Konstruktyvioji Matematika

Turinys:

Konstruktyvioji Matematika
Konstruktyvioji Matematika
Anonim

Įėjimas Navigacija

  • Įstojimo turinys
  • Bibliografija
  • Akademinės priemonės
  • Draugai PDF peržiūra
  • Informacija apie autorius ir citata
  • Atgal į viršų

Konstruktyvioji matematika

Pirmą kartą paskelbta 1997 m. Lapkričio 18 d. esminė peržiūra 2018 m. gegužės 30 d., trečiadienis

Konstruktyvioji matematika skiriasi nuo tradicinės atitikties, klasikinės matematikos, griežtu frazės „egzistuoja“aiškinimu kaip „mes galime konstruoti“. Norėdami dirbti konstruktyviai, turime iš naujo interpretuoti ne tik egzistencinį kiekybinį rodiklį, bet ir visus loginius jungtukus bei kiekybinius rodiklius kaip instrukcijas, kaip sukonstruoti teiginio, kuriame pateiktos šios loginės išraiškos, įrodymą.

Šiame straipsnyje mes pristatome šiuolaikinę konstruktyvią matematiką, pagrįstą loginių jungčių ir kiekybinių rodiklių BHK interpretacija. Mes aptariame keturias pagrindines konstruktyvios matematikos atmainas, ypač pabrėžiant dvi su Errett Bishop ir Per Martin-Löf susijusias atmainas, kurios gali būti laikomos minimaliomis konstruktyviomis sistemomis. Tada apžvelgiame (neformalios) konstruktyviosios atvirkštinės matematikos pažangą, ty tyrimų programą, kuria siekiama nustatyti principus, tokius kaip Brouwerio gerbėjų teorema, kurie, pridedami prie minimalių konstruktyvių atmainų, palengvina svarbių analitinių teoremų įrodymus. Po trumpos diskusijos apie konstruktyvią algebrą, ekonomiką ir finansus, įrašas baigiamas dviem priedais: vienas apie tam tikrus loginius principus, kurie laikosi klasikinės, intuicionistinės ir pasikartojančios matematikos ir kurie, pridėjus vysk.konstruktyvi matematika, palengvina tam tikrų naudingų analizės teoremų įrodymą; ir vienas aptaria požiūrį į konstruktyvų bendrosios topologijos vystymą.

  • 1. Įvadas
  • 2. Konstruktyvus logikos aiškinimas
  • 3. Konstruktyviosios matematikos įvairovės

    • 3.1 Intuicionistinė matematika
    • 3.2 Rekursyvinė konstruktyvioji matematika
    • 3.3 Vyskupo konstruktyvioji matematika
    • 3.4 Martino-Löfo konstruktyvaus tipo teorija
  • 4. Pasirinkimo aksioma
  • 5. Konstruktyvi atvirkštinė matematika

    5.1 Ventiliatoriaus teoremos CRM

  • 6. Konstruktyvi topologija
  • 7. Konstruktyvioji matematinė ekonomika ir finansai
  • 8. Baigiamosios pastabos
  • Bibliografija

    • Nuorodos
    • Susijusi literatūra
  • Akademinės priemonės
  • Kiti interneto šaltiniai
  • Susiję įrašai

1. Įvadas

Prieš matematikai tvirtina ką nors (išskyrus aksiomą), jie turėjo įrodyti, kad tai tiesa. Ką tada reiškia matematikai, teigdami disjunkciją (P / vee Q), kur (P) ir (Q) yra sintaksiškai teisingi teiginiai tam tikra (oficialia ar neoficialia) matematikos kalba? Natūralus, nors, kaip matysime, ne unikalus, šio disjunkcijos aiškinimas yra tas, kad ne tik galioja (bent) vienas iš teiginių (P, Q), bet ir mes galime nuspręsti, kuris jų turi. Taigi, kaip matematikai tvirtins (P) tik nusprendę, kad (P) egzistuoja įrodydami tai, jie gali tvirtinti, kad (P / vee Q) tik tada, kai jie gali pateikti įrodymą apie (P)) arba sukurkite vieną iš (Q).

Tačiau tokiu aiškinimu susiduriame su rimta problema ypatingu atveju, kai (Q) yra (P neg) neigimas. Teigti, kad (neg P) reiškia parodyti, kad (P) reiškia prieštaravimą (pvz., (0 = 1)). Tačiau dažnai bus taip, kad matematikai neturi nei (P), nei vieno iš (neg P) įrodymų. Norėdami tai pamatyti, mums reikia apmąstyti tik šias Goldbacho prielaidas (GC):

Kiekvienas lygus sveikasis skaičius (2) gali būti parašytas kaip dviejų pirmųjų suma, kuris vis dar nėra nei įrodytas, nei paneigtas nepaisant daugelio lyderiaujančių matematikų pastangų, nes jis pirmą kartą buvo iškeltas Goldbacho laiške Euleriui 1742 m. Mes esame priversti daryti išvadą, kad P (vee Q), tik atkaklus optimistas gali išlaikyti tikėjimą atstumto vidurio (LEM) dėsniu:

Kiekvienam teiginiui (P) galioja (P) arba (neg P).

Klasikinė logika apeina tai išplėsdama disjunkcijos aiškinimą: ji interpretuoja (P / vee Q) kaip (neg (neg P / pleištas / neg Q)), arba, kitaip tariant, „prieštaringa, kad tiek (P), tiek (Q) yra klaidingi “. Savo ruožtu tai veda prie idealistinio egzistencijos aiškinimo, kuriame (egzistuoja xP (x)) reiškia (neg / forall x / neg P (x)) („prieštaringa, kad (P (x)) klaidingi kiekvienam (x) “). Būtent dėl šių disjunkcijos ir egzistavimo aiškinimų matematikai pastatė puikų ir, atrodo, neįveikiamą, klasikinės matematikos statinį, kuris yra fizinių, socialinių ir (vis labiau) biologinių mokslų pagrindas. Tačiau platesni aiškinimai kainuoja: pavyzdžiui, kai pereiname nuo pradinio natūralaus (P / vee Q) aiškinimo prie neriboto idealistinio naudojimo,(neg (neg P / pleištas / neg Q)), gautos matematikos paprastai negalima interpretuoti per skaičiavimo modelius, pavyzdžiui, rekursinių funkcijų teoriją.

Šį tašką iliustruoja gerai nusidėvėjęs pavyzdys, teiginys:

Egzistuoja neracionalūs skaičiai (a, b), kad (a ^ b) būtų racionalūs.

Menkas klasikinis įrodymas yra toks. Arba (sqrt {2} ^ { sqrt {2}}) yra racionalus, tokiu atveju imame (a = b = / sqrt {2}); arba dar (sqrt {2} ^ { sqrt {2}}) yra neracionalus, tokiu atveju imame (a = / sqrt {2} ^ { sqrt {2}}) ir (b = / sqrt {2}) (žr. Dummett 1977 [2000], 6). Tačiau dabartinis įrodymas neleidžia mums tiksliai nustatyti, kuris iš dviejų poros pasirinkimų ((a, b)) turi reikiamą savybę. Norėdami nustatyti teisingą ((a, b)) pasirinkimą, turėtume nuspręsti, ar (sqrt {2} ^ { sqrt {2}}) yra racionalus ar neracionalus, o būtent naudokime savo pirminį aiškinimą apie atsiribojimą su (P) teiginiu „(sqrt {2} ^ { sqrt {2}}) yra racionalus“.

Čia yra dar vienas aiškinimo skirtumo pavyzdys. Apsvarstykite šį paprastą teiginį apie realiųjų skaičių aibę (bR):

(tag {*} forall x / in / bR (x = 0 / vee x / ne 0),)

kur dėl priežasčių, kurias netrukus atskleidžiame, (x / ne 0) reiškia, kad galime rasti racionalųjį skaičių (r) su (0 / lt r / lt / abs {x}). Natūrali skaičiavimo (*) interpretacija yra ta, kad mes turime procedūrą, kuri taikoma bet kuriam realiajam skaičiui (x), arba mums nurodo, kad (x = 0), arba dar sako, kad (x / ne 0). (Pvz., Tokia procedūra gali išvesti 0, jei (x = 0), ir 1, jei (x = ne 0).) Tačiau kadangi kompiuteris realiuosius skaičius gali valdyti tik atlikdamas ribotus racionalius apytikslius duomenis, mes turi perpildymo problemą, kai pakankamai mažą teigiamą skaičių kompiuteris gali neteisingai suprasti kaip 0; taigi negali būti sprendimo priėmimo procedūrą, pateisinančią šį teiginį (*). Kitaip tariant, mes negalime tikėtis, kad (*) turės natūralų skaičiavimo metodą kvantikatoriui (forall) ir jungiamajam ((vee)).

Panagrinėkime tai kitu kampu. Tegul (G (n)) veikia kaip sakinys „(2n + 2) yra dviejų pradmenų suma“, kur (n) svyruoja virš teigiamų skaičių ir nusako begalinę dvejetainę seką (ba = (a_1, a_2, / ldots)) taip:

[a_n = / prasideda {atvejai} 0 & / tekstas {jei} G (n) tekstas {turi visus} k / le n \\ 1 & / tekstas {jei} neg G (n) tekstas {turi kai kuriems} k / le n \\ / pabaiga {atvejai})

Neabejotina, kad (ba) yra skaičiavimo būdu tiksliai apibrėžta seka, turint omenyje, kad kiekvienam (n) turime skaičiavimo algoritmą (a_n): patikrinkite lyginius skaičius (4, 6,8, ldots, 2n + 2), siekiant nustatyti, ar kiekvienas iš jų yra dviejų pirmųjų suma; tokiu atveju nustatykite (a_n = 0), o atvirkščiai - nustatykite (a_n = 1). Dabar apsvarstykite tikrąjį skaičių, kurio (n) trečiasis dvejetainis skaitmuo yra (a_n):

(pradėti {suderinti *} x & = (0 / cdot a_1 a_2 / cdots) _ {2} & = 2 ^ {- 1} a_1 + 2 ^ {- 2} a_2 + / cdots \& = / sum_ {n = 1} ^ { infty} 2 ^ {- n} a_n. / pabaiga {lygiuoti *})

Jei (*) galioja pagal mūsų skaičiavimo aiškinimą, galime pasirinkti tarp šių dviejų alternatyvų:

  • (2 ^ {- 1} a_1 + 2 ^ {- 2} a_2 + / cdots = 0), tai reiškia, kad (a_n = 0) kiekvienam (n);
  • galime rasti teigiamą sveiką skaičių (N) tokį, kad (2 ^ {- 1} a_1 + 2 ^ {- 2} a_2 + / cdots / gt 2 ^ {- N}).

Pastaruoju atveju, išbandydami (a_1, / ldots, a_N), galime rasti (n / le N) tokį, kad (a_n = 1). Taigi skaičiuojamasis (*) aiškinimas leidžia mums nuspręsti, ar egzistuoja (n) toks, kad (a_n = 1); kitaip tariant, tai suteikia mums galimybę nuspręsti Goldbacho spėliojimo būseną. Šio tipo pavyzdys, parodantis, kad konstruktyvus tam tikro klasikinio rezultato įrodymas (P) leistų mums išspręsti Goldbacho prielaidą (ir, remiantis panašiais argumentais, daugelis kitų iki šiol atvirų problemų, pavyzdžiui, Riemann'o hipotezė), yra vadinami Brouwerian teiginio ar net Brouwerian priešinio pavyzdžio teiginiui (P) pateikti (nors tai nėra pavyzdinis pavyzdys to žodžio prasme).

Goldbacho spėlionių vartojimas čia yra visiškai dramatiškas. Ankstesnės pastraipos argumentas gali būti pakeistas siekiant parodyti, kad pagal mūsų skaičiavimus (*) reiškia ribotą visažiniškumo principą (LPO):

Kiekvienai dvejetainiai seka ((a_1, a_2, / ldots)) arba (a_n = 0) visoms (n), arba dar yra (n) tokia, kad (a_n = 1), kuris paprastai laikomas iš esmės nekonstruktyviu principu dėl kelių priežasčių. Pirma, jo rekursinis aiškinimas, Yra rekursinis algoritmas, kuris taikomas bet kuriai rekursyviai apibrėžtai dvejetainei sekai ((a_1, a_2, / ldotams)), išveda 0, jei (a_n = 0) visiems (n), ir išveda 1, jei (a_n = 1) kai kuriems (n), tai yra klasikinė logika (žr. Bridges & Richman [1987], 3 skyrius); Taigi, jei norime leisti rekursyviai interpretuoti visą mūsų matematiką, mes negalime naudoti LPO. Antra, egzistuoja modelio teorija (Kripke modeliai), kuria galima parodyti, kad LPO nėra konstruktyviai išvestinis (Bridges & Richman [1987], 7 skyrius).

2. Konstruktyvus logikos aiškinimas

Jau dabar turėtų būti aišku, kad pilnavertė skaičiavimo matematikos raida atmeta idealistinius disjunkcijos ir egzistencijos aiškinimus, nuo kurių priklauso dauguma klasikinių matematikų. Norėdami dirbti konstruktyviai, turime grįžti iš klasikinių interpretacijų į natūralias konstruktyvias:

(vee) (arba): norėdami įrodyti (P / vee Q), mes turime turėti (P) įrodymą arba turėti (Q) įrodymą.
(pleištas) (ir): Norėdami įrodyti (P / pleištas Q), turime turėti ir (P), ir (Q) įrodymą.
(Dešinė rodyklė) (numanoma): (P / dešinės rodyklės Q) įrodymas yra algoritmas, kuris bet kurį (P) įrodymą paverčia (Q) įrodymu.
(neg) (ne): norėdami įrodyti (neg P) turime parodyti, kad (P) reiškia (0 = 1).
(egzistuoja) (yra): norėdami įrodyti (egzistuoja xP (x)), turime sukonstruoti objektą (x) ir įrodyti, kad (P (x)) turi.
(forall) (kiekvienam / visiems): (forall x / SP (x)) įrodymas yra algoritmas, pritaikytas bet kokiam objektui (x) ir duomenims, įrodantiems, kad (x / S), įrodo, kad (P (x)) turi.

