Rinkinio Teorija: Konstruktyvus Ir Intuicinis ZF

Turinys:

Rinkinio Teorija: Konstruktyvus Ir Intuicinis ZF
Rinkinio Teorija: Konstruktyvus Ir Intuicinis ZF

Video: Rinkinio Teorija: Konstruktyvus Ir Intuicinis ZF

Video: Rinkinio Teorija: Konstruktyvus Ir Intuicinis ZF
Video: Ambassadors, Attorneys, Accountants, Democratic and Republican Party Officials (1950s Interviews) 2024, Kovo
Anonim

Įėjimas Navigacija

  • Įstojimo turinys
  • Bibliografija
  • Akademinės priemonės
  • Draugai PDF peržiūra
  • Informacija apie autorius ir citata
  • Atgal į viršų

Rinkinio teorija: konstruktyvus ir intuicinis ZF

Pirmą kartą paskelbta 2009 m. Vasario 20 d., Penktadienis; esminė peržiūra 2019 m. vasario 13 d., trečiadienis

Konstruktyvios ir intuityvios Zermelo-Fraenkel aibių teorijos yra aksiomatinės aibių teorijos, pagrįstos Zermelo-Fraenkel aibių teorijos (ZF) stiliumi, pagrįstos intuicionistine logika. Jie buvo pristatyti aštuntajame dešimtmetyje ir atspindi oficialų kontekstą, per kurį galima kodifikuoti matematiką remiantis intuicionistine logika (žr. Įrašą apie konstruktyvią matematiką). Jie suformuluoti pagal standartinę Zermelo-Fraenkel rinkinio teorijos pirmosios eilės kalbą ir tiesiogiai nenaudoja iš prigimties konstruktyvių idėjų. Dirbdami su konstruktyviu ir intuityviu ZF, mes tam tikru mastu galime pasikliauti savo žiniomis apie ZF ir jo euristiką.

Nepaisant panašumų su klasikine aibės teorija, konstrukto ir intuicionizmo aibių teorijomis apibrėžtos aibės sąvokos labai skiriasi nuo klasikinės tradicijos; jie taip pat skiriasi vienas nuo kito. Metodai, naudojami dirbant su jais, taip pat siekiant gauti metamatematinius rezultatus apie juos, taip pat kai kuriais aspektais skiriasi nuo klasikinės tradicijos dėl jų atsidavimo intuicionistinei logikai. Tiesą sakant, kaip įprasta intuicionistinėse nuostatose, daugybė semantinių ir įrodymo teorijų metodų yra prieinami konstruktyvioms ir intuicionistinėms rinkinių teorijoms nagrinėti.

Šis įrašas supažindina su pagrindinėmis konstruktyvių ir intuicionistinių rinkinių teorijų ypatybėmis. Kadangi sritis plečiasi sparčiai, galime tik trumpai priminti kai kuriuos svarbiausius rezultatų aspektus ir turimus metodus. Mes daugiau kreipiame dėmesį į konstruktyvią rinkinio teoriją, kad pabrėžtume joje kylančius svarbius pagrindinius klausimus. Atkreipkite dėmesį, kad praleidžiame pastebimą literatūros apie konstruktyvų ir intuicionistinį ZF aspektus, susijusius su jų kategoriškomis interpretacijomis. Bėgant metams šioje srityje įvyko svarbių pokyčių, todėl norint tinkamai įvertinti šią pažangą reikėtų gerokai išplėsti šį įrašą. Suinteresuotas skaitytojas gali norėti perskaityti įrašą apie kategorijų teoriją ir jos nuorodas (taip pat žr. Jo priedą Programinis skaitymo vadovas).

  • 1. Konstruktyvios ir intuicionistinės rinkinių teorijos esmė

    • 1.1 Aksiomatinė laisvė
    • 1.2 Konstruktyvios ir intuicionistinės aibės teorija
    • 1.3 Numatomumas konstruktyviosios aibės teorijoje

      • 1.3.1 Atskyrimo neįmanomumas
      • 1.3.2. Neveiklumas
      • 1.3.3 Konstruktyvi aibių visuma
  • 2. Konstruktyviųjų ir intuicionistinių rinkinių teorijų ištakos
  • 3. Aksiomų sistemos CZF ir IZF
  • 4. Konstruktyvaus pasirinkimo principai
  • 5. Konstruktyvaus ir intuicinio ZF įrodymo teorija ir semantika

    • 5.1 Teorinis įrodymas
    • 5.2 Dideli konstruktyvaus ir intuityvaus ZF rinkiniai
    • 5.3 Konstruktyvaus ir intuityvaus ZF bei semantinių metodų metamatematinės savybės

      • 5.3.1 Konstruktyvaus ir intuityvaus ZF disjunkcijos ir egzistavimo savybės
      • 5.3.2 Realizavimas
      • 5.3.3 Kripke modeliai ir Heytingo vertinama semantika
      • 5.3.4 Kategoriniai konstruktyvios ir intuicionistinės aibės teorijos modeliai
      • 5.4 Konstruktyviųjų ir intuicionistinių rinkinių teorijų variantai: aibių teorijos su pašalintais elementais ir neišplečiamosios aibių teorijos
  • Bibliografija
  • Akademinės priemonės
  • Kiti interneto šaltiniai
  • Susiję įrašai

1. Konstruktyvios ir intuicionistinės rinkinių teorijos esmė

Konstruktyvios ir intuityvios Zermelo-Fraenkelio rinkinio teorijos remiasi intuityvistine, o ne klasikine logika ir atspindi natūralią aplinką, kurioje galima kodifikuoti ir studijuoti matematiką remiantis intuicionistine logika. Konstruktyviam ZF pagrindinis dėmesys buvo skirtas vyskupo (Bishop 1967, Bishop and Bridges 1985) matematinėms praktikoms.

Skaitydamas intuityvinės logikos, konstruktyvios matematikos ir intuicionizmo pagrindines sąvokas ir pagrindines idėjas, skaitytojas gali kreiptis į šiuos įrašus:

  • intuicinė logika,
  • intuicionistinės logikos plėtojimas,
  • konstruktyvi matematika,
  • intuicionizmas matematikos filosofijoje,
  • Luitzenas Egbertusas Janas Brouweris.

Norėdami sužinoti apie klasikinę rinkinio teoriją, skaitykite įrašą apie rinkinio teoriją.

Konstruktyvusis ir intuicionistinis ZF grindžiami ta pačia pirmosios eilės kalba, kaip ir klasikinė ZF aibės teorija, kurioje tik loginis simbolis yra dvejetainis predikatinis simbolis (in) (narystė). Tai yra, jie suformuluoti remiantis intuityvios pirmosios eilės logika su lygybe, pridedant dvejetainį predikatinį simbolį (in). Taigi galime pasinaudoti set-theoretic kalbos paprastumu ir savo žinomumu su ja (Myhill 1975). Kaip ir Vyskupo stiliaus konstruktyvi matematika, konstruktyvusis ir intuicionistinis ZF yra suderinami su klasikine tradicija ta prasme, kad visos jų teoremos yra klasikinės. Tiesą sakant, dvi oficialios sistemos, kurias mes apsvarstysime: konstruktyvusis Zermelo-Fraenkel (CZF) ir intuicionistinis Zermelo-Fraenkel (IZF),sukuriant visiškai klasikinį ZF, paprasčiausiai pridedant pašalinto vidurio principą.

1.1 Aksiomatinė laisvė

Klasikinė Zermelo-Fraenkel aibės teorija pagrįsta klasikine pirmosios eilės predikatų logika su lygybe. Loginių principų viršuje yra aksiomos ir schemos, apibūdinančios sąvokos sąvoką, kurią teorija kodifikuoja. Šiuos principus galima suskirstyti į tris rūšis. Pirma, yra principai, kurie leidžia mums iš pateiktų sudaryti naujus rinkinius. Pavyzdžiui, poros aksioma leidžia mums sudaryti aibę, kuri yra dviejų duotų aibių pora. Antra, yra principai, kurie nustato nustatytos teorinės struktūros savybes. Pavyzdžiui, išplėtimo aksioma identifikuoja visus rinkinius, turinčius tuos pačius elementus. Trečia ir galiausiai yra aksiomos, tvirtinančios, kad egzistuoja specifiniai rinkiniai. Taigi begalybės aksioma teigia, kad egzistuoja begalinis rinkinys. Šie visi principai kartu yra vadinami rinkinio teoriniais principais.

Pateikiant ZF versijas, pagrįstas intuicionistine logika, pirmiausia reikia pašalinti iš logikos pašalinto vidurio principą (EM). Kitas žingsnis yra pasirinkti gerą rinkinį teorinių principų, kurie tiksliai atspindi norimą konstruktyvaus rinkinio sampratą. Šios užduotys pasirodo sudėtingesnės, nei iš pradžių tikėjotės. Tiesą sakant, kaip gerai žinoma, sistemos, pagrįstos „silpnesne“logika, turi galimybę atskirti teiginius, kurie yra lygiaverčiai „stipresnės“logikos požiūriu. Nustatytos teorijos atveju kai kurios ZF aksiomos ar schemos dažnai pateikiamos viena iš daugelio klasiškai lygiaverčių formuluočių. Klasikiškai svarbu tik patogumas, kurį naudoti konkrečiu laiku. Tačiau kai dirbate remdamiesi intuicijos logika,įvairios klasikinės aksiomos formuluotės gali pasirodyti skirtingos (neekvivalentiškos). Tiesą sakant, galima numatyti naujus teiginius, kurie klasikiškai prilygsta ZF aksiomai, bet intuityviai atskiriami nuo jos (pavyzdžiui, CZF poaibinių rinkinių aksioma (Aczel 1978)).

Kalbant apie pirmąjį žingsnį, kurį sudaro pašalintos vidurio principo pašalinimas iš logikos, paaiškėja, kad nepakanka vien tik išstumti šį principą iš pagrindinės logikos; y., nepakanka, kad mūsų pagrindas būtų intuicinis, o ne klasikinis predikatinis skaičiavimas. Mes taip pat turime užtikrinti, kad nustatytos teorinės aksiomos į mūsų teoriją neatneštų nepageidaujamų atskirtų vidurio formų. Pavyzdžiui, kaip pažymėjo Myhill (1973), mums reikia papildomų atsargumo priemonių, renkantis tinkamą teiginį pagrindų aksiomai. Fondas yra įvedamas rinkinių teorijoje, kad būtų galima atmesti rinkinius, kurie yra patys nariai ir tokiu būdu (in) - rinkinių grandinės. Įprasta fondo formuluotė teigia, kad kiekvienas apgyvendintas rinkinys (rinkinys, kuriame yra bent vienas elementas) turi mažiausiai elementų narystės santykyje. Tačiau šis teiginysgali būti įrodyta, kad remiantis konstruktyviomis nepriimtinomis atskirtų vidurių dalimis, remiantis kukliomis aibės teorijos prielaidomis. Todėl įprastą pagrindų formulavimą reikia praleisti iš teorijos, pagrįstos intuicionistine logika. Norėdami gauti įrodymą, žiūrėkite papildomą dokumentą:

Nustatyti teorijos principai, nesuderinami su intuicijos logika.

Tipiškas žingsnis formuluojant aibes teorijas remiantis intuicionistine logika yra tada, kai pamatą reikia pakeisti klasikiškai lygiaverte aibės indukcijos schema, kuri neturi to paties „šalutinio poveikio“, bet turi panašias pasekmes. [1]

Dėl antrojo žingsnio, susijusio su tinkamo rinkinio teorijos principų pasirinkimu, daugiausiai dėmesio susilaukė pakeitimo ir atskyrimo schemos bei rinkinio galios aksioma. Norėdami tiksliai suformuluoti šiuos principus, žiūrėkite papildomą dokumentą:

CZF ir IZF aksiomos.

Čia pateiktas tipiškas scenarijus. Atsižvelgiant į tai, kas yra klasikiniai du vieno rinkinio teorijos principo variantai, jų klasikiniam lygiavertiškumo įrodymui tam tikru metu reikia pašalinti vidurį. Tačiau paprastai šis lygiavertiškumo įrodymas netaps intuityviniame kontekste, taigi, jei tai yra klasikinės dvi vieno principo formos, dirbant intuityviai, gali būti du atskiri principai. Todėl vieno, o ne kito pasirinkimas gali turėti įtakos tokiu būdu apibrėžtos rinkinio sąvokai. Konstruktyvių aibių teorijų, tokių kaip CZF, kontekste galios aibė ir atskyrimas pakeičiami intuityviai silpnesniais principais. Viena iš to priežasčių yra ta, kad visas nustatytas galios stiprumas ir visiškas atsiskyrimas yra nereikalingi,nes atrodo, kad jų silpnesnių pakaitalų pakanka atlikti konstruktyvią matematiką. Kita priežastis yra ta, kad jie laikomi filosofiškai problemiškais, nes į nustatytą teoriją gali įvesti netaktiškumo formas (žr. Skyrių „Predikatyvumas konstruktyviose aibių teorijose“). Pakeitimo, palyginti su kolekcija, atvejis yra kažkaip sudėtingesnis (žr., Pavyzdžiui, straipsnius (Friedman ir Scedrov 1985), (Rathjen 2005) ir (Rathjen 2012)). Verta pabrėžti, kad priėmus įprastą pagrindų formulavimą, prieštaraujama pačiai intuicionistinės logikos, kaip foninės logikos, prielaidai, atskyrimo principai ir galios rinkinys išvis neturi nesuderinamumo su intuicionistine logika, net todėl, kad jie yra neatsiejama šio principo dalis. intuityvinė aibių teorija IZF (Friedman 1973a). Kita priežastis yra ta, kad jie laikomi filosofiškai problemiškais, nes į nustatytą teoriją gali įvesti netaktiškumo formas (žr. Skyrių „Predikatyvumas konstruktyviose aibių teorijose“). Pakeitimo, palyginti su kolekcija, atvejis yra kažkaip sudėtingesnis (žr., Pavyzdžiui, straipsnius (Friedman ir Scedrov 1985), (Rathjen 2005) ir (Rathjen 2012)). Verta pabrėžti, kad priėmus įprastą pagrindų formulavimą, prieštaraujama pačiai intuicionistinės logikos, kaip foninės logikos, prielaidai, atskyrimo principai ir galios rinkinys išvis neturi nesuderinamumo su intuicionistine logika, net todėl, kad jie yra neatsiejama šio principo dalis. intuityvinė aibių teorija IZF (Friedman 1973a). Kita priežastis yra ta, kad jie laikomi filosofiškai problemiškais, nes jie gali įvesti netaktiškumo formas nustatytoje teorijoje (žr. Skyrių „Predikatyvumas konstruktyviose aibių teorijose“). Pakeitimo, palyginti su kolekcija, atvejis yra kažkaip sudėtingesnis (žr., Pavyzdžiui, straipsnius (Friedman ir Scedrov 1985), (Rathjen 2005) ir (Rathjen 2012)). Verta pabrėžti, kad priėmus įprastą pagrindų formulavimą, prieštaraujama pačiai intuicionistinės logikos, kaip foninės logikos, prielaidai, atskyrimo principai ir galios rinkinys išvis neturi nesuderinamumo su intuicionistine logika, net todėl, kad jie yra neatsiejama šio principo dalis. intuityvinė aibių teorija IZF (Friedman 1973a).nes į nustatytą teoriją jie gali įvesti netaktiškumo formas (žr. skyrių „Predikatyvumas konstruktyvioje aibės teorijoje“). Pakeitimo, palyginti su kolekcija, atvejis yra kažkaip sudėtingesnis (žr., Pavyzdžiui, straipsnius (Friedman ir Scedrov 1985), (Rathjen 2005) ir (Rathjen 2012)). Verta pabrėžti, kad priėmus įprastą pagrindų formulavimą, prieštaraujama pačiai intuicionistinės logikos, kaip foninės logikos, prielaidai, atskyrimo principai ir galios rinkinys išvis neturi nesuderinamumo su intuicionistine logika, net todėl, kad jie yra neatsiejama šio principo dalis. intuityvinė aibių teorija IZF (Friedman 1973a).nes į nustatytą teoriją jie gali įvesti netaktiškumo formas (žr. skyrių „Predikatyvumas konstruktyvioje aibės teorijoje“). Pakeitimo, palyginti su kolekcija, atvejis yra kažkaip sudėtingesnis (žr., Pavyzdžiui, straipsnius (Friedman ir Scedrov 1985), (Rathjen 2005) ir (Rathjen 2012)). Verta pabrėžti, kad priėmus įprastą pagrindų formulavimą, prieštaraujama pačiai intuicionistinės logikos, kaip foninės logikos, prielaidai, atskyrimo principai ir galios rinkinys išvis neturi nesuderinamumo su intuicionistine logika, net todėl, kad jie yra neatsiejama šio principo dalis. intuityvinė aibių teorija IZF (Friedman 1973a). Verta pabrėžti, kad priėmus įprastą pagrindų formulavimą, prieštaraujama pačiai intuicionistinės logikos, kaip foninės logikos, prielaidai, atskyrimo principai ir galios rinkinys išvis neturi nesuderinamumo su intuicionistine logika, net todėl, kad jie yra neatsiejama šio principo dalis. intuityvinė aibių teorija IZF (Friedman 1973a). Verta pabrėžti, kad priėmus įprastą pagrindų formulavimą, prieštaraujama pačiai intuicionistinės logikos, kaip foninės logikos, prielaidai, atskyrimo principai ir galios rinkinys išvis neturi nesuderinamumo su intuicionistine logika, net todėl, kad jie yra neatsiejama šio principo dalis. intuityvinė aibių teorija IZF (Friedman 1973a).

Apibendrinant galima pasakyti, kad formuluodamas aibės teoriją, pagrįstą intuicionistine logika, pirmiausia reikia išstumti iš atskirties vidurio principą, įskaitant tuos jo atvejus, kurie gali būti paslėpti pažįstamose aibėse, apibrėžtose aibėse teoretikų. Kita užduotis - pasirinkti vieną kiekvieno klasikinio principo variantą, kuris geriausiai apibūdintų norimą rinkinio sampratą. Tai atveria daugybę pasirinkimų, kuriuos gali pasirinkti, nes daugybė intuicionizmo principų gali atitikti vieną klasikinį principą. Reikėtų pabrėžti, kad konstruktyviu požiūriu šis variantų (taigi ir sistemų) gausumas, užuot sukėlęs nemalonumų, yra labai pageidautina padėtis, nes tai yra „aksiomatinės laisvės“forma. Pvz., Tai leidžia mums atskirti daugybę matematinių sąvokų, taip geriau suvokiant savo intuiciją kaip skirtingas. Tai taip pat suteikia mums laisvę pasirinkti sąvokas ir teorijas, kurios labiausiai tinka konkrečiame kontekste. Be to, taikydami intuicionistinę logiką, į savo teorijas galime įtraukti principus, kurie yra labai stiprūs ir neprivalome atsisakyti savo klasikinės stiprybės. Pvz., Prie silpnos konstruktyviosios aibės teorijos galima pridėti neprieinamų aibių sąvoką ir gauti predikatyvią teoriją, tuo tarpu klasikiniame kontekste įdėta ta pati sąvoka tampa ypač tvirta (žr. Skyrių „Predikatyvumas konstruktyviose aibių teorijose“ir „Didelės aibės konstruktyviose aibėse“). ir intuicionistinis ZF). Galiausiai natūraliai iškyla gausus (metateorinis) ryšių tarp susidariusių atskirų aibės teorinių sistemų tyrimas. Kaip buvo galima tikėtis, ši laisvė taip pat turi kainą,kadangi norint atskirti jų principus ir atskleisti kai kurias subtilybes, gali prireikti labai techninio aksiomatinių teorijų tyrimo. Tai vėlgi gali būti vertinama kaip pranašumas, nes tai verčia mus giliau ir aiškiau analizuoti susijusias matematines sąvokas ir skatina mus kurti naujas sudėtingas priemones.

1.2 Konstruktyvios ir intuicionistinės aibės teorija

Nors intuityvine logika yra daugybė rinkinių sistemų, literatūroje galime išskirti dvi pagrindines tendencijas. Remiantis pirmuoju, mes perimame viską, kas prieinama klasikinėje ZF aibės teorijoje, ir modifikuojame tik tuos principus, kaip pamatas, kurie akivaizdžiai nesuderinami su intuicionistine logika. Tai lemia nustatytas teorijas, tokias kaip intuicinis Zermelo-Fraenkel, IZF, kurios variantas buvo pristatytas jau (Friedman 1973a). (Žr. Beeson 1985, 8 ir 9 skyrius ir Scedrov 1985 m., Skirtus dviem IZF tyrimams.) Atrodo, kad šių teorijų pagrindas yra suteikti matematikui galingiausias įmanomas priemones, jei išsaugomas suderinamumas su intuityvistine logika. Pagal antrąjį požiūrį,Be intuityvinės logikos laikymosi, mes taip pat įvedame nustatytų teorinių principų apribojimus, jei gauta sistema atitinka konstruktyvią matematikos praktiką. Taigi šios antrosios rūšies teorijos gali būti vertinamos kaip dvigubo apribojimo proceso pasekmė klasikinio ZF atžvilgiu. Pirmiausia apribojamas intuicionistinis logiškumas, tada apribojamas leidžiamas aibės teorinių konstrukcijų rinkinys. Pastarąją motyvuoja (1) pastebėjimas, kad konstruktyviai matematikos praktikai užtenka silpnesnių principų, ir 2) noras laikytis tam tikros predikcijos formos (žr. Kitą skyrių, kuriame paaiškinta ši prediktyvumo samprata). Pastarosios rūšies sistemų paradigminiai pavyzdžiai yra Myhill'o konstruktyviojo rinkinio teorija (Myhill 1975),Friedmano B sistema (Friedman 1977) ir Aczelio konstruktyvioji Zermelo-Fraenkel aibės teorija CZF (Aczel 1978; 1982; 1986, Aczel & Rathjen 2001; Aczel & Rathjen 2010, Kiti interneto šaltiniai). Taip pat galime pasakyti, kad šiame antrame požiūryje pagrindinė motyvacija daro įtaką praktikai didesniu laipsniu.

Toliau mes pasinaudosime šiandien dažnai galiojančia konvencija, pagal kurią būdvardis „intuicionistinis“reiškia tas teorijas, pvz., IZF, kurios yra netaktiškos, o „konstruktyvios“reiškia nustatytas teorijas, tokias kaip CZF., kurie atitinka tam tikros formos prediktyvumą. Tačiau atkreipkite dėmesį, kad literatūroje ne visada laikomasi šios konvencijos. Tiesą sakant, būdvardis „konstruktyvus“taip pat buvo naudojamas apibūdinti netaktiškoms teorijoms, o „intuicionistinis“- nuorodoms į predikcines pamatų teorijas, tokias kaip Martin-Löf tipo teorija (Martin-Löf 1975; 1984). Taip pat verta paminėti, kad dabartinė žodžių „konstruktyvus“ir „intuicionistinis“vartojimo praktika skiriasi nuo tos, kuri padaryta konstruktyviosios matematikos kontekste (žr., Pavyzdžiui, įrašą apie konstruktyvią matematiką, taip pat Bridges ir Richman, 1987)..

1.3 Numatomumas konstruktyviosios aibės teorijoje

Predicativizmas atsirado iš Poincaré ir Russell, kurie atsakė į paradoksus, kurie buvo aptikti Cantor ir Frege nustatytose teorijose XX amžiaus pradžioje, raštuose. Vėliau Weylas padarė esminį indėlį į nedėkingos matematikos tyrimą (Weyl 1918, taip pat žr. Feferman 1988). Pagal vieną sąvoką apibrėžimas yra neįmanomas, jei jis apibrėžia objektą pagal visumą, apimančią apibrėžtiną objektą. Savo užburto rato principu (VCP), Russellas ketino panaikinti matematikos apvalumą, atsirandantį dėl tokių netaktiškų apibrėžimų. Russellas pateikė įvairias RVP receptūras, iš kurių viena yra:

Tai, kas turi akivaizdų kintamąjį, neturi būti įmanoma kintamojo reikšmė (Russell 1908, in van Heijenoort 1967, 163).

Poincaré, Russell ir Weyl pagrindinė prediktyvumo analizė atvėrė kelią įvairioms loginėms sąvokos analizėms. Dažniausiai priimta analizė atliekama dėl Fefermano ir Schütte'io (nepriklausomai) pagal Kreisel nurodytas linijas (Kreisel 1958, Feferman 1964 ir Schütte 1965; 1965a). Čia įrodymo teorija vaidino lemiamą vaidmenį. Kalbant labai apytiksliai, idėja buvo išskirti teorijų rinkinį (ordinų indeksuotų rafinuotų antrosios eilės aritmetinių sistemų peržengiamą pažangą), kuriomis būtų galima apibūdinti tam tikrą predikcinio ordinato sąvoką. Fefermano ir Schütte'o įrodyta teorinė šių teorijų analizė nustatė ordinarą, paprastai vadinamą (Gamma_0), kuris pagal šią nuostatą yra mažiausiai neprecepcinis ordinalas. Laikoma, kad formalioji sistema yra pateisinama, jei ji teoriškai yra redukuojama į suporintos antros eilės artmetikos sistemą, indeksuotą ordinatu, mažesniu nei (Gamma_0). Todėl įrodymų teorijoje (gamma_0) paprastai laikoma atspindinčia nediktybumo ribą. (Norėdami sužinoti tikslesnę neformalią šios prediktyvumo sąvokos ataskaitą ir gauti daugiau nuorodų, skaitykite Feferman 2005. Taip pat skaitykite „Crosilla 2017.“. Skaitytojas taip pat gali apsilankyti skyriuje apie predikativizmą matematikos filosofijos įraše ir paradoksų bei šiuolaikinės logikos skyriuje)..(Norėdami sužinoti tikslesnę neformalią šios prediktyvumo sąvokos ataskaitą ir gauti daugiau nuorodų, skaitykite Feferman 2005. Taip pat skaitykite „Crosilla 2017.“. Skaitytojas taip pat gali apsilankyti skyriuje apie predikativizmą matematikos filosofijos įraše ir paradoksų bei šiuolaikinės logikos skyriuje)..(Norėdami sužinoti tikslesnę neformalią šios prediktyvumo sąvokos ataskaitą ir gauti daugiau nuorodų, skaitykite Feferman 2005. Taip pat skaitykite „Crosilla 2017.“. Skaitytojas taip pat gali apsilankyti skyriuje apie predikativizmą matematikos filosofijos įraše ir paradoksų bei šiuolaikinės logikos skyriuje)..

Konstruktyvioms pamatų teorijoms buvo pasiūlytas „liberalesnis“požiūris į predikativizmą, pradedant Lorenzeno, Myhilio ir Wango šeštojo dešimtmečio pabaigoje (žr. Lorenzeną ir Myhillą 1959 m.). Pagrindinė idėja yra ta, kad konstruktyviosios matematikos srityje turėtų būti leidžiama naudoti vadinamuosius induktyvius apibrėžimus. Intuityvus indukcinių apibrėžimų pagrindimas yra susijęs su tuo, kad juos galima išreikšti baigtinėmis taisyklėmis „iš apačios į viršų“. Įrodytas teorinis indukcinių apibrėžimų teorijų stiprumas peržengia Fefermano ir Schütte'o ribas (Buchholz, Feferman, Pohlers ir Sieg 1981). Taigi šiuolaikinės konstruktyviosios matematikos pagrindais gana griežtos teorijos laikomos vyraujančiomis. Ši liberalesnė predikatiškumo samprata dažnai buvo vadinama generalizuota predikcija. Šiame įraše paprasčiausiai rašome prediktyvumą apibendrintam prediktyvumui ir vadiname prediktyvumu, atsižvelgiant į natūralius skaičius geriau žinomą predikatiškumo formą, atsirandančią klasikiniame kontekste ir išanalizuotą Kreiselio, Fefermano ir Schütte'o.

Prediktyvios teorijos pavyzdys šia prasme yra konstruktyviosios aibės teorija CZF, nes jos įrodomojoji teorija yra tokia pati kaip vienos indukcinio apibrėžimo, žinomo kaip ID (_ 1), teorijos. Vietoj to, IZF sistema yra netaktiška, nes jos teorinis stiprumas yra lygus visos klasikinės ZF stiprumui (Friedman 1973a).

Nustatytose teorijose, pagrįstose intuityvistine logika, predikcija paprastai pasiekiama ribojant atskyrimo principus ir galios nustatymą, nes jie atrodo pagrindiniai netaktiškumo šaltiniai (kai daroma prielaida apie begalybės aksiomą).

1.3.1 Atskyrimo neįmanomumas

Atskyrimo schema leidžia mums suformuoti duoto rinkinio pogrupį, kurio elementai tenkina duotą savybę (išreikštą formule rinkinio teorijos kalba). Atsižvelgiant į aibę (B) ir formulę (phi (X)), atskyrimas leidžia mums sukonstruoti naują aibę, tų elementų aibę (X) iš (B), kuriai (phi) turi. Paprastai tai neoficialiai vaizduojama taip: ({X / B: / phi (X) }). Atskyrimas gali sukelti netikslumą, jei formulėje (phi) yra neribotų kiekybinių rodiklių, esančių visoje aibių grupėje; tiesą sakant, apibrėždami naują rinkinį atskyrę, galime remtis tuo pačiu rinkiniu, prieštaraujančiu Russello VCP. Pvz., Jei aibę (C) apibrėžtume atskyrę kaip ({X / B: / Forall Y / psi (X, Y) }), tada (C) yra tarp (Y), kuriuos reikia patikrinti, ar nėra nuosavybės (psi). Šios netaktiškumo formos išvengiama konstruktyvioje aibių teorijoje ribojant atskyrimo schemą: reikalaujant, kad visi kiekybiniai rodikliai, esantys formulės (phi) diapazone, būtų tik per „anksčiau sukonstruotus“aibes. Sintaksine prasme tai reiškia, kad atsižvelgiant į aibę (B), mes galime sudaryti naują aibę ({X / B: / phi (X) }) atskyrę tik tuo atveju, jei visi kiekybiniai rodikliai yra (phi) yra apriboti; tai yra, tik jei visi kiekybiniai rodikliai, esantys (phi), yra formos (forall X (X / Y / rightarrow / ldots)) arba (egzistuoja X (X / Y / pleište / ldotuose))), tam tikram rinkiniui (Y).\ phi (X) }) atskyrus tik tuo atveju, jei visi kiekybiniai rodikliai, esantys (phi), yra apriboti; tai yra, tik jei visi kiekybiniai rodikliai, esantys (phi), yra formos (forall X (X / Y / rightarrow / ldots)) arba (egzistuoja X (X / Y / pleište / ldotuose))), tam tikram rinkiniui (Y).\ phi (X) }) atskyrus tik tuo atveju, jei visi kiekybiniai rodikliai, esantys (phi), yra apriboti; tai yra, tik jei visi kiekybiniai rodikliai, esantys (phi), yra formos (forall X (X / Y / rightarrow / ldots)) arba (egzistuoja X (X / Y / pleište / ldotuose))), tam tikram rinkiniui (Y).

Galima pastebėti, kad tokiu būdu ribojant atskyrimą išvengiama netikslumo, stebint, kad įrodytas teorinis CZF, kuris tik riboja atskyrimą, stiprumas yra prediktyvumo intervale. Tačiau pridedant CZF visišką atskyrimą, gaunama impredikatyvi teorija, iš tikrųjų ta, kurios teorijos stiprumas yra toks pat kaip ir visos antrosios eilės aritmetikos (Lubarsky 2006). Taip pat žiūrėkite 5 skyrių, kuriame aptariama įrodinėjimo teorijos vaidmuo analizuojant konstruktyvias ir intuicionistines rinkinių teorijas.

1.3.2. Neveiklumas

Galios rinkinio aksioma leidžia mums sudaryti visų duoto rinkinio pogrupių aibę. Neapibrėžto galios naudojimo pavyzdys pateikiamas natūraliųjų skaičių pogrupio (N) apibrėžimu: (B: = {n / N: / Forall C / subseteq N / phi (n, C) }), kur (phi) gali būti laikoma apribota formule. Apykaitos forma iškyla taip, kad pats (B) yra tarp (N) pogrupių, kuriuos reikia patikrinti (phi). Kaip pabrėžė Myhill (1975, 354), galios rinkinį sunku pateisinti konstruktyviu požiūriu: jis sujungia visus duoto rinkinio pogrupius, tačiau nenustato taisyklės, kuri „konstruoja“anksčiau duotą rinkinį. rinkinių, nes atrodytų, kad reikia prediktyvumo.

Myhillas rašo:

Galios rinkinys atrodo ypač nekonstruktyvus ir nemandagus, palyginti su kitomis aksiomomis: tai nereiškia, kad, kaip daro kiti, jau sukonstruotų rinkinių sudėjimas ar atskyrimas, o iš visų rinkinių visumos išrinkti tie, kurie stovi santykyje. įtraukimas į tam tikrą rinkinį. (Myhill 1975, 351).

Energijos rinkinys atrodo ypač problemiškas, jei yra begaliniai rinkiniai, nes „mes net neįsivaizduojame, kas yra savavališkas begalinio rinkinio pogrupis; nėra būdo generuoti juos visus, todėl mes neturime būdo suformuoti visų jų rinkinį. juos “(Myhill 1975, 354). Dėl to atrodo, kad nėra būdų konstruktyviai suvokti visų begalinio rinkinio pogrupių aibę.

Myhillas labai aiškiai pastebi, kad galios rinkinys nėra būtinas konstruktyviam matematikos vyskupo stiliui, nes jį galima pakeisti viena iš jo pasekmių. Tai dažnai vadinama Myhill'io eksponencijos aksioma ir teigiama, kad mes galime sudaryti visų funkcijų rinkinį iš vieno duoto rinkinio į kitą. Ši aksioma aiškiai atitinka galią, nustatytą klasikiniame kontekste, kai tam tikro rinkinio pogrupiai gali būti apibūdinami būdingomis funkcijomis. Tačiau, jei nėra atstumto vidurio principo, nustatytoji galia ir ekspansija nėra lygiaverčiai. Pagrindinis Myhill pastebėjimas yra tas, kad eksponavimo pakanka atlikti matematiką (Bishop 1967); pavyzdžiui, jis leidžia konstruoti realius (Cauchy) skaičius pagal konstruktyviosios aibės teoriją. Myhillas teigia, kad eksponavimas yra konstruktyviai prasmingas, nes funkcija yra taisyklė,baigtinis objektas, kurį iš tikrųjų galima duoti.

Jis taip pat rašo, kad nustatytas galios atvejis skiriasi nuo eksponavimo, nes:

net ir begalinių aibių (A) ir (B) atveju mes turime mintį apie savavališką žemėlapių sudarymą iš (A) į (B). Savavališkas atvaizdavimas iš (mathbf {Z}) į (mathbf {Z}) yra dalinė rekursinė funkcija kartu su įrodymu, kad skaičiavimas visada pasibaigia; panašią informaciją galima pateikti apie savavališką realią funkciją. Nėra jokio savavališko pogrupio paaiškinimo. (Myhill 1975, 354).

Myhilo eksponenciacijos aksioma dabar yra visų pagrindinių konstruktyviosios aibės teorijos sistemų dalis. CZF atveju iš tikrųjų stiprėja eksponentikacija, vadinama pogrupio kolekcija, o tai taip pat yra galios komplekto silpnėjimas. Exponenciacijos apibendrinimą galima rasti ir konstruktyvaus tipo teorijoje.

CZF atveju teiginį, kad pridėjus galios aksiomą, atsiranda tam tikras tikslumas, galima pagrįsti techniniu rezultatu. Rathjenas (2012b) rodo, kad CZF, padidintas galios rinkinio aksioma, viršija klasikinės Zermelo aibės teorijos jėgą, todėl pridėjus galios aksiomos galią CZF, mes gauname visiškai neįmanomą teoriją. Tai taip pat parodo, kad implikacijos iš nustatyto galios į poaibių rinkimą negalima panaikinti, nes CZF įrodyta teorinė jėga yra daug mažesnė nei Zermleo rinkinio teorijoje. Kitaip tariant, nustatytos galios aksioma yra daug stipresnė nei eksponentikacija, tiek poaibių rinkimas.

1.3.3 Konstruktyvi aibių visuma

Įvedę tinkamus galios nustatymo ir atskyrimo apribojimus, dabar galime sulaukti svarbaus prieštaravimo. Konstruktyvios ir intuicionistinės aibių teorijos gali būti laikomos klasikinės ZF aibės teorijos modifikacijomis, kurios gaunamos: (1) pakeičiant klasikinę intuityvine logika ir (2) iš įvairių klasikinių ekvivalentiškų principų tiksliai pasirenkant tuos, kurie atrodo tinkamesni numatytiems tikslams.. Pvz., Mes galime pasirinkti principus, kurių pakanka tam tikrai matematikos praktikai atvaizduoti, pavyzdžiui, Bishop stiliaus matematika. Gauta aibės sąvoka vis dėlto gali tapti neaiški, o aibės teorinių principų pasirinkimas tam tikru laipsniu gali pasirodyti savavališkas. Intuicionistinio ZF atveju rinkinio teorijos principų pasirinkimą galima pateisinti nagrinėjant jo semantines interpretacijas,kaip Heytingo semantika arba pažvelgus į kategoriškus jos modelius. Konstruktyvios rinkinių teorijos atveju, norėdamas sutrukdyti tokio pobūdžio prieštaravimus, Aczelis pateikė CZF aiškinimą Martin-Löf tipo teorijos versijoje (Aczel 1978). Teigiama, kad CZF sąvokos „set“sąvokai priskiriama aiški konstruktyvi reikšmė, atsižvelgiant į jos prasmę Martin-Löf tipo teorijoje, nes pastaroji paprastai laikoma tiksliai ir visiškai motyvuotai formuojančia konstruktyvią sąvokos sąvoką. Aczel'io CZF interpretacija konstruktyvioje tipo teorijoje pateikiama kišant aibes kaip medžiai tipo teorijoje. T. y., Konstruktyvioje tipo teorijoje CZF aibių visuma vaizduojama pakartotinių aibių, pastatytų virš U visatos, mažų tipų V tipo V (Aczel 1978; Martin-Löf 1984). Šis aiškinimas aiškiai išryškina (apibendrintą) CZF, kurio rinkiniai gali būti vertinami kaip induktyviai sukonstruoti medžiai ir kurių aibės teorinė visata taip pat turi aiškią indukcinę struktūrą, polinkį.

CZF ir susijusių sistemų predikcija sutampa su filosofinėmis pozicijomis, kurios dažnai siejamos su intuityvinės logikos naudojimu. Visų pirma, atrodytų, jei, pavyzdžiui, konstruodami matematinius objektus, jei matematiniai objektai yra kažkokios psichinės konstrukcijos, pasinaudojant netaktiškais apibrėžimais, būtų sukurta nepageidaujama žiedo forma. Tai aiškiai kontrastuoja su požiūriu, dažnai siejamu su klasikine aibių teorija, kuriai mūsų matematinė veikla gali būti vertinama kaip laipsniškas aibių visatos, kurios egzistavimas nuo mūsų nepriklauso, savybių atskleidimas. Toks požiūris paprastai siejamas su klasikinės logikos ir netaktiškumo panaudojimu tiriant teorinę visatą. Prognozuojamumas taip pat dažnai laikomas ryšiu su laiko skirtumu tarp faktinės ir galimos begalybės. Prognozuojamos (taigi, ypač konstruktyvios) teorijos dažnai laikomos vengiančiomis nurodyti tikrąją begalybę ir įsipareigojančiomis tik į galimą begalybę (Dummett 2000, Fletcher 2007). Tai vėlgi atrodo ypač suderinta su tomis filosofinėmis pozicijomis, kurios pabrėžia mūsų matematinės veiklos žmogiškąją dimensiją, matant, pavyzdžiui, matematinius objektus ir teiginių apie juos tiesą kaip priklausomus nuo mūsų. Kitas susijęs aspektas dažnai laikomas priklausančiu nuo prediktyvumo: jei aibių visata yra suformuota etapais pagal mūsų pačių matematinę veiklą, tada natūralu ir ją vertinti kaip atvirą. Dėl šios priežasties konstruktyviame konteksteten, kur klasikinės logikos atmetimas tenkina prediktyvumo reikalavimus, rinkinių visata dažnai apibūdinama kaip atvira sąvoka, visata „in fieri“. Ši idėja ypač gerai išryškėja konstruktyvioje tipo teorijoje, kurioje Per-Martin-Löf sąmoningai paliko atvirą tipo teorinės visatos sąvoką (nepaskelbdamas jai konkrečių pašalinimo taisyklių). Rinkinių visatos atviras pobūdis atvėrė kelią jos išplėtimui refleksijos principais. Jie buvo ištirti tiek tipo teorijoje, tiek konstruktyvioje aibių teorijoje. Rezultatų apžvalgą ir pagrindinę diskusiją žr. (Rathjen 2005a), taip pat 5.2 skyrių. Formalią konstruktyvios aibių visatos analizę ir palyginimą su Von Neumanno hierarchija žr. (Ziegler 2014).rinkinių visata dažnai apibūdinama kaip atvira sąvoka, visata „in fieri“. Ši idėja ypač gerai išryškėja konstruktyvioje tipo teorijoje, kurioje Per-Martin-Löf sąmoningai paliko atvirą tipo teorinės visatos sąvoką (nepaskelbdamas jai konkrečių pašalinimo taisyklių). Rinkinių visatos atviras pobūdis atvėrė kelią jos išplėtimui refleksijos principais. Jie buvo ištirti tiek tipo teorijoje, tiek konstruktyvioje aibių teorijoje. Rezultatų apžvalgą ir pagrindinę diskusiją žr. (Rathjen 2005a), taip pat 5.2 skyrių. Formalią konstruktyvios aibių visatos analizę ir palyginimą su Von Neumanno hierarchija žr. (Ziegler 2014).rinkinių visata dažnai apibūdinama kaip atvira sąvoka, visata „in fieri“. Ši idėja ypač gerai išryškėja konstruktyvioje tipo teorijoje, kurioje Per-Martin-Löf sąmoningai paliko atvirą tipo teorinės visatos sąvoką (nepaskelbdamas jai konkrečių pašalinimo taisyklių). Rinkinių visatos atviras pobūdis atvėrė kelią jos išplėtimui refleksijos principais. Jie buvo ištirti tiek tipo teorijoje, tiek konstruktyvioje aibių teorijoje. Rezultatų apžvalgą ir pagrindinę diskusiją žr. (Rathjen 2005a), taip pat 5.2 skyrių. Formalią konstruktyvios aibių visatos analizę ir palyginimą su Von Neumanno hierarchija žr. (Ziegler 2014).kur Per-Martin-Löf sąmoningai paliko atvirą tipo teorinės visatos sąvoką (nepaskelbdamas jai specialių pašalinimo taisyklių). Rinkinių visatos atviras pobūdis atvėrė kelią jos išplėtimui refleksijos principais. Jie buvo ištirti tiek tipo teorijoje, tiek konstruktyvioje aibių teorijoje. Rezultatų apžvalgą ir pagrindinę diskusiją žr. (Rathjen 2005a), taip pat 5.2 skyrių. Formalią konstruktyvios aibių visatos analizę ir palyginimą su Von Neumanno hierarchija žr. (Ziegler 2014).kur Per-Martin-Löf sąmoningai paliko atvirą tipo teorinės visatos sąvoką (nepaskelbdamas jai specialių pašalinimo taisyklių). Rinkinių visatos atviras pobūdis atvėrė kelią jos išplėtimui refleksijos principais. Jie buvo ištirti tiek tipo teorijoje, tiek konstruktyvioje aibių teorijoje. Rezultatų apžvalgą ir pagrindinę diskusiją žr. (Rathjen 2005a), taip pat 5.2 skyrių. Formalią konstruktyvios aibių visatos analizę ir palyginimą su Von Neumanno hierarchija žr. (Ziegler 2014). Jie buvo ištirti tiek tipo teorijoje, tiek konstruktyvioje aibių teorijoje. Rezultatų apžvalgą ir pagrindinę diskusiją žr. (Rathjen 2005a), taip pat 5.2 skyrių. Formalią konstruktyvios aibių visatos analizę ir palyginimą su Von Neumanno hierarchija žr. (Ziegler 2014). Jie buvo ištirti tiek tipo teorijoje, tiek konstruktyvioje aibių teorijoje. Rezultatų apžvalgą ir pagrindinę diskusiją žr. (Rathjen 2005a), taip pat 5.2 skyrių. Formalią konstruktyvios aibių visatos analizę ir palyginimą su Von Neumanno hierarchija žr. (Ziegler 2014).

2. Konstruktyviųjų ir intuicionistinių rinkinių teorijų ištakos

Intuicionistinės „Zermelo-Fraenkel“rinkinių teorijų versijos buvo pristatytos aštuntojo dešimtmečio pradžioje Friedmano ir Myhillo dėka. Straipsnyje (Friedman, 1973) autorius pateikia įvairių intuicionistinių sistemų formaliųjų savybių tyrimą ir pristato jiems Kleene'io realizavimo galimybių metodo išplėtimą. Realizavimo galimybių metodas yra naudojamas (Myhill 1973), siekiant parodyti intuityvios Zermelo-Fraenkel rinkinio teorijos versijos egzistavimo savybes (su pakeitimu vietoj kolekcijos). Kitame pagrindiniame įnašu Friedmanas išplečia dvigubą neigimą dėl intuitonistinės logikos vertimo, kad būtų galima susieti klasikines ir intuicionistines teorijos (Friedman 1973a). Šie pirmieji straipsniai jau nagrinėja ryšį tarp kai kurių pagrindinių intuicionistinių rinkinių teorijų ir klasikinės ZF. Jie taip pat paaiškina pagrindinę rinkinio teorijos, pagrįstos intuicionistine logika, bruožą,daugiausia tai, kad ją galima pritaikyti prie galingų konstruktyvių semantinių interpretacijų, kaip antai įgyvendinamumas. Šie metodai yra naudojami tiriant esmines metateorines savybes, kurios būdingos konstruktyviam požiūriui ir kurioms būdingos kai kurios konstruktyvios teorijos (žr. Skyrių apie semantinius metodus). Šis novatoriškas darbas buvo visiškai išnaudotas ir iš esmės išplėstas Beesono ir McCarty darbuose (žr. Beeson 1985; McCarty 1984). Šis novatoriškas darbas buvo visiškai išnaudotas ir iš esmės išplėstas Beesono ir McCarty darbuose (žr. Beeson 1985; McCarty 1984). Šis novatoriškas darbas buvo visiškai išnaudotas ir iš esmės išplėstas Beesono ir McCarty darbuose (žr. Beeson 1985; McCarty 1984).

Konstruktyvioji rinkinio teorija nuo pat pradžių pasižymi ryškesniu pagrindiniu pašaukimu ir yra susieta su Vyskupo matematika. Iš tikrųjų 1967 m. Vyskupas išleido knygą „Konstruktyvios analizės pagrindai“(Bishop 1967), kuri atvėrė naują matematikos erą, paremtą intuicionistine logika (žr. Įrašą apie konstruktyvią matematiką). Monografija paskatino naujus bandymus loginėje bendruomenėje paaiškinti ir oficialiai atvaizduoti principus, kuriais vadovavosi vyskupas, nors tik neoficialiu lygmeniu. Pirmieji Goodmano ir Myhillo bandymai (Goodmanas ir Myhillas 1972 m.) Pasinaudojo Gödelio sistemos T versijomis (taip pat žr. (Bishop 1970)). Tačiau Myhillas padarė išvadą, kad gautas formalizavimas buvo per daug sudėtingas ir dirbtinis (Myhill 1975, 347). Myhillas vietoj to pasiūlė sistemą, kuri yra artimesnė neoficialiai rinkinio sampratai, kurią iš pradžių naudojo vyskupas, taip pat artimesnė rinkinio teorijai. Myhillas rašo (1975, 347):

Mes atsisako manyti, kad viskas turi būti taip sudėtinga - (Bishop 1967) argumentai atrodo labai sklandžiai ir atrodo, kad tiesiogiai kyla iš tam tikros sąvokos, kas yra rinkiniai, funkcijos ir pan., Ir mes norime atrasti formalizmą, kuris izoliuoja principai, kuriais grindžiama ši samprata, taip pat, kaip ir Zermelo-Fraenkelio teorija, išskiria principus, kuriais grindžiama klasikinė (nekonstruktyvinė) matematika. Mes norime, kad šie principai būtų tokie, kad formalizavimo procesas taptų visiškai nereikšmingas, kaip tai daroma klasikiniu atveju.

Mes pastebime, kad Myhill'io konstruktyvi aibės teorija išskyrė funkcijos, natūralaus skaičiaus ir aibės sąvokas; taigi tai tiksliai atspindėjo konstruktyvią tradiciją, kurioje funkcijos ir natūralieji skaičiai konceptualiai nepriklauso nuo rinkinių. Kitas esminis žingsnis kuriant konstruktyvią aibės teoriją buvo Friedmano „Kompleksiniai teoriniai konstruktyvios analizės pagrindai“(Friedman 1977). Be kitų sistemų, čia yra apibrėžta sistema, vadinama B, kuri, palyginti su Myhill'u, turi papildomus nustatytų teorinių principų apribojimus (ypač, ji neturi nustatytos indukcijos). Ji taip pat turi ribotą priklausomo pasirinkimo aksiomos formą. Parodyta, kad B sistema yra pakankamai išraiškinga, kad atspindėtų konstruktyvią Bishopo (1967) analizę, tuo pat metu įrodydama, kad teoriškai yra labai silpna (nes nėra nustatytos indukcijos). B sistema iš tikrųjų yra konservatyvus aritmetikos pratęsimas (taigi, atsižvelgiant į natūralius skaičius, trumpai primintus 1.3 skirsnyje, jis yra daug mažesnis už predikcijos ribą). Myhill ir Friedman sistemas vėliau pakeitė Aczel, kad gautų CZF (Constructive Zermelo-Fraenkel) sistemą, kuri visiškai suderinama su ZF kalba (Aczel 1978, 1982, 1986; Aczel and Rathjen 2001; 2010). CZF taip pat neapėmė pasirinkimo principų. Aczelis pateikė CZF aiškinimą Martino-Löfo tipo teorijoje, siekdamas patvirtinti konstruktyviosios teorijos prigimtį. Jis taip pat sustiprino kai kuriuos Myhill sistemos principus (būtent rinkimą ir eksponavimą) tuo pagrindu, kad stipresnes versijas vis dar patvirtina aiškinimas tipo teorijoje.

Aštuntojo dešimtmečio pradžioje buvo įdiegtos kitos vyskupo stiliaus konstruktyvios matematikos pamatinės sistemos. Pvz.: aiški S. Fefermano matematika (Feferman 1975) ir jau minėta intuicionizmo tipo teorija (Martin-Löf 1975; 1984). Konstruktyvaus tipo teorija paprastai laikoma tinkamiausiu konstruktinės matematikos vyskupo stiliaus pagrindu. Tiek tipo teorija, tiek ir aiškioji matematika gali būti laikomos aiškiau išreiškiančiomis konstruktyviosios matematikos skaičiavimo turinį. Visų pirma, tipo teoriją galima skaityti kaip labai bendrąją ir išraiškingą programavimo kalbą. Konstruktyvios ir intuicionistinės teorijos pateikia savo skaičiavimo turinį tik netiesiogiai, naudodamos semantines interpretacijas (žr., Pvz., (Aczel 1977), (Lipton 1995) ir skyrių apie semantinius metodus).

3. Aksiomų sistemos CZF ir IZF

Skaitytojui, jau susipažinusiam su ZF aibių teorija, dabar trumpai priminsime CZF ir IZF sistemų aksiomas. Norėdami gauti pilną sąrašą ir paaiškinti jų aksiomas, remkitės papildomu dokumentu:

CZF ir IZF aksiomos.

CZF ir IZF yra suformuluoti remiantis intuityvios pirmosios eilės logika ir lygybe, turintys tik (in) (narystę) kaip papildomą nelogišką dvejetainį predikatą. Jų set-theoretic aksiomos yra šios.

(mathbf {IZF}) (mathbf {CZF})
Pratęsiamumas (tas pats)
Pora (tas pats)
Sąjunga (tas pats)
Begalybė (tas pats)
Atskyrimas Ribotas atskyrimas
Kolekcija Tvirta kolekcija
Powerset Pogrupio kolekcija
Nustatykite indukciją (tas pats)

Atminkite, kad IZF atskyrimo schema nėra ribojama. CZF kolekcija sustiprinta siekiant kompensuoti ribotą atskyrimą. Pogrupio kolekcija yra Myhill ekspansijos aksiomos sustiprinimas, pakeisdamas ZF Powerset.

4. Konstruktyvaus pasirinkimo principai

Aptariant klasikinės aibės teorijos, kaip matematikos pagrindų, vaidmenį, paprastai atsižvelgiama į ZFC teoriją, tai yra, aksiomų sistemą ZF ir pasirinktą aksiomą (AC). Todėl gali kilti klausimas, kokia yra pasirinktos aksiomos būsena intuicionistinėse nuostatose. Klausimas yra ypač reikšmingas, nes pirmą kartą pasirodžius, pasirinkta aksioma dažnai buvo vertinama kaip prieštaringa ir labai nekonstruktyvi. Tačiau konstruktyviose situacijose liudijamas savotiškas reiškinys. Įprastą pasirinktos aksiomos formą patvirtina tokių tipų teorijos kaip Martin-Löf tipo teorija, kur egzistuoja Curry-Howardo korespondencija (žr. Konstruktyvinės matematikos įrašo 3.4 skyrių). Kita vertus, pasirinkta aksioma daro prielaidą, kad išplėstiniame kontekste bus pašalintas vidurys,kur taip pat galima atskirti. Pavyzdžiui, taip yra konstruktyvaus ir intuityvaus ZF atveju. (Norėdami gauti įrodymų, žiūrėkite papildomą dokumentą apie Set-theoretic principus, nesuderinamus su intuicijos logika.) AC kintamumo nesuderinamumo su išplėstinėmis rinkinių teorijomis, pagrįstų intuicionistine logika, įrodymas pirmiausia pasirodė (Diaconescu 1975) kategoriniame kontekste. Goodmanas ir Myhillas pateikia argumentą teorinėms teorijoms, pagrįstoms intuicionistine logika (Goodmanas ir Myhill 1978).) Panašu, kad AC nesuderinamumo su išplėstinėmis rinkinių teorijomis, pagrįstomis intuicionistine logika, įrodymas pirmiausia pasirodė (Diaconescu 1975) kategoriniame kontekste. Goodmanas ir Myhillas pateikia argumentą teorinėms teorijoms, pagrįstoms intuicionistine logika (Goodmanas ir Myhill 1978).) Panašu, kad AC nesuderinamumo su išplėstinėmis rinkinių teorijomis, pagrįstomis intuicionistine logika, įrodymas pirmą kartą pasirodė (Diaconescu 1975) kategoriniame kontekste. Goodmanas ir Myhillas pateikia argumentą teorinėms teorijoms, pagrįstoms intuicionistine logika (Goodmanas ir Myhill 1978).

Nors pasirinkta aksioma nesuderinama tiek su konstruktyviu, tiek su intuityviu ZF, pagrindinės sistemos gali būti papildytos kitais pasirinkimo principais, neduodant tų pačių nepageidaujamų rezultatų. Pavyzdžiui, galima pridėti skaičiuojamojo pasirinkimo principą (AC (_ 0)) arba priklausomo pasirinkimo principą (DC). Tiesą sakant, abu dažnai buvo naudojami konstruktyvioje matematikos praktikoje. (Tikslią jų formuluotę žiūrėkite papildomame dokumente apie CZF ir IZF aksiomas.)

(Aczel, 1978) autorius taip pat apsvarstė pasirinkimo principą, vadinamą pristatymo aksioma, kuris tvirtina, kad kiekvienas rinkinys yra vadinamosios bazės surjektyvus vaizdas. Bazė yra rinkinys, tarkime (B), toks, kad kiekvienas ryšys su domenu (B) pratęsia funkciją su domenu (B).

Visų šių pasirinkimo formų suderinamumą su konstruktyvia aibių teorija įrodė Aczelis, išplėsdamas savo CZF aiškinimą Martin-Löf tipo teorijoje (Aczel 1982). Rathjen (2006) taip pat apsvarstė įvairius konstruktyvaus pasirinkimo principus ir jų tarpusavio santykius.

Paskutinė pastaba: nors konstruktyvios ir intuicionistinės rinkinių teorijos yra suderinamos su ką tik minėtais pasirinkimo principais, visuminės teorijos dažnai apibrėžiamos be jokių pasirinkimo principų. Šiuo tikslu siekiama sudaryti galimybę taikyti „pliuralistinį“pamatinį požiūrį. Visų pirma, norėtųsi gauti pamatinę teoriją, suderinamą su tokiais kontekstais (pvz., Kategoriniai rinkinio teorijos modeliai), kurioje net šie silpnesni pasirinkimo principai gali būti neįteisinti. Panašias idėjas konstruktyvaus tipo teorijos kontekste skaitykite (Maietti ir Sambin 2005, Maietti 2009). Taip pat norime paminėti Richmano kreipimąsi dėl konstruktyvios matematikos, kurioje nesinaudojama pasirinkimo principais (Richman 2000; 2001).

5. Konstruktyvaus ir intuicinio ZF įrodymo teorija ir semantika

Nagrinėdami tam tikrą matematinę praktiką (arba teoriją, naudojamą jai kodifikuoti) iš filosofinės perspektyvos, turime kiek įmanoma tiksliau išsiaiškinti joje padarytas prielaidas ir pasekmes, atsirandančias iš tų prielaidų. Tai ypač aktualu dirbant su teorijomis, pagrįstomis silpnesne nei klasikine logika, kurioms privaloma gilesnė, tikslesnė įžvalga. Yra daug techninių priemonių, kurios mums gali padėti išsiaiškinti tuos aspektus. Tarp galimų instrumentų yra ir korektūros teorijos metodų, tokių kaip korektūros teorijos interpretacijos, taip pat semantinių metodų, tokių kaip realizuotumas, Kripke modeliai, Heytingo vertinama semantika. Tiesą sakant, literatūroje dažnai būna įrodymų teorijos ir semantikos metodų sąveika. Čia apžvelgiame kai kurias iš šių temų ir siūlome toliau skaityti.

5.1 Teorinis įrodymas

Pagrindinė įrodymų teorijos tema (ypač šios disciplinos, vadinamos ordinarine analize) yra teorijų klasifikavimas pasitelkiant neribotus ordinus, kurie matuoja jų „nuoseklumo stiprumą“ir „skaičiavimo galią“. Šie potvarkiai parodo, kokia stipri yra teorija, todėl siūlo skirtingų teorijų palyginimo būdą. Pvz., Ordinalas ((varepsilon_0)) yra teorinis Peano aritmetikos ordinarinis įrodymas ir yra daug mažesnis už ordinarinį (Gamma_0), paprastai vadinamas „pranašumo riba“(žr. 1.3 skyrių aukščiau).). Tai rodo, kad yra predikatiškai priimtinų teorijų, kurios yra daug stipresnės nei „Peano“aritmetinė.

Kaip aptarta 1 skyriuje, norint pereiti nuo klasikinio ZF prie jo intuicionistinių variantų, turime pasirinkti tinkamą formuluotę kiekvienai teorinės aksiomos rinkiniui: viena klasikinė aksioma gali turėti daugybę intuicionistinių variantų, kurie, atrodo, nėra lygiaverčiai vienas kitam.. Tai kartais atspindi gautų teorijų įrodomąją teorinę galią, kuri gali skirtis priklausomai nuo to, kokius principus pasirenkame. Pavyzdžiui, mes jau pažymėjome, kad CZF mes neturime visiško atskyrimo ir galios komplekto, kuriuos atitinkamai pakeičia predikatiškai priimtini riboto atskyrimo ir pogrupio rinkimo principai. Tačiau, pridėję CZF bet kurį iš šių principų, gauname netaktiškų teorijų. Gautų teorijų netaktiškumą liudija faktas, kad jų įrodomosios teorijos stiprumas žymiai viršija CZF.

Nenuostabu, kad konstruktyvių ir intutionistinių rinkinių teorijų įrodomosios teorijos stiprybės tyrimai buvo labai svarbus metateorinis įrankis suprasti šias teorijas ir jų ryšius tarpusavyje. Teorijos įrodomosios teorinės galios tyrimai yra turtingi ir informatyvūs. Visų pirma, Fefermanas (1993) teigė, kad įrodyta teorinė analizė gali padėti mums išsiaiškinti, ar tam tikra teorija atitinka nurodytą filosofinę sistemą: pavyzdžiui, analizė gali atskleisti, kad teorija yra prediktyvi ar baigtinė ir tt Be to, kaip šalutinis įrodymo teorijos analizės produktas kartais gauname paprastus nepriklausomybės įrodymus. Tiesą sakant, mes galime parodyti, kad teorija negali įrodyti konkretaus principo, nes pridedant ją prie teorijos padidėtų teorijos įrodymo teorija. Pavyzdžiui,CZF neįrodo jėgos jėgos aksiomos, nes pridėjus jėgą prie CZF atsiranda daug stipresnė teorija. Teorinės interpretacijos taip pat buvo naudojamos palyginant konstruktyvias ir intuityvias ZF aibių teorijas tarpusavyje, taip pat su jų klasikinėmis atitikmenimis, taip pat su kitomis konstruktyviosios matematikos pamatinėmis sistemomis, tokiomis kaip konstruktyviojo tipo teorija ir aiškioji matematika (žr. Griffor ir Rathjen 1994, Tupailo 2003). Pavyzdžiui, kaip įrodyti teorinės teorijos sąvoką ir apibrėžti įrodymų teoriją, žr. (Rathjen 1999, 2006b).taip pat su klasikinėmis kolegomis ir kitomis konstruktyviosios matematikos pagrindinėmis sistemomis, tokiomis kaip konstruktyvaus tipo teorija ir aiškioji matematika (žr., pvz., Griffor ir Rathjen 1994, Tupailo 2003). Pavyzdžiui, kaip įrodyti teorinės teorijos sąvoką ir apibrėžti įrodymų teoriją, žr. (Rathjen 1999, 2006b).taip pat su klasikinėmis kolegomis ir kitomis konstruktyviosios matematikos pagrindinėmis sistemomis, tokiomis kaip konstruktyvaus tipo teorija ir aiškioji matematika (žr., pvz., Griffor ir Rathjen 1994, Tupailo 2003). Pavyzdžiui, kaip įrodyti teorinės teorijos sąvoką ir apibrėžti įrodymų teoriją, žr. (Rathjen 1999, 2006b).

Nors CZF ir IZF yra plačiausiai tirtos sistemos, iki šiol literatūroje buvo svarstoma daugybė kitų konstruktyvios ir intuicionistinės rinkinių teorijos sistemų. Daugelio konstruktyvių ir intuicionistinių aibių teorijų įrodyta teorinė galia buvo nustatyta įvairiomis priemonėmis, pavyzdžiui, pvz., Dvigubo neigimo aiškinimo teorijos pratęsimu (kilusi iš (Friedman 1973a)) ir įvairove. kitų įrodymų teorijos interpretacijų, dažnai atsirandančių dėl kruopštaus semantinių ir įrodinėjimo teorijos metodų derinio. Daugeliu atvejų įrodytas teorinis sistemos stiprumas buvo nulemtas interpretacijų tarp konstruktyvių ir klasikinių sistemų grandine ir, naudojant eilės analizę, naudojant įvairius įrankius, pradedant relisilumu ir baigiant „tradiciškesniais“įrodymo teorijos metodais (žr.pavyzdžiui, Beeson 1985; Griffor ir Rathjen 1994; Rathjen 2012b). Visų pirma, dėl lankstumo pasirodė, kad įgyvendinamumas yra labai naudingas. Kalbant apie šių tyrimų rezultatus, kai kurios iš analizuotų sistemų pasirodė tokios silpnos kaip aritmetinė, kaip, pavyzdžiui, Friedmano sistema B (Friedman 1977); kitos sistemos yra tokios pat stiprios kaip visiškai klasikinis ZF, kaip ir IZF (Friedman 1973a). Taip pat yra vidutinio stiprumo sistemos, kaip CZF. Pastarosios teorijos tvirtumas iš tikrųjų prilygsta vienos indukcinio apibrėžimo, žinomo kaip ID (_ 1), teorijai. Faktas, kad CZF turi tą patį stiprumą kaip ID (_ 1), imamasi siekiant patvirtinti (apibendrintą) nustatytos teorijos pranašumą ir įrodyti, kad ji viršija prediktyvumo ribą, atsižvelgiant į natūralius skaičius, nes ID (_ 1) įrodymo teorinė ordinacija yra gerokai aukščiau (Gamma_0). Beesonas 1985; Griffor ir Rathjen 1994; Rathjen 2012b). Visų pirma, dėl lankstumo pasirodė, kad įgyvendinamumas yra labai naudingas. Kalbant apie šių tyrimų rezultatus, kai kurios iš analizuotų sistemų pasirodė tokios silpnos kaip aritmetinė, kaip, pavyzdžiui, Friedmano sistema B (Friedman 1977); kitos sistemos yra tokios pat stiprios kaip visiškai klasikinis ZF, kaip ir IZF (Friedman 1973a). Taip pat yra vidutinio stiprumo sistemos, kaip CZF. Pastarosios teorijos tvirtumas iš tikrųjų prilygsta vienos indukcinio apibrėžimo, žinomo kaip ID (_ 1), teorijai. Faktas, kad CZF turi tą patį stiprumą kaip ID (_ 1), imamasi siekiant patvirtinti (apibendrintą) nustatytos teorijos pranašumą ir įrodyti, kad ji viršija prediktyvumo ribą, atsižvelgiant į natūralius skaičius, nes ID (_ 1) įrodymo teorinė ordinacija yra gerokai aukščiau (Gamma_0). Beesonas 1985; Griffor ir Rathjen 1994; Rathjen 2012b). Visų pirma, dėl lankstumo pasirodė, kad įgyvendinamumas yra labai naudingas. Kalbant apie šių tyrimų rezultatus, kai kurios iš analizuotų sistemų pasirodė tokios silpnos kaip aritmetinė, kaip, pavyzdžiui, Friedmano sistema B (Friedman 1977); kitos sistemos yra tokios pat stiprios kaip visiškai klasikinis ZF, kaip ir IZF (Friedman 1973a). Taip pat yra vidutinio stiprumo sistemos, kaip CZF. Pastarosios teorijos tvirtumas iš tikrųjų prilygsta vienos indukcinio apibrėžimo, žinomo kaip ID (_ 1), teorijai. Faktas, kad CZF turi tą patį stiprumą kaip ID (_ 1), imamasi siekiant patvirtinti (apibendrintą) nustatytos teorijos pranašumą ir įrodyti, kad ji viršija prediktyvumo ribą, atsižvelgiant į natūralius skaičius, nes ID (_ 1) įrodymo teorinė ordinacija yra gerokai aukščiau (Gamma_0). Rathjen 2012b). Visų pirma, dėl lankstumo pasirodė, kad įgyvendinamumas yra labai naudingas. Kalbant apie šių tyrimų rezultatus, kai kurios iš analizuotų sistemų pasirodė tokios silpnos kaip aritmetinė, kaip, pavyzdžiui, Friedmano sistema B (Friedman 1977); kitos sistemos yra tokios pat stiprios kaip visiškai klasikinis ZF, kaip ir IZF (Friedman 1973a). Taip pat yra vidutinio stiprumo sistemos, kaip CZF. Pastarosios teorijos tvirtumas iš tikrųjų prilygsta vienos indukcinio apibrėžimo, žinomo kaip ID (_ 1), teorijai. Faktas, kad CZF turi tą patį stiprumą kaip ID (_ 1), imamasi siekiant patvirtinti (apibendrintą) nustatytos teorijos pranašumą ir įrodyti, kad ji viršija prediktyvumo ribą, atsižvelgiant į natūralius skaičius, nes ID (_ 1) įrodymo teorinė ordinacija yra gerokai aukščiau (Gamma_0). Rathjen 2012b). Visų pirma, dėl lankstumo pasirodė, kad įgyvendinamumas yra labai naudingas. Kalbant apie šių tyrimų rezultatus, kai kurios iš analizuotų sistemų pasirodė tokios silpnos kaip aritmetinė, kaip, pavyzdžiui, Friedmano sistema B (Friedman 1977); kitos sistemos yra tokios pat stiprios kaip visiškai klasikinis ZF, kaip ir IZF (Friedman 1973a). Taip pat yra vidutinio stiprumo sistemos, kaip CZF. Pastarosios teorijos tvirtumas iš tikrųjų prilygsta vienos indukcinio apibrėžimo, žinomo kaip ID (_ 1), teorijai. Faktas, kad CZF turi tokią pat galią kaip ID (_ 1), patvirtinamas (apibendrintas) nustatytos teorijos pranašumas ir įrodyta, kad ji viršija prediktyvumo ribą, atsižvelgiant į natūralius skaičius, nes ID (_ 1) įrodymo teorinė ordinacija yra gerokai aukščiau (Gamma_0).realumas buvo labai naudingas dėl savo lankstumo. Kalbant apie šių tyrimų rezultatus, kai kurios iš analizuotų sistemų pasirodė tokios silpnos kaip aritmetinė, kaip, pavyzdžiui, Friedmano sistema B (Friedman 1977); kitos sistemos yra tokios pat stiprios kaip visiškai klasikinis ZF, kaip ir IZF (Friedman 1973a). Taip pat yra vidutinio stiprumo sistemos, kaip CZF. Pastarosios teorijos tvirtumas iš tikrųjų prilygsta vienos indukcinio apibrėžimo, žinomo kaip ID (_ 1), teorijai. Faktas, kad CZF turi tą patį stiprumą kaip ID (_ 1), imamasi siekiant patvirtinti (apibendrintą) nustatytos teorijos pranašumą ir įrodyti, kad ji viršija prediktyvumo ribą, atsižvelgiant į natūralius skaičius, nes ID (_ 1) įrodymo teorinė ordinacija yra gerokai aukščiau (Gamma_0).realumas buvo labai naudingas dėl savo lankstumo. Kalbant apie šių tyrimų rezultatus, kai kurios iš analizuotų sistemų pasirodė tokios silpnos kaip aritmetinė, kaip, pavyzdžiui, Friedmano sistema B (Friedman 1977); kitos sistemos yra tokios pat stiprios kaip visiškai klasikinis ZF, kaip ir IZF (Friedman 1973a). Taip pat yra vidutinio stiprumo sistemos, kaip CZF. Pastarosios teorijos tvirtumas iš tikrųjų prilygsta vienos indukcinio apibrėžimo, žinomo kaip ID (_ 1), teorijai. Faktas, kad CZF turi tokią pat galią kaip ID (_ 1), patvirtinamas (apibendrintas) nustatytos teorijos pranašumas ir įrodyta, kad ji viršija prediktyvumo ribą, atsižvelgiant į natūralius skaičius, nes ID (_ 1) įrodymo teorinė ordinacija yra gerokai aukščiau (Gamma_0).kai kurios išanalizuotos sistemos pasirodė tokios silpnos kaip aritmetinė, kaip, pavyzdžiui, Friedmano sistema B (Friedman 1977); kitos sistemos yra tokios pat stiprios kaip visiškai klasikinis ZF, kaip ir IZF (Friedman 1973a). Taip pat yra vidutinio stiprumo sistemos, kaip CZF. Pastarosios teorijos tvirtumas iš tikrųjų prilygsta vienos indukcinio apibrėžimo, žinomo kaip ID (_ 1), teorijai. Faktas, kad CZF turi tokią pat galią kaip ID (_ 1), patvirtinamas (apibendrintas) nustatytos teorijos pranašumas ir įrodyta, kad ji viršija prediktyvumo ribą, atsižvelgiant į natūralius skaičius, nes ID (_ 1) įrodymo teorinė ordinacija yra gerokai aukščiau (Gamma_0).kai kurios išanalizuotos sistemos pasirodė tokios silpnos kaip aritmetinė, kaip, pavyzdžiui, Friedmano sistema B (Friedman 1977); kitos sistemos yra tokios pat stiprios kaip visiškai klasikinis ZF, kaip ir IZF (Friedman 1973a). Taip pat yra vidutinio stiprumo sistemos, kaip CZF. Pastarosios teorijos tvirtumas iš tikrųjų prilygsta vienos indukcinio apibrėžimo, žinomo kaip ID (_ 1), teorijai. Faktas, kad CZF turi tokią pat galią kaip ID (_ 1), patvirtinamas (apibendrintas) nustatytos teorijos pranašumas ir įrodyta, kad ji viršija prediktyvumo ribą, atsižvelgiant į natūralius skaičius, nes ID (_ 1) įrodymo teorinė ordinacija yra gerokai aukščiau (Gamma_0). Taip pat yra vidutinio stiprumo sistemos, kaip CZF. Pastarosios teorijos tvirtumas iš tikrųjų prilygsta vienos indukcinio apibrėžimo, žinomo kaip ID (_ 1), teorijai. Faktas, kad CZF turi tokią pat galią kaip ID (_ 1), patvirtinamas (apibendrintas) nustatytos teorijos pranašumas ir įrodyta, kad ji viršija prediktyvumo ribą, atsižvelgiant į natūralius skaičius, nes ID (_ 1) įrodymo teorinė ordinacija yra gerokai aukščiau (Gamma_0). Taip pat yra vidutinio stiprumo sistemos, kaip CZF. Pastarosios teorijos tvirtumas iš tikrųjų prilygsta vienos indukcinio apibrėžimo, žinomo kaip ID (_ 1), teorijai. Faktas, kad CZF turi tokią pat galią kaip ID (_ 1), patvirtinamas (apibendrintas) nustatytos teorijos pranašumas ir įrodyta, kad ji viršija prediktyvumo ribą, atsižvelgiant į natūralius skaičius, nes ID (_ 1) įrodymo teorinė ordinacija yra gerokai aukščiau (Gamma_0).

Paskutinė pastaba: nors CZF stiprumas yra daug mažesnis už antrosios eilės aritmetiką, paprastas neįtraukto vidurio pridėjimas prie CZF suteikia (pilną) ZF. Tai turėtų būti kontrastuojama su IZF, kuri jau turi ZF stiprybę (Friedman 1973a). Ribotas įrodytas teorinis CZF stiprumas, palyginti su IZF, dažnai buvo laikomas vienu iš pagrindinių konstruktyvaus pranašumo, palyginti su intuicionistine aibės teorija. Tam tikra prasme atrodytų, kad CZF labiausiai naudojasi intuicionistine logika, nes apibūdina (apibendrintą) predikcinį rinkinį, kuris yra pakankamai stiprus daugumai konstruktyvių matematikų plėtoti, bet taip pat pakankamai silpnas, kad būtų išvengta netaktiškumo. Įdomu tai, kad kai konstruktyvi aibių teorija buvo įtraukta į keletą didelių aksiomų, atsirado panašus modelis,nes gautos teorijos stiprumas yra daug mažesnis už atitinkamos klasikinės teorijos stiprumą.

5.2 Dideli konstruktyvaus ir intuityvaus ZF rinkiniai

Svarbi klasikinės rinkinių teorijos tyrimų sritis yra didžiųjų kardinolų (žr. Įrašą apie rinkinio teoriją). Konstruktyviame kontekste ordinai nėra linijiški. (Norėdami sužinoti apie konstruktyvųjį ordinarinį principą ir trumpai aptarti jo savybes, skaitykite papildomame dokumente apie: „Teoriniai principai, nesuderinami su intuicijos logika“.) Todėl kardinalieji skaičiai neatlieka tokio paties vaidmens kaip klasikinėje aplinkoje.

Nepaisant to, galima ištirti didelių aksiomų formos „atspindžio principų“poveikį. Pvz., Prie konstruktyvių ir intuicionistinių aibių teorijų galima pridėti aksiomą, tvirtinančią neprieinamų aibių egzistavimą. [2] Didelių nustatytų aksiomų pridėjimas prie intuityvaus ZF pirmiausia buvo pasiūlytas Friedmano ir Scedrovo (Friedmanas ir Scedrovas 1984 m.). Vienas iš jų tikslų buvo atskleisti atitinkamas klasikines sąvokas; Kitas tikslas buvo ištirti šių principų poveikį meteorinėms savybėms, nustatytiems pirminėse teorijose. Friedmanas ir Scedrovas, pavyzdžiui, parodė, kad pridėjus dideles aksiomas, nepažeidžiamas IZF disjunkcijos ir skaitinių egzistavimo savybių pagrįstumas.

Konstruktyvios aibių teorijos kontekste Aczel pristatė didelius rinkinius vadinamųjų reguliariųjų aibių pavidalu, kad būtų galima induktyviai apibrėžti aibes (Aczel 1986). „Rathjen“ir „Crosilla“laikė neprieinamus rinkinius (Rathjen al. 1998; Crosilla ir Rathjen 2001) ir Mahlo rinkinius (Rathjen 2003a). Nepaisant to, būtų galima prieštarauti konstruktyviosios aibės teorijos išplėtimui didelėmis aksiomomis. Klasikinėje rinkinio teorijoje dideli kardinolai gali būti vertinami kaip aukštesnės begalybės įsikūnijimas. Kaip konstruktyviai pateisiname šiuos principus? Konstruktyvus šių sąvokų pagrindimas vėlgi priklauso nuo tipo teorinės interpretacijos. Šių principų pridėjimas iš tikrųjų atitinka visatų ir (W) tipų konstruktyviosios tipo teorijos principus. Taigi pratęsimo pagrindimas dideliais rinkiniais yra susijęs su Martin-Löf tipo teorijos ribų klausimu (Rathjen 2005). Taip pat pažymime, kad prie silpnos CZF posistemės pridedant neprieinamas aksiomas (be nustatyto indukcijos), sukuriama stiprumo teorija (Gamma_0), kurią ordinas, Fefermano ir Schütte'io, išskiria kaip prediktyvumo ribą, atsižvelgiant į natūralų natūralumą. numeriai (Crosilla ir Rathjen, 2001; taip pat žr. 1.3 skyrių). Tai liudija faktas, kad dirbdami konstruktyviame ir nuspėjamame kontekste galime sutramdyti tradiciškai stiprias set-theoretines sąvokas.ordinas, kurį Fefermanas ir Schütte išskyrė kaip prediktyvumo ribą, atsižvelgiant į natūralius skaičius (Crosilla ir Rathjen, 2001; taip pat žr. 1.3 skyrių). Tai liudija faktas, kad dirbdami konstruktyviame ir nuspėjamame kontekste galime sutramdyti tradiciškai stiprias set-theoretines sąvokas.ordinas, kurį Fefermanas ir Schütte išskyrė kaip prediktyvumo ribą, atsižvelgiant į natūralius skaičius (Crosilla ir Rathjen, 2001; taip pat žr. 1.3 skyrių). Tai liudija faktas, kad dirbdami konstruktyviame ir nuspėjamame kontekste galime sutramdyti tradiciškai stiprias set-theoretines sąvokas.

Crosilla ir Rathjen aibių teorija su neprieinamomis aibėmis (bet ne aibės indukcija) yra teoriškai gana silpnas, bet matematiškai gana išraiškingas įrodymas. Pavyzdžiui, jis buvo naudojamas patikrinti, ar Voevodskio „Univalencijos aksiomos“pridėjimas prie Martino-Löfo tipo teorijos nesukelia netikslumo (Rathjen, 2017). „Univalencijos aksiomą“pristatė Voevodsky kaip savo „Univalent Foundations“programos dalį (Voevodsky 2015). (Apie Univalentinius pagrindus skaitykite įrašus apie tipo teoriją ir apie intuicionistinę tipo teoriją). Voevodsky pateikė konstruktyvaus tipo teorijos su Univalencijos aksioma modelį, kuris remiasi Kan paprastosiomis rinkinėmis (žr. Kapulkin & Lumsdaine 2012, Kiti interneto šaltiniai). Aukščiau pateiktame straipsnyje pateiktas supaprastintas konstruktyvaus tipo teorijos su vienareikšmiškumo modeliu pavyzdys yra išplėstas ZFC su neprieinamais kardinalais. Tai paskatino paklausti, ar galima pateikti konstruktyvesnį šios rūšies teorijos modelį, o ypač - ar tipo teorija yra prediktyvi. Bezem, Coquand ir Huber (2014) neseniai pasiūlė šios rūšies teorijos modelį kubinėse aibėse, kuris yra skaičiuojamas ir „gali būti išreikštas konstruktyvia metalogika“. Rathjen (2017) patikrino, ar šį naują modelį galima kodifikuoti tinkamame CZF pratęsime neprieinamuose rinkiniuose, o tai yra daug silpniau nei klasikinė rinkinio teorija su neprieinamais kardinalais. Tiesą sakant, paaiškėja, kad jei imsimės kaip išeities taško palyginti silpno tipo teoriją, ty tokią, kurioje nėra W tipo, ir pratęsime ją Univalencijos Aksioma,gauta teorija turi įrodomąją teorinę galią (Gamma_0), o ordinalus paprastai imamas reprezentuoti predikcijos ribą atsižvelgiant į natūralius skaičius (Rathjen 2017). Norėdami tai parodyti, galima įrodyti, kad Bezemo, Coquando ir Huberio kubinis modelis gali būti atliktas pratęsiant sistemą, kuri buvo pristatyta Crosilla ir Rathjen (2001), naudojant (apribotą) atnaujintą priklausomą pasirinkimą. Iš (Crosilla ir Rathjen 2001) ir (Rathjen 2003) išplaukia, kad pastarasis turi įrodymų teorinį ordinarą (Gamma_0). Coquandą ir Huberį galima atlikti pratęsiant sistemą, pateiktą Crosilla ir Rathjen (2001), naudojant (apribotą) Relativized Dependent Choice. Iš (Crosilla ir Rathjen 2001) ir (Rathjen 2003) išplaukia, kad pastarasis turi įrodymų teorinį ordinarą (Gamma_0). Coquandą ir Huberį galima atlikti pratęsiant sistemą, pateiktą Crosilla ir Rathjen (2001), naudojant (apribotą) Relativized Dependent Choice. Iš (Crosilla ir Rathjen 2001) ir (Rathjen 2003) išplaukia, kad pastarasis turi įrodymų teorinį ordinarą (Gamma_0).

5.3 Konstruktyvaus ir intuityvaus ZF bei semantinių metodų metamatematinės savybės

Įvairios intuicionistinės logikos interpretacijos buvo išplėstos iki intuicionistinių ir konstruktyviųjų teorijų, tokių kaip realumas, Kripke modeliai ir Heytingo vertinama semantika. Visi šie būdai buvo taikomi gaunant metamatematinius nustatytų teorijų rezultatus.

5.3.1 Konstruktyvaus ir intuityvaus ZF disjunkcijos ir egzistavimo savybės

Kai kurios intuicionistinės aibės teorijos tenkina tam tikras „bruožines“metamatematines savybes, tokias kaip disjunkcija ir egzistavimo savybės. Taip pat gali būti įrodyta, kad jie atitinka principų papildymą, peržengiantį tai, ką dažniausiai laikome konstruktyviu. Tarp jų, pavyzdžiui, yra bažnyčios tezė ir Markovo principas. Norėdami aprašyti šiuos principus intuityvinės logikos kontekste, skaitytojas gali kreiptis į įrašus apie intuicionistinę logiką arba Troelstra ir van Daleno knygos „Konstruktyvizmas matematikoje“(Troelstra ir van Dalen 1988) 4.2 ir 5.2 skyrius.

Čia prisimename disjunkcijos ir egzistavimo savybes, suformuluotas aibei teorijai (T). Neoficiali disjunkcijos ir egzistavimo savybių motyvacija remiasi mūsų supratimu apie konstruktyvius disjunkcinių ir egzistencinių teiginių įrodymus (atitinkamai). Tiesą sakant, atrodo pagrįsta tikėtis, kad jei konstruktyviai įrodysime disjunkciją (phi / vee / psi), tada mes taip pat turėtume sugebėti įrodyti (phi) arba įrodyti (psi). Panašiai, jei įrodome egzistencinį teiginį, tada mes turėtume sugebėti įrodyti, kad to teiginio liudytojas yra apibrėžtinas mūsų teorijoje.

Nors tokios savybės atrodo gana natūralios ir jas gana lengva nustatyti aritmetinėms teorijoms, paaiškėja, kad jos kelia nemažų techninių iššūkių aibių teorijų atveju dėl jų neribotos aibių hierarchijos ir išplėtimo aksiomos. Iš tikrųjų paaiškėja, kad iškilios konstruktyvios ir intuicionistinės rinkinių teorijos neturi egzistavimo savybės, kaip aptarta kitame skyriuje.

Tegul (T) yra teorija, kurios kalba (L (T)) apima apibrėžtosios teorijos kalbą. Be to, paprastumo dėlei manysime, kad (L (T)) turi konstantą (omega), žyminčią von Neumanno natūraliųjų skaičių aibę, ir kiekvienai (n) konstanta (c_n), žyminčiai (n) - tai (omega) elementas.

Teorija (T) turi disjunkcijos savybę (DP), jei kada (T) įrodo, kad ((phi / vee / psi)) sakiniams (phi) ir (psi) yra (L (T)), tada (T) įrodo (phi) arba (T) įrodo (psi).

Egzistavimas nuosavybė turi dvi skirtingas versijas į teorijos kontekste: The skaitiniai egzistavimas turtas (AKP) ir egzistavimo turtą (EP). Tegul (theta (x)) yra formulė, kurioje daugiausiai (x) nėra. Mes sakome, kad:

(1) (T) turi NEP, jei kas nors (T) įrodo (egzistuoja x / omega / theta (x)), tada kai kuriems natūraliesiems skaičiams (n, T) (teta (c_n)).

(2) (T) EP turi, jei, kai (T) pasitvirtina (egzistuoja x / theta) (x), tada yra formulė (phi (x)) su tiksliai (x) nemokama, kad (T) įrodytų (egzistuoja! x (phi (x) pleištas / theta (x))).

Kadangi įgyvendinamumo metodai pasirodė esminiai tiriant konstruktyvių ir intuicionistinių rinkinių teorijų egzistavimo ir disjunkcijos savybes, šių tyrimų rezultatus aptarsime kitame skyriuje.

5.3.2 Realizavimas

Realizavimas buvo viena iš pirmųjų ir pagrindinių priemonių, susijusių su nustatytomis teorijomis, pagrįstomis intuicionistine logika, pradedant nuo ankstyvų Friedmano ir Myhillo indėlių (Friedman 1973, Myhill 1973). Intuicionistinės aritmetikos realizavimo galimybių semantiką pirmiausia pasiūlė Kleene (Kleene 1945) ir išplėtė aukštesnės eilės Heytingo aritmetiką Kreisel ir Troelstra (Kreisel ir Troelstra 1970). Kaip apibrėžti aritmetikos realumą, žr. Intuityvinės logikos įrašo 5.2 skyrių. Friedmanas (Friedman 1973) aukštesnio laipsnio aritmetinėms sistemoms pritaikė realumą, panašų į Kreiselį ir Troelstra. Myhillas pateikė šio realizavimo galimybių variantą, primenantį Kleenės brūkšnį (Myhill 1973; Kleene 1962, 1963). Taigi jis įrodė, kad IZF versiją su pakeitimu vietoje surinkimo (vadinamą IZF (_ {Rep})) turi VB, NEP ir EP. Šie rezultatai buvo toliau išplėsti (Myhill 1975; Friedman and Scedrov 1983). Nors Friedmanas ir Myhillas pateikė realizavimo galimybių modelius išplėstinėms rinkinių teorijoms, Beesonas sukūrė neplečiamiųjų rinkinių teorijų realumo galimybių sąvoką. Tada jis ištyrė išplėstinių aibių teorijų metateorines savybes aiškindamas jų nepratęsiamus kolegas. Taigi jis įrodė, kad IZF (su kolekcija) turi DP ir NEP (Beeson 1985). Vėliau McCarty pristatė IZF realumą tiesiogiai išplėstinio rinkinio teorijai (McCarty 1984; 1986). CZF variantų realizavimo semantika buvo svarstoma, pavyzdžiui, (Crosilla ir Rathjen 2001; Rathjen 2006a). Pastarojo straipsnio realumas yra įkvėptas McCarty's ir turi svarbų bruožą, kad, kaip McCarty'as IZF, tai yra CZF savaime patvirtinanti semantika (tai yra, šią realizuojamumo idėją galima įforminti CZF ir kiekviena CZF teorema). realizuojamas CZF). „Rathjen“pasinaudojo šia realumo galimybe, kad parodytų, kad CZF (ir keletas jos pratęsimų) turi VB ir NEP (Rathjen, 2005b).

Kita realistiškumo rūšis, kuri pasirodė esanti labai naudinga, yra „Lifschitz“įgyvendinamumas. Lifschitzas (1979) pateikė Kleene'io Heytingo aritmetikos realizavimo modifikaciją, kuri turi savitą variantą, patvirtindama silpną Bažnyčios darbo (KT) formą su unikalumo sąlyga, bet ne pačią KT. Van Oostenas (1990) „Lifschitz“realizuojamumą išplėtė iki antrosios eilės aritmetikos. Vėliau Cheng ir Rathjen, kurie pasinaudojo tuo, siekdami gauti daugybę nepriklausomybės rezultatų, taip pat patvirtindami vadinamąjį mažesnį ribotą visažiniškumo principą (LLPO), jį išplėtė iki visiško IZF (LLPO žr. Konstruktyvios matematikos įraše).

Ypač sunku išspręsti klausimą, kurios teorijos tenkina egzistavimo savybes. (Friedmanas ir Scedrovas, 1985 m.) Naudojo „Kripke“modelius, norėdami parodyti, kad IZF (tai yra sistema su kolekcija) neturi EP, o, kaip minėta pirmiau, IZF (_ {Rep}) (kuri turi pakeitimo vietą vietoje) kolekcija) turi EP. Tai paskatino Beesoną užduoti klausimą [Beeson 1985, IX]:

Ar kokia nors pagrįsta rinkimo teorija turi savybę?

Pirmasis atsakymas į Beesono klausimą buvo pateiktas (Rathjen, 2012), kur autorius pristatė silpnos egzistencijos savybės sąvoką: pagrindinis dėmesys skiriamas kiekvienai egzistencinei teoremai įrodomai apibrėžtinų liudytojų rinkinio paieškai. Tada jis pristatė realizavimo formą, pagrįstą bendromis rekursinėmis funkcijomis, kai egzistencinio teiginio realizatorius pateikia egzistencinio kiekybinio rodiklio, o ne vieno liudytojo, rinkinį. Rathjen sujungė šią realizacijos sampratą su tiesa, kad būtų gauta nuomonė, jog nemažai teorijų su kolekcija turi silpną egzistavimo savybę (o IZF - ne). Tarp jų, visų pirma, CZF teorija be pogrupio kolekcijos ir Myhill'io eksponentiacijos aksioma CZF (_ {Exp}). Tiesą sakant, Rathjenas teigė, kad derindamas šiuos rezultatus su tolesniu jo atliktu darbu,jis gali parodyti, kad CZF (_ {Exp}) (ir daugelis kitų teorijų) turi egzistavimo savybę. Ryškus pastebėjimas yra tas, kad šios teorijos yra formuluojamos kolekcija; todėl egzistavimo savybės žlugimas IZF atveju negali būti siejamas tik su surinkimu, bet ir dėl šios schemos sąsajos su nevaržomu atskyrimu.

Kalbant apie svarbų klausimą, ar pats CZF turi egzistavimo savybę, tai „Swan“(2014) neigiamai išsprendė. Ten autorius pasinaudojo trimis gerai apgalvotais realizuojamumo modeliais ir įterpimais tarp jų, kad parodytų, kad net silpno egzistavimo savybė žlunga CZF. Tai darydamas jis taip pat parodė, kad kaltininkas yra CZF pogrupio rinkimo schema. Kaip aiškiai pabrėžta („Swan 2014“), faktas, kad CZF neturi EP, nerodo tam tikro CZF, kaip konstruktyvios teorijos, silpnumo. Net jei Swan iš esmės įrodė, kad CZF teigia, jog egzistuoja matematiniai objektai, kurių jis nemoko, tačiau CZF vis dar turi natūralių interpretacijų, kuriose šiuos objektus galima sukurti, kaip, pavyzdžiui, Aczelio aiškinimas į tipo teoriją (Aczel 1978)..

Intuityvistinės aibės teorijos rezultatų apžvalgą rasite (Beeson 1985, IX skyrius). Apie atitinkamus CZF pokyčius skaitykite (Rathjen 2005b, 2006, 2012) ir (Swan 2014).

5.3.3 Kripke modeliai ir Heytingo vertinama semantika

Kripke modeliai, skirti intuicionistinėms rinkinių teorijoms, buvo naudojami (Friedman ir Scedrov, 1985), siekiant parodyti, kad IZF neturi EP (ir derindami tai su rezultatais (Myhill 1973), turime IZF (_ {Rep}) neįrodyti IZF). Pastaruoju metu Kripke modeliai buvo taikomi siekiant išaiškinti ryšį tarp konstruktyvių galios rinkinio aksiomos pakaitalų: Myhill'io eksponentiacijos aksiomos ir Aczel'io pogrupio rinkimo schemos. Akivaizdu, kad nustatyto galios aksioma suponuoja abu šiuos principus, o kad poaibių rinkimas reiškia eksponavimą. Kita vertus, kiekvienas iš pastarųjų dviejų principų nereiškia galios nustatymo, nes teorija CZF su galia, nustatyta vietoje poaibio rinkimo, yra daug stipresnė nei CZF ir CZF (_ {Exp}) (Rathjen 2012b). Tiesą sakant, CZF ir CZF (_ {Exp}) turi tą pačią teorinę įrodomąją galią (Griffor ir Rathjen, 1994);todėl norint ištirti ryšį tarp poaibio rinkimo ir eksponentiacijos konstruktyvioje aibių teorijoje, reikėjo sukurti įrankius, išskyrus įrodymų teorinius metodus. Lubarsky (2005) naudojo „Kripke“modelius, norėdamas parodyti, kad Myhill'io eksponentiaksioma nereiškia „Aczel“pogrupio kolekcijos (remiantis CZF minusų poaibių kolekcija ir visa skyreliu). Straipsnyje (Lubarsky ir Rathjen, 2007) autoriai pritaikė Kripke modelių metodiką, kad parodytų, kad CZF ir CZF (_ {Exp}) teorijų pasekmės taip pat skiriasi. Aczelis ir Rathjenas (2001) įrodė, kad Dedekindo realiųjų skaičių klasė sudaro aibę CZF, naudojant pogrupio kolekciją. Lubarsky ir Rathjen (2007) parodė, kad CZF (_ {Exp}) nepakanka tam pačiam teiginiui įrodyti. Tolesnius „Kripke“modelių pritaikymo būdus, kaip atskirti esmines konstruktyvias sąvokas, žr(Dieneris ir Lubarsky 2013).

Intuicionistinių aibių teorijų seytika buvo įvertinta kaip Grayson (Grayson, 1979) kaip klasikinės aibių teorijos Boole modelių atitikmuo. Jie buvo apibendrinti ypač per kategorinę semantiką (įvadą žr. MacLane ir Moerdijk 1992). Heytingo vertinama semantika buvo pritaikyta nepriklausomybės rezultatams (Scedrovas 1981; 1982). Konstruktyvus gydymas buvo pateiktas (Gambino 2006). Taip pat žiūrėkite (Lubarsky 2009). Taip pat žiūrėkite Ziegler (2012), kaip apibendrintus realizuojamumo ir Heytingo modelius, siekiant konstruktyviosios aibės teorijos.

5.3.4 Kategoriniai konstruktyvios ir intuicionistinės aibės teorijos modeliai

Kategoriniai konstruktyvių ir intuicionistinių rinkinių teorijų modeliai klestėjo bėgant metams. Svarbiausią vaidmenį čia vaidina toposo ir smaigalio sąvokos (žr., Pvz., Fourman 1980 ir Fourman and Scott 1980). Pagrindinių sąvokų apžvalgą rasite kategorijų teorijos įraše ir ten pateiktose nuorodose (visų pirma žr. Priedą Programinis skaitymas). Naujausius pokyčius, konkrečiau susijusius su konstruktyviomis rinkinių teorijomis, ieškokite, pvz., (Simpson 2005) ir (Awodey 2008), taip pat tinklalapyje: algebrinės aibės teorija.

5.4 Konstruktyviųjų ir intuicionistinių rinkinių teorijų variantai: aibių teorijos su pašalintais elementais ir neišplečiamosios aibių teorijos

Kartais intuityvios ir konstruktyvios aibės teorijos sistemos natūraliaisiais skaičiais buvo pateikiamos kaip atskiras rūšies elementas, ty primityvūs daiktai be elementų (Friedman 1977; Myhill 1975; Beeson 1985). Konstruktyviai tai yra natūralus pasirinkimas, suderinamas su idėjomis, kurias, pavyzdžiui, išreiškė Bishop (1967) (be kita ko). Vyskupo monografijoje natūralieji skaičiai laikomi pagrindine sąvoka, kuria grindžiamos visos kitos matematinės sąvokos. Techniniu požiūriu, jei natūralieji skaičiai yra laikomi primityviais ir skiriasi nuo jų teorinės reprezentacijos, begalybės aksioma yra tokia: „egzistuoja natūraliųjų skaičių aibė (kaip urelements)“. Bendresnė konstrukcijų rinkinių teorijų panaudojimo forma buvo nagrinėjama (Cantini ir Crosilla, 2008). Čia siūlomas konstruktyvios aibės teorijos variantas, kuriame intencionalus ir dalinis veikimo principas derinamas su CZF išplėstine aibės samprata (taip pat žr. Cantini ir Crosilla 2010).

Pailgėjimo aksioma yra bendras visų iki šiol aptartų sistemų bruožas. Tačiau tokiomis aplinkybėmis, kai teiginio skaičiavimo turinys laikomas esminiu, gali būti tinkamesnė sąmokslo teorija. Pavyzdžiui, konstruktyviojo tipo teorija ir aiški matematika apima kai kurias intencijavimo formas. Literatūroje buvo nagrinėjamos intuicionistinės rinkinių teorijos be išplėtimo (Friedman 1973a, Beeson 1985). Tačiau jų motyvacija nebuvo skaičiavimo, o techninio pobūdžio, nes dėl sunkumų, kuriuos sukelia ekstensyvumas tiriant intuityvistinių teorijų metamatematines savybes.

Bibliografija

  • Aczel, P., 1978, „Tipinis teorinis konstruktyvaus rinkinio teorijos aiškinimas“, Logic Colloquium '77, A. MacIntyre, L. Pacholski, J. Paris (red.), Amsterdamas ir New York: North-Holland, pp 55–66.
  • ––– 1982 m., „Kontektyviosios rinkinių teorijos tipinis teorinis aiškinimas: pasirinkimo principai“, LEJ Brouwer Centenary Simpoziume, AS Troelstra ir D. van Dalen (red.), Amsterdamas ir Niujorkas: Šiaurės Olandija, p. 1–40.
  • ––– 1986 m., „Teorinis konstruktyviosios aibės teorijos aiškinimas: indukciniai apibrėžimai“, VII mokslo logika, metodologija ir filosofija, RB Marcus, GJ Dorn ir GJW Dorn (red.), Amsterdamas ir Niujorkas: Šiaurės Olandija, 17–49 p.
  • –––, 1988 m., Neįdomūs rinkiniai (CSLI paskaitų užrašai 14), Stanfordas: CSLI.
  • Aczel, P., ir Rathjen, M., 2001 m., „Pastabos apie konstruktyvių rinkinių teoriją“, ataskaita Nr. 40, 2000/2001, Djursholm: Institutas Mittag-Leffler, [galima rasti internete]
  • Aczel, P., and Gambino, N., 2002, „Surinkimo principai priklausomoje tipo teorijoje“įrodymų ir programų tipuose (Paskaitų užrašai kompiuterių moksle 2277), P. Callaghan, Z. Luo, J. McKinna ir R. Pollack (red.), Berlynas: „Springer“, 1–23 p.
  • Awodey, S., 2008, „Trumpas įvadas į algebrinių rinkinių teoriją“, Simbolikos biuletenis, 14 (3): 281–298.
  • Barwise, J., ir Moss, L., 1996, „Vicious Circles“(CSLI paskaitų užrašai 60), Stanfordas: CSLI.
  • Beeson, M., 1985, Konstruktyviosios matematikos pagrindai, Berlynas: Springeris.
  • Bezem, M., Thierry, C. ir Huber, S., 2014, „Tipo teorijos modelis kubiniuose rinkiniuose“, 19-ojoje tarptautinėje įrodymų ir programų tipų konferencijoje (TYPES 2013), Matthes, R. ir Schubert, A. (red.), Dagstuhl: Schloss Dagstuhl – Leibniz-Zentrum fuer Informatik, 107–128 psl.
  • Vyskupas, E., 1967 m., Konstruktyvios analizės pagrindai, Niujorkas: McGraw-Hill.
  • ––– 1970 m., „Matematika kaip skaitinė kalba“, intuicionizmo ir įrodymo teorijoje, A. Kino, J. Myhill ir RE Vesley (red.), Amsterdamas: Šiaurės Olandija, p. 53–71.
  • Bishop, E., and Bridges, D., 1985, Constructive Analysis, Berlin and Heidelberg: Springer.
  • Bridges, D., and Richman, F., 1987, Konstruktyviosios matematikos veislės, Kembridžas: Cambridge University Press.
  • Buchholz, W., Feferman, S., Pohlers, W., ir Sieg, W., 1981, Iteratyvios induktyvios apibrėžtys ir analizės posistemiai, Berlynas: Springeris.
  • Cantini, A., ir Crosilla, L., 2008, „Konstruktyvios rinkinio teorija su operacijomis“, A. Andretta, K. Kearnes, D. Zambella (red.), Logic Colloquium 2004 (Paskaitų užrašai Logic 29), Kembridžas: „Cambridge University Press“, p. 47–83.
  • Cantini, A., ir Crosilla, L., 2010, „Aiškioji operacinio rinkinio teorija“, R. Schindler (red.), Proof Theory teorijos būdai, Frankfurtas: Ontos, p. 199–240.
  • Chen, R.-M. ir Rathjen, M., 2012, „Lifschitzo realizavimas intuicionistinei Zermelo-Fraenkelio rinkinio teorijai“, Matematinės logikos archyvas, 51: 789–818.
  • Crosilla, L., 2017, „Prognozuotumas ir Fefermanas“, G. Jäger ir W. Sieg (red.), Fefermanas apie pamatus (Nuostabus įnašas į logiką: 13 tomas), Cham: Springer, p. 423–447.
  • Crosilla, L., ir Rathjen, M., 2001, „Neprieinamosios aksiomos gali turėti mažai konsistencijos“, Annals of Pure and Applied Logic, 115: 33–70.
  • Diaconescu, R., 1975 m., „Pasirinkimo ir papildymo aksioma“, Amerikos matematikų draugijos leidiniai, 51: 176–178.
  • Diener, H., ir Lubarsky, R., 2013, „Atskiriant gerbėjų teoremą ir jos silpnėjimą“, SN Artemov ir A. Nerode (red.), LFCS '13 Proceedings of LFCS '13 (Paskaitų užrašai kompiuterių moksle 7734), Dordrecht: „Springer“, 280–295 psl.
  • Dummett, M., 2000, Intuicionizmo elementai, antrasis leidimas, (Oxford Logic Guides 39), Niujorkas: Oxford University Press.
  • Feferman, S., 1964 m., „Numatomos analizės sistemos“, „Symbolic Logic“žurnalas, 29: 1–30.
  • –––, 1975 m., „Kalba ir aiškių matematikų aksiomos“, Algebra ir logika (Matematikos paskaitų užrašai 450), J. Crossley (red.), Berlynas: Springer, p. 87–139.
  • ––– 1988 m., „Weylas patvirtino: Das Kontinuum po septyniasdešimties metų“, Temi e prospektīvi della logica ir della scienza amžininkai, C. Cellucci ir G. Sambin (red.), P. 59–93.
  • ––– 1993 m., „Kas nuo to priklauso? Teorinė matematikos analizė “, Matematikos filosofija, I dalis, 15-ojo tarptautinio Wittgensteino simpoziumo leidiniai. Viena: Verlag Hölder-Pichler-Tempsky.
  • –––, 2005 m., „Nuspėjamumas“, Matematikos ir logikos filosofijos vadove, S. Shapiro (red.), Oksfordas: Oxford University Press.
  • Fletcher, P., 2007, „Begalybė“, logikos filosofijos vadove, D. Jacquette, (red.), Amsterdamas: Elsevier, p. 523–585.
  • „Fourman“, MP, 1980 m., „Pjūvių modeliai rinkinio teorijai“, „Pure Applied Algebra Journal“, 19: 91–101.
  • Ketvirtadienis, MP ir Scott, DS, 1980 m., „Skliautai ir logika“, „Sheaves“programose („Lecture Notes in Mathematics 753“), MP Fourmanas, CJ Mulvey ir DS Scott (red.), Berlynas: Springer, p. 302 - p. 401.
  • Friedmanas, H., 1973 m., „Kai kurie Kleene'o metodų pritaikymai intuityvinėms sistemoms“, 1971 m. Kembridžo vasaros mokyklos matematinės logikos mokykloje (Lecture Notes in Mathematics 337), ARD Mathias ir H. Rogers (red.), Berlynas: „Springer“, 113–170 p.
  • –––, 1973a, „Klasikinės aibės teorijos atitikimas aibės teorijai ir intuicionistinė logika“, Žurnalas apie simbolinę logiką, 38: 315–319.
  • ––– 1977 m., „Teoriniai konstruktyvios analizės pagrindai“, Matematikos metraštis, 105: 1–28.
  • Friedmanas, H., Scedrovas, A., 1983 m., „Nustatykite egzistencijos savybes intuicionistinėms teorijoms su priklausomu pasirinkimu“, Grynosios ir taikomosios logikos metraščiai, 25: 129–140.
  • ––– 1984 m., „Dideli rinkiniai intuicionistinėje rinkinių teorijoje“, Grynos ir taikomosios logikos metraštis, 27: 1–24.
  • ––– 1985 m., „Apibrėžtinų liudytojų ir įrodomai pasikartojančių funkcijų stoka intuicionistinėje rinkinio teorijoje“, Pažangos matematikoje, 57: 1–13.
  • Gambino, N., 2006, „Heyting vertintos interpretacijos konstruktyviai aibės teorijai“, Annals of Pure and Applied Logic, 137: 164–188.
  • Goodmanas, ND, ir Myhill, J., 1972 m., „Vyskupo konstruktyvios matematikos formalizavimas“, „Toposes“, algebrinė geometrija ir logika („Lecture Notes in Mathematics 274“), FW Lawvere (red.), Berlynas: Springer, 83 psl. –96.
  • Goodman, ND, ir Myhill, J., 1978 m., „Pasirinkimas reiškia pašalintą vidurį“, Zeitschrift fürhematische Logik und Grundlagen der Mathematik, 24 (5): 461.
  • Grayson, RJ, 1979 m., „Heyting vertinami modeliai intuicionistinei rinkinio teorijai“, Sheaves programose (Lecture Notes in Mathematics 753), MP Fourman, CJ Mulvey ir DS Scott (red.), Berlynas: Springer, p. 402 –414.
  • Griffor, E., ir Rathjen, M., 1994, „Kai kurių Martin-Löf tipo teorijų tvirtumas“, Archive Mathematical Logic, 33: 347–385.
  • van Heijenoort, J., 1967 m., nuo Frege iki Gödel. Šaltinio knyga apie matematinę logiką 1879–1931, Kembridžas: Harvardo univ. Paspauskite.
  • Kleene, SC, 1945 m., „Dėl intuicionistinės skaičių teorijos aiškinimo“, žurnalas „Symbolic Logic“, 10: 109–124.
  • ––– 1962 m., „Atsiribojimas ir egzistavimas netiesioginiame intuityvistiniame formalizme“, Žurnalas „Symbolic Logic“, 27: 11–18.
  • ––– 1963 m., „Priedas“, žurnalas „Symbolic Logic“, 28: 154–156.
  • Kreisel, G., 1958 m., „Įprasta logika ir neoficialių įrodinėjimo sąvokų apibūdinimas“, Tarptautinio matematikų kongreso (1958 m. Rugpjūčio 14–21 d.), Paryžius, Gauthier-Villars, p. 289–299, publikacijos.
  • Kreisel, G., ir Troelstra, A., S., 1970, „Formalios sistemos kai kurioms intuicionistinės analizės šakoms“, Metalo matematinės logikos metraštis, 1: 229–387.
  • Lifschitz, V., 1979 m., „CT (_ 0) yra stipresnis nei CT (_ 0)!“, Amerikos matematikų draugijos leidiniai, 73 (1): 101–106.
  • Lindström, I., 1989, „Neteisingai pagrįstų rinkinių konstravimas pagal Martin-Löf tipo teoriją“, Journal of Symbolic Logic, 54: 57–64.
  • Lipton, J., 1995, „Realizavimas, teorijos ir terminų gavyba“, Curry-Howard izomorfizme („Universiteto Katalikų de Louvain“logotipas „Cahiers“), Louvain-la-Neuve: Academia, p. 257. –364.
  • Lorenzen, P., ir Myhill, J., 1959 m., „Konstruktyvus tam tikrų analitinių skaičių aibių apibrėžimas“, Journal of Symbolic Logic, 24: 37–49.
  • Lubarsky, R., 2005, „Nepriklausomybės rezultatai aplink konstruktyvų ZF“, Grynos ir taikomosios logikos metraštis, 132: 209–225.
  • ––– 2006 m., „CZF ir antros eilės aritmetika“, Grynos ir taikomosios logikos metraštis, 141: 29–34.
  • –––, 2009 m., „Topologinė priverstinė semantika su įsitvirtinimu“, SN Artemov ir A. Nerode (red.), LFCS '09 publikacijos (Paskaitų užrašai kompiuterių moksle 5407), Dordrecht: Springer, p. 309–322.
  • Lubarsky, R., ir Rathjen, M., 2007, „Apie konstruktyvųjį dedefinito reales“, SN Artemov ir A. Nerode (red.), LFCS 2007 publikacijos (Paskaitų užrašai kompiuterių moksle 4514), Dordrecht: Springer, 349–362 psl.
  • „MacLane“, S., ir Moerdijk, I., 1992, „Sklypai geometrijoje ir logikoje“, Niujorkas: „Springer“.
  • Maietti, ME, Sambin, G., 2005, „Kuriant konstruktyviosios matematikos minimalistinį pagrindą“, „Nuo rinkinių ir tipų iki topologijos ir analizės: link konstruktyviosios matematikos praktinių pagrindų“(„Oxford Logic Guides 48“), L. Crosilla ir P Schusteris (red. Past.), Oksfordas: Oxford University Press.
  • Maietti, ME, 2009, „Minimalistinis dviejų lygių pagrindas konstruktyviai matematikai“, Grynos ir taikomosios logikos metraščiai, 160 (3): 319–354.
  • Martin-Löf, P., 1975 m., „Intuicionistinė tipų teorija: prediktyvioji dalis“, HE Rose ir J. Sheperdson (red.), Loginis kolokviumas '73, Amsterdamas: Šiaurės Olandija, p. 73–118.
  • –––, 1984 m., „Intuicionizmo tipo teorija“, Neapolis: Bibliopolis.
  • McCarty, DC, 1984 m., „Realizuojamumas ir rekursyvioji matematika“, D. Phil. Disertacija, filosofija, Oksfordo universitetas.
  • ––– 1986 m., „Realizuojamumo ir rekursyviojo rinkinio teorija“, „Grynos ir taikomosios logikos metraščiai“, 32: 153–183.
  • Myhill, J., 1973 m., „Kai kurios intuicinės Zermelo-Fraenkel rinkinio teorijos savybės“, 1971 m. Kembridžo vasaros mokyklos matematinės logikos mokykloje (Lecture Notes in Mathematics 337), ARD Mathias ir H. Rogers (red.) Leidinyje, Berlynas: „Springer“, 206–231 psl.
  • –––, 1975 m., „Konstruktyvioji rinkinio teorija“, Žurnalas „Symbolic Logic“, 40: 347–382.
  • van Oosten, J., 1990 m., „Lifschitzo realizavimas“, „Symbolic Logic Journal“, 55: 805–821.
  • Powell, W., 1975 m., „Gödelio neigiamos interpretacijos išplėtimas iki ZF“, Journal of Symbolic Logic, 40: 221–229.
  • Rathjen, M., Griffor, E., ir Palmgren, E., 1998, „Nepasiekiamumas konstruktyvioje rinkinio teorijoje ir tipo teorijoje“, Grynosios ir taikomosios logikos metraščiai, 94: 181–200.
  • Rathjen, M., 1999, „Ordinaliosios analizės sritis“rinkiniuose ir įrodymuose (Londono matematikų visuomenės paskaitų užrašai, 258 p.), Kembridžas: Cambridge University Press, p. 219–279.
  • ––– 2003 m., „Antikonstrukcijų aksioma konstruktyviose rinkinių teorijose“žaidimuose, logikoje ir konstruktyviuose rinkiniuose (CSLI paskaitų pastabos 161), Stanfordas: CSLI leidinys, p. 87–108.
  • ––– 2003a, „Mahlo rinkinio teorijos realizavimas tipo teorijoje“, Matematinės logikos archyvas, 42: 89–101.
  • ––– 2004 m., „Nuspėjamumas, apykaitiškumas ir priešiškumas“, per šimtą Russello paradokso metų („Logika ir jos pritaikymai 6“), G. Link (red.), Berlynas: de Gruyter, p. 191–219.
  • –––, 2005 m., „Pakeitimas prieš rinkimą ir susijusios temos konstruktyvioje Zermelo-Fraenkel rinkinio teorijoje“, Grynos ir taikomosios logikos metraščiai, 136: 156–174.
  • –––, 2005a, „Konstruktyvi Hilberto programa ir Martin-Löf tipo teorijos ribos“, Synthese, 147: 81–120.
  • –––, 2005b, „Konstruktyvios Zermelo-Fraenkel aibės teorijos disjunkcija ir susijusios savybės“, „Journal of Symbolic Logic“, 70 (4): 1232–1254.
  • ––– 2006 m., „Pasirinkimo principai konstruktyviose ir klasikinėse rinkinių teorijose“, Logikos kolokviumas '02 (Paskaitų užrašai logikoje 27), Z. Chatzidakis, P. Koepke ir W. Pohlers (red.), Wellesley, Massachusetts: AK Peters, 299–326.
  • –––, 2006a, „Konstruktyvios Zermelo-Fraenkelio rinkinio teorijos realizavimas“, Logikos kolokviume '03 (Paskaitų užrašai Logic 24), V. Stoltenberg-Hansen ir J. Väänänen (red.), Wellesley, Massachusets: AK Peters, 282–314 psl.
  • –––, 2006b, „Teorijos ir potvarkiai įrodymų teorijoje“, Synthese, 148 (3): 719–743.
  • –––, 2008 m., „Natūralieji skaičiai konstruktyviosios aibės teorijoje“, Matematinės logikos ketvirtinis leidinys, 54: 287–312.
  • ––– 2012 m., „Nuo silpnos iki stiprios egzistencijos savybių“, Grynos ir taikomosios logikos metraštis, 163: 1400–1418.
  • ––– 2012b, „Konstruktyvi Zermelo-Fraenkel rinkinio teorija, galios rinkinys ir konstrukcijų kalkulizmas“, epistemologijoje ir ontologijoje: Matematikos filosofijos ir pagrindų esė Per Martino-Löfo garbei (logika, epistemologija ir Mokslo serijos vienybė), P. Dybjer, S. Lindström, E. Palmgren ir G. Sundhölm (red.), Niujorkas ir Dordrecht: Springer Verlag.
  • –––, 2017 m., „Konstruktyviųjų sistemų įrodymo teorija: induktyvūs tipai ir universalumas“, G. Jägeris ir W. Sieg (red.), Fefermanas apie pamatus (Nuostabus logikos įnašas: 13 tomas), Cham: „Springer“, 385–419 psl.
  • Richmanas, F., 2000, „Pagrindinė algebros teorema: konstruktyvus vystymasis be pasirinkimo“, „Pacific Journal of Mathematics“, 196: 213–230.
  • ––– 2001 m., „Konstruktyvioji matematika be pasirinkimo“, suvienijus antipodus: konstruktyvūs ir nestandartiniai kontinuumo vaizdai (Synthese Library 306), P. Schuster ir kt. (red.), Dordrecth: Kluwer, p. 199–205.
  • Russell, B., 1908 m., „Matematinė logika, pagrįsta tipų teorija“, American Journal of Mathematics, 30: 222–262. Perspausdinta van Heijenoort (1967), 150–182.
  • Scedrovas, A., 1981 m., „Nuoseklumas ir savarankiškumas lemia intuicijos rinkinių teoriją“konstruktyvioje matematikoje („Lecture Notes in Mathematics 873“), F. Richman (ed.), Berlin: Springer, p. 54–86.
  • –––, 1982 m., „Ventiliatoriaus teoremos nepriklausomumas esant tęstinumo principams“LEJ Brouwer Centenary simpoziume, AS „Troelstra“, ir D. van Dalen (ed.), Amsterdamas: Šiaurės Olandija, p. 435–442..
  • ––– 1985 m., „Intuicionistinė rinkinio teorija“Harvey Friedmano tyrime apie matematikos pagrindus, LA Garrubgtib et al. (red.), Amsterdamas: Elsevier.
  • Schütte, K., 1965 m., „Numatomi tvarkingi užsakymai“, formaliose sistemose ir rekursinėse funkcijose, J. Crossley ir M. Dummett (red.), Amsterdamas: Šiaurės Olandija, p. 279–302.
  • ––– 1965 m., „Eine Grenze für die Beweisbarkeit der Transfiniten Induktion in der Verzweigten Typenlogik“, Matematikos žurnalų archyvas ir Grundlagenforschung, 7: 45–60.
  • Simpson, A., 2005, „Konstruktyvios rinkinių teorijos ir jų kategorijų teoriniai modeliai“, skyrelyje „Nuo rinkinių ir tipų iki topologijos ir analizės: link konstruktyviosios matematikos praktinių pagrindų“(„Oxford Logic Guides 48“), L. Crosilla ir P. Schuster (red.), Oksfordas: Oxford University Press.
  • „Swan“, AW, 2014, „CZF neturi turto egzistavimo“, Annals of Pure and Applied Logic, 165: 1115–1147.
  • Troelstra, AS, ir van Dalen, D., 1988, Matematikos konstruktyvizmas (du tomai), Amsterdamas: Šiaurės Olandija.
  • Tupailo, S., 2003, „Konstruktyvios aibės teorijos realizavimas į aiškinamąją matematiką: apatinė riba nenusakomai Mahlo visatai“, Grynosios ir taikomosios logikos metraštis, 120: 165–196.
  • Voevodsky, V., 2015, „Eksperimentinė formalizuotos matematikos biblioteka, pagrįsta vienatūriais pagrindais“, Matematinės struktūros kompiuterių moksle, 25: 1278–1294.
  • Weyl, H., 1918 m., „Das Kontinuum. Kritische Untersuchungen über die Grundlagen der Analysis “, Veitas, Leipcigas.
  • Ziegleris, Albertas, 2012 m., „Apibendrinamasis realizacijos ir Heytingo modelių pritaikymas konstruktinei rinkinio teorijai“, Annals of Pure and Applied Logic, 163 (2): 175–184.
  • –––, 2014 m., „Kaupiamoji aibių hierarchija konstruktyviai aibių teorijai“, Matematinė logika, ketvirtis, 60 (1–2): 21–30.

Akademinės priemonės

sep vyro ikona
sep vyro ikona
Kaip pacituoti šį įrašą.
sep vyro ikona
sep vyro ikona
Peržiūrėkite šio įrašo PDF versiją „Friends of the SEP“draugijoje.
info piktograma
info piktograma
Ieškokite šios įrašo temos interneto filosofijos ontologijos projekte (InPhO).
„Phil Papers“piktograma
„Phil Papers“piktograma
Patobulinta šio įrašo „PhilPapers“bibliografija su nuorodomis į jo duomenų bazę.

Kiti interneto šaltiniai

  • Aczel, P. ir M. Rathjen, 2010, Pastabos apie konstruktyvių rinkinių teoriją, knygos projektas, prieinamas internete.
  • Kapulkinas, C. ir PL Lumsdaine, 2012 m., „Paprastas vienalyčių pamatų modelis (po Voevodsky)“, priešrėžis arXiv.org.
  • Algebrinio rinkinio teorija, autorius S. Awodey (Carnegie Mellon).

[Kreipkitės į autorių ir pateikite daugiau pasiūlymų.]

Rekomenduojama: