Set Theory

Turinys:

Set Theory
Set Theory

Video: Set Theory

Video: Set Theory
Video: Axioms of set Theory - Lec 02 - Frederic Schuller 2024, Kovo
Anonim

Įėjimas Navigacija

  • Įstojimo turinys
  • Bibliografija
  • Akademinės priemonės
  • Draugai PDF peržiūra
  • Informacija apie autorius ir citata
  • Atgal į viršų

Set Theory

Pirmą kartą paskelbta 2014 m. Spalio 8 d., Trečiadienis; esminė peržiūra 2019 m. vasario 12 d., antradienis

Aibės teorija yra gerai apibrėžtų rinkinių, vadinamų aibėmis, matematinė teorija, objektų, kurie vadinami aibės nariais, arba elementais. Grynojo rinkinio teorija nagrinėja tik rinkinius, todėl nagrinėjami tik tie rinkiniai, kurių nariai taip pat yra rinkiniai. Paveldimų-baigtinių aibių teorija, būtent tų baigtinių aibių, kurių elementai taip pat yra baigtiniai aibės, kurių elementai taip pat yra baigtiniai ir tt, formaliai prilygsta aritmetikai. Taigi aibės teorijos esmė yra begalinių aibių tyrimas, todėl ją galima apibrėžti kaip matematinę tikrovės, o ne potencialo-begalybės teoriją.

Rinkinio sąvoka yra tokia paprasta, kad paprastai ji įvedama neoficialiai ir laikoma savaime suprantama. Tačiau rinkinių teorijoje, kaip įprasta matematikoje, rinkiniai pateikiami aksiomatiškai, todėl jų egzistavimas ir pagrindinės savybės yra postuluojamos atitinkamomis formaliomis aksiomomis. Aibių teorijos aksiomos reiškia, kad egzistuoja tokia teorinė visata, kuri yra tokia turtinga, kad visi matematiniai objektai gali būti suprantami kaip aibės. Taip pat formalioji grynosios aibės teorijos kalba leidžia įforminti visas matematines sąvokas ir argumentus. Taigi aibės teorija tapo standartiniu matematikos pagrindu, nes į kiekvieną matematinį objektą galima žiūrėti kaip į aibę, o kiekvieną matematikos teoremą galima logiškai išvesti iš numatomosios sąmatos iš aibės teorijos aksiomų.

Abu rinkinio teorijos aspektai, būtent, kaip begalybės matematikos mokslas ir kaip matematikos pamatas, turi filosofinę reikšmę.

  • 1. Ištakos
  • 2. Aibės teorijos aksiomos

    2.1 ZFC aksiomos

  • 3. Transfinituotų ordinų ir kardinolų teorija

    3.1 Kardinolai

  • 4. Visų rinkinių visata (V)
  • 5. Teoriją nustatykite kaip matematikos pagrindą

    • 5.1 Metamatematika
    • 5.2 Neišsamumo reiškinys
  • 6. Nustatyta kontinuumo teorija

    • 6.1 Aprašomoji rinkinio teorija
    • 6.2 Ryžtingumas
    • 6.3 Tęstinė hipotezė
  • 7. Gödelio suvaržoma visata
  • 8. Priversmas

    8.1 Kitos prievartos priemonės

  • 9. Naujų aksiomų paieška
  • 10. Dideli kardinolai

    • 10.1 Vidiniai didelių kardinalių modelių modeliai
    • 10.2 Didelių kardinolų pasekmės
  • 11. Priverstinės aksiomos
  • Bibliografija
  • Akademinės priemonės
  • Kiti interneto šaltiniai
  • Susiję įrašai

1. Ištakos

Set teorija, kaip atskira matematikos disciplina, prasideda Georgo Cantoro darbe. Galima sakyti, kad rinkinio teorija gimė 1873 m. Pabaigoje, kai jis padarė nuostabų atradimą, kad tiesinė ištisinė dalis, tai yra, tikroji linija, neskaičiuojama, tai reiškia, kad jos taškų negalima suskaičiuoti naudojant natūralius skaičius. Taigi, nors natūraliųjų skaičių ir realiųjų skaičių aibė yra begaliniai, realiųjų skaičių yra daugiau nei natūraliųjų skaičių, ir tai atvėrė duris skirtingo dydžio begalybės tyrimui. Žr. Įrašą apie ankstyvąją setų teorijos raidą, kad būtų galima aptarti set-theoretic idėjų kilmę ir jų naudojimą skirtingiems matematikams ir filosofams prieš ir aplink Cantor laiką.

Pasak „Cantor“, du rinkiniai (A) ir (B) turi vienodą dydį arba kardinalumą, jei jie yra brangūs, ty (A) elementus galima sudėti į vieną su kitu. atitikimas (B) elementais. Taigi natūraliųjų skaičių aibė (mathbb {N}) ir realiųjų skaičių aibė (mathbb {R}) skiriasi. 1878 m. Cantor suformulavo garsiąją tęstinę hipotezę (CH), kurioje teigiama, kad kiekvienas begalinis realiųjų skaičių rinkinys yra arba skaičiuojamas, ty jis turi tą patį kardinalumą kaip (mathbb {N}), arba turi tą patį kardinalumą kaip (mathbb {R}). Kitaip tariant, yra tik du galimi begalinių realiųjų skaičių aibių dydžiai. CH yra pati garsiausia rinkinio teorijos problema. Pats Kantorius tam skyrė daug pastangų, ir tai padarė ir daugelis kitų pirmaujančių XX amžiaus pirmosios pusės matematikų, tokių kaip Hilbertas,kuris išvardijo CH kaip pirmąją problemą savo iškilmingame 23 neišspręstų matematinių problemų sąraše, pateiktame 1900 m. Antrajame tarptautiniame matematikų kongrese Paryžiuje. Bandymai įrodyti CH sąlygojo didelius rinkinių teorijos atradimus, tokius kaip sutraukiamųjų aibių teorija ir forsavimo technika, kurie parodė, kad CH negalima nei įrodyti, nei paneigti iš įprastų aibių aibių teorijos. Iki šios dienos CH liko atviras. Iki šios dienos CH liko atviras. Iki šios dienos CH liko atviras.

Anksčiau kai kurie neatitikimai ar paradoksai kilo dėl naivaus naudojimosi sąvokos sąvoka; visų pirma remiantis apgaulinga natūralia prielaida, kad kiekviena savybė lemia aibę, būtent daiktų, turinčių šią savybę, aibę. Vienas iš pavyzdžių yra Raselio paradoksas, dar žinomas „Zermelo“:

apsvarstykite savybių rinkinius, kad jie patys nėra nariai. Jei nuosavybė nustato rinkinį, vadinkite jį (A), tada (A) yra pats narys, jei ir tik tada, jei (A) nėra pats narys.

Taigi kai kurios kolekcijos, tokios kaip visų rinkinių rinkimas, visų ordinų skaičių rinkimas ar visų kardinalių skaičių rinkinys, nėra rinkiniai. Tokios kolekcijos vadinamos tinkamomis klasėmis.

Norint išvengti paradoksų ir tvirtai paremti, rinkinio teoriją reikėjo aksiomatizuoti. Pirmasis aksiomatizavimas įvyko dėl Zermelo (1908) ir atsirado dėl to, kad reikėjo išdėstyti pagrindinius teorijos principus, pagrindžiančius jo kantoriaus gero tvarkos principą. Zermelo aksiomatizacija išvengia Russello paradokso, naudodama atskyrimo aksiomą, kuri yra suformuluota kaip kiekybinė, nustatanti aibių savybes, taigi tai yra antros eilės teiginys. Tolesni Skolemo ir Fraenkelio darbai paskatino atskyrimo aksiomą įforminti pirmosios eilės formulėmis vietoj neoficialios nuosavybės sąvokos, taip pat įvedus pakeitimo aksiomą, kuri taip pat suformuluota kaip aksioma. pirmosios eilės formulių schema (žr. kitą skyrių). Pakeitimo aksioma reikalinga norint tinkamai plėtoti periferinių ordinų ir kardinolų teoriją, naudojant transfinito rekursiją (žr. 3 skyrių). Taip pat reikia įrodyti, kad egzistuoja tokie paprasti rinkiniai kaip paveldimai baigtinių aibių aibė, ty tie baigtiniai aibės, kurių elementai yra baigtiniai, kurių elementai taip pat yra baigtiniai ir tt; arba įrodyti pagrindinius aibės teorijos faktus, tokius kaip kiekviena aibė, esančią pereinamojoje aibėje, ty rinkinį, kuriame yra visi jo elementai (žr. Mathias 2001 apie Zermelo aibės teorijos silpnybes). Kitas fon Neumann papildymas fondo aksioma lėmė standartinę rinkinio teorijos aksiomų sistemą, vadinamą Zermelo-Fraenkel aksiomomis plius pasirinkimo aksioma arba ZFC. Taip pat reikia įrodyti, kad egzistuoja tokie paprasti aibės kaip paveldimai baigtinių aibių aibė, ty tie baigtiniai aibės, kurių elementai yra baigtiniai, kurių elementai taip pat yra baigtiniai ir t. T. arba įrodyti pagrindinius aibės teorijos faktus, tokius kaip kiekviena aibė, esančią pereinamojoje aibėje, ty rinkinį, kuriame yra visi jo elementai (žr. Mathias 2001 apie Zermelo aibės teorijos silpnybes). Kitas fon Neumann papildymas fondo aksioma lėmė standartinę rinkinio teorijos aksiomų sistemą, vadinamą Zermelo-Fraenkel aksiomomis plius pasirinkimo aksioma arba ZFC. Taip pat reikia įrodyti, kad egzistuoja tokie paprasti rinkiniai kaip paveldimai baigtinių aibių aibė, ty tie baigtiniai aibės, kurių elementai yra baigtiniai, kurių elementai taip pat yra baigtiniai ir tt; arba įrodyti pagrindinius aibės teorijos faktus, tokius kaip kiekviena aibė, esančią pereinamojoje aibėje, ty rinkinį, kuriame yra visi jo elementai (žr. Mathias 2001 apie Zermelo aibės teorijos silpnybes). Kitas fon Neumann papildymas fondo aksioma lėmė standartinę rinkinio teorijos aksiomų sistemą, vadinamą Zermelo-Fraenkel aksiomomis plius pasirinkimo aksioma arba ZFC.arba įrodyti pagrindinius aibės teorijos faktus, tokius kaip kiekviena aibė, esančią pereinamojoje aibėje, ty rinkinį, kuriame yra visi jo elementai (žr. Mathias 2001 apie Zermelo aibės teorijos silpnybes). Kitas fon Neumann papildymas fondo aksioma lėmė standartinę rinkinio teorijos aksiomų sistemą, vadinamą Zermelo-Fraenkel aksiomomis plius pasirinkimo aksioma arba ZFC.arba įrodyti pagrindinius aibės teorijos faktus, tokius kaip kiekviena aibė, esančią pereinamojoje aibėje, ty rinkinį, kuriame yra visi jo elementai (žr. Mathias 2001 apie Zermelo aibės teorijos silpnybes). Kitas fon Neumann papildymas fondo aksioma lėmė standartinę rinkinio teorijos aksiomų sistemą, vadinamą Zermelo-Fraenkel aksiomomis plius pasirinkimo aksioma arba ZFC.

Kitos aibomatizacijos, pavyzdžiui, von Neumann-Bernays-Gödel (NBG) ar Morse-Kelley (MK), leidžia oficialiai įvertinti tinkamas klases.

2. Aibės teorijos aksiomos

ZFC yra aksiomų sistema, suformuluota pirmosios eilės logika su lygybe ir turinti tik vieną dvejetainį santykio simbolį (in), skirtą narystei. Taigi, mes rašome (A / raidėje B), norėdami išreikšti, kad (A) yra aibės (B) narys. Žr

Priedas prie pagrindinės rinkinio teorijos

Norėdami gauti daugiau informacijos. Taip pat žiūrėkite

„Zermelo-Fraenkel“rinkinio teorijos priedas

už formalizuotą aksiomų versiją ir kitus komentarus. Neoficialiai nurodome žemiau ZFC aksiomų.

2.1 ZFC aksiomos

  • Išplėtimas: jei du rinkiniai (A) ir (B) turi tuos pačius elementus, tada jie yra lygūs.
  • Null Set: Yra rinkinys, žymimas ({ varnothing}) ir vadinamas tuščiu rinkiniu, kuriame nėra elementų.
  • Pora: atsižvelgiant į bet kuriuos rinkinius (A) ir (B), egzistuoja rinkinys, žymimas ({A, B }), kuriame yra (A) ir (B) kaip vieninteliai jo elementai. Visų pirma, egzistuoja aibė ({A }), kurios vienintelis elementas yra (A).
  • Energijos rinkinys: Kiekvienam rinkiniui (A) egzistuoja rinkinys, žymimas (matematine {P} (A)) ir vadinamas (A) galios rinkiniu, kurio elementai yra visi (A).
  • Sąjunga: kiekvienam rinkiniui (A) yra aibė, žymima (bigcup A) ir vadinama (A) sąjunga, kurios elementai yra visi elementų (A) elementai.).
  • Begalybė: egzistuoja begalinis rinkinys. Visų pirma, yra rinkinys (Z), kuriame yra ({ varnothing}), ir jei (A / Z), tada (bigcup {A, {A } } į Z).
  • Atskyrimas: kiekvienam rinkiniui (A) ir kiekvienai duotai ypatybei yra rinkinys, kuriame yra tiksliai tos savybės turintys (A) elementai. Savybė suteikiama formulės teorijos pirmosios eilės kalbos formule (varphi).

    Taigi atskyrimas yra ne viena aksioma, o aksiomų schema, tai yra, begalinis aksiomų sąrašas, po vieną kiekvienai formulei (varphi).

  • Pakaitalas: Kiekvienai apibrėžtai funkcijai, turinčiai domeno aibę (A), yra aibė, kurios elementai yra visos funkcijos vertės.

    Pakeitimas taip pat yra aksiomų schema, nes apibrėžtinos funkcijos pateikiamos formulėmis.

  • Fondas: Kiekviename netuščiame rinkinyje (A) yra minimalus elementas (in), tai yra toks elementas, kad joks (A) elementas nepriklausytų.

Tai yra Zermelo-Fraenkelio rinkinio teorijos arba ZF aksiomos. „Null Set“ir „Pair“aksiomos seka iš kitų ZF aksiomų, todėl jų gali būti praleista. Be to, pakeitimas reiškia atskyrimą.

Galiausiai yra pasirinkimo aksioma (AC):

Pasirinkimas: kiekvienam iš porų atskirtų netuščių rinkinių rinkiniui (A) egzistuoja rinkinys, kuriame yra tiksliai vienas elementas iš kiekvieno rinkinio, esančio (A).

AC ilgą laiką buvo prieštaringai vertinama aksioma. Viena vertus, tai labai naudinga ir plačiai naudojama matematikoje. Kita vertus, tai sukelia gana neintuyvias pasekmes, pvz., „Banach-Tarski Paradox“, kuris sako, kad vienetinis rutulys gali būti padalintas į daugybę dalių, kuriuos vėliau galima pertvarkyti ir sudaryti du vienetinius rutulius. Prieštaravimai aksiomai kyla dėl to, kad teigiama, jog egzistuoja rinkiniai, kurių negalima aiškiai apibrėžti. Bet 1938 m. Gödelio nuoseklumo įrodymas, palyginti su ZF nuoseklumu, išsklaidė visus įtarimus, susijusius su tuo.

Pasirinkimo aksioma yra „Modulo ZF“, lygiavertė gero užsakymo principui, kuris tvirtina, kad kiekvienas rinkinys gali būti gerai užsakomas, ty jis gali būti užsakytas tiesiškai, kad kiekvienas ne tuščias poaibis turėtų minimalų elementą.

Nors formaliai tai nėra būtina, greta simbolio (in) patogumui jis paprastai naudoja ir kitus pagalbinius apibrėžtus simbolius. Pavyzdžiui, (A / subseteq B) reiškia, kad (A) yra (B) pogrupis, ty kiekvienas (A) narys yra (B) narys. Kiti simboliai naudojami žymėti rinkinius, gautus atliekant pagrindines operacijas, pvz., (A / taurė B), kuris žymi (A) ir (B) sąjungą, ty rinkinys, kurio elementai yra šie: (A) ir (B); arba (A / dangtelis B), kuris žymi (A) ir (B) sankirtą, ty rinkinį, kurio elementai yra bendri (A) ir (B). Užsakyta pora ((A, B)) apibrėžiama kaip aibė ({ {A }, {A, B } }). Taigi dvi užsakytos poros ((A, B)) ir ((C, D)) yra lygios tada ir tik tada, kai (A = C) ir (B = D). Dekarto produktas (A / kartų B) yra apibrėžiamas kaip visų užsakytų porų rinkinys ((C,D)) taip, kad (C / A) ir (D / B). Atsižvelgiant į bet kurią formulę (varphi (x, y_1, / ldots, y_n)) ir rinkinius (A, B_1, / ldots, B_n), galima sudaryti visų tų ((A) elementų rinkinį. kurie atitinka formulę (varphi (x, B_1, / ldots, B_n)). Šis rinkinys žymimas ({a / raidėje A: / varphi (a, B_1, / ldots, B_n) }). ZF galima lengvai įrodyti, kad visi šie rinkiniai egzistuoja. Norėdami sužinoti daugiau, žiūrėkite priedą apie pagrindinę rinkinio teoriją.

3. Transfinituotų ordinų ir kardinolų teorija

Naudojant ZFC, galima išplėsti kantoriaus neribotų (ty begalinių) eilės ir kardinalių skaičių teoriją. Vadovaujantis 1920 m. Pradžioje pateiktu Von Neumanno apibrėžimu, eilės numeriai, arba trumpai tariant, eiliškieji skaičiai gaunami pradedant tuščiu rinkiniu ir atliekant dvi operacijas: paimant tiesioginį įpėdinį ir pereinant prie ribos. Taigi pirmasis eilės numeris yra ({ varnothing}). Atsižvelgiant į ordinarinį (alfa), jo tiesioginis įpėdinis, žymimas (alfa +1), yra rinkinys (alpha / cup { alpha }). O atsižvelgiant į tuščią įsakymų rinkinį (X), kad kiekvienam (alpha / in X) įpėdinis (alpha +1) taip pat yra (X), jis gauna ribą ordinal (bigcup X). Iš jų matyti, kad kiekvieną ordinarą tvarko (griežtai) tvarko (in), tai yra, linijiškai tvarko (in) ir nėra begalinės (in) - mažėjančios sekos. Be to, kiekvienas tinkamai išdėstytas rinkinys yra izomorfinis iki unikalaus ordino, vadinamo jo užsakymo tipu.

Atminkite, kad kiekvienas ordinalas yra jo pirmtakų rinkinys. Tačiau visų ordinų klasė (ON) nėra aibė. Priešingu atveju (ON) būtų ordinaras didesnis už visus ordinarus, o tai neįmanoma. Pirmasis begalinis ordinalas, kuris yra visų baigtinių ordinų rinkinys, žymimas graikiška raide omega ((omega)). Naudojant ZFC, baigtiniai ordinalai atpažįstami iš natūraliųjų skaičių. Taigi, ({ varnothing} = 0), ({{ varnothing} } = 1), ({{ varnothing}, {{ varnothing} } } = 2) ir kt., taigi (omega) yra tik natūraliųjų skaičių (mathbb {N}) rinkinys.

Natūraliųjų skaičių sudėjimo ir daugybos operacijas galima išplėsti visiems ordinatams. Pvz., Ordinarinis (alfa + / beta) yra gero užsakymo, gaunamo sujungus gerai sutvarkytą užsakymo tipo (alpha) rinkinį ir gerai išdėstytą užsakymo rinkinį, užsakymo tipas. tipo (beta). Įsakymų seka, gerai paskirta (in), prasideda taip

0, 1, 2, …, (n), …, (omega), (omega + 1), (omega + 2), …, (omega + / omega), …, (n / cdot / omega), …, (omega / cdot / omega), …, (omega ^ n), …, (omega ^ / omega),…

Įsakymai tenkina transfinite indukcijos principą: tarkime, kad (C) yra įsakymų klasė, tokia, kad kai (C) yra visi įsakymai (beta) mažesni už kai kuriuos ordinarus (alpha), tada (alpha) taip pat yra (C). Tada klasėje (C) yra visi įsakymai. Naudojant transfinitinę indukciją, ZFC galima įrodyti (ir reikia pakeitimo aksiomos) svarbų transfinito rekursijos principą, kuris sako, kad, atsižvelgiant į bet kurią apibrėžtiną klasės funkciją (nuo G: V iki V), galima apibrėžti klasę. -funkcija (F: Įjungta / į V) tokia, kad (F (alfa)) yra funkcijos (G) reikšmė, taikoma funkcijai (F), apribotai (alfa). Pavyzdžiui, pasitelkiama neribota rekursija, norint tinkamai apibrėžti ordinarų pridėjimo, sandaugos ir eksponacijos aritmetines operacijas.

Prisiminkite, kad begalinis rinkinys yra skaičiuojamas, jei jis yra brangus, ty jį galima surašyti vienas su kitu korespondencija su (omega). Visi aukščiau pavaizduoti įsakymai yra nei baigtiniai, nei suskaičiuojami. Bet visų baigtinių ir suskaičiuojamų ordinų rinkinys taip pat yra ordinalis, vadinamas (omega_1), ir yra neskaičiuojamas. Panašiai visų ordinų, kurie yra brangūs, o kai kurių ordinarų skaičius yra mažesnis ar lygus (omega_1), rinkinys taip pat yra ordinalis, vadinamas (omega_2), ir nėra branginamas kartu su (omega_1), ir t.

3.1 Kardinolai

Kardinolas yra ordinas, kurio negalima papuošti jokiu mažesniu ordinu. Taigi kiekvienas baigtinis ordinalas yra kardinolas, o (omega), (omega_1), (omega_2) ir kt. Taip pat yra kardinolai. Begalinius kardinolus vaizduoja hebrajų abėcėlės raidė aleph ((aleph)), o jų eiliškumą indeksuoja ordinai. Tai prasideda taip

(aleph_0), (aleph_1), (aleph_2),…, (aleph_ / omega), (aleph _ { omega +1}),…, (aleph _ { omega + / omega}),…, (aleph _ { omega ^ 2}),…, (aleph _ { omega ^ / omega}),…, (aleph _ { omega_1}),…, (aleph _ { omega_2}),…

Taigi, (omega = / aleph_0), (omega_1 = / aleph_1), (omega_2 = / aleph_2) ir kt. Kiekvienam kardinolui yra didesnis ir didėjančios sekos riba. kardinolas taip pat yra kardinolas. Taigi visų kardinolų klasė yra ne rinkinys, o tinkama klasė.

Begalinis kardinolas (kappa) vadinamas reguliariu, jei tai nėra mažesnių nei (kappa) mažesnių kardinolų sąjunga. Taigi, (aleph_0) yra dėsninga, kaip ir visi begaliniai kardinolų įpėdiniai, tokie kaip (aleph_1). Nereguliarūs begaliniai kardinolai vadinami vienaskaitiniais. Pirmasis vienaskaitos kardinolas yra (aleph_ / omega), nes tai yra daugybės mažesnių kardinolų sąjunga, būtent (aleph_ / omega = / bigcup_ {n <\ omega} aleph_n).

Kardinalios (kappa), žymimos (cf (kappa)), bendroji savybė yra mažiausias kardinolas (lambda), toks, kad (kappa) yra (lambda) - daugybė mažesnių ordinų. Taigi, (cf (aleph_ / omega) = / aleph_0).

AC (gerai tvarkingo principo pavidalu) gali būti tinkamai sutvarkytas kiekvienas rinkinys (A), taigi jis yra brangus su unikaliu kardinolu, vadinamu (A) kardinalumu. Atsižvelgiant į du kardinolus (kappa) ir (lambda), suma (kappa + / lambda) yra apibrėžiama kaip rinkinio, susidedančio iš bet kurių dviejų atskirtų rinkinių, vienas iš kardinalumo, kardinalumas. (kappa) ir vienas iš kardinalumo (lambda). Produktas (kappa / cdot / lambda) yra apibrėžiamas kaip Dekarto produkto (kappa / times / lambda) kardinalumas. Begalinių kardinalų sumos ir sandaugos operacijos yra nereikšmingos, jei (kappa) ir (lambda) yra begaliniai kardinolai, tada (kappa + / lambda = / kappa / cdot / lambda = maximum { kappa, / lambda }).

Priešingai, kardinalus eksponentas yra labai ne trivialus, nes net paprasčiausio ne trivialus begalybės eksponentas, būtent (2 ^ { aleph_0}), vertė nėra žinoma ir negali būti nustatyta ZFC (žr. Toliau). Kardinolas (kappa ^ / lambda) yra apibrėžiamas kaip Dekarto produkto kardinalumas iš (lambda) kopijų (kappa); taip pat kaip visų funkcijų aibės nuo (lambda) į (kappa) kardinalumas. Königo teorema teigia, kad (kappa ^ {cf (kappa)}> / kappa), o tai reiškia, kad kardinolas (2 ^ { aleph_0}), nepaisant to, koks yra kardinolas, turi būti nesuskaičiuojamas. Bet tai iš esmės yra viskas, ką ZFC gali įrodyti apie eksponentinio elemento (2 ^ { aleph_0}) vertę.

Išskirtinių kardinalų ekspansijos atveju ZFC turi daug daugiau pasakyti. 1989 m. Shelah įrodė puikų rezultatą, kad jei (aleph_ / omega) yra stipri riba, tai yra, (2 ^ { aleph_n} <\ aleph_ / omega), kiekvienam (n <\ omega), tada (2 ^ { aleph_ / omega} <\ aleph _ { omega_4}) (žr. Shelah (1994)). Šilaho sukurta technika, kad įrodytų šią ir panašias teorijas, ZFC, yra vadinama pcf teorija (galimoms bendrystėms) ir rado daugybę pritaikymų kitose matematikos srityse.

4. Visų rinkinių visata (V)

A posteriori, kitos ZF aksiomos, išskyrus ekstensyvumą, kurioms nereikia jokio pagrindimo, nes joje tik nurodoma apibrėžianti aibių savybė, gali būti pateisinamos jų naudojimu kuriant kaupiamą aibių hierarchiją. Būtent, ZF apibrėžime, naudojant neribotą rekursiją, klasės funkcija, kuri kiekvienam ordinariniam (alpha) priskiria aibę (V_ / alpha), pateiktą taip:

  • (V_0 = { nieko nedaryti})
  • (V _ { alfa +1} = / matematikos {P} (V_ / alfa))
  • (V_ / alpha = / bigcup _ { beta <\ alpha} V_ / beta), kai (alpha) yra ribinė ordinacija.

„Power Set“aksioma naudojama norint gauti (V _ { alpha +1}) iš (V_ / alpha). Pakeitimas ir sąjunga leidžia formuoti (V_ / alpha) (alpha) ribiniam ordinarui. Iš tikrųjų apsvarstykite funkciją, kuri priskiriama kiekvienam (beta <\ alpha) rinkiniui (V_ / beta). Pakeičiant, visos (V_ / beta), skirtos (beta <\ alpha), rinkinys yra aibė, taigi Sąjungos aksioma buvo taikoma tiems rinkiniams (V_ / alpha). Begalybės aksioma yra reikalinga siekiant įrodyti, kad egzistuoja (omega), taigi ir neribota ordinų seka. Galiausiai, pamačius aksiomą, aksioma yra lygiavertė, darant prielaidą, kad kitos aksiomos yra teiginyje, kad kiekvienas rinkinys priklauso kažkokiam (V_ / alpha), kažkam - ordinariniam (alpha). Taigi, ZF įrodo, kad aibė teorinės visatos, žymimos (V), yra visos (V_ / alpha), (alpha) ordinarų sąjunga.

Tinkama klasė (V) ir santykis (in) tenkina visas ZFC aksiomas, taigi yra ZFC pavyzdys. Tai yra numatytas ZFC modelis, ir galima manyti, kad ZFC pateikia (V) aprašą, tačiau aprašymas yra labai neišsamus, kaip matysime toliau.

Viena svarbi (V) savybė yra vadinamasis refleksijos principas. Būtent kiekvienai formulei (varphi (x_1, / ldots, x_n)) ZFC įrodo, kad yra ją atspindintis (V_ / alpha), tai yra kiekvienam (a_1, / ldots, a_n / in V_ / alpha),

(varphi (a_1, / ldots, a_n)) telpa (V) tik tada, jei (varphi (a_1, / ldots, a_n)) telpa (V_ / alpha).

Taigi, (V) negali būti apibūdinamas nė vienu sakiniu, nes kiekvienas sakinys, kuris teisingas (V), taip pat turi būti teisingas kai kuriame pradiniame segmente (V_ / alpha). Visų pirma, ZFC nėra visiškai aksiomatizuojamas, nes priešingu atveju ZFC įrodytų, kad daugybei įsakymų (alpha), (V_ / alpha) yra ZFC pavyzdys, prieštaraujantis antrajai Gödelio nepilnumo teoremai (žr. 5.2 skyrių)..

Refleksijos principas apima ZF aibės teorijos esmę, nes, kaip parodė Levy (1960), ekstensyvumo, atskyrimo ir pagrindų aksiomos kartu su Reflection Principle, suformuluotos kaip aksiomų schema, tvirtinančios, kad kiekviena formulė atsispindi tam tikruose rinkiniuose. kuriame yra visi elementai ir visi jo elementų pogrupiai (atkreipkite dėmesį, kad (V_ / alpha) yra tokie), yra lygiavertis ZF.

5. Teoriją nustatykite kaip matematikos pagrindą

Į kiekvieną matematinį objektą galima žiūrėti kaip į rinkinį. Pavyzdžiui, natūralieji skaičiai identifikuojami su baigtiniaisiais ordinais, taigi (mathbb {N} = / omega). Sveikų skaičių (mathbb {Z}) aibė gali būti apibrėžta kaip natūraliųjų skaičių porų ekvivalentiškumo klasių aibė pagal santykį ((n, m) ekvivalentas (n ', m')), jei ir tik jei (n + m '= m + n'). Identifikuodamas kiekvieną natūralųjį skaičių (n) su poros ekvivalentiškumo klase ((n, 0)), natūralių skaičių sumos ir sandaugos operacijas galima natūraliai išplėsti iki (mathbb {Z}). (išsamiau žr. Enderton (1977) ir Levy (1979)). Be to, racionalumą (mathbb {Q}) galima apibrėžti kaip sveikųjų skaičių porų ((n, m)) ekvivalentiškumo klasių aibę, kur (m / ne 0) pagal ekvivalentiškumo santykį ((n, m) atitiktis (n ', m')) tik tada, jei (n / cdot m '= m / cdot n'). Vėlgi, (+) ir (cdot) operacijos, vykdomos (mathbb {Z}), gali būti natūraliai išplėstos iki (mathbb {Q}). Be to, racionalųjį užsakymą (leq _ { mathbb {Q}}) teikia: (r / leq _ { mathbb {Q}} s), jei ir tik tada, jei yra (t / in / mathbb {Q}) taip, kad (s = r + t). Realieji skaičiai gali būti apibrėžti kaip (mathbb {Q}) Dedekind išpjovos, ty tikrasis skaičius pateikiamas ne tuščių atskirtųjų rinkinių pora ((A, B)), kad (A / taurė B = / mathbb {Q}) ir (a / leq _ { mathbb {Q}} b) kiekvienam (a / A) ir (b / B). Tada vėl galima išplėsti (+) ir (cdot) operacijas, esančias (mathbb {Q}), taip pat užsakymą (leq _ { mathbb {Q}}), į realiųjų skaičių aibę (mathbb {R}).operacijos (+) ir (cdot) naudojant (mathbb {Z}) gali būti natūraliai išplėstos iki (mathbb {Q}). Be to, racionalųjį užsakymą (leq _ { mathbb {Q}}) teikia: (r / leq _ { mathbb {Q}} s), jei ir tik tada, jei yra (t / in / mathbb {Q}) taip, kad (s = r + t). Realieji skaičiai gali būti apibrėžti kaip (mathbb {Q}) Dedekind išpjovos, ty tikrasis skaičius pateikiamas ne tuščių atskirtųjų rinkinių pora ((A, B)), kad (A / taurė B = / mathbb {Q}) ir (a / leq _ { mathbb {Q}} b) kiekvienam (a / A) ir (b / B). Tada vėl galima išplėsti (+) ir (cdot) operacijas, esančias (mathbb {Q}), taip pat užsakymą (leq _ { mathbb {Q}}), į realiųjų skaičių aibę (mathbb {R}).operacijos (+) ir (cdot) naudojant (mathbb {Z}) gali būti natūraliai išplėstos iki (mathbb {Q}). Be to, racionalųjį užsakymą (leq _ { mathbb {Q}}) teikia: (r / leq _ { mathbb {Q}} s), jei ir tik tada, jei yra (t / in / mathbb {Q}) taip, kad (s = r + t). Realieji skaičiai gali būti apibrėžti kaip (mathbb {Q}) Dedekind išpjovos, ty tikrasis skaičius pateikiamas ne tuščių atskirtųjų rinkinių pora ((A, B)), kad (A / taurė B = / mathbb {Q}) ir (a / leq _ { mathbb {Q}} b) kiekvienam (a / A) ir (b / B). Tada vėl galima išplėsti (+) ir (cdot) operacijas, esančias (mathbb {Q}), taip pat užsakymą (leq _ { mathbb {Q}}), į realiųjų skaičių aibę (mathbb {R}).(r / leq _ { mathbb {Q}} s) tada ir tik tada, jei yra (t / in / mathbb {Q}), kad (s = r + t). Realieji skaičiai gali būti apibrėžti kaip (mathbb {Q}) Dedekind išpjovos, ty tikrasis skaičius pateikiamas ne tuščių atskirtųjų rinkinių pora ((A, B)), kad (A / taurė B = / mathbb {Q}) ir (a / leq _ { mathbb {Q}} b) kiekvienam (a / A) ir (b / B). Tada vėl galima išplėsti (+) ir (cdot) operacijas, esančias (mathbb {Q}), taip pat užsakymą (leq _ { mathbb {Q}}), į realiųjų skaičių aibę (mathbb {R}).(r / leq _ { mathbb {Q}} s) tada ir tik tada, jei yra (t / in / mathbb {Q}), kad (s = r + t). Realieji skaičiai gali būti apibrėžti kaip (mathbb {Q}) Dedekind išpjovos, ty tikrasis skaičius pateikiamas ne tuščių atskirtųjų rinkinių pora ((A, B)), kad (A / taurė B = / mathbb {Q}) ir (a / leq _ { mathbb {Q}} b) kiekvienam (a / A) ir (b / B). Tada vėl galima išplėsti (+) ir (cdot) operacijas, esančias (mathbb {Q}), taip pat užsakymą (leq _ { mathbb {Q}}), į realiųjų skaičių aibę (mathbb {R}).taip pat užsakymas (leq _ { mathbb {Q}}), prie realiųjų skaičių aibės (mathbb {R}).taip pat užsakymas (leq _ { mathbb {Q}}), prie realiųjų skaičių aibės (mathbb {R}).

Pabrėžkime, kad nėra teigiama, kad, pvz., Tikrieji skaičiai yra Dedekindų racionalūs pjūviai, nes juos taip pat galima apibrėžti naudojant Cauchy sekas arba kitais skirtingais būdais. Pagrindiniu požiūriu svarbu tai, kad (mathbb {R}) teorinė versija kartu su įprastomis algebrinėmis operacijomis tenkina kategorines aksiomas, kurias tenkina tikrieji skaičiai, būtent užpildytas užsakytas laukas. Čia nesvarbus metafizinis klausimas, kokie iš tikrųjų yra tikrieji skaičiai.

Algebrinės struktūros taip pat gali būti vertinamos kaip aibės, nes bet koks (n) santykis aibės elementuose (A) gali būti vertinamas kaip (n) - tuples ((a_1, / ldots, a_n)) elementų (A). Bet kuri (n) ary funkcija (f), esanti (A), su reikšmėmis tam tikroje aibėje (B), gali būti laikoma (n + 1) - tuples (((a_1, / ldots, a_n), b)) taip, kad (b) yra (f) reikšmė ((a_1, / ldots, a_m)). Taigi, pavyzdžiui, grupė yra tik trigubas ((A, +, 0)), kur (A) yra tuščias rinkinys, (+) yra dvejetainė funkcija, esanti (A), kuri yra asociatyvi, (0) yra (A) elementas toks, kad (a + 0 = 0 + a = a), visiems (a / A) ir kiekvienam (a / A) yra (A) elementas, žymimas (- a), toks, kad (a + (- a) = (- a) + a = 0). Be to, topologinė erdvė yra tik aibė (X) kartu su joje esančia topologija (tau), ty(tau) yra (matematikos {P} (X)) pogrupis, kuriame yra (X) ir ({ varnothing}), ir uždarytas esant savavališkoms sąjungoms ir baigtinoms sankryžoms. Į bet kurį matematinį objektą visada galima žiūrėti kaip į rinkinį arba tinkamą klasę. Objekto savybes tada galima išreikšti rinkinio teorijos kalba. Bet kurį matematinį teiginį galima įforminti į aibės teorijos kalbą, o bet kurią matematinę teoremą, remiantis pirmosios eilės logikos skaičiavimais, galima išvesti iš ZFC aksiomų arba iš kai kurių ZFC pratęsimų. Būtent šia prasme rinkinio teorija suteikia matematikos pagrindą. Objekto savybes tada galima išreikšti rinkinio teorijos kalba. Bet kurį matematinį teiginį galima įforminti į aibės teorijos kalbą, o bet kurią matematinę teoremą, remiantis pirmosios eilės logikos skaičiavimais, galima išvesti iš ZFC aksiomų arba iš kai kurių ZFC pratęsimų. Būtent šia prasme rinkinio teorija suteikia matematikos pagrindą. Objekto savybes tada galima išreikšti rinkinio teorijos kalba. Bet kurį matematinį teiginį galima įforminti į aibės teorijos kalbą ir bet kurią matematinę teoremą, remiantis pirmosios eilės logikos skaičiavimais, išvesti iš ZFC aksiomų arba iš kai kurių ZFC pratęsimų. Būtent šia prasme rinkinio teorija suteikia matematikos pagrindą.

Nors pagrindinis teorijos vaidmuo matematikai yra reikšmingas, jis jokiu būdu nėra vienintelis jos tyrimo pagrindimas. Idėjos ir metodai, sukurti remiantis nustatytomis teorijomis, tokiomis kaip begalinė kombinacinė, verčiamoji ar didelių kardinalių teorija, pavertė ją gilia ir žavia matematikos teorija, kurią verta studijuoti ir kuri yra svarbi pritaikymo galimybė praktiškai visose matematikos srityse..

5.1 Metamatematika

Puikus faktas, kad praktiškai visa matematika gali būti įforminta per ZFC, leidžia atlikti matematinį pačios matematikos tyrimą. Taigi, bet kokiems klausimams apie kokio nors matematinio objekto egzistavimą ar spėlionės ar hipotezės pagrįstumą galima pateikti matematiškai tikslią formuluotę. Tai įgalina metamatematiką, būtent pačios matematikos studijas. Taigi, klausimas apie bet kurio matematinio teiginio pagrįstumą ar neišardomumą tampa protingu matematiniu klausimu. Susidūrus su atvira matematikos problema ar spėlionėmis, prasminga klausti jos įrodomumo ar neįrodomumo ZFC oficialioje sistemoje. Deja, atsakymas gali būti nei vienas, nes jei ZFC yra nuoseklus, jis neišsamus.

5.2 Neišsamumo reiškinys

Gödelio pirmosios eilės logikos išsamumo teorema suponuoja, kad ZFC yra nuoseklus, ir jo negalima prieštarauti, jei ir tik tada, jei jis turi modelį. ZFC modelis yra pora ((M, E)), kur (M) yra tuščias rinkinys ir (E) yra dvejetainis ryšys, esantis (M) taip, kad visos aksiomos iš ZFC yra tikros, kai interpretuojama ((M, E)), ty kai kintamieji, kurie atsiranda aksiomose, sutampa su (M) elementais, o (in) aiškinami kaip (E)). Taigi, jei (varphi) yra nustatytos teorijos kalbos sakinys ir galima rasti ZFC modelį, kuriame yra (varphi), jo neigimo (neg / varphi) negalima įrodyti. ZFC. Taigi, jei galima rasti (varphi), taip pat (neg / varphi) modelį, tada (varphi) nėra nei įrodytinas, nei paneigiamas ZFC, tokiu atveju mes sakome, kad (varphi) yra neišsprendžiamas,arba nepriklauso nuo ZFC.

1931 m. Gödelis paskelbė savo ryškias neišsamumo teoremas, kuriose teigiama, kad bet kokia pagrįsta formali matematikos sistema būtinai yra neišsami. Visų pirma, jei ZFC yra nuoseklus, tada ZFC yra nenuginčijamų teiginių. Be to, antroji Gödelio neišsamumo teorema reiškia, kad oficialus (aritmetinis) teiginys (CON (ZFC)), kuriame teigiama, kad ZFC yra nuoseklus, nors ir teisingas, negali būti įrodytas ZFC. Ir taip pat negalima neigti. Taigi, (CON (ZFC)) yra nenusprendžiamas ZFC.

Jei ZFC yra nuoseklus, tai negali įrodyti, kad egzistuoja ZFC modelis, nes kitu atveju ZFC įrodytų savo nuoseklumą. Taigi, nurodyto sakinio ((varphi)) nuoseklumo ar neišaiškinamumo įrodymas visada yra santykinio nuoseklumo įrodymas. Tai reiškia, kad daroma prielaida, kad ZFC yra nuoseklus, vadinasi, jis turi modelį, tada sukonstruoja kitą ZFC modelį, kuriame sakinys (varphi) yra teisingas. Kituose pavyzdžiuose matysime keletą pavyzdžių.

6. Nustatyta kontinuumo teorija

Nuo kantoriaus iki maždaug 1940 m. Nustatytoji teorija buvo plėtojama daugiausia tiriant kontinuumą, tai yra tikrąją tiesę (mathbb {R}). Pagrindinė tema buvo vadinamųjų dėsningumų savybių, taip pat kitų struktūrinių savybių, tiriamų paprasčiausiai apibrėžtinų realiųjų skaičių aibėse, matematikos sritis, vadinama aprašomąja rinkinio teorija, tyrimas.

6.1 Aprašomoji rinkinio teorija

Aprašomoji aibių teorija yra apibrėžtinų realiųjų skaičių aibių ir, plačiau, apibrėžtų (mathbb {R} ^ n) ir kitų Lenkijos erdvių (ty, topologinių erdvių, homeomorfinių atskiriama visa metrinė erdvė), tokia kaip visų funkcijų „Baire“erdvė (matematikos {N}) visos funkcijos (f: / mathbb {N} iki / mathbb {N}), sudėtingų skaičių tarpas, Hilbertas erdvė ir atskiriamos Banacho erdvės. Paprasčiausi realiųjų skaičių aibės yra pagrindiniai atvirieji aibės (ty atvirieji intervalai su racionaliaisiais taškais) ir jų papildymai. Rinkiniai, kurie gaunami nesuskaičiuojamu etapų skaičiumi, pradedant nuo pagrindinių atvirų rinkinių ir pritaikant komplemento paėmimo operacijas ir sudarant suskaičiuotą anksčiau gautų rinkinių sąjungą, yra „Borel“rinkiniai. Visi „Borel“rinkiniai yra reguliarūs, tai yra,jie mėgaujasi visomis klasikinio tvarkingumo savybėmis. Vienas dėsningumo savybių pavyzdys yra Lebesgue išmatuojamumas: realiųjų duomenų rinkinį galima išmatuoti Lebesgue, jei jis skiriasi nuo „Borel“aibės nulinės aibės, būtent aibės, kurią gali padengti savavališkai mažo bendro ilgio baziniai atvirieji intervalai, rinkiniais.. Taigi trivialiai kiekvienas „Borel“rinkinys yra Lebesgue matuojamas, tačiau sudėtingesnis nei „Borel“rinkinys gali būti ne. Kitos klasikinio dėsningumo savybės yra „Baire“savybė („Real“rinkinys turi „Baire“savybę, jei ji skiriasi nuo atviro aibės, kurią nustato silpnas rinkinys, būtent, aibė, kuri yra nesuskaičiuojama aibių, kurios nėra tankios nė vieno intervalo, sąjunga), ir tobula komplektavimo savybė (žiedų rinkinys turi geriausią komplektavimo savybę, jei jis yra arba skaičiuojamas, arba turi puikų rinkinį, tai yra, tuščias uždaras komplektas be atskirų taškų). ZFC galima įrodyti, kad egzistuoja nereguliarūs realių rinkinių rinkiniai, tačiau tam reikalingas AC (Solovay, 1970).

Analitiniai rinkiniai, dar vadinami (mathbf { Sigma} ^ 1_1), yra ištisiniai Borel rinkinių vaizdai. Ko-analitiniai rinkiniai arba (mathbf { Pi} ^ 1_1) yra analitinių aibių papildymai.

Pradedant nuo analitinių (arba ko-analitinių) rinkinių ir pritaikant projekcijos operacijas (nuo produkto erdvės (mathbb {R} times / mathcal {N}) iki (mathbb {R})) ir papildymas, gaunami projektiniai rinkiniai. Projekciniai rinkiniai sudaro vis sudėtingesnę hierarchiją. Pvz., Jei (A / subseteq / mathbb {R} times / mathcal {N}) yra bendrai analitinis, tada projekcija ({x / in / mathbb {R}: / egzistuoja y / in / matematinis {N} ((x, y) in A) }) yra projekcinis rinkinys, esantis kitame sudėtingumo lygyje, aukščiau ko-analitinių rinkinių. Tie rinkiniai vadinami (mathbf { Sigma} ^ 1_2), o jų priedai - (mathbf { Pi} ^ 1_2).

Projekciniai rinkiniai matematinėje praktikoje iškyla labai natūraliai, nes paaiškėja, kad nekilnojamojo daiktų rinkinys (A) yra projekcinis tada ir tik tada, kai jį galima apibrėžti struktūroje.

(mathcal {R} = (mathbb {R}, +, / cdot, / mathbb {Z}).)

T. y., Struktūros kalba yra pirmosios eilės formulė (varphi (x, y_1, / ldots, y_n)), kad kai kurioms (r_1, / ldots, r_n / in / mathbb {R }), [A = {x / in / mathbb {R}: / mathcal {R} modeliai / varphi (x, r_1, / ldots, r_n) }.)

ZFC įrodo, kad kiekvienas analitinis rinkinys, taigi ir kiekvienas koalitinis rinkinys, yra Lebesgue matuojamas ir turi Baire savybę. Tai taip pat įrodo, kad kiekvienas analitinis rinkinys turi tobulą rinkinio savybę. Bet tobulas koanalitinių rinkinių ypatumas reiškia, kad pirmasis nesuskaičiuojamas kardinolas (aleph_1) yra didelis konstruktinės visatos (L) kardinolas (žr. 7 skyrių), būtent vadinamasis neprieinamas kardinolas (žr. 10 skyrių), o tai reiškia, kad ZFC negalima įrodyti, kad kiekvienas ko-analitinis rinkinys turi tobulą rinkinio savybę.

ZFC visiškai nenustato projekcinių sudėtingesnių rinkinių, didesnių už koanalitinius, teorijos. Pavyzdžiui, (L) yra (mathbf { Sigma} ^ 1_2) aibė, kurios negalima išmatuoti Lebesgue ir neturinti Baire savybės, tuo tarpu, jei Martino aksioma laikosi (žr. 11 skyrių), kiekviena toks rinkinys turi tas reguliarumo savybes. Vis dėlto egzistuoja aksioma, vadinama Projektyviosios nustatymo aksioma, arba PD, kuri atitinka ZFC, moduliuoja kai kurių didelių kardinolų nuoseklumą (iš tikrųjų tai išplaukia iš kai kurių didelių kardinolų egzistavimo) ir reiškia, kad visi projektiniai rinkiniai yra reguliarūs. Be to, PD išsprendžia iš esmės visus klausimus apie projekcinius rinkinius. Norėdami gauti daugiau informacijos, skaitykite įrašą apie didelius kardinolus ir jų nustatymą.

6.2 Ryžtingumas

Nustatoma aibių reguliarumo savybė, kuri turi visas kitas klasikinio dėsningumo savybes. Paprastumo dėlei dirbkime su „Baire“erdve (mathcal {N}). Prisiminkite, kad (matematikos {N}) elementai yra funkcijos (f: / mathbb {N} iki / mathbb {N}), tai yra, natūraliųjų ilgių skaičių sekos (omega).. Tarpas (mathcal {N}) topologiškai ekvivalentiškas (ty homeomorfinis) iracionalių taškų aibėje (mathbb {R}). Taigi, kadangi mus domina (mathbb {R}) pogrupių dėsningumų savybės ir kadangi skaičiuojami rinkiniai, tokie kaip racionalusis rinkinys, yra nereikšmingi tų savybių atžvilgiu, mes taip pat galime dirbti su (mathcal {N}), vietoj (mathbb {R}).

Atsižvelgiant į (A / subseteq / mathcal {N}), žaidimas susijęs su (A), žymimas ({ mathcal G} _A), turi du žaidėjus, I ir II, kurie žaidžia pakaitomis (n_i / in / mathbb {N}): Aš vaidinu (n_0), tada II vaidinu (n_1), tada vaidinu (n_2) ir pan. Taigi, stadijoje (2k), I žaidėjas žaidžia (n_ {2k}), o stadijoje (2k + 1), II žaidėjas žaidžia (n_ {2k + 1}). Mes galime vizualizuoti žaidimo eigą taip:

(mathbf {I}) (n_0) (n_2) (n_4) (cdots) (n_ {2k}) (cdots)
(mathbf {II}) (n_1) (n_3) (cdots) (cdots) (n_ {2k + 1}) (cdots)

Po be galo daug judesių, du žaidėjai sukuria begalinę natūralių skaičių seką (n_0, n_1, n_2, / ldots). I žaidėjas laimi žaidimą, jei seka priklauso (A). Priešingu atveju laimi II žaidėjas.

Žaidimas ({ mathcal {G}} _ A) nustatomas, jei yra vieno iš žaidėjų laimėjimo strategija. Laimėjimo strategija vienam iš žaidėjų, tarkime, II žaidėjui, yra funkcija (sigma) iš baigtinių natūraliųjų skaičių sekų aibės į (mathbb {N}), pavyzdžiui, jei žaidėjas žaidžia pagal šiai funkcijai atlikti, ty ji vaidina (sigma (n_0, / ldots, n_ {2k})) ties (k) - turtu, ji visada laimės žaidimą, nesvarbu, ką daro kitas žaidėjas.

Mes sakome, kad (mathcal {N}) pogrupis (A) nustatomas tada ir tik tada, kai nustatomas žaidimas ({ mathcal {G}} _ A).

ZFC galima įrodyti - o naudoti kintamąjį reikia - kad yra nenustatytų rinkinių. Taigi nustatymo aksioma (AD), teigianti, kad yra nustatyti visi (mathcal {N}) pogrupiai, yra nesuderinama su AC. Tačiau Donaldas Martinas ZFC parodoje įrodė, kad kiekvienas „Borel“rinkinys yra ryžtingas. Be to, jis parodė, kad jei egzistuoja didelis kardinolas, vadinamas išmatuojamu (žr. 10 skyrių), tada nustatomi net analitiniai rinkiniai. Projektyvaus nustatymo (PD) aksioma patvirtina, kad kiekvienas projekcinis rinkinys yra nustatytas. Pasirodo, kad PD reiškia, kad visi projekciniai pakaitalų rinkiniai yra taisyklingi, o Woodinas parodė, kad tam tikra prasme PD sprendžia iš esmės visus klausimus apie projekcinius rinkinius. Be to, atrodo, kad tam reikalinga PD. Kita aksioma: (AD ^ {L (Bbb R)}) tvirtina, kad AD yra (L (Bbb R)),kuri yra mažiausiai pereinanti klasė, kurioje yra visi ordinalai ir visi tikrieji skaičiai, ir tenkinanti ZF aksiomas (žr. 7 skyrių). Taigi, (AD ^ {L (Bbb R)}) reiškia, kad kiekvienas skaitmenų, kurie priklauso (L (Bbb R)), rinkinys yra reguliarus. Be to, kadangi (L (Bbb R)) yra visi projekciniai rinkiniai, (AD ^ {L (Bbb R)}) reiškia PD.

6.3 Tęstinė hipotezė

1878 m. Cantor suformuluota kontinuumo hipotezė (CH) teigia, kad kiekvienas begalinis realiųjų skaičių rinkinys turi kardinalumą (aleph_0) arba tą patį kardinalumą kaip (mathbb {R}). Taigi, CH yra lygus (2 ^ { aleph_0} = / aleph_1).

Kantorius 1883 m. Įrodė, kad uždarosios realiųjų skaičių aibės turi geriausią atributą, iš kurio darytina išvada, kad kiekvienas nesuskaičiuojamas uždaras realiųjų skaičių aibė turi tą patį kardinalumą kaip (mathbb {R}). Taigi, CH turi uždarus rinkinius. Praėjus daugiau nei trisdešimčiai metų, Pavelas Aleksandrovas išplėtė rezultatą į visus „Borel“rinkinius, o paskui Michailą Susliną - į visus analitinius rinkinius. Taigi visi analiziniai rinkiniai tenkina CH. Tačiau pastangos įrodyti, kad bendro analizės rinkiniai tenkina CH, nepavyks, nes to neįmanoma įrodyti ZFC.

1938 m. Gödel įrodė CH suderinamumą su ZFC. Darant prielaidą, kad ZF yra nuoseklus, jis sukūrė ZFC, žinomo kaip suvaržoma visata, modelį, kuriame yra CH. Taigi įrodymas rodo, kad jei ZF yra pastovus, tai yra ir ZF kartu su AC ir CH. Taigi darant prielaidą, kad ZF yra pastovus, AC negalima paneigti ZF, o CH negali būti paneigtas ZFC.

Norėdami sužinoti dabartinę problemos būklę, skaitykite įrašą apie hipotezės tęstinumą, įskaitant naujausius Woodin rezultatus.

7. Gödelio suvaržoma visata

Gödelio suvaržoma visata, žymima (L), apibrėžiama kaip neribota rekursija ordinatuose, panašiai kaip (V), bet vėlesniais žingsniais, užuot ėmus (V_ / alpha) galios rinkinį, norint gauti (V _ { alpha +1}), paimami tik tie (L_ / alpha) pogrupiai, kuriuos galima apibrėžti (L_ / alpha), kaip parametrus naudojant (L_ / alpha) elementus. Taigi, leidžiant (mathcal {P} ^ {Def} (X)) žymėti visų (X) pogrupių aibę, kurią galima apibrėžti struktūroje ((X, / in)) aibės teorijos kalbos formulę, kaip apibrėžimo parametrus panaudodami (X) elementus, leidžiame

  • (L_0 = { nieko nedaryti})
  • (L _ { alpha +1} = / matematinė {P} ^ {Def} (L_ / alpha))
  • (L_ / lambda = / bigcup _ { alpha <\ lambda} L_ / alpha), kai (lambda) yra ribinis ordinatas.

Tada (L) yra visos (L_ / alpha), jungiančios (alpha) ordinarą, ty (L = / bigcup _ { alpha / in ON} L_ / alpha), sąjunga.

Gedelis parodė, kad (L) tenkina visas ZFC aksiomas, taip pat ir CH. Tiesą sakant, ji tenkina apibendrintą tęstinę hipotezę (GCH), ty (2 ^ { aleph_ / alpha} = / aleph _ { alpha +1}) kiekvienam ordinarui (alpha).

Teiginys (V = L), vadinamas konstruktyvumo aksioma, tvirtina, kad kiekvienas rinkinys priklauso (L). Jis turi (L), taigi atitinka ZFC ir reiškia tiek AC, tiek GCH.

Tinkama klasė (L) kartu su (in) santykiu, apribotu (L), yra vidinis ZFC modelis, tai yra pereinamasis (ty, jame yra visi jo elementų elementai). klasė, kurioje yra visi įsakymai ir kuri patenkina visas ZFC aksiomas. Tai iš tikrųjų yra mažiausias vidinis ZFC modelis, nes jį turi bet kuris kitas vidinis modelis.

Apskritai, atsižvelgiant į bet kurį rinkinį (A), galima sukurti mažiausią pereinamąjį ZF modelį, kuriame yra (A) ir visi įsakymai, panašiai kaip (L), bet dabar pradedant nuo pereinamojo uždarymo iš ({A }), ty mažiausias pereinamasis rinkinys, kuriame yra (A), vietoj ({ varnothing}). Gautas modelis (L (A)) nebūtinai turi būti kintamosios srovės modelis. Vienas labai svarbus toks modelis yra (L (mathbb {R})), mažiausias ZF tranzityvinis modelis, kuriame yra visi ordinai ir visi tikrieji skaičiai.

Sudaromų aibių teorija daug priklauso nuo Ronaldo Jenseno darbo. Jis sukūrė vadinamąją (L) smulkiosios struktūros teoriją ir išskyrė kai kuriuos kombinatorinius principus, tokius kaip deimantas ((diamondsuit)) ir kvadratas ((Box)), kuriuos galima naudoti atlikti nesuskaičiuojamų matematinių objektų sudėtingas konstrukcijas. Didesnės struktūros teorija taip pat vaidina svarbų vaidmenį analizuojant didesnius (L) panašius modelius, tokius kaip (L (mathbb {R})] arba vidinius didelių kardinalų modelius (žr. 10.1 skyrių).

8. Priversmas

1963 m., Praėjus dvidešimt penkeriems metams po to, kai Gödel įrodė CH ir AC nuoseklumą, palyginti su ZF nuoseklumu, Paul Cohen (1966) įrodė CH neigimo, taip pat AC neigimo nuoseklumą., ZF nuoseklumo atžvilgiu. Taigi, jei ZF yra nuoseklus, tada CH yra nenustatomas ZFC, o AC yra neišmatuojamas ZF. Siekdamas to pasiekti, Cohenas sugalvojo naują ir ypač galingą metodą, vadinamą priverstiniu, kad būtų galima išplėsti skaičiuojamuosius pereinamuosius ZF modelius.

Kadangi aksioma (V = L) reiškia AC ir CH, bet koks AC arba CH neigimo modelis turi pažeisti (V = L). Taigi, iliustruokime priverstinę idėją statant modelį neigimui (V = L). Mes pradedame nuo pereinamojo laikotarpio ZFC modelio (M), kurį, laikydamiesi bendrumo, galime manyti, kad esame (V = L). Norėdami pažeisti (V = L), turime išplėsti (M), pridėdami naują rinkinį (r), kad išplėstame modelyje (r) būtų nekonstruktyvūs. Kadangi visi paveldimi-baigtiniai rinkiniai yra sutraukiami, mes siekiame pridėti begalinį natūraliųjų skaičių aibę. Pirma problema, su kuria susiduriame, yra tai, kad (M) gali būti jau visi (omega) pogrupiai. Laimei, pagal Löwenheim-Skolem pirmosios eilės logikos teoremą, (M) turi suskaičiuojamą elementarųjį submodelį (N). Taigi, kadangi mus domina tik teiginiai, kuriuose yra (M),o ne pačiame (M), mes taip pat galime dirbti su (N), o ne (M), todėl galime manyti, kad pats (M) yra skaičiuojamas. Kadangi (matematikos {P} (omega)) yra neskaičiuojamas, yra daugybė (omega) pogrupių, kurie nepriklauso (M). Bet, deja, negalime tiesiog išsirinkti jokio begalinio (r omega] pogrupio, nepriklausančio (M), ir pridėti jį prie (M). Priežastis ta, kad (r) gali užkoduoti daug informacijos, taigi pridėjus prie (M), (M) nebėra ZFC modelis arba vis tiek yra (V = L). Norint to išvengti, reikia labai atsargiai pasirinkti (r). Idėja yra pasirinkti (r) bendrinį per (M), tai reiškia, kad (r) yra sudarytas iš jo baigtinių aproksimacijų taip, kad ji neturi jokios savybės, kurią būtų galima apibrėžti dokumente (M) ir jų galima išvengti. Pavyzdžiui,žiūrint į (r) kaip begalinę natūraliųjų skaičių seką didėjančia tvarka, galima išvengti (r) savybės, turinčios tik porinius skaičius su daugybe porų, nes atsižvelgiant į bet kokį baigtinį apytikslį (r) - y., bet kokia baigtinė didėjanti natūraliųjų skaičių seka visada gali ją pratęsti pridedant daugiau lyginių skaičių, kad konstravimo pabaigoje (r) būtų be galo daug lyginių skaičių; tuo tarpu savybės turėti skaičių 7 negali būti išvengta, nes kai baigtiniame artėjime prie (r) yra skaičius 7, jis lieka tas pats, nesvarbu, kaip vyksta ((r)) konstravimas. Kadangi (M) yra skaičiuojamas, yra tokie bendriniai (r). Tada išplėstas modelis (M [r]), į kurį įeina (M) ir kuriame yra naujas rinkinys (r), vadinamas bendruoju (M) plėtiniu. Kadangi mes manėme, kad (M) yra pereinamasis (V = L) modelis,modelis (M [r]) yra tiesiog (L_ / alpha (r)), kur (alpha) yra (M) ordinų viršūnė. Tada, naudojant priverstinį ryšį tarp baigtinių aproksimacijų į (r) ir formulių aibių teorijos kalba, galima parodyti, kad bendrieji plėtiniai yra vadinami aibių pavadinimais, kad (M [r]) yra ZFC ir (r) modeliai nėra konstruktyvūs (M [r]), todėl konstruktyvumo aksioma (V = L) žlunga.

Apskritai, priverstinis modelio (M) išplėtimas gaunamas pridedant prie (M) bendro dalinio pogrupio (G) kažkokio iš dalies užsakyto rinkinio (mathbb {P}), priklausančio (M). Aukščiau pateiktame pavyzdyje (mathbb {P}) būtų visų baigtinių didėjančių natūraliųjų skaičių sekų aibė, laikoma baigtiniais artėjimais begalinei sekai (r), užsakyta (subseteq); ir (G) būtų visų baigtinių pradinių (r) segmentų rinkinys.

Jei CH neigimas yra nuoseklumo įrodymas, jis pradedamas nuo modelio (M) ir pridedami (aleph_2) nauji (omega) pogrupiai, kad bendrame pratęsime CH nepavyksta. Tokiu atveju reikia naudoti atitinkamą dalinį užsakymą (mathbb {P}), kad (M) (aleph_2) nebūtų sutrauktas, ty jis sutampa su (aleph_2) bendrojo plėtinio, taigi generinis plėtinys (M [G]) patenkins sakinį, sakantį, kad yra (aleph_2) realieji skaičiai.

8.1 Kitos prievartos priemonės

Be CH, daugybė kitų matematinių spėlionių ir problemų, susijusių su kontinuumu, ir kiti begaliniai matematiniai objektai, buvo parodyti neišsprendžiami ZFC naudojant priverstinę techniką.

Vienas svarbus pavyzdys yra Suslino hipotezė (SH). „Cantor“parodė, kad kiekvienas tiesiškai išdėstytas rinkinys (S) be galinių taškų, kuris yra tankus (ty tarp bet kurių dviejų skirtingų elementų ((S) yra dar vienas)), baigtas (ty, kiekvienas (S) poaibis tai yra apribota aukščiau, turi supremumą), o su skaičiuojamu tankiu pogrupiu yra izomorfinis tikrosios linijos atžvilgiu. Suslin teigė, kad tai vis dar teisinga, jei sušvelninamas reikalavimas turėti suskaičiuojamą tankų pogrupį, kad jis būtų ccc, ty kiekviena porų atskyrimo intervalų kolekcija yra skaičiuojama. 7-ojo dešimtmečio pradžioje Thomas Jech'as sukūrė nuoseklų pavyzdinį pavyzdį, naudodamas prievartą, o Ronaldas Jensenas parodė, kad (L) yra egzistuojantis pavyzdys. Maždaug tuo pačiu metu,Robertas Solovay ir Stanley Tennenbaumas (1971 m.) Sukūrė ir pirmą kartą panaudojo pasikartojančią forsavimo techniką, kad gautų modelį, kuriame turi SH, taip parodydamas savo nepriklausomumą nuo ZFC. Norint įsitikinti, kad SH yra bendrojo pratęsimo vietoje, reikia sunaikinti visus priešinius pavyzdžius, tačiau sunaikindamas vieną konkretų pavyzdį, netyčia gali sukurti naujų, todėl reikia vėl ir vėl priversti; iš tikrųjų reikia eiti bent (omega_2) - daugybe žingsnių. Štai kodėl reikia priversti kartoti.iš tikrųjų reikia eiti bent (omega_2) - daugybe žingsnių. Štai kodėl reikia priversti kartoti.iš tikrųjų reikia eiti bent (omega_2) - daugybe žingsnių. Štai kodėl reikia priversti kartoti.

Tarp kitų garsių matematinių problemų, kurios, remiantis priverstinės technikos taikymu, buvo įrodyta neišsprendžiamos ZFC, ypač naudojant kartotinį priverstinį panaudojimą ir kartais derinant su dideliais kardinalais, matavimų teorijoje galime paminėti „Priemonės problemą“ir „Borelio spėliones“, Kaplanskio spėliones Banacho algebroje ir Whiteheado problema grupės teorijoje.

9. Naujų aksiomų paieška

Dėl to, kad 50 metų buvo sukurta forsavimo technika ir ji pritaikyta daugeliui atvirų matematikos problemų, dabar praktiškai visose matematikos srityse yra pažodžiui tūkstančiai klausimų, kurie buvo parodyti nepriklausomi nuo ZFC. Tai apima beveik visus klausimus apie nesuskaičiuojamų rinkinių struktūrą. Galima sakyti, kad neapsisprendimo reiškinys yra paplitęs tiek, kad vien tik ZFC ištirti neįmanoma dėl nesuskaičiuojamo (tačiau nepaprastas išimtis žr. Shelah (1994)).

Tai verčia suabejoti teiginių, kurių ZFC nenusprendė, tiesos verte. Ar reikėtų pasitenkinti tuo, kad jie yra nenusprendžiami? Ar iš viso prasminga reikalauti jų tiesos vertės? Yra kelios galimos reakcijos į tai. Viena iš jų yra skeptiko pozicija: teiginiai, kurie yra nenusakomi ZFC, neturi aiškaus atsakymo; ir jie gali būti iš prigimties neaiškūs. Kita, bendra tarp matematikų, yra Gödelio pozicija: neapsisprendimas tik parodo, kad ZFC sistema yra per silpna atsakyti į tuos klausimus, todėl reikėtų ieškoti naujų aksiomų, kurios kadaise būtų pridėtos prie ZFC. Naujų aksiomų paieška buvo žinoma kaip Gödelio programa. Norėdami išsamiai filosofiškai aptarti programą, skaitykite Hauser (2006),taip pat įrašas apie didelius kardinolus ir filosofinių svarstymų dėl naujų teorijos aksiomų pagrindimo nustatymas.

Taigi pagrindinė rinkinio teorijos tema yra naujų aksiomų paieška ir klasifikavimas. Šiuo metu jie skirstomi į du pagrindinius tipus: didžiųjų kardinalų aksiomos ir priverstinės aksiomos.

10. Dideli kardinolai

Neįmanoma įrodyti ZFC, kad egzistuoja įprastas ribinis kardinolas (kappa), nes jei (kappa) yra toks kardinolas, tada (L_ / kappa) yra ZFC pavyzdys, taigi ZFC įrodykite savo nuoseklumą, prieštaraudami Gödelio antrajai neišsamumo teoremai. Taigi, reguliaraus ribinio kardinolo egzistavimas turi būti postuluojamas kaip nauja aksioma. Toks kardinolas vadinamas silpnai neprieinamu. Jei, be to, (kappa) yra griežta riba, ty (2 ^ / lambda <\ kappa), kiekvienam kardinolui ((lambda <\ kappa), tada (kappa) yra vadinama stipriai neprieinama. Kardinolas (kappa) yra sunkiai prieinamas tik tada, kai yra reguliarus ir (V_ / kappa) yra ZFC pavyzdys. Jei GCH turi, tada kiekvienas silpnai neprieinamas kardinolas yra stipriai nepasiekiamas.

Stambūs kardinolai yra neskaičiuojami kardinolai, tenkinantys kai kurias savybes, dėl kurių jie tampa labai dideli, ir kurių egzistavimas negali būti įrodytas ZFC. Pirmasis silpnai neprieinamas kardinolas yra tik mažiausias iš visų didelių kardinolų. Be neprieinamų kardinolų, yra gausu ir sudėtinga didelių kardinolų įvairovė, kurie sudaro tiesinę hierarchiją pagal nuoseklumo stiprumą ir daugeliu atvejų taip pat ir dėl tiesioginio implikacijos. Norėdami gauti daugiau informacijos, skaitykite įrašą apie nepriklausomybę ir didelius kardinolus.

Norėdami suformuluoti kitą tvirtesnę didžiojo kardinolo sampratą, sakykime, kad begalinio kardinolo (kappa) pogrupis yra uždarytas, jei visos (C) elementų ribos taip pat yra (C); ir yra neribotas, jei kiekviename (alpha <\ kappa) yra (beta / C =) didesnis nei (alpha). Pavyzdžiui, ribinių įsakymų rinkinys, mažesnis nei (kappa), yra uždaras ir neribojamas. Taip pat (kappa) pogrupis (S) vadinamas stacionaru, jei jis kerta kiekvieną uždarą neapribotą (kappa) pogrupį. Jei (kappa) yra taisyklinga ir neskaičiuojama, tada visų ordinų rinkinys, mažesnis už (kappa) bendro gyvenimo (omega), yra nejudančio rinkinio pavyzdys. Eilinis kardinolas (kappa) vadinamas Mahlo, jei smarkiai neprieinamų kardinolų, mažesnių nei (kappa), rinkinys nejuda. Taigi,pirmasis Mahlo kardinolas yra daug didesnis nei pirmasis stipriai neprieinamas kardinolas, nes yra (kappa) - daugelis stipriai neprieinamų kardinolų yra mažesni nei (kappa).

Daug stipresnių didelių kardinalių idėjų kyla svarstant apie stipriąsias atspindžio savybes. Prisiminkite, kad refleksijos principas (4 skyrius), kuris yra įrodytas ZFC, tvirtina, kad kiekvienas tikras sakinys (ty kiekvienas sakinys, turintis (V)) yra teisingas kai kuriuose (V_ / alpha). Sutvirtinus šį principą į antrosios eilės sakinius, gaunami keli dideli kardinolai. Pavyzdžiui, (kappa) yra sunkiai prieinamas tada ir tik tada, kai kiekvienas (Sigma ^ 1_1) sakinys (ty egzistencinis antros eilės sakinys rinkinio teorijos kalba su vienu papildomu predikatiniu simboliu) yra teisingas bet kuriame formos struktūra ((V_ / kappa, / in, A)), kur (A / subseteq V_ / kappa) yra teisinga kai kuriuose ((V_ / alpha, / in, A / cap V_ / alfa)) su (alfa <\ kappa). Tos pačios rūšies atspindys, bet dabar sakiniams ((pi) 1_1) (ty universaliems antros eilės sakiniams),duoda daug stipresnę didelę (kappa) kardinalią savybę, vadinamą silpnu kompaktiškumu. Kiekvienas silpnai kompaktiškas kardinolas (kappa) yra Mahlo, o mažesnių nei (kappa) kardinalų rinkinys yra nejudantis. Leidžiant apmąstyti sudėtingesnius antrosios ar dar aukštesnės eilės sakinius, išgaunamos didelės kardinalios mintys, stipresnės už silpną kompaktiškumą.

Garsiausius didelius kardinolus, vadinamus išmatuojamais, 1930 m. Atrado Stanislovas Ulamas, spręsdamas Priemonės problemą. (Dviejų reikšmių) matas arba ultrafiltravimas kardinole (kappa) yra (mathcal {P} (kappa)) pogrupis (U), turintis šias savybes: (i) bet kurių dviejų elementų (U) sankirta yra (U); (ii) jei (X / U) ir (Y) yra (kappa) pogrupis toks, kad (X / subseteq Y), tada (Y / U); ir (iii) kiekvienam (X / subseteq / kappa), arba (X / U), arba (kappa -X / U), bet ne abu. Matas (U) vadinamas (kappa) - užbaikite, jei kiekviena (U) elementų, esančių mažiau nei (kappa) elementų sankryža, taip pat yra (U). O matas vadinamas neesminiu, jei nėra (alpha <\ kappa), kuris priklausytų visiems (U) elementams. Kardinolas (kappa) vadinamas išmatuojamu, jei yra (kappa) matas, kuris yra (kappa) - pilnas ir ne pagrindinis.

Išmatuojamus kardinolus galima apibūdinti elementariais visatos (V) įdėjimais į kažkokią pereinamąją klasę (M). Tai, kad toks įterpimas (j: V / į M) yra elementarus, reiškia, kad (j) išsaugo tiesą, ty kiekvienai rinkinio kalbos formulei (varphi (x_1, / ldots, x_n)) teorija ir kiekvienas (a_1, / ldots, a_n) sakinys (varphi (a_1, / ldots, a_n)) telpa (V) tik tada, jei (varphi (j (a_1)), / ldots, j (a_n))) telpa (M). Pasirodo, kardinolas (kappa) yra išmatuojamas tada ir tik tada, jei egzistuoja elementarus įterpimas (j: V / į M), kai (M) yra pereinamasis, kad (kappa) yra pirmasis ordinalis, perkeltas (j), ty pirmasis ordinalis, kuris yra (j (kappa) ne / kappa). Sakome, kad (kappa) yra kritinis (j) taškas, ir rašome (crit (j) = / kappa). Įterpimą (j) galima apibrėžti iš (kappa) - užbaigto nepagrindinio mato, esančio (kappa), naudojant taip vadinamą ultrapower konstrukciją. Ir atvirkščiai, jei (j: V / į M) yra elementinis įterpimas su (M) pereinamaisiais ir (kappa = crit (j)), tada rinkinys (U = {X / subseteq / kappa: / kappa / in j (X) }) yra (kappa) - užbaigtas nepagrindinis ultrafiltris, esantis (kappa). Tokiu būdu iš (j) gautas matas (U) vadinamas normaliu.

Kiekvienas išmatuojamas kardinolas (kappa) yra silpnai kompaktiškas, be to, yra daug silpnai kompaktiškų kardinolių, mažesnių nei (kappa). Tiesą sakant, žemiau (kappa) yra daugybė kardinolų, kurie yra visiškai nenusakomi, ty jie atspindi visus sakinius, bet kokio sudėtingumo ir bet kuria aukštesnės eilės kalba.

Jei (kappa) yra išmatuojamas ir (j: V / iki M) yra pateikiamas pagal ultra galios konstrukciją, tada (V_ / kappa / subseteq M) ir kiekviena seka yra mažesnė arba lygi (M) elementų (kappa) priklauso (M). Taigi, (M) yra gana panašus į (V), bet jis negali būti pats (V). Iš tiesų garsioji Kennetho Kuneno teorema parodo, kad negali būti jokio kito elemento (j: V / į V), išskyrus tapatybės, trivialų įterpimą. Visi žinomi šio rezultato įrodymai naudoja pasirinkimo aksiomą, ir tai yra labai svarbus klausimas, ar būtina aksioma. Kuneno teorema atveria kelią formuluoti dideles kardinalias sąvokas, stipresnes nei išmatuojamumas, reikalaujant, kad (M) būtų arčiau (V).

Pvz., (Kappa) vadinamas stipriu, jei kiekvienam ordinarui (alpha) yra elementinis įterpimas (j: V / į M), kai kuriems (M) yra pereinamasis, toks, kad (kappa = crit (j)) ir (V_ / alpha / subseteq M).

Kita svarbi ir daug stipresnė didelio kardinolo mintis yra superkompaktiškumas. Kardinolas (kappa) yra per daug kompaktiškas, jei kiekvienam (alfa) egzistuoja elementarus įterpimas (j: V / į M) su (M) pereinamuoju ir kritiniu taškais (kappa), kad (j (kappa)> / alpha) ir kiekviena (M) ilgio (alpha) elementų seka priklauso (M).

Woodino kardinolai patenka tarp stipraus ir superkompaktiško. Kiekvienas superkompaktinis kardinolas yra Woodinas, o jei (delta) yra Woodinas, tada (V_ / delta) yra ZFC modelis, kuriame yra tinkama stiprių kardinalų klasė. Taigi, nors Woodino kardinolas (delta) pats neturi būti labai stiprus - pirmasis net nėra silpnai kompaktiškas - tai reiškia, kad (V_ / deltoje) egzistuoja daugybė didelių kardinolų.

Be superkompaktinių kardinolų, mes matome išplečiamus kardinolus, didžiulius, super didžiulius ir t. T.

Kuneno teorema apie netrivialų elementų įterpimą (j: V / į V) iš tikrųjų rodo, kad negali būti elementinio įterpimo (j: V _ { lambda +2} į V _ { lambda +2}) skiriasi nuo tapatybės bet kuriai (lambda).

Griežčiausios ir nenuoseklios, modulo ZFC, kardinalios sąvokos yra šios:

  • Egzistuoja elementarus įterpimas (j: V _ { lambda +1} į V _ { lambda +1}), kurie skiriasi nuo tapatybės.
  • Egzistuoja elementarus įterpimas (j: L (V _ { lambda +1}) į L (V _ { lambda +1})), skiriasi nuo tapatybės.

Dideli kardinolai sudaro linijinę didėjančios konsistencijos hierarchiją. Tiesą sakant, jie yra pagrindiniai matematinių teorijų aiškinimo hierarchijos akmenys. Norėdami gauti daugiau informacijos, skaitykite įrašą apie nepriklausomybę ir didelius kardinolus. Atsižvelgiant į bet kurį sakinį (varphi), apie ZFC plus (varphi) teoriją egzistuoja vienas iš šių trijų variantų:

  • „ZFC plus“(varphi) nenuoseklus.
  • ZFC plus (varphi) nelygu ZFC.
  • ZFC plius (varphi) neatitinka ZFC plius didžiojo kardinolo egzistavimo.

Taigi dideli kardinolai gali būti naudojami įrodyti, kad nurodytas sakinys (varphi) nereiškia kito sakinio (psi), modulo ZFC, parodydamas, kad ZFC plus (psi) reiškia kai kurių nuoseklumą. didelis kardinolas, tuo tarpu ZFC plus (varphi) yra nuoseklus, darant prielaidą, kad egzistuoja mažesnis didelis kardinolas, arba tiesiog darant prielaidą, kad ZFC yra nuoseklus. Kitaip tariant, (psi) turi didesnį konsistencijos stiprumą nei (varphi), modulo ZFC. Tuomet pagal antrąją Gödelio neužbaigtumo teoremą ZFC plus (varphi) negali įrodyti (psi), darant prielaidą, kad ZFC plus (varphi) yra nuoseklus.

Kaip jau atkreipėme dėmesį, ZFC negalima įrodyti, kad egzistuoja dideli kardinolai. Bet viskas rodo, kad jų egzistavimas ne tik negali būti paneigtas, bet iš tikrųjų jų egzistavimo prielaida yra labai pagrįsta nustatytos teorijos aksioma. Viena vertus, yra daug įrodymų apie jų nuoseklumą, ypač tiems dideliems kardinolams, kuriems įmanoma sukurti vidinį modelį.

10.1 Vidiniai didelių kardinalių modelių modeliai

Vidinis ZFC modelis yra tinkama pereinamoji klasė, kurią sudaro visi įsakymai ir kuri tenkina visas ZFC aksiomas. Taigi, (L) yra mažiausias vidinis modelis, o (V) yra didžiausias. Kai kurie dideli kardinolai, tokie kaip neprieinami, „Mahlo“arba silpnai kompaktiški, gali būti (L). Tai yra, jei (kappa) turi vieną iš šių didelių kardinalių savybių, tada ji taip pat turi (L). Bet kai kurie dideli kardinolai negali egzistuoti (L). Iš tikrųjų Scottas (1961) parodė, kad jei yra išmatuojamas kardinolas (kappa), tada (V / ne L). Svarbu pastebėti, kad (kappa) priklauso (L), nes (L) yra visi įsakymai, bet jis negali būti išmatuojamas (L), nes (kappa) - ten negali būti neišsamios pagrindinės priemonės, esančios (kappa).

Jei (kappa) yra išmatuojamas kardinolas, tada galima sukonstruoti (L) panašų modelį, kuriame (kappa) yra išmatuojamas paėmus (kappa) - visišką pagrindinį ir normalus matas (U), esantis (kappa), ir toliau, kaip apibrėžta (L), bet dabar kaip papildomą predikatą naudojant (U). Gautas modelis, vadinamas (L [U]), yra vidinis ZFC modelis, kuriame (kappa) yra išmatuojamas, o iš tikrųjų (kappa) yra vienintelis išmatuojamas kardinolas. Modelis yra kanoninis ta prasme, kad bet kuri kita normali priemonė, liudijanti (kappa) išmatuojamumą, duotų tą patį modelį ir turėtų daug (L) savybių. Pvz., Jis turi gerai prognozuojamą žiedų užsakymą ir patenkina GCH.

Sukurti panašius (L) panašius modelius, skirtus stipresniems dideliems kardinolams, tokiems kaip „stiprusis“ar „Woodin“, yra daug sunkiau. Šie modeliai yra formos (L [E]), kur (E) yra plėtinių seka, kiekvienas plėtinys yra matavimo sistema, koduojanti atitinkamus pradinius įterpimus.

Didžiausiuose iki šiol gautuose dideliuose ((L)) tipo dideliuose kardinoluose modeliuose gali būti Woodin kardinalų Woodin ribos (Neeman 2002). Tačiau pastatyti (L) panašų modelį superkompaktiniam kardinolui vis dar yra iššūkis. Atrodo, kad superkompaktinis barjeras yra esminis, nes Woodinas parodė, kad tam tikram (L) - pavyzdžiui, vidiniam superkompakto kardinolo modeliui, kurį jis vadina kraštutiniu - (L), visiems stipresniems dideliems kardinolams, kurie gali egzistuoti (V), pavyzdžiui, išplėstinis, didžiulis, I1 ir tt taip pat egzistuotų modelyje. „Ultimate - (L)“konstrukcija vis dar nebaigta ir dar neaišku, ar pavyks, nes ji remiasi kai kuriomis techninėmis hipotezėmis, kurias reikia patvirtinti.

10.2 Didelių kardinolų pasekmės

Didelių kardinolų egzistavimas turi dramatiškų padarinių net ir lengvai apibrėžiamiems mažiems rinkiniams, kaip ir projektiniai realiųjų skaičių rinkiniai. Pavyzdžiui, Solovay (1970) įrodė, darant prielaidą, kad egzistuoja išmatuojamas kardinolas, kad visi (mathbf { Sigma} ^ 1_2) žiedų rinkiniai yra Lebesgue matuojami ir turi Baire savybę, kurios negalima įrodyti vien tik ZFC.. Shelahas ir Woodinas (1990) parodė, kad tinkamos klasės Woodino kardinolų egzistavimas suponuoja, kad (L (mathbb {R})) teorijos, net jei realieji skaičiai yra parametrai, negalima pakeisti verčiant, o tai reiškia, kad visi (L (mathbb {R})) priklausantys realiųjų skaičių rinkiniai yra reguliarūs. Be to, pagal silpnesnę didžiojo kardinolo hipotezę, būtent, kad egzistuoja be galo daug Woodin kardinolų, Martin ir Steel (1989) įrodė, kad kiekvienas projekcinis realiųjų skaičių rinkinys yra nulemtas, t.pvz., PD aksioma laikosi, taigi visi projekciniai rinkiniai yra taisyklingi. Be to, Woodinas parodė, kad be galo daug Woodin'o kardinolų, be to, išmatuojamas kardinolas, visų pirma, reiškia, kad (L (mathbb {R})) yra nustatomas kiekvienas realas, ty aksioma (AD ^ {L (mathbb {R})}) laikomi, taigi visi realiųjų skaičių, priklausančių (L (mathbb {R})), rinkiniai, taigi ir visi projekciniai rinkiniai, yra taisyklingi. Jis taip pat parodė, kad Woodin kardinolai pateikia optimalias dideles kardinalias prielaidas įrodydami, kad šie du teiginiai:taigi visi realiųjų skaičių aibės, priklausančios (L (mathbb {R})), taigi ir visos projekcinės aibės, yra taisyklingos. Jis taip pat parodė, kad Woodin kardinolai pateikia optimalias dideles kardinalias prielaidas įrodydami, kad šie du teiginiai:taigi visi realiųjų skaičių aibės, priklausančios (L (mathbb {R})), taigi ir visos projekcinės aibės, yra taisyklingos. Jis taip pat parodė, kad Woodin kardinolai pateikia optimalias dideles kardinalias prielaidas įrodydami, kad šie du teiginiai:

  1. Yra be galo daug „Woodin“kardinolų.
  2. (AD ^ {L ({ Bbb R})}).

yra nenuoseklūs, ty ZFC plius 1 yra nuoseklus tik tada, jei ZFC plius 2 yra nuoseklus. Norėdami gauti daugiau informacijos ir susijusius rezultatus, skaitykite įrašą apie didelius kardinolus ir jų nustatymą.

Kita sritis, kurioje dideli kardinolai vaidina svarbų vaidmenį, yra vienaskaitos kardinalų ekspansija. Vadinamoji vienaskaitinė kardinalinė hipotezė (SCH) visiškai nulemia pavienių kardinalų eksponacijos elgseną, modulio - įprastų kardinalų eksponaciją. SCH išplaukia iš GCH, taigi ji yra (L). SCH pasekmė: jei (2 ^ { aleph_n} <\ aleph_ / omega) visam baigtiniam (n), tada (2 ^ { aleph _ { omega}} = / aleph_ { omega +1}). Taigi, jei GCH tinka mažesniems nei (aleph_ / omega) kardinolams, tai taip pat yra (aleph_ / omega). SCH laikosi aukščiau pirmojo superkompakto kardinolo (Solovay). Tačiau Magidor (1977) parodė, kad, darant prielaidą, kad egzistuoja dideli kardinolai, galima sukurti ZFC modelį, kai GCH pirmiausia sugenda (aleph_ / omega), taigi SCH sugenda. Tam iš tikrųjų reikalingi dideli kardinolai, stipresni nei išmatuojami. Tačiau, priešingai, vien tik ZFC pakanka įrodyti, kad jei SCH galioja visiems mažesniems nei (aleph _ { omega_1}) kardinolams, tai tinka ir (aleph _ { omega_1}). Be to, jei SCH turi teisę į visus pavienius kardinolus, iš kurių galima suskaičiuoti bendrumą, tada jis galioja visiems singuliariems kardinolams (Sidabrinis).

11. Priverstinės aksiomos

Priverstinės aksiomos yra rinkinio teorijos aksiomos, tvirtinančios, kad tam tikri egzistenciniai teiginiai yra absoliutūs tarp visatos (V) visų aibių ir nuo jos (idealaus) priverstinio pratęsimo, ty kai kurie egzistenciniai teiginiai, laikantys tam tikrus priverstinius plėtinius (V) jau yra teisingi programoje (V). Pirmąją priverstinę aksiomą suformulavo Donaldas Martinas po Solovay-Tennenbaum įrodyto Suslino hipotezės nuoseklumo ir dabar yra žinomas kaip Martino aksioma (MA). Prieš sakant, pasakykime, kad dalinis užsakymas yra tuščias rinkinys (P) kartu su dvejetainiu ryšiu (leq), esančiu (P), kuris yra refleksinis ir pereinamasis. Du elementai, (p) ir (q), iš (P) yra vadinami suderinamais, jei yra (r / in P), kad (r / leq p) ir (r / leq q). (P) antichain yra (P) pogrupis, kurio elementai nesuderinami poromis. Dalinis užsakymas (P) vadinamas ccc, jei skaičiuojamas kiekvienas (P) antichain. Netuštus (P) pogrupis (G) vadinamas filtru, jei (i) visi du ((G)) elementai yra suderinami, ir (ii) jei (p / yra G) ir (p / leq q), tada taip pat (q / G). Galiausiai (P) pogrupis (P) vadinamas tankiu, jei kiekviename (p / P) yra (q / D) toks, kad (q / leq p).

MA tvirtina:

Kiekvienam ccc daliniam užsakymui (P) ir kiekvienam (P {) tankių pogrupių rinkiniui ({D_ / alpha: / alpha <\ omega_1 }) yra filtras (G / subseteq P), kuris yra bendras rinkiniui, ty (G / cap D_ / alpha / ne { varnothing}) visam (alpha <\ omega_1).

Martinas ir Solovay (1970) įrodė, kad MA atitinka ZFC, naudodamas iteracinę prievartą su CCS savybe. Iš pirmo žvilgsnio MA gali atrodyti ne kaip aksioma, būtent akivaizdus ar bent jau pagrįstas teiginys apie aibes, o greičiau kaip techninis pareiškimas apie dalinius ccc užsakymus. Vis dėlto tai atrodo natūraliau, kai išreiškiama topologine prasme, nes tai yra tiesiog visiems gerai žinomos Baire kategorijos teoremos apibendrinimas, teigiantis, kad kiekvienoje kompaktiškoje Hausdorffo topologinėje erdvėje iš esmės susideda daugybė tankių atvirų aibių. tuščia. Iš tikrųjų MA yra lygiavertė:

Kiekvienoje kompaktiškoje Hausdorff CCC topologinėje erdvėje (aleph_1) - daugelio tankių atvirų aibių sankryža nėra tuščia.

Magistrantūra turi daugybę skirtingų lygiaverčių formuluočių ir buvo labai sėkmingai naudojama norint išspręsti daugybę atvirų problemų kitose matematikos srityse. Pavyzdžiui, tai suponuoja Suslino hipotezę ir kad kiekvienas (mathbf { Sigma} ^ 1_2) realijų rinkinys yra Lebesgue išmatuojamas ir turi Baire savybę. Tai taip pat reiškia CH neigimą ir tai, kad (2 ^ { aleph_0}) yra eilinis kardinolas, tačiau jis nenusprendžia, koks tai kardinolas. Norėdami sužinoti daugiau apie MA ir kitų lygiaverčių preparatų pasekmes, skaitykite Fremlin (1984). Nepaisant to, magistro, kaip aibės teorijos, statusas vis dar neaiškus. Ko gero, natūraliausias MA formulavimas, pamatiniu požiūriu, yra atspindys. Rašant HC paveldimų skaičiuoti aibių rinkiniui (ty suskaičiuojamoms aibėms, kurių elementai yra suskaičiuojami, kurių elementai taip pat yra suskaičiuojami,ir t. t.), MA prilygsta:

Kiekvienam ccc daliniam užsakymui (P), jei egzistencinis teiginys apie (HC) turi (idealų) bendrąjį (V) plėtinį, gautą verčiant (P), tada teiginys yra teisingas., ty jis yra (V). Kitaip tariant, jei rinkinys, turintis savybę, kuri priklauso tik nuo ((HC)) rinkinių, egzistuoja kažkokiame (idealiame) generiniame (V) plėtinyje, gautame priverstinai naudojant ccc dalinį užsakymą, tada rinkinys su ta savybe jau yra (V).

Idealų bendro ((V)) pratęsimo sąvoką galima tiksliai apibrėžti vadinamaisiais Boole vertinamais modeliais, kurie pateikia alternatyvią prievartos versiją.

Dešimtajame dešimtmetyje buvo įvestos daug stipresnės priverstinės aksiomos nei MA, tokios kaip J. Baumgartnerio „Proper Forcing Axiom“(PFA) ir stipresnis Foremano, Magidoro ir Shelah Martino maksimumas (MM) (1988), kuris iš esmės yra stipriausias įmanomas priverstinis priveržimas. aksioma. Tiek PFA, tiek MM yra nuoseklūs, palyginti su superkompaktinio kardinolo egzistavimu. PFA tvirtina tą patį kaip ir MA, tačiau daliniams užsakymams, kurių savybė yra silpnesnė nei CCC, vadinamiems tinkamumu, kuriuos įvedė Šela. Ir MM tvirtina tą patį platesnei dalinių užsakymų klasei, kuri, verčiama su jais, nesunaikina stacionarių pogrupių (omega_1).

Stiprios priverstinės aksiomos, tokios kaip PFA ir MM, reiškia, kad visi projektiniai realių rinkinių rinkiniai yra nustatyti (PD), ir turi daugybę kitų stiprių padarinių begalinei kombinatorikai. Visų pirma, jie reiškia, kad tęstinumo kardinalumas yra (aleph_2).

Bibliografija

  • Bagaria, J., 2008, „Set Theory“, „Prinstono kompanionas matematikai“, redagavo Timothy Gowers; Birželio mėn. Barrow-Green ir Imre vadovas, asocijuoti redaktoriai. Prinstonas: Princeton University Press.
  • Cohenas, PJ, 1966 m., „The Theory and Continuum hipotezė“, Niujorkas: „WA Benjamin, Inc.“
  • Endertonas, HB, 1977 m., Set Theory Elements, Niujorkas: Academic Press.
  • Ferreirós, J., 2007, Minties labirintas: rinkinio teorijos istorija ir jos vaidmuo šiuolaikinėje matematikoje, antrasis pataisytas leidimas, Bazelis: Birkhäuser.
  • Foreman, M., M. Magidor ir S. Shelah, 1988, „Maksimalūs Martino prisotinti idealai ir nereguliarūs ultrafiltrai“, I dalis, Matematikos metraštis, 127: 1–47.
  • Fremlin, DH, 1984, „Martino aksiomos pasekmės“, Kembridžo traktatas matematikoje Nr. 84. Kembridžas: „Cambridge University Press“.
  • Gödel, K., 1931 m., „Aukščiausiosios oficialiosios teorijos ir pagrindinės matematikos pagrindinės taisyklės bei I sistemos verwandter“, Monatshefte für Mathematik Physik, 38: 173–198. Vertimas į anglų kalbą Gödel 1986, 144–195.
  • ––– 1938 m., „Pasirinktos aksiomos ir apibendrintos tęstinumo hipotezės nuoseklumas“, Nacionalinės mokslų akademijos leidiniai, JAV, 24: 556–557.
  • –––, 1986 m., Kolekcionuoti darbai I. Leidiniai 1929–1936, S. Feferman ir kt. (red.), Oksfordas: Oxford University Press.
  • Hauser, K., 2006, „Peržiūrėta Gödelio programa, I dalis: Posūkis į fenomenologiją“, Simbolinės logikos biuletenis, 12 (4): 529–590.
  • Jech, T., 2003, rinkinio teorija, 3d leidimas, Niujorkas: Springeris.
  • Jensen, RB, 1972 m., „Puiki susiaurinamos hierarchijos struktūra“, Matematinės logikos metraštis, 4 (3): 229–308.
  • Kanamori, A., 2003, „The Higher Infinite“, antrasis leidimas. „Springerio matematikos monografijos“, Niujorkas: „Springeris“.
  • Kechris, AS, 1995, Klasikinė aprašomoji rinkinio teorija, Matematikos baigiamieji tekstai, Niujorkas: „Springer Verlag“.
  • Kunen, K., 1980 m., „The Theory“, „Įvadas į nepriklausomybės įrodymus“, Amsterdamas: Šiaurės Olandija.
  • Levy, A., 1960 m., „Stiprios begalybės aksiominės schemos aksiomatinės aibės teorijoje“, „Pacific Journal of Mathematics“, 10: 223–238.
  • –––, 1979 m., Pagrindinė rinkinio teorija, Niujorkas: „Springeris“.
  • Magidor, M., 1977 m., „Dėl pavienių kardinalių problemų, II“, Matematikos metraštis, 106: 514–547.
  • Martinas, DA ir R. Solovay, 1970 m., „Vidiniai Coheno pratęsimai“, Matematinės logikos metraštis, 2: 143–178.
  • Martin, DA ir JR Steel, 1989 m., „Projektyvaus ryžto įrodymas“, Amerikos matematikų draugijos žurnalas, 2 (1): 71–125.
  • Mathias, ARD, 2001, „Ploni Zermelo rinkinių teorijos modeliai“, Žurnalas „Symbolic Logic“, 66: 487–496.
  • Neeman, I., 2002, „Vidiniai modeliai Woodino kardinolų Woodin ribos srityje“, Annals of Pure and Applied Logic, 116: 67–155.
  • Scott, D., 1961 m., „Išmatuojami kardinolai ir sudedamieji rinkiniai“, „Académie Polonaise des Sciences“biuletenis. „Série des Sciences Mathématiques“, „Astronomiques et Physiques“, 9: 521–524.
  • Shelah, S., 1994, „Cardinal Arithmetic“, Oxford Logic Guides, 29, Niujorkas: „The Clarendon Press“, „Oxford University Press“.
  • –––, 1998 m., Tinkamas ir netinkamas prievartavimas, 2-asis leidimas, Niujorkas: „Springer-Verlag“.
  • Shelah, S. ir WH Woodinas, 1990 m., „Stambūs kardinolai suponuoja, kad kiekvienas pagrįstai apibrėžtas realių skaičių rinkinys yra išmatuojamas Lebesgue“, Israel Journal of Mathematics, 70 (3): 381–394.
  • Solovay, R., 1970 m., „Aibės teorijos modelis, kuriame kiekvienas kaitaliojimų rinkinys yra išmatuojamas Lebesgue“, Annals of Mathematics, 92: 1–56.
  • Solovay, R. ir S. Tennenbaum, 1971 m., „Iteruoti Coheno pratęsimai ir Souslino problema“, Matematikos metraščiai (2), 94: 201–245.
  • Todorcevic, S., 1989, „Pasiskirstymo problemos topologijoje“, Šiuolaikinė matematika, 84 tomas. Amerikos matematikų draugija.
  • Ulam, S., 1930 m., „Zur Masstheorie in der allgemeinen Mengenlehre“, Fundamenta Mathematicae, 16: 140–150.
  • Woodinas, WH, 1999, „Axioma of Determinacy, Forcing Axioms“ir „Nestationary Ideal“, „De Gruyter“serija logikoje ir jos pritaikymas 1, Berlynas – Niujorkas: Walteris de Gruyteris.
  • –––, 2001 m., „Tęstinio hipotezės I dalis“, AMS pranešimai, 48 (6): 567–576, ir „Continuum hipotezė, II dalis“, AMS pranešimai 48 (7): 681–. 690.
  • Zeman, M., 2001, „Vidiniai modeliai ir dideli kardinolai“, „De Gruyter“serija logikoje ir jos pritaikymas 5, Berlynas – Niujorkas: Walteris de Gruyteris.
  • Zermelo, E., 1908 m., „Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre, I“, Mathematische Annalen 65: 261–281. Perspausdinta „Zermelo 2010“: 189–228, su vertimo į anglų kalbą vertimo puslapiu ir Ulricho Felgnerio įžanga (2010). Vertimas į anglų kalbą taip pat van Heijenoort 1967: 201–215.

Akademinės priemonės

sep vyro ikona
sep vyro ikona
Kaip pacituoti šį įrašą.
sep vyro ikona
sep vyro ikona
Peržiūrėkite šio įrašo PDF versiją „Friends of the SEP“draugijoje.
info piktograma
info piktograma
Ieškokite šios įrašo temos interneto filosofijos ontologijos projekte (InPhO).
„Phil Papers“piktograma
„Phil Papers“piktograma
Patobulinta šio įrašo „PhilPapers“bibliografija su nuorodomis į jo duomenų bazę.

Kiti interneto šaltiniai