Šios BHK interpretacijos (pavadinimas atspindi jų kilmę Brouwerio, Heytingo ir Kolmogorovo darbuose) gali būti tikslesnės, naudojant Kleene'io realizuojamumo idėją; žr. (Dummett [1977/2000], 222–234; Beeson [1985], VII skyrius).

Kokių dalykų mes ieškome, jei rimtai ketiname vystyti matematiką taip, kad kai teorema tvirtina, kad objektas (x) turi savybę (P), tada teoremos įrodymas įkūnija algoritmai, skirti konstruoti (x) ir įrodyti visais reikalingais skaičiavimais, kad (x) turi savybę (P). Čia pateikiami keli teoremų pavyzdžiai, po kurių neoficialiai aprašomi jos konstruktyvaus įrodymo reikalavimai.

  1. Kiekvienam realiajam skaičiui (x) arba (x = 0), arba (x / ne 0). Reikalavimas įrodyti: algoritmas, pritaikytas konkrečiam skaičiui (x), nusprendžia, ar (x = 0), ar (x / ne 0). Atminkite, kad norint priimti šį sprendimą, algoritmas gali naudoti ne tik duomenis, apibūdinančius (x), bet ir duomenis, rodančius, kad (x) iš tikrųjų yra tikrasis skaičius.
  2. Kiekvienas (bR) neapibrėžtasis poaibis (S), apribotas aukščiau, turi mažiausiai viršutinės ribos.

    Reikalavimas įrodyti: algoritmas, kuris taikomas realiųjų skaičių rinkiniui (S), (S) nariui (s) ir viršutinei (S) ribai,

    1. apskaičiuoja objektą (b) ir parodo, kad (b) yra tikrasis skaičius;
    2. parodo, kad (x / le b) kiekvienam (x / S); ir
    3. pateiktas tikrasis skaičius (b '\ lt b), apskaičiuoja (S) elementą (x) taip, kad (x / gt b').
  3. Jei (f) yra tęstinis realiosios vertės žemėlapis uždaruose intervaluose ([0,1]) taip, kad (f (0) cdot f (1) lt 0), tada egzistuoja (x) toks, kad (0 / lt x / lt 1) ir (f (x) = 0).

    Reikalavimas įrodyti: algoritmas, pritaikytas funkcijai (f), tęstinumo modulis (f) ir reikšmės (f (0)) ir (f (1)),

    1. apskaičiuoja objektą (x) ir parodo, kad (x) yra tikrasis skaičius nuo 0 iki 1; ir
    2. rodo, kad (f (x) = 0).
  4. Jei (f) yra tęstinis realiosios vertės atvaizdavimas uždarame intervale ([0,1]) taip, kad (f (0) cdot f (1) lt 0), tada kiekvienam (varepsilon / gt 0) egzistuoja (x) taip, kad (0 / lt x / lt 1) ir (abs {f (x)} lt / varepsilon).

    Reikalavimas įrodyti: algoritmas, pritaikytas funkcijai (f), tęstinumo modulis (f), reikšmės (f (0)) ir (f (1)) ir a teigiamas skaičius (varepsilonas),

    1. apskaičiuoja objektą (x) ir parodo, kad (x) yra tikrasis skaičius nuo 0 iki 1; ir
    2. rodo, kad (abs {f (x)} lt / varepsilon).

Jau turime priežasčių abejoti, ar (A) turi konstruktyvų įrodymą. Jei įrodymų reikalavimai (B) gali būti įvykdyti, tada, atsižvelgiant į bet kurį matematinį teiginį (P), mes galime pritaikyti (B) įrodymą, kad apskaičiuotume racionalųjį apytikslį (z) viršutinį tašką (sigma) rinkinio

[S = {0 } taurė {x / in / bR: P / pleištas x = 1 })

su klaida (lt / bfrac {1} {4}). Tada galime nustatyti, ar (z / gt / bfrac {1} {4}), tokiu atveju (sigma / gt 0), ar (z / lt / bfrac {3} {4}), kai (sigma / lt 1). Pirmuoju atveju egzistuoja (x / S) su (x / gt 0), taigi mes turime (x = 1), taigi (P). Šiuo atveju (sigma / lt 1) turime (neg P). Taigi (B) reiškia pašalintos vidurio dėsnį.

Tačiau Vyskupo konstruktyvioje realiųjų skaičių teorijoje, paremtoje Cauchy sekomis su iš anksto nustatytu konvergencijos greičiu, galime įrodyti šį konstruktyvų mažiausiai viršutinės ribos principą:

Tegul (S) yra nesvarbus (bR) pogrupis, kuris yra apribotas aukščiau. Tada (S) turi mažiausią viršutinę ribą tada ir tik tada, kai ji yra aukštesniojo laipsnio, ta prasme, kad visiems tikriesiems skaičiams (alfa, / beta) su (alpha / lt / beta), arba (beta) yra viršutinė (S) riba, arba dar egzistuoja (x / S) su (x / gt / alpha) (Bishop & Bridges [1985], p. 37, pasiūlymas (4.3)).

Praeinant, mes paminime alternatyvią konstruktyvios teorijos (bR), paremtos intervalų aritmetika, plėtrą; žr. „Tiltų ir Vîță“[2006] 2 skyrių.

Kiekvienas teiginys (C) ir (D), kurie yra klasikiškai lygiaverčiai, yra tarpinės vertės teoremos versija. Šiuose teiginiuose (f) tęstinumo modulis yra teigiamų realiųjų skaičių sudarytų porų ((varepsilon, / delta)) porų (Omega) rinkinys, turintis šias dvi savybes:

  • kiekvienam (varepsilon / gt 0) egzistuoja (delta / gt 0) toks, kad ((varepsilon, / delta) in / Omega)
  • kiekvienam ((varepsilon, / delta) į / Omega) ir visiems (x, y [0,1]) su (abs {x - y} lt / delta), turime (abs {f (x) - f (y)} lt / varepsilon).

Teiginys (C) apima dar vieną iš esmės nekonstruktyvų principą, mažiau ribojamą visažiniškumo principą (LLPO):

Kiekvienai dvejetainiai seka ((a_1, a_2, / ldots)), kurioje yra ne daugiau kaip vienas terminas, lygus 1, arba (a_n = 0) visiems lygiaverčiams (n), arba dar (a_n = 0) visoms nelyginėms (n).

Teiginys (D), silpnoji (C) forma, gali būti įrodytas konstruktyviai, naudojant standartinio tipo intervalą per pusę. Ši stipresnė konstruktyvioji tarpinės vertės teorema, kurios pakanka praktiškiausiems tikslams, įrodyta naudojant apytikslio intervalo per pusę argumentą:

Tegul (f) yra tęstinis realiosios vertės žemėlapis uždarame intervale ([0,1]) tokiu būdu, kad (f (0) cdot f (1) lt 0). Tarkime, kad (f) lokaliai nėra lygus nuliui ta prasme, kad kiekvienam (x [0,1]) ir kiekvienam (r / gt 0) egzistuoja (y) toks, kad (abs {x - y} lt r) ir (f (y) ne 0). Tada egzistuoja (x) toks, kad (0 / lt x / lt 1) ir (f (x) = 0).

Tarpinės vertės teoremos situacija būdinga daugeliui konstruktyvios analizės atvejų, kai randame vieną klasikinę teoremą su keliomis konstruktyviomis versijomis, kurios kelios ar visos gali būti lygiavertės pagal klasikinę logiką.

Yra vienas visažiniškumo principas, kurio konstruktyvus statusas ne toks aiškus kaip LPO ir LLPO, būtent Markovo principas (MP):

Kiekvienai binarinei sekai ((a_n)), jei prieštaraujama, kad visos sąvokos (a_n) yra lygios 0, tada egzistuoja terminas, lygus 1.

Šis principas yra lygiavertis daugeliui paprastų klasikinių teiginių, įskaitant šiuos:

  • Kiekvienam realiajam skaičiui (x), jei prieštaringai vertinama, kad (x) lygus 0, tada (x / ne 0) (ta prasme, kurią minėjome anksčiau).
  • Kiekvienam realiajam skaičiui (x), jei prieštaringai vertinama, kad (x) lygus 0, egzistuoja (y / in / bR) toks, kad (xy = 1).
  • Kiekvienam ištisiniam kartografavimui (f: [0,1] dešinėn rodyklė / bR), jei (x / ne y), tada (f (x) ne f (y)).

Markovo principas reiškia neapribotą paiešką: jei turite įrodymą, kad visi terminai (a_n) yra 0, sukelia prieštaravimą, tada, savo ruožtu, išbandydami terminus (a_1, a_2, a_3, / ldots), jūs esate garantuojama, kad sutiksite terminą, lygų 1; tačiau ši garantija netaikoma užtikrinimui, kad jūs surasite norimą terminą iki Visatos pabaigos. Dauguma konstruktyvios matematikos praktikų mato Markovo principą bent kiek įtariai, jei ne netiesiogiai. Tokias nuomones sustiprina pastebėjimas, kad egzistuoja Kripke modelis, rodantis, kad MP nėra konstruktyviai išvestinis (Bridges & Richman [1987], 137–138.)

3. Konstruktyviosios matematikos įvairovės

Noras išsaugoti skaičiavimo interpretacijos galimybę yra viena iš motyvų naudoti konstruktyvius loginių jungčių ir kiekybinių rodiklių, kuriuos mes pateikėme aukščiau, aiškinimus; bet tai nėra tiksliai matematikos konstruktyvizmo pradininkų motyvacija. Šiame skyriuje apžvelgiame keletą skirtingų požiūrių į konstruktyvizmą matematikoje per pastaruosius 130 metų.

3.1 Intuicionistinė matematika

Devynioliktojo amžiaus pabaigoje kai kurie asmenys, ypač Kroneckeris ir Poincaré, išreiškė abejones dėl idealistinių, nekonstruktyvių metodų, kuriuos naudoja kai kurie jų amžininkai, ar net nepritarimo jiems; tačiau tikslaus, sistemingo požiūrio į konstruktyvią matematiką pagrindai grindžiami poleminiais LEJ Brouwerio (1881–1966) raštais, pradedant jo Amsterdamo daktaro disertacija Brouwer [1907] ir tęsiant per kitus keturiasdešimt septynerius metus. buvo paguldytos. Brouwerio filosofijoje, žinomoje kaip intuicionizmas, matematika yra laisvas žmogaus proto kūrimas, o objektas egzistuoja tada ir tik tada, kai jį galima (protiškai) sukonstruoti. Jei laikotės tos filosofinės pozicijos, tai neišvengiamai atkreipiamas į pirmiau pateiktą konstruktyvų loginių jungčių ir kiekybinių rodiklių aiškinimą:kaip tam tikro objekto negalėjimo neįrodyti įrodymas (x) galėtų apibūdinti protinę (x) konstrukciją?

Brouweris nebuvo aiškiausias savo idėjų eksponentas, kaip rodo ši citata:

Matematika atsiranda, kai dvejopo dalyko dalykas, atsirandantis dėl praeinančio laiko, yra pašalinamas iš visų ypatingų įvykių. Visų šių dviejų dalykų bendro turinio likusi tuščia forma ((n) santykis su (n + 1)] tampa originalia matematikos intuicija ir pakartojama neribotai sukuria naujus matematikos dalykus. (cituojama Kline [1972], 1199–2000)

Šiuolaikinę Brouwerio nuomonės versiją pateikė Errett Bishop (Vyskupas [1967], p. 2):

Pagrindinis matematikos rūpestis yra skaičius, o tai reiškia teigiamus sveikus skaičius. Mes jaučiame apie tai, kaip Kantas jautėsi erdvėje. Teigiami sveikieji skaičiai ir jų aritmetinė prielaida yra pati mūsų intelekto prigimtis, o mes, linkę manyti, pati intelekto prigimtis apskritai. Teigiami sveikieji skaičiai išsiskiria iš primityvios vieneto sampratos, gretimo vieneto sampratos ir matematinės indukcijos proceso. Kroneckerio žodžiais tariant, teigiamus sveikuosius skaičius sukūrė Dievas.

Nepaisant to, kokie neaiškūs Brouwerio raštai galėjo būti, vienas dalykas buvo visada aiškus: jam matematika turėjo viršenybę prieš logiką. Galima sakyti, kaip tai padarė Hermannas Weylas kitame ištraukoje, kad Brouweris matė klasikinę matematiką kaip klaidingą klasikinės logikos vartojime, nenurodydamas pagrindinės matematikos:

Remiantis [Brouwerio] požiūriu ir skaitant istoriją, klasikinė logika buvo abstrahuota iš baigtinių aibių ir jų pogrupių matematikos. … Pamiršęs šią ribotą kilmę, paskui neteisingai pritaikė tą logiką tam, kas buvo aukščiau ir prieš matematiką, ir galiausiai, nepateisindamas, pritaikė ją begalinių aibių matematikai. Tai yra kritusi ir originali nusistovėjusios teorijos nuodėmė, už kurią ją teisingai nubaudžia antinomijos. Stebina ne tokie prieštaravimai, bet tai, kad jie pasirodė tokiu vėlyvu žaidimo etapu. (Weylas [1946 m.])

Visų pirma, dėl šio netinkamo logikos panaudojimo buvo gauti nekonstruktyvūs egzistavimo įrodymai, kurie, pasak Weyl, „informuoja pasaulį, kad lobis egzistuoja neatskleisdamas jo buvimo vietos“.

Norint apibūdinti intuicijos matematiko naudojamą logiką, pirmiausia reikėjo išanalizuoti proto matematinius procesus, iš kurių analizės logika galėtų būti išgauta. 1930 m. Garsiausias Brouwerio mokinys Arend Heyting paskelbė formalių aksiomų rinkinį, kuris taip aiškiai apibūdina intuicionisto naudojamą logiką, kad jos visuotinai žinomos kaip intuicionistinės logikos aksiomos (Heyting [1930]). Šios aksiomos užfiksavo neformalų BHK aiškinimą apie jungtis ir kiekybinius rodiklius, kuriuos mes pateikėme anksčiau.

Intuicionistinė matematika aiškina terminą „seka“nuo kitų konstruktyviosios matematikos rūšių. Paprastai konstruktyvios matematikos seka pateikiama taisykle, kuri iš anksto nustato, kaip sukonstruoti kiekvieną jos terminą; tokia seka gali būti sakoma įstatymiška arba nulemta. Brouweris apibendrino šią sekos sąvoką, kad apimtų galimybę statyti terminus po vieną, kiekvienas terminas pasirenkamas laisvai arba laikantis tik tam tikrų iš anksto nustatytų apribojimų. Daugumai sekų manipuliacijų nereikia, kad jos būtų iš anksto nustatytos, ir jas galima atlikti su šiomis bendresnėmis laisvo pasirinkimo sekomis.

Taigi intuicionistui realusis skaičius (bx = (x_1, x_2, / ldots)) - iš esmės Cauchy racionaliųjų skaičių seka nebūtinai turi būti pateikta taisykle: jo terminai (x_1, x_2, / ldotai) yra tiesiog racionalūs skaičiai, paeiliui sukonstruoti, kuriems taikomi tik tam tikri Cauchy apribojimai, tokie kaip šis, kurį naudoja vyskupas [1967]:

(forall m / forall n / left (abs {x_m - x_n} le / left (frac {1} {m} + / frac {1} {n} right) right])

Kai laisvo pasirinkimo sekos bus įtrauktos į matematiką, todėl, turbūt iš pradžių stebiuosi, yra tam tikri tvirti pasirinkimo principai. Tegul (P) yra (bN ^ { bN} kartų / bN) pogrupis (kur (bN) žymi natūraliųjų skaičių aibę, o aibėms (A) ir (B, B ^ A) žymi rinkinių atvaizdavimą iš (A) į (B)) ir tarkime, kad kiekvienam (ba / in / bN ^ { bN}) egzistuoja (n / in / bN) taip, kad ((ba, n) P) Konstruktyviu požiūriu tai reiškia, kad turime procedūrą, taikomą sekoms, kuri apskaičiuoja (n) bet kuriam (ba). Pasak Brouwerio, elemento (bN ^ { bN}) konstravimas amžinai nėra baigtas: bendroji seka (ba) yra tik pratęsimas ta prasme, kad bet kuriuo momentu mes nieko negalime žinoti. apie (ba), išskyrus baigtinį jo sąlygų rinkinį. Tai reiškia, kad mūsų procedūra turi sugebėti iš tam tikros baigtinės pradinės ((a_0, / ldots, a_N)) terminų (ba) skaičiuoti natūralųjį skaičių (n) taip, kad (P (ba, n)). Jei (bb / in / bN ^ { bN}) yra kokia nors seka, kad (b_ {k} = a_ {k}), skirta (0 / le k / le N), tada mūsų procedūra turi grąžinti tą patį (n) for (bb) kaip ir (ba). Tai reiškia, kad (n) yra ištisinė (ba) funkcija, atsižvelgiant į metriką, nurodytą metrikoje (bN ^ { bN}). Tai reiškia, kad (n) yra ištisinė (ba) funkcija, atsižvelgiant į metriką, nurodytą metrikoje (bN ^ { bN}). Tai reiškia, kad (n) yra ištisinė (ba) funkcija, atsižvelgiant į metriką, nurodytą metrikoje (bN ^ { bN}).

(varrho: (ba, / bb) rightsquigarrow / inf {2 ^ {- n}: a_k = b_k / text {for} 0 / le k / le n }.)

Todėl mes vadovaujamės tokiu nepertraukiamo pasirinkimo principu, kurį mes padalijame į tęstinumo ir pasirinkimo dalis.

CC1: Bet kuri funkcija nuo (bN ^ { bN}) iki (bN) yra nepertraukiama.

CC2: Jei (P / subseteq / bN ^ { bN} kartų / bN) ir kiekvienam (ba / in / bN ^ { bN}) egzistuoja (n / in / bN) tokia, kad ((ba, n) in P), tada yra funkcija (f: / bN ^ { bN} rightarrow / bN) tokia, kad ((ba, f (ba)) in P) visiems (ba / in / bN ^ { bN}).

Jei (P) ir (f) yra kaip CC2, tada sakome, kad (f) yra pasirinkimo funkcija, skirta (P).

Visuotinumo principai LPO ir LLPO yra akivaizdžiai klaidingi pagal hipotezes CC1–2; bet MP tai atitinka. Tarp žymių CC1–2 pasekmių yra šios.

  • Bet kuri funkcija nuo (bN ^ { bN}) arba (2 ^ { bN}) iki metrinės erdvės yra nenutrūkstama.
  • Kiekvienas atvaizdas nuo nesvarumo atskirtos metrinės erdvės iki metrinės erdvės yra nenutrūkstamas.
  • Kiekvienas žemėlapis nuo tikrosios linijos (bR) iki savęs yra nenutrūkstamas.
  • Tegul (X) yra visa atskiriama norminė erdvė, (Y) norminė erdvė ir ((u_n)) linijinių atvaizdų seka iš (X) į (Y) tokia, kad kiekvienas vienetas vektoriaus (x) iš (X), (phi (x) = / sup { Vert u_n (x) rVert: n / in / bN }) egzistuoja. Tada egzistuoja (c / gt 0) toks, kad (lVert u_n (x) rVert / le c) visiems (n / in / bN) ir visiems vienetų vektoriams (x) iš (X) (vienodo apribumo principas).

Atrodo, kad visi šie teiginiai prieštarauja žinomoms klasikinėms teoremoms. Tačiau palyginimo su klasikine matematika nereikėtų daryti paviršutiniškai: norėdami suprasti, kad čia nėra tikrojo prieštaravimo, turime suvokti, kad intuityvinėje matematikoje tokių terminų kaip „funkcija“ir net „tikrasis skaičius“reikšmė yra gana skirtinga. nuo to klasikinėje aplinkoje. (Praktiškai intuityvios matematikos negalima lengvai ir tiesiogiai palyginti su klasikine matematika.)

Brouwersto introspekcija apie funkcijų pobūdį ir tęstinumą atvedė jį prie antrojo principo, kuris, skirtingai nei nuolatinis pasirinkimas, yra klasikinis. Šiam principui paaiškinti reikia šiek tiek daugiau pagrindų.

Bet kokiam rinkiniui (S) mes žymime (S ^ *) visų baigtinių (S) elementų sekų aibę, įskaitant tuščią seką (()). Jei (alpha = (a_1, / ldots, a_n)) yra (S ^ *), tada (n) vadinamas (alpha) ilgiu ir žymimas (abs { alpha}). Jei (m / in / bN), o (alpha) yra baigtinė ar begalinė seka, kurios ilgis (S) yra bent (m), tada žymime ženklu (bar { alfa} (m)) baigtinė seka, susidedanti iš pirmųjų (m) terminų (alfa). Atminkite, kad (bar { alpha} (0) = ()) and (abs { bar { alpha} (0)}) = 0. Jei (alpha / in S ^ *) ir (beta = / bar { alpha} (m)) kai kuriems (m), sakome, kad (alpha) yra (beta), ir kad (beta) yra apribojimas (alpha).

Sakoma, kad (S) pogrupis (sigma) gali būti nuimamas (nuo (S)), jei

(forall x / in S (x / in / sigma / vee x / not / in / sigma).)

Nuimamas (bN ^ *) pogrupis (sigma) vadinamas ventiliatoriumi, jei

  • jis uždarytas pagal apribojimus: kiekvienam (alpha / in / bN ^ *) ir kiekvienam (n), jei (bar { alpha} (n) in S), tada (juosta { alpha} (k) in S), kai (0 / le k / le n); ir
  • kiekvienam (alpha / in / sigma) rinkinys ({ alpha ^ * n / in S: n / in / bN }) yra baigtinė arba tuščia, kur (alpha ^ * n) žymi baigtinę seką, gautą sujungiant natūralųjį skaičių (n) prie (alpha) terminų.

Kelias ventiliatoriuje (sigma) yra seka (alpha), baigtinė ar begalinė, tokia, kad (bar { alpha} (n) in / sigma) kiekvienam taikytinam (n). Mes sakome, kad kelią (alfa) blokuoja pogrupis (B), jei kai kurie (alfa) apribojimai yra (B); jei (B) nėra jokių apribojimų (alpha), mes sakome, kad (alpha) praleidžia (B). Ventiliatoriaus (sigma) pogrupis (B) vadinamas (sigma) juosta, jei (B) blokuoja kiekvieną begalinį (sigma) kelią; (sigma) juosta (B) yra vienoda, jei egzistuoja (n / in / bN), kad kiekvienas ilgio kelias (n) būtų užblokuotas (B).

Pagaliau galime pasakyti apie kitą Brouwerio intuicijos principą, nuimamų strypų ventiliatoriaus teoremą (FT (_ D)):

Kiekvienas nuimamas ventiliatoriaus strypas yra vienodas.

Klasikinė kontrapozityvioji forma FT (_ D) yra žinoma kaip König's Lemma: jei kiekvienam (n) yra kelias ilgio (n), kuris praleidžia (B), tada yra begalinis kelias, praleistas (B) (žr. Dummett 1977 [2000], 49–53). (Aišku, klasikiškai atskyrimo sąlygos yra nereikalingos.) Sukurti Brouwerian priešpriešinį pavyzdį König's Lemma yra paprasta.

Brouweris iš tikrųjų pateikė gerbėjo teoremą, neribodamas juostos nuimamumo. Mėginimai įrodyti, kad bendresnė gerbėjų teorema konstruktyviai remiasi analize, kaip mes galėjome žinoti, kad pogrupis yra juosta, ir paskatino Brouwerį suvokti juostos indukciją; tai aptariama matematikos filosofijos intuicionizmo įrašo 3.6 skyriuje; kita gera strypo indukcijos nuoroda yra van Attenas (2004). Grįšime prie gerbėjų teoremų 4 skyriuje.

Iš daugelio Brouwerio principų taikymo garsiausia yra jo vienodo tęstinumo teorema (kuri iš CC1-2 taškinių tęstinumo padarinių išplaukia iš bendresnės fanų teoremos formos nei FT (_ D)):

Kiekvienas žemėlapio sudarymas iš kompaktiškos (tai yra visos, visiškai apribotos) metrinės erdvės į metrinę erdvę yra tolygus.

Skaitytojui dar kartą perspėjama tai atidžiai interpretuoti Brouwerio intuicionizmo rėmuose ir nesigilinti į klaidingą išvadą, kad intuicionizmas prieštarauja klasikinei matematikai. Protingiau šias dvi matematikos rūšis vertinti kaip nepalyginamas. Norėdami sužinoti daugiau, skaitykite įrašą apie intuicionistinę logiką.

Deja, ir galbūt neišvengiamai, prieštaraudami tokiems matematikams kaip Hilbertas. Brouverio intuicionistinė matematikos ir filosofijos mokykla vis labiau įsitraukė į tai, kas, bent jau klasikiniams matematikams, pasirodė esą beveik mistiška spekuliacija apie gamtą. konstruktyvios minties, pakenkiant pačiai konstruktyviosios matematikos praktikai. Ši apgailėtina brouweriečių ir Hilbertiansų poliarizacija kulminacija tapo XX a. Dešimtmetyje pagarsėjusiame Grundlagenstreit, kurio detales galima rasti van Daleno [1999, 2005] ir van Stigto [1990] Brouwerio biografijose.

3.2 Rekursyvinė konstruktyvioji matematika

1940 m. Pabaigoje rusų matematikas A. A. Markovas pradėjo kurti alternatyvią konstruktyviosios matematikos formą (RUSS), kuri iš esmės yra rekursyvinė funkcijų teorija su intuityvine logika (Markovas [1954], Kushner [1985]). Šioje įvairovėje objektai apibrėžiami Gödel numeriais, o visos procedūros yra rekursyvios; pagrindinis skirtumas tarp RUSS ir klasikinės rekursinės analizės, parengtos po Turingo, Church'o ir kitų 1936 m. darbo, paaiškino apskaičiuojamų procesų pobūdį yra tas, kad RUSS naudojama logika yra intuityvi.

Viena kliūčių, su kuriomis susiduria matematikas, bandydamas susitaikyti su RUSS, yra ta, kad, išreikšta rekursijos teorijos kalba, ji nėra lengvai skaitoma; iš tiesų, atidarius puikių Kušnerio paskaitų [1985] puslapį, gali būti atleista, kad įdomu, ar tai analizė, ar logika. (Ši pastaba turėtų būti sušvelninta atsižvelgiant į dvi gana lengvai skaitomas Abertho knygas apie klasikinę rekursyvią analizę [1980, 2001].) Laimei, į RIEJŲ širdį galima patekti aksiomatiniu požiūriu dėl Richmano [1983] (taip pat žr. 3 skyrius „Bridges & Richman [1987]).

Pirmiausia apibrėžiame aibę (S), kuri turi būti suskaičiuota, jei yra atvaizduojamas atskirtas (bN) pogrupis į (S). Naudodami intuityvią logiką negalime įrodyti, kad kiekvienas (bN) pogrupis yra atskirtas (skaitytojas kviečiamas pateikti Brouwerian pavyzdį, kad tai parodytų). Skaičiuojami (bN) pogrupiai pagal Richmano aksiomatinį požiūrį yra rekursyviai surašomų rinkinių atitikmenys normaliam RUSS vystymuisi.

Daline funkcija (bN) mes turime omenyje atvaizdą, kurio domenas yra (bN) pogrupis; jei domenas yra pats (bN), tada funkciją mes vadiname visa dalinine funkcija, esančia (bN). Richmano požiūris į RUSS grindžiamas intuicionistine logika ir viena apskaičiuojamųjų dalinių funkcijų (CPF) aksioma:

Yra sąrašas ((phi_0, / phi_1, / ldots) visų dalinių funkcijų rinkinyje nuo (bN) iki (bN) su skaičiuojamais domenais.

Stebėtina, ką galima švariai ir greitai išskaičiuoti naudojant šį principą. Pavyzdžiui, mes galime įrodyti šį rezultatą, kuris beveik iš karto rodo, kad LLPO, taigi ir LPO, yra klaidingi rekursiniame nustatyme.

Yra visa dalinė funkcija (f: / bN / kartų / bN / dešinėn rodyklė {0,1 }) tokia, kad

  • kiekvienam (m) egzistuoja daugiausia vienas (n) toks, kad (f (m, n) = 1); ir
  • kiekvienai bendrai funkcijai (f: / bN / dešiniarankiams {0,1 }) egzistuoja (m, k) (bN), kad (f (m, 2k + f (m)) = 1).

Vis dėlto labiau domina tokie rezultatai RUSS.

  • Speckerio teorija (Specker [1949]): Yra griežtai didėjanti racionalaus skaičiaus seka ((r_1, r_2, / ldots)) uždarame intervale ([0,1]) taip, kad kiekvienam (x / in / bR) egzistuoja (N / in / bN) ir (delta / gt 0) tokių, kad (abs {x - r_n} ge / delta) visiems (n / ge N).
  • Kiekvienam (varepsilon / gt 0) egzistuoja seka ((I_1, I_2, / ldots)), apribotų atvirų intervalų intervale (bR) tokiu, kad (prasideda {lygiuoti} žyma {i} bR & / subseteq / bigcup_ {n = 1} ^ { infty} I_n, / text {and} / \ tag {ii} sum_ {n = 1} ^ N / abs {I_n} & / lt / varepsilon / text {kiekvienam} N. / pabaiga {lygiuoti}) (tokia intervalų seka vadinama (varepsilon) - vienaskaitiniu (bR) viršeliu.)
  • Egzistuoja tolydžio nepertraukiama funkcija (f: [0,1] dešinė rodyklė / bR), kuri nėra tolygi.
  • Egzistuoja teigiama verte vienodai tęstinė funkcija (f: [0,1] dešinė rodyklė / bR), kurios mažiausia reikšmė yra 0.

Klasikiniu požiūriu šie rezultatai tinka, kai suprantama, kad tokie žodžiai kaip „funkcija“ir „tikrasis skaičius“turėtų būti aiškinami kaip „rekursinė funkcija“ir „rekursyvus tikrasis skaičius“. Atminkite, kad antroji iš aukščiau paminėtų keturių rekursinių teoremų yra stiprus rekursinis reaktyviosios (rekursinės) eilutės atvirojo dangčio kompaktiškumo priešpriešinis pavyzdys; o ketvirtasis yra rekursinis klasikinės teoremos pavyzdys, kad kiekvienas tolygus kompaktiško rinkinio žemėlapis į (bR) pasiekia savo maksimumą.

3.3 Vyskupo konstruktyvioji matematika

Visą kitą konstruktyvios matematikos progresą per kitą pusantro dešimtmečio buvo gana lėtai. Matematikos konstruktyvizmo profiliui pakelti reikėjo aukščiausio lygio klasikinio matematiko, kuris parodė, kad kruopštus ir konstruktyvus giluminės analizės vystymas buvo įmanomas neprisiimant Brouwerio neklasikinių principų ar rekursinių funkcijų teorijos mechanizmų. Šis poreikis buvo patenkintas 1967 m., Pasirodžius Errett Bishop monografijai „Construktinės analizės pagrindai“(1967) - stulbinančiam poros metų produktui, kuriame dirbdamas neoficialiu, bet griežtu įprastu analitikų stiliumi, vyskupas pateikė konstruktyvų tobulėjimą. didelę XX a. analizės dalį, įskaitant Stone-Weierstrass teoremą, Hahn-Banach ir atskyrimo teoremas,spektrinė teorema savarankiškiems operatoriams Hilberto erdvėje, Lebesgue'o konvergencijos teoremos abstrakčiams integralams, Haaro matas ir abstrakti Furjė transformacija, ergodinės teoremos bei Banacho algebros teorijos elementai. (Taip pat žr. Bishop & Bridges [1985].) Taigi, ištiko insultas, jis meluoja visuotinai laikomoms nuomonėms, kurias taip tvirtai išreiškė Hilbertas:

Teigti, kad atstumti vidurį iš matematiko principo, tarkime, būtų tas pats, kas liepti teleskopą astronomui ar boksininkui naudoti kumščius. (Hilbertas [1928 m.])

Ne tik vyskupo matematikos BISH pranašumas yra skaitomumas - jei atidarote Vyskupo knygą bet kuriame puslapyje, tai, ką matote, aiškiai atpažįstama kaip analizė, net jei retkarčiais jo veiksmai įrodymų metu gali pasirodyti keistai. mokoma pagal pašalinto vidurio dėsnio taikymą, tačiau, skirtingai nei intuicionistinė ar pasikartojanti matematika, ji pripažįsta daugybę skirtingų interpretacijų. Intuicionistinė matematika, rekursyvinė konstruktyvioji matematika ir net klasikinė matematika pateikia BISH modelius. Faktiškai BISH rezultatus ir įrodymus galima aiškinti su daugiausiai nedidelių pakeitimų, bet kokiu pagrįstu skaičiuojamosios matematikos modeliu, pavyzdžiui, pvz., Weihrauch antrojo tipo efektyvumo teorija (Weihrauch [2000]; Bauer [2005]).

Kaip pasiekiamas šis daugialypis aiškumas? Bent jau iš dalies dėl vyskupo atsisakymo susmulkinti savo primityvią „algoritmo“ar, jo žodžiais tariant, „baigtinės rutinos“sąvoką. Šis atsisakymas sukėlė kritiką, kad jo požiūris nėra toks tikslus, kokio paprastai tikisi logikas iš pagrindinės sistemos. Tačiau šią kritiką galima įveikti atidžiau pažiūrėjus, ką iš tikrųjų daro BISH praktikai, įrodydami teoremas: praktikoje jie daro matematiką, naudodamiesi intuicionistine logika. Patirtis rodo, kad apribojimas intuicionistine logika visada priverčia matematikus dirbti tokiu būdu, kurį bent jau neoficialiai galima apibūdinti kaip algoritminį; taigi algoritminė matematika atrodo lygiavertė matematikai, kuriai naudojama tik intuityvi logika. Jei taip yra,tada mes galime praktikuoti konstruktyvią matematiką naudodami intuicionistinę logiką ant bet kurio pagrįstai apibrėžto matematinio objekto, o ne tik kai kurių „konstruktyvių objektų“klasės.

Panašu, kad šį požiūrį daugiau ar mažiau pirmiausia pateikė Richmanas [1990, 1996]. Atsižvelgiant į logiką kaip pagrindinę konstruktyvios matematikos savybę, ji neatspindi matematikos viršenybės prieš logiką, kuri buvo Brouwerio, Heytingo, Markovo, vyskupo ir kitų konstruktyvizmo pradininkų įsitikinimu. Kita vertus, tai praktiškai atspindi konstruktyvios matematikos esmę.

Taigi galima atskirti ontologinį Brouwerio konstruktyvizmą nuo kitų, kurie vedami į konstruktyvią matematiką tikint, kad matematiniai objektai yra psichinė kūryba, ir nuo Richmano epistemologinio konstruktyvizmo nuo tų, kurie mato konstruktyvią matematiką kaip būdingą jos metodologijai, paremtai vartojimu. intuicinės logikos. Žinoma, buvęs požiūris į konstruktyvizmą neišvengiamai lemia pastarąjį; ir pastaroji tikrai neprieštarauja brouveriečių ontologijai.

Norėdami atlikti tikrąją matematiką, mums reikia ne tik intutionistinės logikos. Vyskupui matematikos elementai buvo teigiami sveikieji skaičiai (žr. Bishop citatą [1967] 3.1 skyriuje). Tarp ankstyvų oficialių BISH sistemų buvo Myhillio [1975 m.] Aksiomatinis pagrindas, pagrįstas primityviomis skaičiaus, rinkinio ir funkcijos sampratomis; Fefermano [1975 m.] Aiškios matematikos sistema; ir Friedmano [1977] intuicionistinė ZF rinkinio teorija. Du šiuo metu labiausiai mėgstami oficialūs BISH pagrindai yra CZF nustatyta Aczelio ir Rathjeno [2000] teorija ir Martin-Löfo intuicionistinė tipo teorija [1975, 1984].

3.4 Martino-Löfo konstruktyvaus tipo teorija

Prieš baigdami šiuolaikinės konstruktyvios matematikos variantų apžvalgą, aplankome ketvirtąją įvairovę, pagrįstą Per Martin-Löf intuityvistine tipo teorija (ML). Martin-Löf paskelbė savo pastabas apie konstruktyviąją matematiką [1968], pagrįstas paskaitomis, kurias jis skaitė Europoje 1966–68; taigi jo įsitraukimas į konstruktyvizmą matematikoje grįžta bent jau į tą laikotarpį, kai Vyskupas parašė konstruktyviosios analizės pagrindus. Martin-Löf knyga yra RUSS, o ne BISH dvasia; iš tikrųjų jos autorius neturėjo galimybės susipažinti su vyskupo knyga, kol nebuvo baigtas jo paties rankraštis. Vėliau Martin-Löf atkreipė dėmesį į savo tipų teoriją kaip į vyskupo stiliaus konstruktyvios matematikos pagrindą.

Čia, jo paties žodžiais, yra neformalus minčių, kuriomis grindžiamas ML, paaiškinimas:

Turėsime galvoje matematinius objektus ar konstrukcijas. Kiekvienas matematinis objektas yra tam tikros rūšies ar tipo [… ir] visada pateikiamas kartu su jo tipu. … Tipas apibrėžiamas apibūdinant, ką turime padaryti, kad sukonstruotume to tipo objektą. … Kitaip tariant, tipas yra tiksliai apibrėžtas, jei suprantame … ką reiškia būti to tipo objektu. Taigi, pavyzdžiui, (bN / rightarrow / bN) [funkcijos nuo (bN) iki (bN)] yra tipas, ne todėl, kad mes žinome tam tikras skaičių teorines funkcijas, tokias kaip primityviosios rekursinės, bet nes manome, kad suprantame skaičių teorinės funkcijos sąvoką apskritai. (Martin-Löf [975])

Visų pirma, šioje sistemoje kiekvienas teiginys gali būti vaizduojamas kaip tipas: būtent teiginio įrodymų rūšis. Priešingai, kiekvienas tipas lemia teiginį: būtent teiginį, kad aptariamas tipas yra apgyvendintas. Taigi, kai mes galvojame apie tam tikrą (T) tipą kaip teiginį, interpretuojame formulę

[x / in T)

nes „(x) yra teiginio (T) įrodymas“.

Toliau Martin-Löf kuria iš senų naujų rūšių, tokių kaip Dekarto gaminiai ir atskirtos sąjungos. Pavyzdžiui, Dekarto gaminys

[(Pi x / in A) B (x))

yra funkcijų tipas, paimantis (A) tipo savavališką objektą (x) į (B (x)) tipo objektą. Aiškinant teiginius kaip įrodymus, kai (B (x)) reiškia teiginį, aukščiau pateiktas Dekarto produktas atitinka universalųjį teiginį.

[(forall x / in A) B (x).)

Martin-Löf kruopščiai išskiria įrodymus ir išvedimus: įrodymo objektas yra liudijimas to, kad kai kurie teiginiai buvo įrodyti; kadangi išvestinė yra įrodyto objekto pastatymo įrašas. Be to, jis naudojasi dviem pagrindinėmis vertinimo formomis (viena nedrįstama čia sakyti „tipų“). Pirmasis yra įrodymų objektų ir teiginių santykis, antrasis yra kai kurių teiginių savybė. Pirmuoju atveju sprendimas yra tas, kuris įrodo, kad objektas (a) yra teiginio (A) liudytojas, arba kitu atveju, kai du įrodomieji objektai (a) ir (b) yra lygus ir abu liudija, kad (A) buvo įrodyta. Pirmuoju antrosios formos sprendimu teigiama, kad teiginys (A) yra gerai suformuotas, o antrasis - kad du teiginiai (A) ir (B) yra lygūs.

Yra kruopštus ir labai detalus ML įforminimo taisyklių rinkinys. Mes nenagrinėsime jų čia, bet nukreipkime skaitytoją į kitus šaltinius, tokius kaip Sambin & Smith [1998].

Faktiškai atliekant konstruktyvią matematiką tipo teorijoje, dažnai reikia pateikti visiškai pateiktus rinkinius (tipus) ekvivalentiškumo santykiu, derinys žinomas kaip setoidas. Atvaizdavimas yra funkcijos, kurios gerbia tuos lygiavertiškumo ryšius. Tai artimai suderina su tuo, kaip vyskupas pateikė savo neoficialią rinkinių teoriją. Priklausomi Martin-Löf tipai yra naudingi konstruojant pogrupius. Pavyzdžiui, realieji skaičiai gali būti sudaryti naudojant (Sigma) - tipą (žr. Martin-Löf [1984]):

[(Sigma x / in / bN _ + / dešinė rodyklė / bQ) (Pi m / in / bN _ +) (Pi n / in / bN _ +) kairė (abs {x_ {m} - x_ {n }} le / kairė (frac {1} {m} + / frac {1} {n} dešinė) dešinė],)

Taigi šio tipo (B) elementas yra pora, susidedanti iš konvergencijos racijų sekos (bx) ir įrodymo (p), kad ji yra konvergentiška. Tinkamas ekvivalentiškumo santykis ({ sim}), esantis (R), apibrėžiamas imant ((x, p) sim (y, q)) reikšti

(Forall m / in / bN_ + / left (abs {x_ {m} - y_ {m}} le / frac {2} {m} right).)

Gautas realiųjų skaičių setoidas yra (bR = (R, { sim})). Mes galime tai lengvai įrodyti

(forall x / in / bR \, / egzistuoja n / Z (n / lt x / lt n + 2))

tada naudodamiesi pasirinkta tipo teorine aksioma (žr. 4 skyrių žemiau), suraskite funkciją (f: / bR / dešinėn rodyklę / bZ) tokią, kad (f (x) lt x / lt f (x) +2). Tačiau nėra jokios priežasties manyti, kad funkcija (f) laikosi lygiavertiškumo ryšių, tai yra, kad (f (x) = f (y)) galioja, jei (x / sim y).

Kiekvienas konstruktyvus įrodymas apima algoritmą, kurį iš esmės galima išskleisti ir išdėstyti nauja redakcija kaip kompiuterio programą; be to, pats konstruktyvus įrodymas yra patikrinimas, ar algoritmas yra teisingas - tai yra, ar jis atitinka jo specifikaciją. Vienas pagrindinių Martin-Löf formalaus požiūrio į konstruktyvią matematiką pranašumų yra tas, kad jis labai palengvina programų ištraukimą iš įrodymų. Tai paskatino rimtus konstruktyvios matematikos diegimo darbus įvairiose vietose (žr. Martin-Löf [1980], Constable [1986], Hayashi & Nakano [1988], Schwichtenberg [2009]). Kai kurie naujausi tipų teorijos įrodymų gavimo variantai yra „Coq“ir „Agda“(žr. Nuorodas kituose interneto šaltiniuose).

4. Pasirinkimo aksioma

Visą pasirinktą aksiomą galima pasakyti taip:

Jei (A, B) yra apgyvendinti rinkiniai, o (S) (A / kartų B) pogrupis yra toks, kad

(Forall x / A \, / egzistuoja y / B ((x, y) S),)

tada egzistuoja pasirinkimo funkcija (f: A / dešinė rodyklė B) tokia, kad

(forall x / in A ((x, f (x)) S)).)

Dabar, jei tai reikia aiškinti konstruktyviai, tam tikros (x / raidės A) pasirinkimo funkcijos (f (x)) reikšmė priklausys ne tik nuo (x), bet taip pat dėl duomenų, įrodančių, kad (x) priklauso (A.). Apskritai negalime tikėtis, kad atliksime tokią pasirinkimo funkciją. Tačiau BHK hipotezių aiškinimas aksiomoje yra toks: egzistuoja algoritmas (mathcal {A}), kuris pritaikytas bet kuriam konkrečiam (x / in A) ir sukuria elementą (y / in B) toks, kad ((x, y) in S). Jei (A) yra visiškai pateiktas rinkinys, kuriam nereikia įrodymų, kad elementas iš tikrųjų priklauso (A), nereikia atlikti jokių darbų, išskyrus kiekvieno rinkinio elemento konstrukciją, tada pagrįstai galime tikėtis algoritmo. (mathcal {A}) būti pasirinkimo funkcija. Martin-Löf tipo teorijoje kiekvienas rinkinys yra visiškai pateiktas ir,atsižvelgiant į BHK aiškinimą, pasirinkta aksioma yra išvestinė.

Kita vertus, vyskupo stiliaus matematikoje visiškai pateikiami ––– arba, jo terminologijoje, pagrindiniai ––– rinkiniai yra reti, vienas iš pavyzdžių yra (bN); taigi galime tikėtis, kad pasirinkta aksioma nebus išvedama. Tiesą sakant, kaip parodė Diaconescu [1975] ir Goodman & Myhill [1978], o pats vyskupas iš anksto apibrėžė 1967 m. Vyskupo 58 uždavinio 2 problemą, pasirinkta aksioma reiškia atskirto vidurio dėsnį. Diaconescu-Goodman-Myhill teorema akivaizdi tik tuo atveju, jei ne kiekvienas rinkinys yra pateiktas iki galo.

Konstruktyvūs matematikai, nedirbantys ML, paprastai atmeta visą pasirinktą aksiomą, tačiau apima skaičiuojamojo pasirinkimo aksiomą, kurioje pasirinkimo sritis yra (bN), ir priklausomas pasirinkimas. Tačiau kai kurie nori dirbti net neskaičiuodami pasirinkimo motyvuodami tuo, kad kalbėti apie pasirinkimo begalybę nesuteikiant taisyklės kelia tokį pat didelį sunkumą, nesvarbu, ar begalybė yra, ar ne. Įdomu tai, kad Lebesgue tiksliai tai pabrėžė laiške Borel (žr. Moore [2013], p. 316):

Visiškai sutinku su Hadamardu, kai jis teigia, kad kalbėti apie pasirinkimo begalybę nesuteikiant taisyklės kelia tokį pat sunkumą, kad begalybė yra ar nesumažėjama.

Net ir skaičiuojamo pasirinkimo atsisakymas pašalina daugelį teoremų, kurios esamoje vietoje yra įrodomos naudojant nuoseklius, pasirinkimu pagrįstus argumentus. Bet tie, kurie pasisako už pasirinkimo vengimą, tvirtintų, kad vengimas pasirinkti verčia geriau suformuluoti dalykus.

Ypatingas susidomėjimo atvejis yra pagrindinė Algebros teorema: kiekviena sudėtinga polinoma turi bent vieną šaknį kompleksinėje plokštumoje. Richmanas [2000] parodė, kad be nesuskaičiuojamo pasirinkimo, nors mes galime konstruoti tik atskiras (galbūt kelias) šaknis, mes galime sukonstruoti savavališkai artimus šaknų apytikslius derinius. Toks požiūris nukreiptas į apytikslės tiesinės polinomo faktorizacijos nustatymą, o ne į atskirų apytikslių kiekvienos jo šaknų radimą.

Tolesnę pasirinktos aksiomos rinkinio teorijoje ir tipo teorijoje analizę žr. Martin-Löf [2006] ir SEP straipsniuose apie kategorijų teoriją, tipo teoriją ir intuicionistinę tipo teoriją.

5. Konstruktyvi atvirkštinė matematika

Aštuntajame dešimtmetyje Harvey Friedmanas inicijavo atvirkštinės matematikos tyrimų programą, siekdamas klasifikuoti matematines teoremas pagal jų atitikmenis vienam iš nedaugelio nustatytųjų teorijų principų (Friedman 1975). Ši klasifikacija atskleidžia įdomius, kartais nepaprastus, įrodymo teorijos sudėtingumo skirtumus. Pavyzdžiui, nors Ascoli-Arzelà teorema yra naudojama standartiniame Peano egzistavimo teoremos įrodyme paprastųjų diferencialinių lygčių sprendimams spręsti (Hurewicz [1958], p. 10), atvirkštinė matematinė analizė rodo, kad pirmoji yra lygiavertė griežčiau stipresnei. rinkinio teorijos principas, nei lygiavertis Peano teoremai (Simpson [1984], 3.9 ir 4.2 teoremos). Standartinis klasikinės atvirkštinės matematikos traktatas yra (Simpson [1999/2009]).

Maždaug šio amžiaus pradžioje Veldmanas (žr. Kitus interneto šaltinius) Nyderlanduose ir Ishihara [2005, 2006] Japonijoje savarankiškai inicijavo konstruktyviosios atvirkštinės matematikos (CRM) programą, pagrįstą intuicionistine, o ne klasikine, logika. (Vis dėlto atminkite, kad pirmasis paskelbtas darbas šiuolaikinėje CRM epochoje greičiausiai yra Juliano ir Richmano (1984), kuris buvo dvidešimt metų prieš savo laiką, darbas.) Šiame straipsnio skyriuje aprašome ne tokį formalų požiūrį. į CRM, BISH stiliaus ir struktūros pagrindu. Šios CRM programos tikslas yra klasifikuoti trijų standartinių modelių - CLASS, INT ir RUSS - teoremas pagal tuos principus, kuriuos turime ir turime tik papildyti BISH, kad juos įrodytume.

Pabrėžiame, kad apsiribojame neoficialiu CRM, kuriame laikome savaime suprantamais principais apie funkciją ir struktūrą, aprašytus Bishop [1967] arba Bishop & Bridges [1985], ir mes dirbame neoficialiame nors ir griežtas, praktikuojančio analitiko, algebraisto, topologo, stilius …

Praktiškai CRM natūraliai suskaidoma į dvi dalis. Pirmajame iš jų apsvarstome INT arba RUSS teoremą (T) ir bandome surasti tam tikrą principą, galiojantį tame modelyje, o ne patį (T (T)), kurio papildymas BISH yra būtinas ir pakankamas konstruktyvus (T) įrodymas. Antroje CRM dalyje mes nagrinėjame (T) KLASĖS teoremą, kuri, mūsų manymu, yra nekonstruktyvi, ir bandome įrodyti, kad (T) yra lygiavertė BISH atžvilgiu vienai iš daugelio žinomų iš esmės - nekonstruktyvūs principai, tokie kaip MP, LLPO, LPO ar LEM. Šios CRM dalies pavyzdyje paminime ankstesnį įrodymą, kad klasikinis žemiausios viršutinės ribos principas reiškia ir yra lygiavertis LEM.

Tarp kitko, yra svarus argumentas, kodėl Brouweris [1921] pirmasis nagrinėja atvirkštines matematines idėjas: jo Brouwerian priešiniai pavyzdžiai (žr. Tą, kuriame naudojamas Goldbacho spėjimas, pateiktas 1 skyriuje aukščiau) yra vienoje CRM antroje dalyje. Net jei Brouweris tuos pavyzdžius nenurodė kaip loginius atitikmenis, bet kaip tipo padarinius

[P / Dešinysis rodyklė / tekstas {koks nors nekonstruktyvus principas},)

sunku patikėti, kad jis nežinojo, kad tokiais atvejais dešinioji pusė reiškia kairę.

5.1 Ventiliatoriaus teoremos CRM

Norėdami iliustruoti pirmąją CRM dalį, dabar susitelkiame į tipo teoremas

(text {BISH} vdash / text {FT} _? / Kairėn rodyklė T,)

kur FT (_?) yra tam tikra Brouwerio gerbėjų teoremos forma, o (T) yra INT teorema. Norėdami tai padaryti, turime atskirti tam tikros juostos rūšis, skirtas visam dvejetainiam ventiliatoriui (2 ^ *) (visų baigtinių sekų rinkinys, esantis ({0,1 })).

Tegul (alpha / equiv (alpha_1, / alpha_2, / ldots)) yra baigtinė arba begalinė dvejetainė seka. (Alpha) sujungimas su kita eilute (beta) yra

(alpha ^ { frown} beta / equiv (alpha_1, / alpha_2, / ldots, / alpha_n, / beta_1, / ldots, / beta_m).)

Kai (b) ({0,1 }) rašome ne (alpha ^ { frown} b), o ne (alpha ^ { frown} (b)). Iš (mathsf {c}) - (2 ^ *) pogrupio turime omenyje (2 ^ *) pogrupį (B) taip, kad

(tag {1} B = {u / in 2 ^ *: / forall v / in 2 ^ * (u ^ { frown} v / in D) })

kai kuriems nuimamiems poaibiams (D) iš (2 ^ *). Kiekvienas nuimamas (2 ^ *) poaibis yra (mathsf {c}) - poaibis. Kita vertus, iš (Pi ^ {0} _1) - (2 ^ *) pogrupio turime omenyje (2 ^ *) pogrupį (B) su šia savybe: egzistuoja nuimamas (2 ^ * / kartų / bN) poaibis (S), kad

(forall u / in 2 ^ * \, / forall n / in / bN \, ((u, n) in S / Rightarrow (u ^ { frown} 0, n) in S / pleištas (u ^ { frown} 1, n) in S))

ir

[B = {u / iš 2 ^ *: / forall n / in / bN ((u, n) in S) }.)

Kiekvienas (mathsf {c}) - (2 ^ *) pogrupis (B) yra (Pi ^ {0} _1) - pogrupis: tiesiog pasiimkite (S = D / kartų / bN), kur (D) yra nuimamas (2 ^ *) pogrupis, kuriame (1) yra.

Jei (?) Žymi (2 ^ *) pogrupių savybę, tada Brouwerio gerbėjų teorema, skirta (?) - juostoms, nurodo, kad kiekviena juosta, kurioje yra nuosavybė (?), Yra vienoda juosta. Ypač mus domina nuimamų strypų ventiliatoriaus teorema (jau aptarta 3.1 skyriuje):

FT (_ D): visos nuimamos viso dvejetainio ventiliatoriaus juostos yra vienodos;

ventiliatoriaus teorema (mathsf {c}) - juostoms (tai yra juostoms, kurios yra (mathsf {c}) - pogrupiams):

FT (_ { mathsf {c}}): kiekvieno viso dvejetainio ventiliatoriaus c brūkšnys yra vienodas;

ventiliatoriaus teorema (Pi ^ {0} _1) - juostoms (tai yra juostoms, kurios yra (Pi ^ {0} _1) - pogrupiams):

FT (_ { Pi ^ {0} _1}): Kiekvienas (Pi ^ {0} _1) - viso dvejetainio ventiliatoriaus juosta yra vienoda;

ir visa gerbėjų teorema:

FT: Kiekviena viso dvejetainio ventiliatoriaus juosta yra vienoda.

Atminkite, kad palyginti su BISH, FT (Dešinė rodyklė) FT (_ { Pi ^ {0} _1} Dešinė rodyklė) FT (_ c / Dešinė rodyklė) FT (_ D).

Lubarsky ir Diener [2014] parodė, kad šie padariniai yra griežti.

Paprastai norime įrodyti, kad FT (_?) Yra lygus BISH teiginiui, kad kiekvienam tinkamos rūšies rinkiniui (S) tam tikra formos savybė yra tam tikra prasme.

(tag {2} forall x / in S / egzistuoja t / TP (s, t))

iš tikrųjų vienodai laikosi formoje

(tag {3} egzistuoja t / T / forall s / SP (s, t).)

Mūsų strategija pulti į šią problemą yra dvejopa. Pirmiausia, atsižvelgiant į atitinkamos rūšies (S) rinkinį, mes sukonstruojame (2 ^ *)--subset (N) variantą taip, kad

  • jei (2) turi, tada (B) yra juosta, ir
  • jei (B) yra vienoda juosta, tada (3) galioja.

Vis dėlto tai tik pusė sprendimo. Norėdami įrodyti, kad reikšmė nuo (3) iki (2) reiškia FT (_?), Mes apsvarstome (2 ^ *)?-Subset (B) ir sukonstruojame atitinkamą aibę (S) toks kad

  • jei (B) yra juosta, tada (2) turi ir,
  • jei (3) turi, tada (B) yra vienoda juosta.

Kanoninis tokių rezultatų pavyzdys yra Juliano ir Richmano [1984] pavyzdys, kuriame (S) yra tam tikro tolydžio nepertraukiamo kartografavimo verčių aibė (f: [0,1] dešiniarankė / bR, T) yra teigiamų realiųjų skaičių aibė, ir

[P (s, t) ekvivalentas (s / ge t).)

Esmė, kurią mes laikome, yra

(forall x [0,1] egzistuoja t / gt 0 (f (x) ge t),)

jo vienoda versija yra

(egzistuoja t / gt 0 / forall x [0,1] (f (x) ge t).)

Julian-Richman rezultatai yra tokie.

1 teorema: Tegul (f: [0,1] dešinė rodyklė / bR) turi būti tolydi. Tada egzistuoja nuimamas (2 ^ *) poaibis (B), kad

  • jei (f (x) gt 0) kiekvienam (x [0,1]), tada (B) yra juosta, ir
  • jei (B) yra vienoda juosta, tada (inf f / gt 0).

2 teorema: Tegul (B) yra nuimamas (2 ^ *) pogrupis. Tada egzistuoja tolygiai tęstinis (f: [0,1] dešinysis rodyklė / bR) toks, kad

  • jei (B) yra juosta, tada (f (x) gt 0) kiekvienam (x [0,1]) ir
  • jei inf (f / gt 0), tada (B) yra vienoda juosta.

Šių dviejų teoremų įrodymai yra subtilūs ir keblūs; žr. Julianas ir Richmanas [1984].

Dvi Julijano-Richmano teoremos kartu parodo, kad BISH atžvilgiu ventiliatoriaus teorema FT (_ D) prilygsta pozityvumo principui POS:

Kiekviena teigiamai vertinama, tolygiai tęstinė funkcija, esanti ([0,1]), turi teigiamą minimumą.

Darytina išvada, kad POS yra išvedamas INT, kuriame standartinis principas yra visa ventiliatoriaus teorema, o ne tik FT (_ D). Situacija yra rami, atvirkščiai, Rusijoje, kur yra ir nenuimamas (2 ^ *) juostos, kuri nėra vienoda, ir teigiamos vertės, tolygiai tęstinė funkcija sistemoje ([0,1]), turinti maksimalų rezultatą. lygus 0; žr. „Bridges & Richman“[1987] 5 ir 6 skyrius.

Bergeris ir Ishihara [2005] pasirinko skirtingą, netiesioginį būdą nustatyti POS ir FT (_ c) lygiavertiškumą. Jie nustato atitikmenų grandinę tarp POS, FT (_ c) ir keturių tipų principus: „Jei yra ne daugiau kaip vienas objektas, turintis savybę (P), tada yra vienas toks objektas“. Keturi unikalaus egzistavimo principai yra šie:

CIN!: Kiekvienoje mažėjančioje kompaktiškos metrinės erdvės, turinčios ne daugiau kaip vieną bendrą tašką, pogrupių mažėjančioje sekoje yra apgyvendinta sankirta (Cantoro sankirtos teorema su unikalumu.) Atkreipkite dėmesį, kad metrinės erdvės pogrupis (S) ((X, / rho)) yra, jei kiekvienam (x) (X) yra mažiausias atstumas nuo (x) iki (S).

MIN!: Kiekviena vienodai tęstinė, realiai įvertinta funkcija kompaktiškoje metrinėje erdvėje, kurioje yra ne daugiau kaip vienas minimalus taškas, turi minimalų tašką.

WKL! Kiekvienas begalinis medis, kuriame yra ne daugiau kaip viena begalinė šaka, turi begalinę šaką (silpnoji König lemma su unikalumu).

FIX!: Kiekviena tolygiai tęstinė funkcija iš kompaktiškos metrinės erdvės į save, kurioje yra ne daugiau kaip vienas fiksuotas taškas, o apytiksliai fiksuoti taškai, turi fiksuotą tašką.

Pavyzdžiui, paskutiniame iš jų sakome, kad metrinės erdvės žemėlapis (f) ((X, / varrho)) į save

  • turi ne daugiau kaip vieną fiksuotą tašką, jei (varrho (f (x), x) + / varrho (f (y), y) gt 0) kada (varrho (x, y) gt 0);
  • turi apytikslius fiksuotus taškus, jei kiekvienam (varepsilon / gt 0) egzistuoja (x / X), kad (varrho (f (x), x) lt / varepsilon).

Pagrindinė atvira CRM problema yra surasti tokią ventiliatoriaus teoremos formą, kuri BISH ekvivalentu atitiktų vienodą ([0,1]) tęstinumo teoremą, UCT (_ {[0,1]}): Kiekvienas ištisinis nenutrūkstamas ((0,1)) atvaizdavimas į (bR) yra tolygus, teiginys, dėl kurio Brouweris iš pradžių sukūrė savo gerbėjų teoremos įrodymą. (Atkreipkite dėmesį, kad UCT (_ {[0,1]}), palyginti su BISH, yra lygiavertis metrinių erdvių bendrajai vienodo tęstinumo teoremai: Kiekvienas ištisinis, visiškai apribotos metrinės erdvės žemėlapis į metrinę erdvę yra taškinis. vienodai tęstinis. Žr., pavyzdžiui, Loeb [2005].)

Iš Bergerio [2006] rezultatų matyti, kad

BISH (vdash) UCT (_ {[0,1]} Dešinė rodyklė) FT (_ c).

Diener ir Loeb (2008) tai įrodė

BISH (vdash) FT (_ { Pi ^ {0} _1} Rightarrow) UCT (_ {[0,1]}).

Tačiau mes nežinome, ar kurį nors iš šių padarinių galima pakeisti dvipusiu implikacija. Galbūt UCT (_ {[0,1]}), taigi ir visiškai vienoda tęstinumo teorema kompaktiškoms metrinėms erdvėms, BISH atžvilgiu yra lygiavertė natūraliai, bet dar nežinomai ventiliatoriaus teoremos versijai.

Papildomos medžiagos apie ventiliatoriaus teoremą konstruktyvioje atvirkštinėje matematikoje rasite, pavyzdžiui, Berger & Bridges [2007]; Dieneris [2008, 2012]; Dieneris ir Loebas [2009]; ir Dieneris ir Lubarsky [2014]. Dent [2013] yra aiški, nors ir sudėtinga schema, iliustruojanti gerbėjų teoremų, tęstinumo ir visažiniškumo principų tarpusavio ryšius (žr. „Kiti interneto šaltiniai“).

Suinteresuoti skaitytojai gali išsamiau nagrinėti konstruktyviosios atvirkštinės matematikos temą šiame papildomame dokumente:

Ishiharos principas (BDN) ir savybė prieš „Specker“

6. Konstruktyvioji algebra ir topologija

Konstruktyvūs matematikai buvo linkę sutelkti savo jėgas į analizės sritį. Didelis pasisekimas liudija apie vyskupo išplėtotą funkcinę analizę [1967]. Tai nereiškia, kad, pavyzdžiui, algebra buvo atsiribojusi nuo konstruktyvios įmonės: Mines ir kt. [1986] monografijos medžiaga gali būti laikoma reikšmingu algebriniu atitikmeniu konstruktyviajai vyskupo analizei. Visai neseniai Lombardi ir Quitté [2011] paskelbė pirmąjį didelį siūlomo dviejų tomų kūrinio apie konstruktyvią algebrą tomą. Tačiau nebūdami ekspertai dėl algebros ir žinodami apie pavojų, kad šis straipsnis gali būti per ilgas, kad patrauktų skaitytojo dėmesį, mes pasirenkame bet kokią detalę nenagrinėti konstruktyvios analizės ar algebros; kitame papildomame dokumentemes kreipiamės į konstruktyvią topologiją, apibūdindami keletą skirtingų požiūrių į tą dalyką:

Požiūriai į konstruktyviąją topologiją

7. Konstruktyvioji matematinė ekonomika ir finansai

Konstruktyvios matematinės ekonomikos tyrimai yra pradedami nuo 1982 m. Pateikiant pirmenybę, naudingumą ir paklausą; žr. „Bridges“[1999]. Savo daktaro darbe Hendtlass [2013] iš esmės susilpnino paklausos funkcijos egzistavimo sąlygas; jis taip pat pateikė daugybę rezultatų fiksuoto taško teorijoje ir jos pritaikyme, ypač dviejų klasikinių ekonominės pusiausvyros egzistavimo įrodymų konstruktyvacijose.

2015 m. Bergeris ir Svindlandas pradėjo konstruktyvių matematinių finansų tyrimo projektą Miunchene, Liudvigo-Maksimilianso universitete. Jie pirmiausia parodė, kad pagrindinė turto kainų teorema, skiriančioji hiper plokštumos teorema, ir Markovo principas yra konstruktyviai lygiaverčiai (Bergeris ir Svindlandas). [2016]). Naujausias jų darbas buvo sutelktas į tai, kaip apeiti klasikinės kraštutinės vertės teoremos nekonstruktyvumą, siekiant įrodyti, kad egzistuoja kraštutiniai funkcijų taškai, esant net santykinai silpnoms išgaubtumo savybėms (Bergeris ir Svindlandas [2016a]). Jų projektas rodo, kad matematiniai finansai, kaip ir matematinė ekonomika, gali būti turtingas elegantiškų, praktinių konstruktyvių teoremų šaltinis.

8. Baigiamosios pastabos

Tradicinis matematikų, norinčių išanalizuoti konstruktyvų matematikos turinį, maršrutas yra tas, kuris vadovaujasi klasikine logika; kad būtų išvengta sprendimų, pvz., ar tikrasis skaičius lygus 0, ar kurio negali priimti tikras kompiuteris, matematikas turi laikytis griežtų algoritminių ribų, tokių, kaip suformuotos rekursyvinės funkcijos teorijoje. Priešingai, konstruktyvaus matematiko pasirinktas maršrutas vadovaujasi intuityvine logika, kuri automatiškai rūpinasi skaičiavimo požiūriu nepriimtinais sprendimais. Šios logikos (kartu su tinkama rinkinio arba tipo teorine sistema) pakanka išlaikyti matematikos konstruktyvias ribas. Taigi matematikas gali laisvai dirbti pagal analitiko, algebraisto (pvz., Mines ir kt. [1988]), geometro, topologo (pvz., „Bridges &Vîță [2011], būsimasis Sambinas) ar kitas įprastas matematikas, vieninteliai apribojimai yra tie, kuriuos nustato intuicionistinė logika. Kaip parodė vyskupas ir kiti, tradicinis Hilberto paskelbtas ir vis dar plačiai laikomasi įsitikinimas, kad intuicionistinė logika nustato tokius apribojimus, dėl kurių rimtosios matematikos vystymas tampa neįmanomas, yra akivaizdžiai klaidinga: didelė dalis giliosios šiuolaikinės matematikos gali būti ir turėti buvo pagamintas grynai konstruktyviais metodais. Be to, konstruktyvios matematikos ir programavimo sąsaja teikia daug vilčių ateityje abstrakčios matematikos diegimui ir plėtojimui kompiuteryje.tradicinis Hilberto paskelbtas ir vis dar plačiai paplitęs įsitikinimas, kad intuicionistinė logika nustato tokius apribojimus, dėl kurių rimtosios matematikos vystymas tampa neįmanomas, yra akivaizdžiai klaidinga: didelė dalis giliosios šiuolaikinės matematikos gali būti ir buvo sukurta grynai konstruktyviais metodais.. Be to, konstruktyvios matematikos ir programavimo sąsaja teikia daug vilčių ateityje abstrakčios matematikos diegimui ir plėtojimui kompiuteryje.tradicinis Hilberto paskelbtas ir vis dar plačiai paplitęs įsitikinimas, kad intuicionistinė logika nustato tokius apribojimus, dėl kurių rimtosios matematikos vystymas tampa neįmanomas, yra akivaizdžiai klaidinga: didelė dalis giliosios šiuolaikinės matematikos gali būti ir buvo sukurta grynai konstruktyviais metodais.. Be to, konstruktyvios matematikos ir programavimo sąsaja teikia daug vilčių ateityje abstrakčios matematikos diegimui ir plėtojimui kompiuteryje. Ryšys tarp konstruktyvios matematikos ir programavimo teikia daug vilčių ateityje abstrakčios matematikos diegimui ir plėtrai kompiuteryje. Ryšys tarp konstruktyvios matematikos ir programavimo teikia daug vilčių ateityje abstrakčios matematikos diegimui ir plėtrai kompiuteryje.

Bibliografija

Nuorodos

  • Aberth, O., 1980, Kompiuterinė analizė, Niujorkas: McGraw-Hill.
  • –––, 2001 m., Skaičiuojamas skaičiavimas, Niujorkas: „Academic Press“.
  • Aczel, P. ir Rathjen, M., 2001, Pastabos apie konstruktyvų rinkinių teoriją (ataskaita Nr. 40), Stokholmas: Institutas Mittag-Leffler, Karališkoji Švedijos mokslų akademija.
  • Bauer, A., 2005, „Realizuojamumas kaip skaičiuojamos ir konstruktyvios matematikos ryšys“. Paskaitos konspektas, skirtas vadovui palydoviniame CCA2005 seminare, Kiotas, Japonija [galima rasti internete].
  • Beeson, M., 1985, Konstruktyviosios matematikos pagrindai, Heidelbergas: Springeris Verlagas.
  • Berger, J., 2006, „Loginis požiūris į skaičiavimo kliūtis“, A. Beckmann, U. Berger, B. Löwe ir JV Tucker (red.), Heidelberg: Springer Verlag.
  • Bergeris, J. ir Bridges, DS, 2007, „Spekkerio teoremos antitezės ventiliatoriaus teorinis atitikmuo“, Karališkosios Olandijos matematikos draugijos leidiniai (Indagationes Mathematicae) (Indag. Math. NS), 18 (2): 195 –202.
  • –––, 2009 m., „Ventiliatoriaus teorema ir teigiamos vertės vienodai tęstinės funkcijos kompaktiškais intervalais“, Naujosios Zelandijos žurnalas apie matematiką, 38: 129–135.
  • Berger, J., ir Ishihara, H., 2005, „Brouwerio gerbėjo teorema ir unikali egzistencija konstruktyvioje analizėje“, Matematinės logikos ketvirčio duomenys, 51 (4): 360–364.
  • Berger, J., ir Schuster, PM, 2006, „Dini'o teoremos klasifikavimas“, Notre Dame Journal of Formal Logic, 47: 253–262.
  • Berger, J., ir Svindland, G., 2016, „Atskyrimo hiperplaukos teorema, pagrindinė turto kainų teorema ir Markovo principas“, Annals of Pure and Applied Logic, 167, 1161–1170.
  • ––– 2016a, „Išgaubtumas ir konstruktyvi infima“, Matematinės logikos archyvas, 55: 873–881
  • Vyskupas, E., 1967 m., Konstruktyvios analizės pagrindai, Niujorkas: McGraw-Hill.
  • –––, 1973 m., Šizofrenija šiuolaikinėje matematikoje (Amerikos matematikų visuomenės kolokviumo paskaitos), Misula: Montanos universitetas; perspausdintas Errett Bishop: Apmąstymai apie jį ir jo tyrimus, Amerikos matematikų draugijos atsiminimai 39.
  • Bishop, E. and Bridges, D., 1985, Constructive Analysis, (Grundlehren derhematischen Wissenschaften, 279), Heidelberg: Springer Verlag.
  • Bourbaki, N., 1984, Éléments d'histoire des mathématiques, Paryžius: Masson; Leidimas anglų kalba, Matematikos istorijos elementai, J. Meldrum (vertimas), 2006 m., Berlynas: „Springer Verlag“.
  • „Bridges“, DS, 1999, „Konstruktyvūs metodai matematinėje ekonomikoje“, Zeitschrift für Nationalökonomie (Priedas), 8: 1–21.
  • „Bridges“, DS, ir Dieneris, H., 2007, „[0, 1] pseudokompaktiškumas prilygsta vientisai tęstinumo teoremai“, Journal of Symbolic Logic, 72 (4): 1379–1383.
  • Bridges, DS, and Richman, F., 1987, Konstruktyviosios matematikos veislės, Londono matematikų draugijos paskaitų užrašai 97, Kembridžas: Cambridge University Press.
  • „Bridges“, DS ir Vîță, LS, 2006, Konstruktyvios analizės metodai, Heidelbergas: Springeris Verlag.
  • –––, 2011 m., Išskirtinumas ir vienodumas - konstruktyvus vystymasis, Heidelbergas: „Springer Verlag“
  • Brouwer, LEJ, 1907 m., Over de Grondslagen der Wiskunde, Daktaro disertacija, Amsterdamo universitetas; perspausdinta papildoma medžiaga, D. van Dalen (red.), pateikė „Matematisch Centrum“, Amsterdamas, 1981 m.
  • ––– 1908 m., „De onbetrouwbaarheid der logische principes“, Tijdschrift voor Wijsbegeerte, 2: 152–158.
  • ––– 1921 m., „Besitzt jede reelle Zahl eine Dezimalbruchentwicklung?“, Mathematische Annalen, 83: 201–210.
  • ––– 1924 m., „Beweis, dass jede volle Funktion gleichmässig stetig ist“, Karališkosios Olandijos matematikų draugijos leidiniai, 27: 189–193.
  • ––– 1924 m. AA, „Bemerkung zum Beweise der Gleichmässigen Stetigkeit voller Funktionen“, Karališkosios Nyderlandų matematikos draugijos leidiniai, 27: 644–646.
  • Cederquist, J., ir Negri, S., 1996 m., „Konstruktyvus Heine-Borel teoremos, apimančios oficialias realias teoremas, įrodymas“programų ir programų tipuose (Paskaitų užrašai kompiuterių moksle, 1158 tomas), 62–75, Berlynas: „Springer Verlag“.
  • Constable, R., et al., 1986, Matematikos įgyvendinimas naudojant „Nuprl“įrodymo tobulinimo sistemą, Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall.
  • Coquand, T., 1992, „Intuicionistinis Tychonoffo teoremos įrodymas“, Journal of Symbolic Logic, 57: 28–32.
  • ––– 2009 m., „Vertybių erdvė“, Grynos ir taikomosios logikos metraščiai, 157: 97–109.
  • –––, 2016 m., „Tipo teorija“, Stanfordo filosofijos enciklopedija (2016 m. Žiemos leidimas), Edwardas N. Zalta (red.), URL (= / lt) https://plato.stanford.edu/entries/ tipo teorija / (gt)
  • Coquand, T. ir Spitters, B., 2009, „Integralai ir vertinimai“, Žurnalas apie logiką ir analizę, 1 (3): 1–22.
  • Coquand, T., Sambin, G., Smith, J. ir Valentini, S., 2003, „Induktyviai sukurtos formalios topologijos“, Grynos ir taikomosios logikos metraščiai, 124: 71–106.
  • Curi, G., 2010, „Dėl akmens ir Čecho sutankinimo egzistavimo“, „Symbolic Logic“žurnalas, 75: 1137–1146.
  • Dent, JE, 2013, Anti-Specker savybės konstruktyvinėje atvirkštinėje matematikoje, Ph. D. disertacija, Kenterberio universitetas, Kraistčerčas, Naujoji Zelandija.
  • Diaconescu, R., 1975 m., „Pasirinkimo ir papildymo aksioma“, Amerikos matematikų draugijos leidiniai, 51: 176–178.
  • Diener, H., 2008, Kompaktiškumas atliekant konstruktyvų tyrimą, Ph. D. disertacija, Kraistčerčas, Naujoji Zelandija: Kenterberio universitetas.
  • –––, 2008a, „Bendras kompaktiškumas“, Matematinės logikos ketvirtis, 51 (1): 49–57.
  • ––– 2012 m., „Spekerio teoremos antitezės perkvalifikavimas“, Matematinės logikos archyvas, 51: 687–693.
  • Diener, H. ir Loeb, I., 2009, „Realiųjų funkcijų sekos [0, 1] konstruktyvinėje atvirkštinėje matematikoje“, Grynos ir taikomosios logikos metraščiai, 157 (1): 50–61.
  • Diener, H., ir Lubarsky, R., 2013, „Atskiriant ventiliatoriaus teoremą ir jos silpnybes“, Loginiai kompiuterių mokslo pagrindai (Paskaitų užrašai kompiuterių moksle, 7734), S. Artemovas ir A. Nerode (red. Past.)., Berlynas: „Springer Verlag“.
  • Dummett, Michael, 1977 [2000], Intuicionizmo elementai (Oxford Logic Guides, 39), Oxford: Clarendon Press, 1977; 2-asis leidimas, 2000. [Puslapių nuorodos yra į 2-ąjį leidimą.]
  • Ewald, W., 1996, „Nuo Kanto iki Hilberto: Šaltinių knyga matematikos pagrindais“(2 tomas), Oksfordas: „Clarendon Press“.
  • Feferman, S, 1975 m., „Kalba ir aiškių matematikų aksiomos“, Algebra ir Logit, JN Crossley (red.), Heidelberg: Springer Verlag, p. 87–139.
  • ––– 1979 m., „Konstruktyvios funkcijų ir klasių teorijos“, Logic Colloquium '78, M. Boffa, D. van Dalen ir K. McAloon (red.), Amsterdamas: Šiaurės Olandija, p. 159–224.
  • Friedmanas, H., 1975 m., „Kai kurios antros eilės aritmetikos sistemos ir jų naudojimas“, 17-ojo tarptautinio matematikų kongreso posėdžiuose, Vankuveryje, BC, 1974 m.
  • ––– 1977 m., „Teorinės konstruktyvios analizės pagrindų nustatymas“, Matematikos metraštis, 105 (1): 1–28.
  • Goodman, ND, ir Myhill, J., 1978, „Pasirinkimas reiškia neįtrauktą vidurį“, Zeitschrift für Logik und Grundlagen der Mathematik, 24: 461.
  • Hayashi, S., ir Nakano, H., 1988, PX: Computational Logic, Kembridžas MA: MIT Press.
  • Hendtlass, M., 2013, Fiksuotų taškų ir ekonominės pusiausvyros konstravimas, Ph. D. disertacija, Lidso universitetas.
  • Heyting, A., 1930 m., „Die formalen Regeln der intuitionistischen Logik“, Sitzungsberichte der Preussische Akadademie der Wissenschaften. Berlynas, 42–56.
  • –––, 1971 m., Intuicionizmas - įvadas, 3-asis leidimas, Amsterdamas: Šiaurės Olandija.
  • Hilbert, D., 1925 m., „Über das Unendliche“, Mathematische Annalen, 95: 161–190; Matematikos filosofijos: atrinkti skaitymai, P. Benacerrafas ir H. Putnam (red.), Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1964, 134–151, vertimas „Ant begalybės“, matematikos filosofija: atrinkti skaitymai..
  • Hurewicz, W., 1958 m., Paskaitos apie įprastas diferencialines lygtis, Kembridžas, MA: MIT Press.
  • Ishihara, H., 1992, „Tęstinumo savybės konstruktyvioje matematikoje“, Journal of Symbolic Logic, 57 (2): 557–565.
  • ––– 1994 m., „Konstruktyvi Banacho atvirkštinės kartografavimo teoremos versija“, Naujosios Zelandijos žurnalas apie matematiką, 23: 71–75.
  • –––, 2005 m., „Konstruktyvioji atvirkštinė matematika: kompaktiškumo savybės“, rinkinyje „Nuo rinkinių ir tipų iki analizės ir topologijos: link konstruktyviosios matematikos praktinių pagrindų“, L. Crosilla ir P. Schuster (red.), Oksfordas: „The Clarendon Press“.
  • ––– 2006 m., „Grįžtamoji matematika Vyshovo konstruktyvioje matematikoje“, Philosophia Scientiae („Cahier Special“), 6: 43–59.
  • ––– 2013 m., „Vyskupo funkcijų erdvių susiejimas su apylinkių erdvėmis“, Grynos ir taikomosios logikos metraštis, 164: 482–490.
  • Johnstone, PT, 1982 m., „Stone Spaces“, Kembridžas: „Cambridge University Press“.
  • ––– 2003 m., „Beprasmės topologijos taškas“, Amerikos matematikų draugijos biuletenis, 8: 41–53.
  • Joyal, A., ir Tierney, M., 1984, „Galois teorijos apie Grothendiecką pratęsimas“, Amerikos matematikų draugijos memuarai, 309: 85 p.
  • Julianas, WH, ir Richmanas, F., 1984 m., „Vienodai tęstinė funkcija [0, 1], kuri visur skiriasi nuo savo mažiausio“, „Pacific Journal of Mathematics“, 111: 333–340.
  • Kushner, B., 1985, Konstruktyviosios matematinės analizės paskaitos, Apvaizda, RI: Amerikos matematikų draugija
  • Lietz, P., 2004, „Nuo konstruktyviosios matematikos iki kompiuterinės analizės per realizuojamumo interpretaciją“, dr. nat. disertacija, Darmštato universitetas, Vokietija.
  • P. Lietzas, P. ir Streicheris, T. „Realizuojamumo modeliai, paneigiantys Ishiharos ribotumo principą“, Annals of Pure and Applied Logic, 163 (12): 1803–1807.
  • Loeb, I., 2005, „(Silpno) gerbėjų teoremos atitikmenys“, Grynos ir taikomosios logikos metraščiai, 132: 51–66.
  • Lombardi, H., Quitté, C., 2011, Algèbre Commutative. „Metodų konstruktyvai“, Nanteris, Prancūzija: Calvage et Mounet.
  • Lorenzen, P., 1955 m., „Einführung in die operative Logik und Mathematik“(„Grundlehren derhematischen Wissenschaften“, 78 tomas), 2-asis leidimas, 1969 m., Heidelberg: Springer.
  • Lubarsky, R. ir Diener, H., 2014, „Ventiliatoriaus teoremos atskyrimas ir jos silpnėjimai“, Žurnalas „Symbolic Logic“, 79 (3): 792–813.
  • Markovas, AA, 1954 m., Algoritmų teorija, Trudy Mat. Istituta imeni VA Steklova, 42 m., Moskva: Izdatel'stvo Akademii Nauk SSSR.
  • Markizas, J.-P., „Kategorijų teorija“, Stanfordo filosofijos enciklopedija (2015 m. Žiemos leidimas), Edwardas N. Zalta (red.), URL (= / lt) https://plato.stanford.edu / archyvai / win2015 / įrašai / kategorijos teorija / (gt).
  • Martin-Löf, P., 1968, Pastabos apie konstruktyvią analizę, Stokholmas: Almquist ir Wiksell.
  • ––– 1975 m., „Intuicionistinė tipų teorija: prediktyvi dalis“, Logic Colloquium 1973 m., HE Rose ir JC Shepherdson (red.), Amsterdamas: Šiaurės Olandija.
  • –––, 1980 m., „Konstruktyvioji matematika ir kompiuterinis programavimas“, Proc. 6-asis. Vid. Logikos, metodologijos ir mokslo filosofijos kongresas, L. Jonathan Cohen (red.), Amsterdamas: Šiaurės Olandija.
  • ––– 1984 m., „Intuicionizmo tipo teorija“, Giovanni Sambino pastabos apie paskaitų ciklą, kuris vyko Padujoje, 1980 m. Birželio mėn., Neapolis: „Bibliopolis“.
  • ––– 2006 m., „100 metų pasirinktai Zermelo aksiomai: kokia buvo jos problema?“, „Computer Journal“, 49 (3): 345–350.
  • Menger, K., 1940 m., „Topologija be taškų“, „Rice Institute Pamphlet“, 27 (1): 80–107 [galima rasti internete].
  • Mines, R., Richman, F., and Ruitenburg, W., 1988, Konstruktyviosios algebros kursas, „Universitext“, Heidelbergas: „Springer Verlag“.
  • Moerdijk, I., 1984 m., „Heine-Borel nereiškia ventiliatoriaus teoremos“, Journal of Symbolic Logic, 49 (2): 514–519.
  • Moore, GH, 2013, Zermelo pasirinkimo aksioma: jo ištakos, raida ir įtaka, Niujorkas: Doveris.
  • Myhill, J., 1973 m., „Kai kurios intuicinės Zermelo-Fraenkel rinkinio teorijos savybės“, Kembridžo matematinės logikos vasaros mokykloje, A. Mathias ir H. Rogers (red.), Matematikos paskaitų užrašai, 337, Heidelbergas: Springer Verlag., 206–231.
  • –––, 1975 m., „Konstruktyvioji rinkinio teorija“, Žurnalas „Symbolic Logic“, 40 (3): 347–382.
  • Naimpally, S., 2009, Artumo požiūris į topologijos ir analizės problemas, Miunchenas: Oldenbourg Verlag.
  • „Naimpally“, S., ir Warrack, B. D., 1970, Artumo erdvės (Kembridžo traktatai matematikoje ir matematikoje. Phys., 59 tomas), Kembridžas: Cambridge University Press.
  • Nordström, B., Peterson, K. ir Smith, JM, 1990, „Programavimas Martino-Löfo tipo teorijoje“, Oksfordas: Oxford University Press.
  • Palmgren, E., 2007, „Konstruktyvus ir funkciškai vietinių kompaktiškų metrinių erdvių įdėjimas į lokalę“, Topologija ir jos taikymai, 154: 1854–1880.
  • –––, 2008 m., „Vienodos apatinės ribos problemos sprendimas atliekant konstruktyvią analizę“, Matematinės logikos ketvirtinis leidinys, 54: 65–69.
  • ––– 2009 m., „Nuo intuicionizmo iki oficialios topologijos: keletas pastabų apie homotopijos teorijos pagrindus“, „Logika, intuicija ir formalizmas“- kas iš jų tapo?, S. Lindström, E. Palmgren, K. Segerberg ir V. Stoltenberg-Hansen (red.), 237–253, Berlynas: „Springer Verlag“.
  • Petrakis, I., 2016 m., „Konstruktyvus funkcijų teorinis požiūris į topologinį kompaktiškumą“, „Logical Methods in Computer Science 2016“, IEEE Computer Society publikacijos: 605–614.
  • ––– 2016a, „Urysohn pratęsimo vyskupo erdvė teorema“, S. Artemov ir A. Nerode (red.), 2016 m. Kompiuterinių mokslų loginių pagrindų simpoziumas (2016 m. Paskaitų užrašai kompiuterių moksle 9537), Berlynas: „Springer Verlag“., 299–316.
  • Picado, J., ir Pultr, A., 2011, Rėmeliai ir lokalės: topologija be taškų, Bazelis: Birkhäuser Verlag.
  • Richmanas, F., 1983 m., „Bažnyčios darbas be ašarų“, Žurnalas „Symbolic Logic“, 48: 797–803.
  • –––, 1990 m., „Intuicionizmas kaip apibendrinimas“, Philosophia Mathematica, 5: 124–128.
  • –––, 1996 m., „Interviu su konstruktyviu matematiku“, „Modern Logic“, 6: 247–271.
  • ––– 2000 m., „Pagrindinė algebros teorema: konstruktyvus gydymas be pasirinkimo“, Ramiojo vandenyno žurnalas, Matematika, 196: 213–230.
  • Riesz, F., 1908 m., „Stetigkeitsbegriff und abstrakte Mengenlehre“, Atti IV Congresso Internationale Matematica Roma II, 18–24.
  • Sambinas, G., 1987, „Intuicionistinės formalios erdvės - pirmoji komunikacija“, „Matematinė logika ir jos taikymai“, D. Skordev (red.), 187–204, New York: Plenum Press.
  • –––, būsimasis, Pagrindinis paveikslas: konstruktyviosios topologijos struktūros, Oksfordas: „Oxford University Press“.
  • Sambinas, G., ir Smithas, J. (red.), 1998 m., Dvidešimt penkeri metai konstruktyvaus tipo teorijos, Oksfordas: Clarendon Press.
  • Schusteris, ministras pirmininkas, 2005 m., „Kas konstruktyviai yra tęstinumas?“, Universal Computer Science žurnalas, 11: 2076–2085
  • ––– 2006 m., „Formali Zariski topologija: pozityvumas ir taškai“, Grynos ir taikomosios logikos metraštis, 137: 317–359.
  • Schwichtenberg, H., 2009, „Programos gavyba atliekant konstruktyvią analizę“, logika, intuicija ir formalizmas - kas iš jų tapo?, S. Lindström, E. Palmgren, K. Segerberg ir V. Stoltenberg-Hansen (red. Past.), Berlynas: Springer Verlag, 255–275.
  • Simpson, SG, 1984, „Kurių egzistavimo aksiomų reikia norint įrodyti Cauchy / Peano teoremą įprastoms diferencialinėms lygtims“, Journal of Symbolic Logic, 49 (3): 783–802.
  • –––, 2009 m., Antrosios eilės aritmetikos posistemiai, antrasis leidimas, Kembridžas: Cambridge University Press.
  • Specker, E., 1949 m., „Nicht konstruktiv beweisbare Sätze der Analysis“, žurnalas „Symbolic Logic“, 14: 145–158.
  • Steinke, TA, 2011, Konstruktyvios kompaktiškumo idėjos erdvės erdvėse, M. Sc. Disertacija, Kenterberio universitetas, Kraistčerčas, Naujoji Zelandija.
  • Troelstra, AS, 1978 m., „Konstruktyviosios matematikos aspektai“, Matematinės logikos vadovas, J. Barwise (red.), Amsterdamas: Šiaurės Olandija.
  • Troelstra, AS, ir van Dalen, D., 1988, Matematikos konstruktyvizmas: įvadas (du tomai), Amsterdamas: Šiaurės Olandija.
  • van Atten, M., 2004, Brouwer, Belmont: Wadsworth / Thomson mokymasis.
  • van Dalen, D., 1981, Brouwerio Kembridžo paskaitos apie intuiciją, Kembridžas: Cambridge University Press.
  • –––, 1999 m., Mistikas, geometras ir intuicijos autorius: LEJ Brouwerio gyvenimas (1 tomas), Oksfordas: „Clarendon Press“.
  • –––, 2005 m., Mistikas, geometras ir intuicijos autorius: LEJ Brouwerio gyvenimas (2 tomas), Oksfordas: „Clarendon Press“.
  • van Stigt, WP, 1990 m., Brouwerio intuicija, Amsterdamas: Šiaurės Olandija.
  • Vickers, S., 2005, „Vietinis apibendrintų metrinių erdvių užpildymas I“, Kategorijų teorija ir taikymas, 14 (15): 328–356.
  • Waaldijk, F., 2005, Apie konstruktyvios matematikos pagrindus, Mokslo pagrindai, 10 (3): 249–324.
  • Wallman, H., 1938 m., „Topologinių erdvių tinkleliai“, Matematikos metraštis, 39: 112–126.
  • Weihrauch, K., 2000, Kompiuterinė analizė (EATCS tekstai teoriniame kompiuterių moksle), Heidelbergas: Springeris Verlag.
  • Weyl, H., 1946 m., „Matematika ir logika“, Amerikos matematikos mėnesinis leidinys, 53 (1): 2–13.
  • Whitehead, AN, 1919 m., Tyrimas dėl gamtos žinių principų, Kembridžas: „Cambridge University Press“, antrasis leidimas, 1925 m.

Susijusi literatūra

  • Heijenoort, Jean van, 1967 m., Nuo Frege iki Gödel: „Matematinės logikos šaltinių knyga 1879–1931“, Kembridžas, MA: Harvard University Press.
  • Hilbertas, Davidas, 1928 m., „Die Grundlagen der Mathematik“, Hamburgo Mathematische Einzelschriften 5, Teubner, Leipcigas. Perspausdintas vertimas į anglų kalbą van Heijenoort 1967 m.

Akademinės priemonės

sep vyro ikona
sep vyro ikona
Kaip pacituoti šį įrašą.
sep vyro ikona
sep vyro ikona
Peržiūrėkite šio įrašo PDF versiją „Friends of the SEP“draugijoje.
info piktograma
info piktograma
Ieškokite šios įrašo temos interneto filosofijos ontologijos projekte (InPhO).
„Phil Papers“piktograma
„Phil Papers“piktograma
Patobulinta šio įrašo „PhilPapers“bibliografija su nuorodomis į jo duomenų bazę.

Kiti interneto šaltiniai

  • Gedaborgo universiteto ir Chalmerso technologijos universiteto „Agda Wiki“, įvesta funkcinės programavimo kalbos ir įrodymų asistentė.
  • Agda, įrašas Vikipedijoje.
  • „Coq Proof Assistant“, Inria, 1984–2017 m.
  • Coq, įrašas Vikipedijoje.
  • Džeimso Dento diagrama.
  • Aczel, P., and Rathjen, M., 2018, Constructive Set Theory, online PDF.
  • Bauer, A., 2005, „Realizuojamumas kaip ryšys tarp skaičiuojamos ir konstruktyvios matematikos“.
  • Veldmanas, W., 2014 m., „Brouwerio gerbėjų teorema kaip aksioma ir kaip kontrastas Kleene's alternatyvai“, arxiv: 1106.2738https://arxiv.org/abs/1106.2738.

Rekomenduojama: