jacobi prieš Kleiną.

Pasikliaudamas garsiojo Marburgo psichologo Jaenscho tipų psichologija, jis pasipriešino žydų / lotynų ir vokiečių psichologiniams tipams. Gedimo linija, taip sakant, buvo tarp intuicijos vedamos matematikos, būdingos vokiečių matematikai, ir formalizmo, kurį tariamai palaikė žydų / lotynų matematikai. Akivaizdu, kad Bieberbachas buvo priverstas atlikti daugybę klaidų, kad įsitikintų, jog svarbūs vokiečių matematikai nepatenka į klaidingą lygties pusę (žr. Ką jis sako apie Weierstrassą, Eulerį ir Hilbertą). Šių matematinių skirtumų pagrindas turėjo būti rasinės charakteristikos:

Svarstydamas aš bandžiau parodyti, kad matematinėje veikloje yra stiliaus klausimų ir kad todėl kraujas ir rasė daro įtaką matematiniam kūrimui. (Bieberbach 1934c, 358–359)

Bieberbacho aptarimo priežastis šiame kontekste yra tai, kad jo atvejis iliustruoja bandymą įsišaknyti stiliaus sampratą į ką nors fundamentalesnio, pavyzdžiui, kaip nacionalinės savybės, aiškinamos atsižvelgiant į psichologiją ir rasinius bruožus. Be to, jo atvejis taip pat domina, nes jo požiūris į stilių parodo, kaip tokią teoriją galima panaudoti pasukus politinę programą.

Laimei, kalbėjimas apie matematikos nacionalinius stilius neturi būti susijęs su visais Bieberbacho padariniais. Iš tikrųjų, kai istorikai šiandien remiasi tautiniu stiliumi, jie tai daro be nacionalizmo, kuris motyvavo senesnius indėlius. Atvirkščiai, jie siekia aprašyti, kaip „vietinės“kultūros vaidina žinių konstravimą (taip pat žr. Larvor 2016). Dėl padidėjusio mobilumo ir elektroninio pašto bendravimo sunku klestėti nacionaliniams stiliams, tačiau ypatingos politinės sąlygos taip pat gali skatinti tokio stiliaus išlikimą. Pavyzdžiui, tai yra rusiško stiliaus algebrinės geometrijos ir vaizdavimo teorijos atvejai. Kaip autoriui pažymėjo Robertas MacPhersonas,šis nacionalinio stiliaus atvejis būtų vertas išsamesnio tyrimo ir būtų įdomu panagrinėti, kaip Sovietų Sąjungos griūtis paveikė šį stilių. Priešingai, plačiai ištirtas nacionalinio stiliaus pavyzdys yra italų stiliaus algebrinė geometrija. Šį atvejį kruopščiai ištyrė keli matematikos istorikai, ypač Aldo Brigaglia (taip pat žr. Casnati ir kt., 2016). Pavyzdžiui, viename naujausiame straipsnyje „Brigaglia“rašo:

Be to, italų mokykla nebuvo griežtai nacionalinė mokykla, o darbo stilius ir metodika, daugiausia įsikūrusi Italijoje, tačiau su atstovais, kurių galima rasti kitur pasaulyje. (Brigaglia 2001, 189)

Gąsdinančios citatos išryškina problemą, kai bandoma suvokti skirtumą tarp „mokyklų“, „stilių“, „metodikų“ir kt. (Žr. Rowe 2003). Nebuvo bandoma analitiškai aptarti „nacionalinio stiliaus“sąvokos istorijų istorijoje. matematika - bet kuriuo atveju nieko panašaus į tai, ką daro Harwood 1993 savo knygos pirmame skyriuje. Padėtį apsunkina ir tai, kad skirtingi autoriai naudoja skirtingas terminijas, galbūt remdamiesi ta pačia tema. Pavyzdžiui, pastaruoju metu daug kalbama apie „matematikos įvaizdžius“(Corry 2004a, 2004b, Bottazzini ir Dahan Dalmedico, 2001). Paskutiniame skyriuje grįšime apmąstyti šiuos skirtingus stiliaus naudojimo būdus istoriografinėje matematikos literatūroje ir jų palyginimą su gamtos mokslų temomis.

4. Matematikai apie stilių

Iki šiol diskusijoje daugiausia dėmesio buvo skiriama stiliui, kaip įrankiui kultūros filosofams ir matematikos istorikams. Bet ar matematikai pripažįsta stilių egzistavimą matematikoje? Dar kartą pasakyti, kad nebus sunku pateikti pavienių citatų, kuriose matematikai galėtų kalbėti apie senovės stilių arba abstrakčiąjį algebrinį ar kategorinį stilių. Loginiame darbe galima rasti stiliaus reiškinių tokiose nominacijose kaip „vyskupo stiliaus konstruktyvi matematika“. Sunku rasti sistemingų matematikų diskusijų apie stiliaus sąvoką. Bieberbacho atvejis buvo minėtas aukščiau, tačiau nebuvo pateiktas išsamus pavyzdžių, kuriuos jis pateikė kaip stiliaus skirtumų įrodymus, aptarimas,iš dalies todėl, kad juos taip sujaukė jo noras remti jo ideologinį požiūrį, kad yra pagrindo abejoti, jog išnagrinėjus jo atvejo analizę bus galima daug ką gauti.

Įdomus įnašas yra Claude'o Chevalley'o iš 1935 m. Straipsnis pavadinimu „Varianti du style mathématique“. Chevalley stiliaus egzistavimą laiko savaime suprantamu dalyku. Jis prasideda taip:

Matematiniam stiliui, kaip ir literatūros stiliui, yra svarbūs svyravimai pereinant iš vieno istorinio amžiaus į kitą. Be abejo, kiekvienas autorius turi individualų stilių; tačiau kiekviename istoriniame amžiuje taip pat galima pastebėti bendrą tendenciją, kuri yra gana gerai atpažįstama. Šis stilius, veikiamas galingų matematinių asmenybių, kiekvieną kartą kartas nuo karto yra veikiamas revoliucijų, kurios pritraukia rašymą ir todėl galvoja apie kitus laikotarpius. (Chevalley 1935, 375)

Tačiau Chevalley nemėgino apmąstyti čia vyraujančios stiliaus idėjos. Greičiau jam rūpėjo svarbiu pavyzdžiu parodyti perėjimo iš dviejų matematikos stilių ypatybes, apibūdinančias perėjimą nuo devynioliktojo amžiaus matematikos prie dvidešimtojo amžiaus. Pirmasis Chevalley aprašytas stilius yra Weierstrassian stilius, „ε stilius“. „Savo esmę“ji laiko poreikiu patikslinti skaičiavimus, nutolusius nuo nesusikalbėjimų, susijusių su tokiomis sąvokomis kaip „be galo mažas kiekis“ir kt. Analizės raida XIX amžiuje (analitinės funkcijos, Furjė serija, Gaussas). paviršių teorijos, Lagrango lygtys mechanikoje ir kt.) lėmė kritinę analizę

algebrinės-analitinės sistemos, prieš kurią jie atsidūrė; ir būtent po šio kritinio tyrimo turėjo atsirasti visiškai naujas matematinis stilius. (Chevalley 1935, 377)

Chevalley toliau pabrėžė nenutrūkstamą niekuo neišsiskiriančią funkciją dėl Weierstrass kaip svarbiausią šios revoliucijos elementą. Kadangi Weierstrass funkcija gali būti suteikta kaip Furjė išplėtimas, turintis gana normalų pavidalą, tapo akivaizdu, kad daugelyje matematikos demonstracijų buvo padaryta prielaida, kad uždarymo sąlygos turi būti griežtai nustatytos. Ribos sąvoka, apibrėžta Weierstrass, buvo galinga priemonė, leidžianti atlikti tokius tyrimus. Paaiškėjo, kad Weierstrasso ir jo pasekėjų atlikta analizė buvo ne tik sėkminga, bet ir matematiškai vaisinga. Štai kaip arti Chevalley apibūdina šį stilių:

Šios mokyklos matematikai naudoja ribos apibrėžimą dėl Weierstrasso. Tai galima pastebėti iš išorės. Visų pirma, intensyviai ir kartais beatodairiškai naudojant „ε“, turinčius įvairius rodyklius (tai yra priežastis, kodėl mes anksčiau kalbėjome apie „ε“stilių). Antra, laipsniškai keičiant lygybę nelygybei demonstracijose ir rezultatuose (aproksimacijos teoremos; viršutinės ribos teoremos; padidėjimo teorija ir kt.). Šis paskutinis aspektas mus užimtų, nes privers suprasti priežastis, kurios privertė įveikti Weierstrassian mąstymo stilių. Tiesą sakant, nors lygybė yra santykis, turintis prasmę matematinėms būtybėms, nelygybė gali būti taikoma tik objektams, turintiems tvarkos ryšį,praktiškai tik pagal tikruosius skaičius. Tokiu būdu buvo vadovaujama, norint aprėpti visą analizę, ją visiškai rekonstruoti iš realiųjų skaičių ir realiųjų skaičių funkcijų. (Chevalley 1935, 378–379)

Iš šio požiūrio taip pat galima sukurti sudėtingų skaičių sistemą kaip realių porų, o tarpų taškus n matmenyse - kaip n-žiedus. Susidarė įspūdis, kad matematiką galima suvienodinti konstruktyviais apibrėžimais, pradedant nuo realiųjų skaičių. Tačiau viskas vyko kitaip ir Chevalley bando atsiskaityti už priežastis, paskatinusias atsisakyti šio „konstruktyvaus“požiūrio į aksiomatinį požiūrį. Įvairios algebrinės teorijos, tokios kaip grupių teorija, užmezgė ryšius, kurių neįmanoma sukurti iš tikrųjų skaičių. Be to, konstruktyvus sudėtingų skaičių apibrėžimas buvo tolygus savavališkos atskaitos sistemos nustatymui ir tokiu būdu suteikiant šiems objektams savybes, kurios slėpė jų tikrąją prigimtį. Kita vertus, buvo susipažinęs su Hilberto geometrijos aksiomatizacija, kuri,nors ir griežtas, neturėjo konstruktyvių teorijų dirbtinumo. Šiuo atveju subjektai nėra konstruojami, o greičiau apibrėžiami per aksiomas. Šis požiūris buvo sukurtas siekiant paveikti pačią analizę. Chevalley paminėjo Lebesgue integralo teoriją, kuri buvo gauta pirmiausia nustatant, kokias savybes integralas turi tenkinti, o tada parodydamas, kad egzistuoja tas savybes tenkinančių objektų sritis. Tą pačią mintį panaudojo ir Frechet'as, nustatydamas savybes, kurios turėjo apibūdinti ribos veikimą, tokiu būdu sudarydamas bendrą topologinių erdvių teoriją. Kitas Chevalley paminėtas pavyzdys yra lauko teorijos aksiomatizacija, kurią Steinitz pateikė 1910 m. Chevalley padarė išvadą, kadŠiuo atveju subjektai nėra konstruojami, o greičiau apibrėžiami per aksiomas. Šis požiūris buvo sukurtas siekiant paveikti pačią analizę. Chevalley paminėjo Lebesgue integralo teoriją, kuri buvo gauta pirmiausia nustatant, kokias savybes integralas turi tenkinti, o tada parodydamas, kad egzistuoja tas savybes tenkinančių objektų sritis. Tą pačią mintį panaudojo ir Frechet'as, nustatydamas savybes, kurios turėjo apibūdinti ribos veikimą, tokiu būdu sudarydamas bendrą topologinių erdvių teoriją. Kitas Chevalley paminėtas pavyzdys yra lauko teorijos aksiomatizacija, kurią Steinitz pateikė 1910 m. Chevalley padarė išvadą, kadŠiuo atveju subjektai nėra konstruojami, o greičiau apibrėžiami per aksiomas. Šis požiūris buvo sukurtas siekiant paveikti pačią analizę. Chevalley paminėjo Lebesgue integralo teoriją, kuri buvo gauta pirmiausia nustatant, kokias savybes integralas turi tenkinti, o tada parodydamas, kad egzistuoja tas savybes tenkinančių objektų sritis. Tą pačią mintį panaudojo ir Frechet'as, nustatydamas savybes, kurios turėjo apibūdinti ribos veikimą, tokiu būdu sudarydamas bendrą topologinių erdvių teoriją. Kitas Chevalley paminėtas pavyzdys yra lauko teorijos aksiomatizacija, kurią Steinitz pateikė 1910 m. Chevalley padarė išvadą, kadChevalley paminėjo Lebesgue integralo teoriją, kuri buvo gauta pirmiausia nustatant, kokias savybes integralas turi tenkinti, o tada parodydamas, kad egzistuoja tas savybes tenkinančių objektų sritis. Tą pačią mintį panaudojo ir Frechet'as, nustatydamas savybes, kurios turėjo apibūdinti ribos veikimą, tokiu būdu sudarydamas bendrą topologinių erdvių teoriją. Kitas Chevalley paminėtas pavyzdys yra lauko teorijos aksiomatizacija, kurią Steinitz pateikė 1910 m. Chevalley padarė išvadą, kadChevalley paminėjo Lebesgue integralo teoriją, kuri buvo gauta pirmiausia nustatant, kokias savybes integralas turi tenkinti, o tada parodydamas, kad egzistuoja tas savybes tenkinančių objektų sritis. Tą pačią mintį panaudojo ir Frechet'as, nustatydamas savybes, kurios turėjo apibūdinti ribos veikimą, tokiu būdu sudarydamas bendrą topologinių erdvių teoriją. Kitas Chevalley paminėtas pavyzdys yra lauko teorijos aksiomatizacija, kurią Steinitz pateikė 1910 m. Chevalley padarė išvadą, kadKitas Chevalley paminėtas pavyzdys yra lauko teorijos aksiomatizacija, kurią Steinitz pateikė 1910 m. Chevalley padarė išvadą, kadKitas Chevalley paminėtas pavyzdys yra lauko teorijos aksiomatizacija, kurią Steinitz pateikė 1910 m. Chevalley padarė išvadą, kad

Teorijų aksiomatizacija labai smarkiai pakeitė šiuolaikinių matematinių raštų stilių. Visų pirma, už kiekvieną gautą rezultatą visada reikia išsiaiškinti, kurios yra griežtai būtinos savybės, reikalingos jam nustatyti. Bus rimtai išspręsta kuo mažesnio tokio rezultato demonstravimo problema ir tuo tikslu reikės tiksliai apibrėžti, kurioje matematikos srityje dirbama taip, kad būtų atmesti šiai sričiai svetimi metodai, nes pastarieji yra greičiausiai sukels nenaudingas hipotezes. (Chevalley 1935, 382)

Be to, domenų, kurie puikiai tinka tam tikroms operacijoms, sudarymas leidžia nustatyti nagrinėjamų objektų bendrąsias teoremas. Tokiu būdu galima apibūdinti be galo mažos analizės operacijas algebrine prasme, bet be naivumo, kuris apibūdino ankstesnius algebrinius požiūrius.

Chevalley straipsnis yra brangus šiuolaikinio matematiko šaltinis stiliaus tema. Jis tvirtai parodo skirtumą tarp devynioliktojo amžiaus pabaigos analizės aritmetacijos ir dvidešimtojo amžiaus pradžios aksioma-algebrinio požiūrio. Tačiau ji turi savo trūkumų. Stiliaus sąvoka pati savaime nėra tematika ir neaišku, ar savybės, pateiktos aiškinant konkrečius istorinius įvykius, galėtų būti bendrosios priemonės analizuoti kitus matematinio stiliaus perėjimus. Bet galbūt tai, jei kas, turėtų būti matematikos filosofo užduotis (išsamią Chevalley požiūrio į stilių analizę rasite Rabouin 2017).

5. Stilius

Ispanų filosofas Javieras de Lorenzo knygoje „Introducción al estilo matematico“(1971 m.) Bandė parašyti matematikos (tiesa, dalinės) istoriją stiliaus atžvilgiu. Nors iki 1971 m. Grangerio darbai, kurie bus aptariami 5 skyriuje, jau pasirodė, de Lorenzo to nežinojo ir vienintelis jo naudojamo stiliaus šaltinis yra Chevalley straipsnis. Iš tikrųjų ši knyga yra tik Chevalley tyrimo pratęsimas, įtraukiant dar daugiau „stilių“, atsiradusių matematikos istorijoje. De Lorenzo ištirtas matematinių stilių sąrašas yra toks:

  • Geometrinis stilius;
  • Poetinis stilius;
  • Cossic stilius;
  • Dekarto-algebrinis stilius;
  • Nedalomumo stilius;
  • Veiklos stilius;
  • Epsilono stilius;
  • Sintetiniai ir analitiniai geometrijos stiliai;
  • Aksiomatinis stilius;
  • Formalus stilius.

Bendra apranga labai primena Chevalley požiūrį, ir veltui De Lorenzo knygoje būtų ieškoma patenkinamo pasakojimo apie tai, kas yra stilius. Tiesa, yra keletas įdomių pastebėjimų apie kalbos vaidmenį nustatant stilių, tačiau trūksta bendros filosofinės analizės. Tačiau reikia pabrėžti svarbų dalyką, susijusį su Chevalley ir de Lorenzo gydymu, kuris, atrodo, rodo svarbų „stiliaus“naudojimo matematikoje bruožą.

Savo knygoje „De la catégorie stiliaus ir istorinių mokslų istorija“(Gayon, 1996) ir vėlesniame Gayon 1999 m. Jean Gayon pristato skirtingus „stiliaus“naudojimo būdus mokslo istoriografijoje kaip atsidūrusius tarp dviejų stovyklų (tam tikra prasme jis čia seka 1992 m. Hackingą). Pirma, tie, kurie siekia „lokalios mokslo istorijos“, naudoja „mokslinį stilių“. Paprastai tokio tipo analizė yra „vietinės grupės ar mokyklos“arba „tautos“. Pavyzdžiui, tokio tipo istorija nuvertina visuotinį žinių komponentą ir pabrėžia sunkumus, susijusius su eksperimentų perkėlimu iš vienos aplinkos į kitą. Įrodyta, kad tokie sunkumai priklauso nuo „vietinių“tradicijų, kurios apima specifines technines ir teorines žinias, kurios yra „pagrindinės kuriant, realizuojant,ir analizuoti tų eksperimentų rezultatus “(Corry, 2004b) Antra, yra„ mokslinio stiliaus “, kurio pavyzdys yra 1994 m. Crombie„ Mokslinio mąstymo stiliai Europos tradicijoje “, pavyzdys. Crombie išvardija šiuos mokslinius stilius:

  1. postulacija aksiomatiniuose matematikos moksluose
  2. eksperimentinis tyrimas ir sudėtingų aptiktinų ryšių matavimas
  3. hipotetinis modeliavimas
  4. veislės užsakymas pagal palyginimą ir taksonomiją
  5. statistinė populiacijų analizė ir
  6. istorinis genetinės raidos darinys (cituota iš Hacking 1996, 65)

Gayonas pažymi, kad pastaroji „stiliaus“sąvoka gali būti pakeista „metodu“ir kad „čia aptarti stiliai neturi nieko bendra su vietos stiliais“. Jis taip pat pabrėžia, kad kalbant apie vietos stilių, grupės, veikiančios kaip sociologinė parama tokiai analizei, yra arba „tyrimų grupės“, arba „tautos“. Pastarojoje eksperimentinių mokslų istorijoje daug dėmesio buvo skiriama tokiems vietos veiksniams (pvz., Gavroglu 1990 m. Žr. Dviejų žemų temperatūrų laboratorijų, „Dewar“(Londonas) ir Kamerlingh Onnes (Leidenas) „samprotavimo stilių“.)).

Matematikos istorikai tokius istoriografinius metodus bando pritaikyti ir grynajai matematikai. Naujausias bandymas šia linkme yra Epple'o darbas, susijęs su „episteminėmis konfigūracijomis“, kaip antai jo neseniai paskelbtas straipsnis apie ankstyvą Aleksandro ir Reidemeisterio darbą mazgų teorijoje (Epple 2004; bet taip pat žr. Rowe 2003 ir 2004, Epple 2011). Tokių tyrimų rėmimo grupės nėra vadinamos „mokyklomis“, o „matematikos tradicijomis“arba „matematikos kultūromis“.

O kaip „metodinė“stiliaus idėja à la Crombie? Ar matematikos istorikai tuo daug pasinaudojo? Be daugybės pirmojo stiliaus gydymo būdų (aksiomatinis metodas), šioje srityje nėra daug, tačiau įdomus istorinis įnašas yra Goldsteino darbas apie Frenicle de Bessy (2001). Ji tvirtina, kad gryna matematika, kurią praktikavo Frenicle'as de Bessy, turėjo daug ką bendro su bakalau eksperimento stiliumi. Turbūt čia reikėtų paminėti, kad eksperimentinė matematika dabar yra klestinti sritis, kurią netrukus gali rasti istorikas (žr. Bakeris 2008 apie eksperimentinės matematikos filosofinę ataskaitą, o Sørensenas 2016 - matematinių kultūrų analizę). Tai paprastai yra labai svarbi filosofų tema, nes tai daro įtaką matematinio metodo problemoms. Problemą galima paprasčiausiai išdėstyti taip: be to, ką Crombie apibūdina kaip metodinį stilių (a) [aksiomatinis], kokių kitų stilių siekiama matematikos praktikoje? „Corfield 2003“paliečia šią problemą savo knygos „Tikrosios“matematikos filosofijos link “įžangoje, kai jis, remdamasis aukščiau pateiktu„ Crombie “sąrašu, sako:

Piratai apgailestauja, kad Crombie įtraukė (a) kaip „matematikos atkūrimą į mokslus“(įsilaužimas 1996 m.) Po loginio pozityvistų atskyrimo ir pratęsia jo stilių skaičių iki dviejų, pripažindamas algoritminį indų ir arabų matematikos stilių. Aš patenkinta šia argumentų linija, ypač jei tai neleidžia matematikai būti vertinama kaip visiškai skirtinga veikla. Iš tiesų, matematikai taip pat užsiima b) stiliais (žr. 3 skyrių), c ir d punktus [7], o e) matematikai šiuo metu analizuoja Riemann zeta funkcijos nulių statistinius duomenis. (Corfield, 2003, 19)

7 pastaboje Corfieldas mini Johno Thompsono komentarą, kad baigtinių paprastų grupių klasifikavimas yra taksonomijos užduotis.

Šio rašinio tikslas nėra atvirai išspręsti didžiulį klausimų, iškylančių iš ankstesnių citatų, rinkinį. Tačiau reikia pažymėti, kad šie klausimai yra nauja ir stimuliuojanti aprašomosios matematikos epistemologijos teritoriją ir kad kai kurie darbai šia linkme jau buvo atlikti (žr. Etcheverría 1996; van Bendegem 1998; Baker 2008).

Galiausiai, kaip sujungti „vietinį“ir „metodologinį“stilius su tuo, kas yra Chevalley ir de Lorenzo? Matematikos srityje yra rimtų įrodymų, kad natūraliausias „stilių“lokusas, taip sakant, patenka į šias dvi kategorijas. Iš tikrųjų, matematikos stiliai peržengia bet kurią vietos bendruomenę, apibrėžtą paprastesniais sociologiniais terminais (tautybė, tiesioginė narystė mokykloje ir pan.), Ir yra tokie, kad paramos grupei gali būti būdingas tik konkretus tyrimo metodas. Kita vertus, metodas nėra toks universalus, kad būtų atpažįstamas kaip vienas iš šešių metodų, aprašytų Crombie arba išplėstiniame sąraše, kurį pateikė Hacking. Čia yra keletas galimų pavyzdžių, kai kiekvienoje pozicijoje esantys pavadinimai neturėtų klaidinti skaitytojo manydami, kad kalbama tik apie „individualų“stilių.

  1. Tiesioginiai ir netiesioginiai geometrijos metodai („Cavalieri“ir „Torricelli“ir „Archimedes“)
  2. Algebriniai ir geometriniai požiūriai analizuojant XVII – XVIII amžių (Euler vs. McLaurin)
  3. Geometriniai ir analitiniai metodai atliekant kompleksinę analizę XIX amžiuje (Riemann ir Weierstrass)
  4. Konceptualūs ir skaičiavimo metodai algebrinėje skaičių teorijoje (Dedekind vs. Kronecker)
  5. struktūriniai ir intuityvūs stiliai algebrinėje geometrijoje (vokiečių mokykla ir italų mokykla)

Žinoma, gali būti, kad istorijoje ir mokslo filosofijoje yra „tarpiniai“stiliaus lygmenys, tokie, kokie aprašomi čia (vienas į galvą įsimenamas pavyzdys yra „niutono stilius“matematinėje fizikoje), bet faktas, kad Jeanas Gayonas jų neaptiko kaip pagrindinio, atrodo, rodo, kad situacija istorijoje ir matematikos filosofijoje yra gana skirtinga, nes šie „tarpiniai“stiliai yra tie, kurie buvo išsamiau aptarti ir atitinka analizuojamus stilius pateikė Chevalley ir de Lorenzo. Be to, diskusijos apie vietines matematikos kultūras paprastai vyksta be stiliaus sampratos.

6. Stiliaus epistemologijos link

Stiliaus epistemologijos problemą galima apytiksliai išdėstyti taip. Ar stilistiniai elementai, esantys matematiniame diskurse, neturi kognityvinės vertės ir ar tai tik dalis matematinio diskurso spalvinimo, ar juos galima laikyti glaudžiau susijusius su jo pažinimo turiniu? Spalvos samprata čia kilusi iš Frege, kuris „Mintyje“atskyrė teiginio tiesos būklę nuo tų teiginio aspektų, kurie gali suteikti informacijos apie kalbėtojo ar klausytojo proto būseną, tačiau neprisideda prie jo tiesos sąlygų. Natūraliąja kalba tipiški spalvos elementai yra apgailestavimai, tokie kaip „deja“. „Deja, sninga“turi tas pačias tiesos sąlygas kaip ir „sninga“, o „deja“, pirmame sakinyje, yra tik dalis dažymo. Jacques'as ir Monique Dubucs šį skirtumą apibendrino įrodymais „La couleur des preuves“(Dubucs ir Dubucs, 1994), kur jie nagrinėja „matematikos retorikos“problemą, gana artimą stiliaus analizės problemai. Pakartoję tradicinę retoriką kaip „rezidencialistą“, nes joje atsižvelgiama tik į nematematinės reikšmės reiškinius, tokius kaip matematikos teksto ornamentika ir kt., Tačiau objektas (pvz., Demonstracijos turinys) nepaliekamas, jie tyrinėjo galimybes. ambicingesnė „matematikos retorika“.kadangi atsižvelgiama tik į nematematinės reikšmės reiškinius, tokius kaip matematikos teksto ornamentika ir kt., tačiau objektas (pvz., demonstracijos turinys) nepaliekamas, jie tyrinėjo ambicingesnės „matematikos retorikos“galimybes.kadangi atsižvelgiama tik į nematematinės reikšmės reiškinius, tokius kaip matematikos teksto ornamentika ir kt., tačiau objektas (pvz., demonstracijos turinys) nepaliekamas, jie tyrinėjo ambicingesnės „matematikos retorikos“galimybes.

Taigi galima pradėti išdėstyti pirmąją poziciją, kurią galima apginti, atsižvelgiant į stiliaus epistemologinę reikšmę. Tai yra pozicija, paneigianti stilių bet kokį esminį pažintinį vaidmenį ir paverčianti jį subjektyvaus kolorito reiškiniu. Remiantis šia pozicija, stilistiniai variantai atskleistų tik paviršutiniškus išraiškos skirtumus, kurie nepalieka diskurso turinio.

Literatūroje buvo ginamos dvi ambicingesnės pozicijos dėl stiliaus pažinimo turinio. Pirmasis atrodo suderinamas su matematikos platonizmo ar realizmo formomis, o antrasis tam tikrai prieštarauja. Kalbama apie du pagrindinius literatūroje pateiktus pasiūlymus, būtent apie „Granger 1968“ir „Hacking 1992“, kurie dabar bus trumpai aprašyti.

Grangerio stiliaus filosofijos esė („Essai d'une philosophie du style 1968“) yra sistemingiausias ir kruopščiausias bandymas plėtoti stiliaus teoriją matematikai. Grangerio programa yra tokia ambicinga ir turtinga, kad norint išsamiai aptarti jo knygos struktūrą ir išsamią analizę, prireiktų popieriaus. Dėl erdvės ribotumo čia siekiama pateikti tik apytikslę idėją, iš ko susideda projektas, ir parodyti, kad Gangerio ginamas stiliaus epistemologinis vaidmuo yra suderinamas su matematinių esybių ar struktūrų realizmu.

Grangerio tikslas yra pateikti „mokslinės praktikos“analizę. Jis apibūdina praktiką kaip „veiklą, nagrinėjamą atsižvelgiant į jos sudėtingą kontekstą, ypač į socialines sąlygas, suteikiančias jai prasmę realiai patiriamame pasaulyje (vécu)“(1968, 6). Mokslas, kurį jis apibūdina kaip „abstrakčių, nuoseklių ir veiksmingų reiškinių modelių konstravimą“(13). Taigi mokslinėje praktikoje yra ir „universaliųjų“, „bendrųjų“, ir „atskirųjų“komponentų. Mokslinės praktikos analizei atlikti reikia bent trijų rūšių tyrimų:

  1. Yra daugybė būdų modeliuoti tam tikrą reiškinį; ir tie patys modeliai gali būti taikomi skirtingiems reiškiniams. Be to, mokslinės konstrukcijos, įskaitant ir matematines, atskleidžia tam tikrą „struktūrinę vienybę“. Abu šie aspektai bus stilistinės analizės tema.
  2. Antrasis tyrimas susijęs su „moksline charakteristika“, kurios tikslas - ištirti psichologinius komponentus, kurie yra svarbūs individualizuojant mokslinę praktiką;
  3. Trečiasis tyrimas susijęs su mokslinės kūrybos „atsitiktinumų“, visada esančių erdvėje ir laike, tyrimu.

Visi trys aspektai būtų reikalingi analizuojant „mokslinę praktiką“, tačiau savo knygoje Grangeris atkreipia dėmesį tik į 1. Kur yra stilius ir matematika? Matematika yra viena iš tyrimų sričių, kuriai gali būti atliekama stilistinė gamtos mokslų analizė (Grangerio knyga pateikia paraiškas ne tik matematikai, bet ir kalbotyrai bei socialiniams mokslams). O kaip su stiliumi? Kiekviena socialinė praktika, anot Grangerio, gali būti tiriama stiliaus požiūriu. Tai apima politinę veiklą, meninę kūrybą ir mokslinę veiklą. Taigi egzistuoja bendroji stilistika, kuria bus bandoma užfiksuoti pačius bendriausius tokios veiklos stilistinius bruožus, o paskui bus atlikta „lokaliau“stilistinė analizė, tokią, kokią Grangeris pateikė mokslinei veiklai. Akivaizdu,čia minima stiliaus samprata turi būti daug platesnė nei paprastai siejama su šiuo terminu ir iš tikrųjų ta, kuri būtų taikoma tokioms sritims, kaip politinė veikla ar mokslinė veikla, ne tik metaforiška, bet ir „įtaigi“tokiai veiklai.

Grangerio atlikta matematinio stiliaus analizė apima 2, 3 ir 4 knygos skyrius. 2 skyriuje nagrinėjamas euklidinis stilius ir didumo samprata; 3 skyrius - „Dekarto stiliaus ir Desarguiano stiliaus“prieštaravimai (apie Dekarto stilių taip pat skaitykite „Rabouin 2017“); galiausiai 4 skyrius susijęs su „vektorinio stiliaus atsiradimu“. Visų šių analizių centre yra „geometrinio didumo“sąvoka.

Puikiai suprantama, kas yra Grangeris, paprasčiausiai peržvelgus pavyzdį, kurį jis apibūdina pratarmėje. Tai pavyzdys, susijęs su sudėtingais skaičiais.

Stilius, pasak Grangerio, yra būdas priversti struktūrą patirti. Čia reikia perimti patirtį, kad peržengtumėte empirinę patirtį. Apskritai, tokia patirtis, į kurią kreipiasi matematikas, nėra empirinė. Iš šios patirties kyla „intuityvūs“komponentai, susisteminti matematinėje veikloje. Tačiau nereikia manyti, kad egzistuoja „intuicija“, kuriai, kaip ir išorėje, taikoma forma. Matematinė veikla tuo pačiu metu sukuria formą ir turinį tam tikros patirties fone.

Viena vertus, stilius mums atrodo kaip būdas supažindinti su teorijos sąvokomis, jas susieti, suvienyti; ir, kita vertus, kaip būdas atskirti, kokia intuicija padeda nustatyti šias sąvokas. (Grangeris, 1968, 20)

Kaip pavyzdį Granger pateikia tris sudėtingų skaičių įvedimo būdus; visais trimis būdais atsižvelgiama į konstrukcines savybes, kurios apibūdina nagrinėjamą algebrinę struktūrą. Pirmasis būdas supažindina su sudėtiniais skaičiais trigonometriniu atvaizdavimu, naudodamas kampus ir kryptis. Antrasis supažindina juos su vektoriais. Pirmuoju atveju kompleksinis skaičius apibūdinamas kaip realiųjų skaičių pora, o tada adityviosios savybės yra betarpiškos. Priešingai, antruoju atveju iškart imamasi multiplikatyvių savybių. Ir tai yra trečias būdas, taip pat sudėtingas skaičius galima įvesti įprastomis kvadratinėmis matricomis. Tai veda prie sudėtingų skaičių matymo kaip polinomų sistemos x modulo x 2 +1 sistemoje.

Šie skirtingi sąvokos suvokimo, integravimo į operacinę sistemą ir susiejimo su ja intuityvūs padariniai, kurių vienas turėsime tiksliai apibrėžti apimtį, būdai sudaro tai, ką mes vadiname stiliaus aspektais. Akivaizdu, kad struktūrinis sąvokos turinys čia nedaromas, ir tai, kad matematinio objekto samprata egzistuoja vienodai per šiuos stiliaus padarinius. Tačiau ne visada taip yra ir mes susidursime su stilistinėmis pozicijomis, kurios reikalauja tikrų konceptualių variantų. Bet kuriuo atveju visada keičiasi koncepcijos orientacija į tą ar tą vartojimą, tą ar tą pratęsimą. Taigi stilius vaidina svarbų vaidmenį tiek vidinės matematikos raidos dialektikos, tiek santykio su konkretesnių objektų pasauliais atžvilgiu. (Grangeris, 1968, 21).

Taigi Grangerio teorijoje matematiniai stiliai yra pateikimo būdai arba matematinių struktūrų suvokimo būdai. Bent jau kai kuriais atvejais šis stiliaus poveikis nepaveiks matematinių objektų ar struktūrų, nors jie paveiks ir pažinimo režimą, kuriame jie suvokiami, todėl daro įtaką tam, kaip jie gali būti pratęsti, pritaikomi įvairiose srityse ir pan., Nors Grangeris galėjo simpatizuojantis kantilizmui, neturinčiam transcendentalinio dalyko, ir galvojančiam apie stilių kaip konstitucinį, atrodo, kad jo pozicija bent jau suderinama su realybės forma apie matematinius dalykus. Panašu, kad taip nėra trečiosios ir paskutinės epistemologinės pozicijos aptarimui, kurią lėmė Ianas Hackingas.

Kaip jau buvo minėta anksčiau, Hacking, sekdamas Crombie, pasiūlė ištirti stiliaus, kaip „naujojo analitinio įrankio“, istoriją ir mokslo filosofiją, sąvoką. Jis pirmenybę teikia samprotavimo stiliams (taip pat žr. Mancosu 2005), o ne Flecko mąstymo stiliams ar Crombie mąstymo stiliams (paskutinis jo pasirinkimas yra „mokslinio mąstymo ir darymo stiliai“; Rašymo metu įsilaužimo programą žr. „Kusch 2010“ir specialųjį istorijos ir mokslo filosofijos studijų leidimą (2012 m. Leidimas Nr. 43), įskaitant 2012 m. Įsilaužimą ir keletą kitų įmokų). Priežastis ta, kad įsilaužimas nori nutolti nuo psichologinio samprotavimo lygio ir dirbti su labiau „objektyviu“argumentų lygiu. Savo projektą jis aiškiai apibūdina kaip Kanto projekto tęsinį, kurio tikslas - paaiškinti, koks yra objektyvumas. Ir iš tikrųjų, Hackingo pozicija atmeta realizmą ir priskiria stipraus stiliaus vaidmenį. Pasak Hackingo, stilių apibūdina būtinų sąlygų visuma (jis protingai nesistengia sudaryti pakankamų sąlygų):

Prieš kuriant samprotavimo stilių, nėra nei sakinių, kurie yra kandidatai į tiesą, nei savarankiškai identifikuotų objektų, kuriuos reikia teisingai įvertinti. Kiekvienas samprotavimo stilius pristato daugybę naujovių, įskaitant naujas rūšis: objektus; įrodymai; sakiniai, nauji kandidato į tiesą ar netiesą būdai; įstatymai ar bet kokiu atveju būdai; galimybės. Reikėtų taip pat pastebėti naujas klasifikavimo rūšis ir naujus paaiškinimų tipus. (Įsilaužimas 1992, 11)

Turėtų būti aišku, kad ši stiliaus samprata, kaip ir Grangerio samprata, priskiria labai svarbų vaidmenį stiliui kaip visos mokslinės veiklos srities objektyvumo pagrindimui, tačiau, skirtingai nuo Grangerio, jis ontologiškai atsisako realizmo. Stiliai yra būtini sudarant matematinius objektus, o pastarieji neturi nuo jų nepriklausomos egzistavimo formos. Hackingas išsamiai neaptarė matematikos istorijos pavyzdžių, nors viename iš savo straipsnių (Hacking 1995) nagrinėjami keturi konstruktyvistiniai matematikos vaizdai (žodis „constructionalism“pasiskolintas iš Nelsono Goodmano) ir parodyta, kaip jie gerai dera su jo paveikslu. „mąstymo stiliai“. Aišku, taip pat akivaizdu, kad tvirtesnės ir realistiškiausios pozicijos nelabai atitiks Hackingo samprotavimo stilių.

Taigi buvo nagrinėjami trys galimi „stilių“matematikos vaidmens paaiškinimo modeliai. Be abejo, yra daug daugiau galimų pozicijų, kurios bus išdėstytos, tačiau kol kas tai yra viskas, ką galima rasti literatūroje.

7. Išvada

Kaip iš pradžių buvo pabrėžta, matematikos stiliaus tema nėra viena iš kanoninių matematikos filosofijos tyrimų sričių. Iš tiesų, šis įrašas yra pirmasis bandymas į vieną dokumentą įtraukti įvairius įnašus šia tema. Nepaisant to, jau dabar turėtų būti aišku, kad matematinio stiliaus apmąstymai yra šiuolaikinėje filosofinėje veikloje ir į tai reikia atsižvelgti rimtai. Bet darbas tik prasideda. Reikia dar daugiau matematinių stilių analizių ir aiškesnių epistemologinių ir ontologinių padarinių, kuriuos sukelia skirtingos stiliaus konceptualizacijos, pavyzdžių. Be to, norėtųsi geriau integruoti visą šį darbą su darbu kognityvinių stilių srityje, kuris yra kognityvinėje psichologijoje ir matematiniame lavinime. Galiausiai, standartiniai filosofiniai kaštonai,tokius kaip formos ir turinio santykis su stiliumi, taip pat turėtų būti atkreiptas dėmesys į stiliaus santykį su normatyvumu ir intencionalumu (apie labai gerą tokių estetikos temų aptarimą skaitykite Meskin 2005).

Bibliografija

  • Bakeris, A., 2008, „Eksperimentinė matematika“, Erkenntnis, 68: 331–344.
  • Bense, M., 1946 m., Konturen einer Geistesgeschichte der Mathematik. „Mathematik und die Wissenschaften“, Hamburgas: „Claassen & Goverts“. Dabar „Max Bense“, „Ausgewählte Schriften“, 2 grupė, „Philosophie der Mathematik“, „Naturwissenschaft und Technik“, Veimaras: „Verlag JB Metzler“, Štutgartas, 1998 m. (Žr. 2 skyrių „Stilgeschichte in der Mathematik“).
  • ––– 1949 m., Konturen einer Geistesgeschichte der Mathematik. II. Die Mathematik in der Kunst, Hamburgas: „Claassen & Goverts“. Dabar „Max Bense“, Ausgewählte Schriften, 2 grupė, „Philosophie der Mathematik“, „Naturwissenschaft und Technik“, Veimaras: „Verlag JB Metzler“, Štutgartas, 1998 m. (Žr. 1 skyrių „Zum Begriff des Stils“).
  • Bieberbach, L., 1934a, Kurzreferat, Forschungen und Fortschritte, 10: 235–237.
  • ––– 1934 m., „Persönlichkeitsstruktur und Schaffen Mathematics“, Unterrichtblätter für Mathematik und Naturwissenschaften, 40: 236–243.
  • ––– 1934 m., „Stilartenhematischen Schaffens“, Sitzungsbericht der preußischen Akademie der Wissenschaften, 351–360.
  • Borromeo Ferri, R., 2005, „Mathematische Denkstile“. Ergebnisse einer empirische Studie, Hildesheim: Verlag Franzbecker.
  • Bottazzini, JAV, 2001 m., „Iš Paryžiaus į Berlyną: kontrastuojami devyniolikto amžiaus matematikos vaizdai“, U. Bottazzini, A. Dahan Dalmedico, (red.), 2001, p. 31–47.
  • Bottazzini, U., ir Dahan Dalmedico, A., (ed.), 2001, Changing Images of Mathematics, London: Routledge.
  • Brigaglia, A., 2001, „Nacionalinių mokyklų kūrimas ir išlikimas: italų algebrinės geometrijos atvejis“, U. Bottazzini, A. Dahan Dalmedico, (red.), 2001, p. 187–206.
  • Casnati, G., et al. (red.), 2016 m., nuo klasikinės iki moderniosios algebrinės geometrijos. Corrado Segre meistriškumas ir palikimas, Cham: Birkhäuser.
  • Cavalieri, B., 1635 m., Geometria Indivisibilibus Continuorum Nova Quadam Ratione Promota, Bolonija: Clemente Ferroni.
  • Chasles, M., 1837, „Aperçu Historique sur l'Origine“ir „Le Méhodes en des Géométrie en en Géométrie“, Bruxelles: M. Hayez.
  • Chevalley, C., 1935 m., „Varianti du style mathématique“, Revue de Metaphysique et de Morale, 3: 375–384.
  • Cohen, IB, 1992, „Principija, visuotinė gravitacija ir„ niutono stilius “, atsižvelgiant į Niutono mokslo revoliuciją“, Bechler, Z., (red.), Contemporary Newtonian Research, Dordrecht: Reidel, p. 21–108.
  • Corfield, D., 2003, „Tikrosios“matematikos filosofijos link, Kembridžas: Cambridge University Press.
  • Corry, L., 2004a, Šiuolaikinė algebra ir matematinės struktūros kilimas, Bazelis: Birkhäuser; 2-asis leidimas.
  • Corry, L., 2004b, „Įvadas“, „Mokslas kontekste“, 17: 1–22.
  • Crombie, A., 1994, Mokslinio mąstymo stiliai Europos tradicijoje, Londonas: Duckworth.
  • de Gandt, F., 1986 m., „Leonas matematikos stilius“Principia “de Newton“, Revue d'Histoire des Sciences, 39 (3): 195–222.
  • de Lorenzo, J., 1971 m., „Introducción al estilo matematico“, Madridas: „Tecnos“redakcija.
  • Dhombres, J., 1993 m., La figūra yra diskursų apimtis: stilių atspindi, Nantas: Nantes universitetas.
  • Dubucs, J. ir Dubucs, M., 1994 m., „La couleur des preuves“, V. de Coorebyter, (red.), Mokslo ir mokslo struktūros struktūros, Paryžius: PUF, p. 231–249.
  • Duhem, P., 1915 m., La Science Allemande, Paryžius: Hermannas. Vertimas į anglų kalbą: German Science, Chicago: Carus Publishing, 2000.
  • Edwardsas, HM, 1987 m., „Dedekindo išradimas idealams“, Phillips, E., Matematikos istorijos tyrimai, Vašingtonas: Amerikos matematikos asociacija, p. 8–20.
  • Elwick, J., 2007, Priežasties stilius Britanijos gyvybės moksluose: Bendros prielaidos, 1820–1858, Londonas: „Pickering & Chatto“.
  • Epple, M., 1997, „Argumentacijos stiliai XIX a. Pabaigos geometrijoje ir matematinio modernumo struktūra“, M. Otte ir M. Panza (red.), Matematikos analizė ir sintezė, Dordrecht: Kluwer, pp 177–198.
  • ––– 2004 m., „Mazgų invariantai Vienoje ir Prinstone 1920 m.: Matematinių tyrimų episteminės konfigūracijos“, „Science in Context“, 17: 131–164.
  • ––– 2011 m., „Tarp nesenstančio ir istoriškumo: apie matematikos episteminių objektų dinamiką“, Isis, 102: 481–493.
  • Etcheverría, J., 1996, „Empiriniai metodai matematikoje. Atvejo analizė: Goldbacho spėjimas “, G. Munévar (red.), Ispanijos mokslo filosofijos studijos, Dordrecht: Kluwer, p. 19–55.
  • Fleck, L., 1935 m., Entstehung und Entwicklung einer wissenschaftlichen Tatsache. Einführung in die Lehre vom Denkstil und Denkkollektiv, Bazelis: Schwabe. Vertimas į anglų kalbą: Mokslinio fakto genezė ir raida (į anglų kalbą išvertė Frederikas Bradley), Čikaga: University of Chicago Press, 1979 m.
  • Fleckenstein, JO, 1955 m., „Stilprobleme des Barock bei der Entdeckung der Infinitesimalrechnung“, Studium Generale, 8: 159–166.
  • Freudenthal, H., 1975, Matematika kaip ugdymo užduotis, Dordrecht: Reidel.
  • Gavroglu, K., 1990, „Stiliaus skirtumai kaip būdas parodyti atradimo kontekstą“, Filosofija, 45: 53–75.
  • Gayon, J., 1996 m., „De la catégorie stilius ir istoriniai mokslai“, Alliage, 26: 13–25.
  • ––– 1998 m., „Geografinės sąvokos ir stilistika“, J. Gayon ir kt. (red.), La Rhétorique: Enjeux de ses Résurgences, Brukselis: OUSIA, p. 162–181.
  • Goldstein, C., 2001, „L'expérience des nombres de Bernard Frenicle de Bessy“, Revue de Synthèse, 122: 425–454.
  • Grangeris, Didžioji Britanija, 1968 m., Paryžiaus „Essai d'une“filosofijos stilius: Armandas Colinas, perspausdintas su Paryžiaus pataisomis: Odilė Jacob.
  • ––– 2003 m., „Le style mathématique de l'Académie platonicienne“, GG Granger, Philosophie, Langage, Science, Les Ulis: EDP Science, p. 267–294.
  • Gray, J., 2008, „Platono vaiduoklis: modernistinė matematikos transformacija“, Princetonas: Princeton University Press.
  • Hacking, I., 1992, „Stilius“istorikams ir filosofams “, Istorijos ir mokslo filosofijos studijos, 23: 1–20.
  • ––– 1995 m., „Immagini radikaliai suplanuotas kosmetikos progresas“, A. Pagnini, „Realismo“/ „Antirealismo“, Firenze: „La Nuova Italia“, p. 59–92.
  • ––– 1996 m., „Mokslo disunitetai“, P. Galison ir D. Stump, „The Science Disunity: Bordersies, Context and Power“, Stanfordas: Stanford University Press, p. 37–74.
  • –––, 2002 m., Istorinė ontologija, Kembridžas, MA: Harvard University Press.
  • ––– 2012 m., „Kalba, tiesa ir protas po 30 metų“, Istorijos ir mokslo filosofijos studijos, 43: 599–609.
  • Harwood, J., 1993, Mokslinės minties stiliai - Vokietijos genetikų bendruomenė, 1900–1933, Čikaga: The University of Chicago Press.
  • Høyrup, J., 2005, „Tertium non datur: samprotavimo stilius ankstyvojoje matematikoje“, P. Mancosu ir kt. (red.), vizualizacija, matematikos aiškinimas ir pagrindimas, Dordrecht: Springer, p. 91–121.
  • Katz, S., 2004, „Berlyno šaknys - sionistų įsikūnijimas: grynos matematikos etiudas ir Jeruzalės hebrajų universiteto Einšteino matematikos instituto pradžia“, „Science in Context“, 17: 199–234.
  • Kleinas, F., 1924 m., „Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus“. „Erster Band“. „Arithmetik“, „Algebra“, analizė, 3 -asis leidimas, Berlynas: Julius Springeris.
  • Kleinert, A., 1978, „Von der Science Allemande zur Deutschen Physik“, Forschungen zur westeuropäischer Geschichte, 6: 509–525.
  • Kusch, M., 2010, „Hacking'o istorinė epistemologija: samprotavimo stilių kritika“, Mokslo istorijos ir filosofijos studijos, 41: 158–173.
  • Kwa, C., 2012, „Ekologinis“mokslo ir meno stilių vaizdas: Aloiso Rieglo stiliaus sampratos tyrinėjimai “, Mokslo istorijos ir filosofijos studijos, 43: 610–618.
  • Larvor, B. (red.), 2016, Matematinės kultūros. 2012–2014 m. Susitikimai Londone, Cham: Birkhäuser.
  • Laugwitz, D., 1993, „Zur Genese des Denkens“matematikos srityje Begriffen: Bernhard Riemanns „Stil in der Analysis“, Darmštatas.
  • Leibniz, GW, 1701, „Mémoire de Mr. Leibniz palietusio sūnaus jausmas, skaičiuojant diferencialą“, žurnalas „Trévoux“, 270–272. Perspausdintas GW Leibniz, Mathematische Schriften (Redagavo CI Gerhardt), Hildesheimas: Georgas Olmsas, 1962, t. IV, 95–96 p.
  • Maienschein, J., 1991, „Episteminiai stiliai vokiečių ir amerikiečių embriologijoje“, Mokslas kontekste, 4: 407–427.
  • Mancosu, P. (red.), 1998 m., Nuo Brouwer iki Hilbert, Niujorke ir Oksforde: Oxford University Press.
  • Mancosu, P. ir kt. (red.), 2005 m., Matematikos vizualizavimas, paaiškinimas ir pagrindimas, Dordrecht: Springer.
  • Manheimas, K., 1929 m., „Ideologie und Utopie“, Bona: F. Cohenas. Vertimas į anglų kalbą: Ideologija ir utopija: žinių sociologijos įvadas, Niujorkas: Harcourt'as, Brace'as ir pasaulis, 1968 m.
  • Mehrtens, H., 1987, „Ludwig Bieberbach and 'Deutsche Mathematik““, ER Philipps, Matematikos istorijos studijos, Vašingtonas: Amerikos matematikų asociacija, 195–241 p.
  • ––– 1990 m., „Der französische Stil und der deutsche Stil. Nationalismus, Nationalsozialismus und Mathematik, 1900–1940 “, Y. Cohen ir K. Manfrass (red.), Prancūzų ir vokiečių kalbose: Forschung, Technologie und industrielle Entwicklung im 19. und 20. Jahrhundert, Miunchen: CH Beck.
  • –––, 1990b, Modernė, „Sprache“, „Mathematik“, Frankfurtas: Suhrkamp.
  • ––– 1996 m., „Modernizmas prieš kontrmodernizmą, nacionalizmas prieš internacionalizmą: stilius ir politika matematikoje, 1900–1950“, C. Goldstein ir kt. (red.), „L'Europe Mathématique“. „Histoires“, „Mythes“, „Identités“, „Evans de la Maison de Sciences of l'Homme“, Paryžius, p. 519–530.
  • Meskin, A., 2005, „Style“, B. Gout ir DM Lopes (red.), „Estetikos palydovas“, 2 -asis leidimas, Londonas: „Routledge“, p. 489–500.
  • Netz, R., 1999, „Dedukcijos formavimas graikų matematikoje“, Kembridžas: Cambridge University Press.
  • Novy, L., 1981, „Pastabos dėl Bolzano matematinio mąstymo stiliaus“, Acta Historiae Rerum Naturalium, niekur kitur nepriskirtos, „Technicarum“, 16: 9–28.
  • Nye, MJ, 1993, „Nacionaliniai stiliai? Prancūzų ir anglų chemija devynioliktame ir dvidešimtajame amžiuose “, Oziris, 8: 30–49.
  • Panofsky, E., 1924 m., Idėja, Berlynas: Erwinas Panofsky ir Bruno Hessling Verlag. Vertimas į anglų kalbą: „Idea“, Niujorkas: „Harper and Row“, 1968 m.
  • Peckhaus, V., 2007, „Stilartenhematischen Schaffens“, K. Robering (red.), „Stil“Den Wissenschaften, Miunsteris: „Nodus-Verlag“, p. 39–49.
  • JH Poincaré, 1905 m., „La Valeur de la Science“, Paryžius: „Flammarion“. Vertimas į anglų kalbą: Mokslo vertė, Niujorkas: Dover Publications, 1958 m.
  • Rabouin, D., 2017, „Matematikos praktikos stiliai“, K. Chemla ir E. Fox-Keller (red. Past.), Kultūros be kultūrizmo formuojant mokslines žinias, Durhamas: „Duke University Press“, p. 262–306..
  • Reck, E., 2009, „Dedekinds, Struktūrinis protavimas ir matematinis supratimas“, B. van Kerkhove (ed.), „Matematinės praktikos naujos perspektyvos“, Singapūras: WSPC Press, p. 150–173.
  • Riding, R., 2000, „Kognityvinis stilius: apžvalga“, RJ Riding ir SG Rayner, Tarptautinės individualių skirtumų perspektyvos, t. 1, Kognityviniai stiliai, Stamfordas (CT): Ablex, p. 315–344
  • Rowe, D., 2003, „Matematinės mokyklos, bendruomenės ir tinklai“, Cambridge Science of Science, vol. 5, Šiuolaikiniai fiziniai ir matematikos mokslai, Mary Jo Nye (red.), Kembridžas: Cambridge University Press, p. 113–132.
  • ––– 2004 m., „Matematikos kūrimas burnos kultūroje: Getingenas Kleino ir Hilberto laikais“, „Science in Context“, 17: 85–129.
  • Sauerländer, W., 1983 m., „Nuo stiliaus iki stiliaus: apmąstymai apie požiūrio likimą“, Dailės istorija, 6 (3): 253–270.
  • Segal, S., 2003, Matematikai pagal nacius, Prinstonas: Princeton University Press.
  • Sørensen, HK, 2016 m., „Įrodymų pabaiga“? Skirtingų matematikos kultūrų integracija į eksperimentinę matematiką ateina su amžiumi “, - B. Larvor (ed.),„ Matematinės kultūros “. 2012–2014 m. Susitikimai Londone, „Cham“: „Birkhäuser“, 2016, p. 139–160.
  • Spengleris, O., 1918 m. (1921) „Der Untergang des Abenlandes“, Viena: Verlag Braumüller. Vertimas į anglų kalbą: Vakarų nuosmukis: forma ir aktualumas, 2 vnt., Londonas: Allenas ir Unwinas.
  • Sternberg, RJ ir Grigorenko, EL, 2001, „Kapsulės teorijos ir stiliaus tyrimų istorija“, Sternberg ir Zhang, 2001, p. 1–22.
  • Sternberg, RJ ir Zhang, LF (red. Past.), 2001 m., Mąstymo, mokymosi ir pažinimo stilių perspektyvos, Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum.
  • Tappenden, J., 2005, „Įrodymų stilius ir supratimas matematikoje I: vizualizacija, suvienijimas ir aksiomų pasirinkimas“, Mancosu 2005, p. 147–214.
  • van Bendegem, JP, 1998 m., „Kas, jei kas yra matematikos eksperimentas?“, D. Anapolitanos ir kt. (red.), Filosofija ir daugybė mokslo veidų, Lanham: Rowman ir Littlefeld, p. 172–182.
  • Weiss, EA, 1939 m., „Über denhematischen Stil von Poncelet“, Deutsche Mathematik, 4: 126–127.
  • Wessely, A., 1991, „Stiliaus“perkėlimas iš meno istorijos į mokslo istoriją “,„ Science in Context “, 4: 265–278.
  • Wisan, W., 1981, „Galileo ir naujo mokslinio stiliaus atsiradimas“, „Theory Change“, „Antikos aksiomatika ir Galileo metodika“, t. 1, J. Hintikka, D. Gruender ir E. Agazzi (red.), Dordrecht: Reidel, p. 311–339

Akademinės priemonės

sep vyro ikona
sep vyro ikona
Kaip pacituoti šį įrašą.
sep vyro ikona
sep vyro ikona
Peržiūrėkite šio įrašo PDF versiją „Friends of the SEP“draugijoje.
info piktograma
info piktograma
Ieškokite šios įrašo temos interneto filosofijos ontologijos projekte (InPhO).
„Phil Papers“piktograma
„Phil Papers“piktograma
Patobulinta šio įrašo „PhilPapers“bibliografija su nuorodomis į jo duomenų bazę.

Kiti interneto šaltiniai

[Kreipkitės į autorių ir pateikite pasiūlymų.]